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第二讲 圆锥曲线的方程与性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . [对点训练]1．(2018·江西九江模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752[解析] 由题意可得，a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6. ∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72，故选C.[答案] C2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 [解析] 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.[答案] D3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152x[解析] 设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .[答案] B4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24－y 22＝1右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4＋ 2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6)D.6＋3 2[解析] 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A 、F 0、P 三点共线时取得“＝”，故选B.[答案] B[快速审题] 看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .考点二 圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.2．在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .[解析][答案] (1)A (2)D[解析][答案] 5－2 2[解析][答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，5＋12[解析][答案] C[解析]考点三抛物线中的最值问题[解析] (1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C.(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.当A、P、M三点共线时，|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.[答案] (1)C (2)C与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2018·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 [解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案] D2．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值为( )A ．6B ．2＋4 2C ．213D ．4 3[解析] 由已知可得抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线方程为x ＝2.设点A 的坐标为(x 0，y 0)，根据抛物线的定义可得2－x 0＝4，所以x 0＝－2，y 0＝±4.O 关于准线的对称点为O ′(4,0)，则当点P 为AO ′与准线x ＝2的交点时，|PA |＋|PO |有最小值，且最小值为|AO ′|＝213.[答案] C1．(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)[解析] ∵a 2＝3，b 2＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝2.又∵焦点在x 轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．[答案] B2．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a2＝3，即b2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ， 则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9，∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由题意易知直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，① 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．② 联立①②得y ＝35(a ＋c )，如图，过P 向x 轴引垂线，垂足为H ，则|PH |＝35(a ＋c )． 因为∠PF 2H ＝60°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PH |＝35(a ＋c )， 所以sin60°＝|PH ||PF 2|＝35(a ＋c )2c ＝32， 即a ＋c ＝5c ，即a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14.故选D.[答案] D4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． [解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝2. [答案] 2 5．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．[解析] 解法一：如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ，∴n m ＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋(3k )2k＝2. 连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝ca＝23＋1＝2(3－1)(3＋1)(3－1)＝3－1. 解法二：双曲线N 的离心率同解法一．由题意可得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c ，代入椭圆M的方程，并结合a ，b ，c 的关系，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得ca＝3－1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a＝3＋1舍去.[答案] 3－1 2圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．热点课题15 几何情境下的圆锥曲线问题[感悟体验]1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，则E 的离心率是( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2[解析] 如图所示，设PF 1、PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M 、N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝ca＝33＝3，故选C.[答案] C2.(2018·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析] 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ， ∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝b a，∴⎩⎨⎧|PF 2||PF 1|＝ba，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得{ |PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝ca＝ 5. [答案]5专题跟踪训练(二十五)一、选择题1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 [解析] 由题意3x 0＝x 0＋p 2，x 0＝p 4，则p 22＝2，∵p >0，∴p ＝2.故选D.[答案] D2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( ) A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1 [解析] 椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.故选C.[答案] C3．(2018·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 24－x 25＝1 D.y 25－x 24＝1 [解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，选A.[答案] A4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x[解析] 根据题意，该双曲线的离心率为3，即e ＝c a＝3，则有c ＝3a ，进而b ＝c 2－a 2＝2a .又由该双曲线的焦点在y 轴上，则其渐近线方程为y ＝±a b x ＝±22x .故选B.[答案] B5．(2018·郑州一模)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 2 D ．4[解析] 双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线方程是y ＝±2x ，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±p .又△AOB 的面积为1，∴12·p2·2p ＝1.∵p >0，∴得p ＝ 2.故选B.[答案] B6．(2018·东北三校联考)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与E 的左支交于P ，Q 两点，若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ，则E 的离心率是( )A.52 B.72 C.153 D.173[解析] 设|F 1Q |＝t (t >0)，则|PF 1|＝2t ，由双曲线的定义有，|F 2Q |＝t ＋2a ，|PF 2|＝2t ＋2a ，又F 2Q ⊥PQ ，所以△F 1F 2Q ，△PQF 2都为直角三角形．由勾股定理有⎩⎪⎨⎪⎧|F 1Q |2＋|QF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|QF 2|2＝|PF 2|2，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋(t ＋2a )2＝4c 2，(3t )2＋(t ＋2a )2＝(2t ＋2a )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a3，c ＝173a .故离心率e ＝ca ＝173.故选D. [答案] D7．(2018·长沙一模)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2[解析] 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.[答案] A8．(2018·陕西西安三模)已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2 D.233[解析] 将圆的一般方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准方程(x －2)2＋y 2＝1.由圆心(2,0)到直线b ax －y ＝0的距离为1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233.故选D.[答案] D9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y ＝233x 和椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点M ，N ，若M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32 C.33 D.23[解析] 由题意可知，M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则b 2a ＝233c ，则3b 2＝23ac ，即3c 2＋23ac －3a 2＝0.上式两边同除以a 2，整理得3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝－3或e ＝33.由0<e <1，得e ＝33.