高中数学课时分层作业18导数的四则运算法则含解析新人教B版选修1

课后训练．函数＝(－)的导数为( )．－．(－)．－．(－)·．函数＝－的导数为( )．．－．．－．曲线＝－＋在点()处的切线方程为( )．＝－．＝－＋．＝－．＝－＋．曲线在点(－，－)处的切线方程为( )．＝＋．＝－．＝－－．＝－－．曲线＝在＝处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为( )．．．．．若函数()＝＋＋的图象在点(，())处的切线方程为＝＋，则＝，＝.．已知点在曲线＝上，在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为．．在平面直角坐标系中，点在曲线：＝－＋上，且在第二象限内．已知曲线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为．．已知曲线在点(，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的值．．已知曲线：＝与：＝－(－)，若直线与，都相切，求直线的方程．参考答案.答案：.答案：′＝( )′－( )′＝′ ＋( )′－＝－－＝－ ..答案：.答案：因为，所以＝′＝－＝，故切线方程为＝＋..答案：因为′＝，所以切线斜率＝′－＝＝.又＝时，＝＝，故切线方程为＝＋.其与轴，轴的交点分别为(－)，()，所以所求三角形的面积为..答案：.答案：().答案：(－) 设(，)(＜)，由题意知：＝－＝，∴＝.∴＝－，∴＝，∴点的坐标为(－)．.答案：分析：求出在切点处的斜率(用表示)，写出切线方程，求出在轴、轴上的截距，从而用表示三角形面积，即可解得.解：，点(，)处切线的斜率.切线方程为．从而直线的横，纵截距分别为，.由，得＝..答案：分析：设出直线与，的切点坐标，可以分别用一个参数来表示，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用斜率相等可求出两切点的坐标．解：解法一：设直线与两曲线的切点分别为(，)，(，－(－))．因为两曲线对应函数的导函数分别为′＝，′＝－(－)，所以在，两点处两曲线的斜率分别为′＝＝，′＝＝－(－)．由题意可得＝＝－＋，即解之，得或所以()或()，切线的斜率＝或，从而所求的切线方程为＝－或＝.解法二：设与，的切点的横坐标分别为，，直线的斜率为，根据题意，得′＝，′＝－(－)．′＝＝，′＝＝－(－)．由＝＝－＋，可得，，设与，的切点的坐标分别为，，则，解得＝或.故所求的切线方程为＝－或＝.。