故选C. [答案] C10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．16 [解析] 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a＝3，故|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B.[答案] B11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32B ．3C ．2 3D ．4 [解析] 由双曲线C ：x 23－y 2＝1可知其渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠MOx ＝30°，∴∠MON ＝60°，不妨设∠OMN ＝90°，则易知焦点F 到渐近线的距离为b ，即|MF |＝b ＝1，又知|OF |＝c ＝2，∴|OM |＝3，则在Rt △OMN 中，|MN |＝|OM |·tan∠MON＝3.故选B.[答案] B12．(2018·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1，故选D. [答案] D 二、填空题13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．[解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝22＝ 2.[答案]214．(2018·湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为________．[解析] 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49， 于是b 2＝a 2－c 2＝49－52＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1.[答案]x 249＋y 224＝1 15．(2018·西安四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P 、Q 两点，若P 恰为线段F 1Q 的中点，且QF 1⊥QF 2，21 则此双曲线的渐近线方程为____________．[解析] 根据题意，P 是线段F 1Q 的中点，QF 1⊥QF 2，且O 是线段F 1F 2的中点，故OP ⊥F 1Q ，而两条渐近线关于y 轴对称，故∠POF 1＝∠QOF 2，又∠POF 1＝∠POQ ，所以∠QOF 2＝60°，渐近线的斜率为±3，故渐近线方程为y ＝±3x .[答案] y ＝±3x16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2， 由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0， c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63. [答案] 63。
专题五 解析几何[全国卷3年考情分析]第一讲 小题考法——直线与圆[典例感悟][典例] (1)“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为( )A ．y ＝2B ．4x －3y ＋2＝0C ．x ＝2D ．y ＝2或4x －3y ＋2＝0[解析] (1)因为两直线平行，所以2×2－ab ＝0，可得ab ＝4，必要性成立，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，充分性不成立，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设该直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] (1)C (2)D[方法技巧]直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况．[演练冲关]1．(2018·洛阳模拟)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：nx ＋y －p ＝0，则“m ＋n ＝0”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ①若m ＋n ＝0，当m ＝n ＝0时，直线l 1：x －1＝0与直线l 2：y －p ＝0互相垂直；当m ＝－n ≠0时，直线l 1的斜率为－1m ，直线l 2的斜率为－n ，∵－1m ·(－n )＝－1m·m＝－1，∴l 1⊥l 2.②当l 1⊥l 2时，若m ＝0，l 1：x －1＝0，则n ＝0，此时m ＋n ＝0；若m ≠0，则－1m·(－n )＝－1，即－n ＝m ，有m ＋n ＝0.故选C.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823 C. 3 D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823. 3．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________. 解析：因为两直线关于点A (1,0)对称，在直线x ＋2y －3＝0上取两点M (1,1)，N (5，－1)，M ，N 关于点A (1,0)对称的点分别为M ′(1，－1)，N ′(－3,1)，则M ′(1，－1)，N ′(－3,1)都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－3a ＋4＋b ＝0，解得a ＝b ＝2.答案：2[典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43(2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．[解析] (1)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)易知直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)， 即圆C 的圆心坐标为(－1,0)． 因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心(－1,0)到直线x ＋y ＋3＝0的距离等于半径r ，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (1)B (2)(x ＋1)2＋y 2＝2[方法技巧]圆的方程的2种求法[演练冲关]1．(2018·长沙模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2. 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.2．(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝23．(2018·惠州调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5[典例感悟][典例] (1)(2019届高三·齐鲁名校联考)已知圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0，当圆的面积最小时，直线y ＝x ＋b 与圆相切，则b ＝( )A ．±1B ．1C ．± 2D. 2(2)(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32](3)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．[解析] (1)由题意可知，圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0化为标准形式为(x －1)2＋(y －m )2＝m 2－2m ＋2，圆心为(1，m )，半径r ＝m 2－2m ＋2，当圆的面积最小时，半径r ＝1，此时m ＝1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知|b |2＝1，解得b ＝± 2.故选C.(2)设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ， 则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． (3)设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0.由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.[答案] (1)C (2)A (3)33，－33[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的大小关系．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[演练冲关]1．(2018·宁夏银川九中模拟)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6解析：选C 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2×2－12＝ 6.故选C.2．(2018·江苏苏州二模)已知直线l 1：x －2y ＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l 2与圆M ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0交于A ，C 两点，其中A (－1,0)，B ，D 在圆M 上，且位于直线l 2的两侧，则四边形ABCD 的面积的最大值是________．解析：由题意知，tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 直线l 2过点A (－1,0)，则l 2：y ＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋4＝0，又A 是圆M 上的点，则(－1)2＋2×(－1)＋F ＝0，得F ＝1， 圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心M (－1,1)， 其到l 2的距离d ＝|－4－3＋4|5＝35.则|AC |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝85. 因为B ，D 两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当BD 垂直平分AC (即BD 为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，此时AC ，BD 相交于点E ，则最大面积S ＝12×|AC |×|BE |＋12×|AC |×|DE |＝12×|AC |×|BD |＝12×85×2＝85. 答案：853．(2018·广西桂林中学5月模拟)已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为____________．解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35 [必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．直线方程的五种形式2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交，d >r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则 (1)当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离； (2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交； (4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切； (5)当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含．[二级结论要用好]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[针对练1] 若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．若点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则圆过该点的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2.[针对练2] 过点(1，3)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线l 的方程为____________． 解析：∵点(1，3)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴切线方程为x ＋3y ＝4，即x ＋3y －4＝0. 答案：x ＋3y －4＝0[易错易混要明了]1．易忽视直线方程几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，未讨论截距为0的情况，直接设为x a ＋y a＝1；再如，未讨论斜率不存在的情况直接将过定点P (x 0，y 0)的直线设为y －y 0＝k (x －x 0)等．