学习目标核心素养１．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．（重点）２．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．（难点）３．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．（易混点）１．通过学习导数的四则运算法则，培养学生的数学运算素养．２．借助复合函数的求导法则的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.一、导数的运算法则１．和差的导数[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）．２．积的导数（１）[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；（２）[cf（x）]′＝cf′（x）．３．商的导数错误!错误!＝错误!，g（x）≠0.二、复合函数的概念及求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝f（g（x））.复合函数的求导法则复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为错误!＝错误!·错误!，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若f′（x）＝２x，则f（x）＝x２.（２）已知函数y＝２sin x—cos x，则y′＝２cos x＋sin x．（）（３）已知函数f（x）＝（x＋１）（x＋２），则f′（x）＝２x＋１．（）[解析] （１）由f′（x）＝２x，则f（x）＝x２＋c.（２）由y＝２sin x—cos x，则y′＝（２sin x）′—（cos x）′＝２cos x＋sin x.（３）由f（x）＝（x＋１）（x＋２）＝x２＋３x＋２，所以f′（x）＝２x＋３．[答案] （１）×（２）√（３）×２．函数f（x）＝x e x的导数f′（x）＝（）Ａ．e x（x＋１）Ｂ．１＋e xＣ．x（１＋e x）Ｄ．e x（x—１）[解析] f′（x）＝x′e x＋x（e x）′＝e x＋x e x＝e x（x＋１），选Ａ．[答案] A３．函数f（x）＝sin（—x）的导函数f′（x）＝________.[解析] f′（x）＝[sin（—x）]′＝cos（—x）（—x）′＝—cos x.[答案] —cos x导数四则运算法则的应用（１）y＝x—２＋x２；（２）y＝３x e x—２x＋e；（３）y＝错误!；（４）y＝x２—sin 错误!cos错误!.[解] （１）y′＝２x—２x—３.（２）y′＝（ln ３＋１）·（３e）x—２x ln ２．（３）y′＝错误!.（４）∵y＝x２—sin错误!cos错误!＝x２—错误!sin x，∴y′＝２x—错误!cos x.１．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．２．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．１．（１）设函数f（x）＝错误!x３＋错误!x２＋tan θ，其中θ∈错误!，则导数f′（１）的取值范围是（）Ａ．[—２,２] Ｂ．[错误!，错误!]Ｃ．[错误!，２] Ｄ．[错误!，２]（２）已知f（x）＝错误!，若f′（x0）＋f（x0）＝0，则x0的值为________．[解析] （１）f′（x）＝sin θ·x２＋错误!cos θ·x，∴f′（１）＝sin θ＋错误!cos θ＝２sin错误!，∵θ∈错误!，∴sin错误!∈错误!，∴２sin错误!∈[错误!，２]．（２）∵f′（x）＝错误!＝错误!（x≠0）．∴由f′（x0）＋f（x0）＝0，得错误!＋错误!＝0，解得x0＝错误!.[答案] （１）D （２）错误!复合函数的导数（１）y＝e２x＋１；（２）y＝错误!；（３）y＝５log２（１—x）；（４）y＝sin３x＋sin ３x.[思路探究] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解] （１）函数y＝e２x＋１可看作函数y＝e u和u＝２x＋１的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝（e u）′（２x＋１）′＝２e u＝２e２x＋１．（２）函数y＝错误!可看作函数y＝u—３和u＝２x—１的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝（u—３）′（２x—１）′＝—6u—４＝—6（２x—１）—４＝—错误!.（３）函数y＝５log２（１—x）可看作函数y＝５log２u和u＝１—x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝（５log２u）′·（１—x）′＝错误!＝错误!.（４）函数y＝sin３x可看作函数y＝u３和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin ３x可看作函数y＝sin v和v＝３x的复合函数．∴y′x＝（u３）′·（sin x）′＋（sin v）′·（３x）′＝３u２·cos x＋３cos v＝３sin２x cos x＋３cos ３x.１．解答此类问题常犯两个错误（１）不能正确区分所给函数是否为复合函数；（２）若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．２．复合函数求导的步骤２．求下列函数的导数．（１）y＝错误!；（２）y＝log２（２x２—１）．[解] （１）y＝错误!＝错误!＝错误!＝１＋错误!.设y＝１＋错误!，u＝１—x，则y′＝y u′·u x′＝（１＋错误!）′·（１—x）′＝错误!·（—１）＝—错误!.（２）设y＝log２u，u＝２x２—１，则y′＝y′u·u x′＝错误!·４x＝错误!.导数法则的综合应用试说明复合函数y＝（３x＋２）２的导函数是如何得出的？提示：函数y＝（３x＋２）２可看作函数y＝u２和u＝３x＋２的复合函数，∴y x′＝y u′·u x′＝（u２）′·（３x＋２）′＝6u＝6（３x＋２）．【例３】已知函数f（x）＝ax２＋２ln（２—x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线为l，若直线l与圆C：x２＋y２＝错误!相切，求实数a的值．[思路探究] 求出导数f′（１），写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．[解] 因为f（１）＝a，f′（x）＝２ax＋错误!（x<２），所以f′（１）＝２a—２，所以切线l的方程为２（a—１）x—y＋２—a＝0．因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝错误!＝错误!，解得a＝错误!.若将上例中条件改为“直线l与圆C：x２＋y２＝错误!相交”，求a的取值范围．[解] 由例题知，直线l的方程为２（a—１）x—y＋２—a＝0．∵直线l与圆C：x２＋y２＝错误!相交，∴圆心到直线l的距离小于半径．即d＝错误!<错误!.解得a>错误!.关于复合函数导数的应用及其解决方法１．应用复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．２．方法先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．１．函数y＝（２0１9—8x）３的导数y′＝（）Ａ．３（２0１9—8x）２Ｂ．—２４xＣ．—２４（２0１9—8x）２Ｄ．２４（２0１9—8x）２[解析] y′＝３（２0１9—8x）２×（２0１9—8x）′＝３（２0１9—8x）２×（—8）＝—２４（２0１9—8x）２.[答案] C２．函数y＝x２cos ２x的导数为（）Ａ．y′＝２x cos ２x—x２sin ２xＢ．y′＝２x cos ２x—２x２sin ２xＣ．y′＝x２cos ２x—２x sin ２xＤ．y′＝２x cos ２x＋２x２sin ２x[解析] y′＝（x２）′cos ２x＋x２（cos ２x）′＝２x cos ２x＋x２（—sin ２x）·（２x）′＝２x cos ２x—２x２sin ２x.[答案] B３．已知f（x）＝ln（３x—１），则f′（１）＝________.[解析] f′（x）＝错误!·（３x—１）′＝错误!，∴f′（１）＝错误!.[答案] 错误!４．（２0１9·全国卷Ⅰ）曲线y＝３（x２＋x）e x在点（0,0）处的切线方程为________．[答案] y＝３x５．求下列函数的导数．（１）y＝cos（x＋３）；（２）y＝（２x—１）３；（３）y＝e—２x＋１．[解] （１）函数y＝cos（x＋３）可以看作函数y＝cos u和u＝x＋３的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（cos u）′·（x＋３）′＝—sin u·１＝—sin u＝—sin（x＋３）．（２）函数y＝（２x—１）３可以看作函数y＝u３和u＝２x—１的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝（u３）′·（２x—１）′＝３u２·２＝6u２＝6（２x—１）２.（３）y′＝e—２x＋１·（—２x＋１）′＝—２e—２x＋１．。

姓名，年级：时间：温馨提示:此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后.关闭Word文档返回原板块.课时分层作业十八变化率问题导数的概念（40分钟80分）一、选择题(每小题5分，共40分）1。

函数f(x)=2x2—1在区间[1,1+Δx]上的平均变化率= ( )A。

4 B.4+2ΔxC。

4+2(Δx）2 D.4Δx【解析】选B.因为Δy=[2（1+Δx）2—1］—（2×12-1）=4Δx+2（Δx)2，所以=4+2Δx.2。

若质点A按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为( )A.6B.18C.54D.81【解析】选B.因为===18+3Δt，所以=18.3。

f（x）在x=x0处可导，则（)A.与x0,Δx有关B.仅与x0有关，而与Δx无关C.仅与Δx有关,而与x0无关D。

与x0，Δx均无关【解析】选B.式子表示的意义是求f′(x0),即求f（x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关.4.已知sin 1=0。

841 47,sin=0。

479 43,sin=0.247 40，若正弦曲线y=sinx在［0,1],，上的平均变化率的大小分别为a,b，c，则（)A.a>b>c B。

a〉c〉bC.c〉b>aD.b>a〉c【解析】选C.因为a==0。

841 47，b==0.958 86，c==0。

989 60,所以c〉b>a.5。

若f（x)=x3,f′（x0)=3,则x0的值是（)A.1 B。

—1 C。

±1D。

3【解析】选C.因为Δy=f（x0+Δx）—f(x0）=(x0+Δx)3-=3Δx+3x0(Δx）2+（Δx）3,所以=3+3x0Δx+(Δx）2,所以f′(x0）=[3+3x0Δx+(Δx）2]=3,由f′（x0）=3,得3=3，所以x0=±1。

6.一个物体做匀加速直线运动，它的运动方程为s（t）=t2+3t，则它在t=1时的瞬时速度为( )A.5B.4 C。

课时跟踪训练(十八) 导数的四则运算法则1．已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－cos 1B ．1＋cos 1C ．cos 1－1D ．－1－cos 12．函数f (x )＝e x ＋x sin x －7x 在x ＝0处的导数等于( )A ．－6B ．6C ．－4D ．－53．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x(x ＋3)2 B.x 2＋6xx ＋3C.－2x(x ＋3)2 D.3x 2＋6x(x ＋3)24．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为() A ．－12 B.12C ．－22 D.225．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．6．已知f (x )＝x 2＋2f ′(－13)x ，则f ′(－13)＝________.7．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)f (x )＝ln x ＋2xx 2.8．已知曲线y ＝x 2－x 在x ＝x 0点处的切线与曲线y ＝ln x 在x ＝1点处的切线互相垂直．(1)求x 0的值；(2)求两条切线的方程．答 案1．选B 因为f ′(x )＝cos x ＋1x，所以f ′(1)＝cos 1＋1. 2．选A f ′(x )＝(e x )′＋(x sin x )′－(7x )′＝e x ＋sin x ＋x cos x －7，∴f ′(0)＝e 0－7＝－6.3．选A y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′·(x ＋3)－x 2·(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2. 4．选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ，y ′|x ＝π4＝12. 5．解析：y ′＝e x ＋x ·e x ＋2，y ′|x ＝0＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －0)，即y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋16．解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13，令x ＝－13， 则f ′⎝⎛⎭⎫－13＝－23＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13，∴f ′⎝⎛⎭⎫－13＝23.答案：237．解：(1)f ′(x )＝(2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5)′ ＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.(2)f ′(x )＝(ln x x 2＋2x x 2)′＝(ln x x 2)′＋(2xx 2)′ ＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x 4 ＝(1－2ln x )x ＋(ln 2·x 2－2x )·2xx 4＝1－2ln x ＋(ln 2·x －2)2xx 3. 8．解：(1)∵曲线y ＝ln x 在x ＝1点处的切线斜率为y ′|x ＝1＝1x|x ＝1＝1， 又∵曲线y ＝x 2－x 在x ＝x 0点处的切线斜率为 y ′|x ＝x 0＝2x 0－1，∴2x 0－1＝－1，得x 0＝0.(2)∵把x 0＝0代入y ＝x 2－x 得y ＝0，∴切点坐标为(0,0)．又∵切线斜率为y ′|x ＝0＝－1，∴曲线y ＝x 2－x 在x ＝0处的切线方程为y ＝－x . ∵把x ＝1代入y ＝ln x 得y ＝0，∴切点坐标为(1,0)． ∴曲线y ＝ln x 在x ＝1点处的切线方程为y ＝x －1.。