[针对练3] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x －y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，代入P (1,5)，得a ＝6， ∴直线方程为x ＋y －6＝0. 答案：5x －y ＝0或x ＋y －6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直，若一条直线的斜率不存在，则另一条直线斜率为0.如果利用直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解得t ＝1或t ＝－1. 答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C 1－C 2|A 2＋B 2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0间的距离为________． 解析：把直线6x ＋8y ＋5＝0化为3x ＋4y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－5232＋42＝32. 答案：324．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y －6)2＝61－m .当两圆外切时，有－2＋－2＝61－m ＋11，解得m ＝25＋1011；当两圆内切时，有－2＋－2＝||61－m －11，解得m ＝25－1011.答案：25±1011[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．(2018·贵阳模拟)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.3．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a >0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.5．(2018·郑州模拟)已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C的半径r ＝－2＋－2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.7．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心C (3,4)，半径为2，则可设直线l 的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k (x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k x －，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 则|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k ×1＋k 2×31＋k 2|2k ＋1|＝6.故选B. 8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.9．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．5D ．6解析：选A 易知圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|－25|5＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选D 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D. 2解析：选C 设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t >0)，则－x 2＋－1－y 2－x2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋－2t22≤2，解得0<t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 214．如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________. 解析：由直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＋7－a ＝0平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a a －－2×3＝0，a －a －3×3a ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠0且a ≠－2，故a ＝3.答案：315．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为____________________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝016．(2018·南宁、柳州模拟)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－33B 级——难度小题强化练1．(2018·重庆模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：选D 当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－＋－1＋323＝3－33，故选D.2．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心C (1,1)，半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y－12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.3．(2018·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 解析：选B 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝－2m2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝－2m 2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B. 4.(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：选D 法一：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.法二：取AB 的中点D ，连接OD (图略)，则OD ⊥AB ，且∠AOB ＝2∠AOD ，又圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，即|OD |＝15，所以cos ∠AOD ＝|OD ||OA |＝125，故cos ∠AOB＝2cos 2∠AOD －1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1252－1＝－910. 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝2，因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，所以M (－1，－1)，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，所以|MP |＝13－4＝3.答案：36．(2019届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·重庆模拟)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，P 是该抛物线上任意一点，M (5,3)，则|PF |＋|PM |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3(3)(2018·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 [解析] (1)根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意知，抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，过点P 作PE ⊥l 于点E ，由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，易知当P ，E ，M 三点在同一条直线上时，|PF |＋|PM |取得最小值，即(|PF |＋|PM |)min ＝5－(－1)＝6，故选A.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由点P (2，3)在椭圆上，知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，则c a ＝12.又c2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)B (2)A (3)A[方法技巧]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2px 或x 2＝2py (p ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1.(2018·合肥一模)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：选D 由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.2．(2018·河北五个一名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10. 答案：103.如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 224＝1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的标准方程为________________，△BF 1F 2的面积为________．解析：由|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得|BF 2|＝4a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，化简得c＝7a ，由a 2＋b 2＝c 2得，a 2＋24＝7a 2，解得a ＝2，则双曲线的方程为x 24－y 224＝1，△BF 1F 2的面积为12|BF 1|·|BF 2|sin ∠F 1BF 2＝12×2a ×4a ×32＝8 3.答案：x 24－y 224＝1 8 3[典例感悟][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14(3)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(3)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点， ∴M 为A ′B ′的中点， ∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] (1)A (2)D (3)2[方法技巧]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． 3．抛物线几何性质问题求解策略涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性，还要注意抛物线定义的转化应用．[演练冲关]1．(2018·长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b ax 的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，选C.2．(2018·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为( )A ．16B ．18C ．24D ．32解析：选A 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM 的面积为12×8×4＝16，故选A.3．(2018·福州模拟)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选A 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c2≤b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018·开封模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.5＋1D.5＋12(2)(2018·洛阳模拟)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83D.53(3)(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22 C.32D.55[解析] (1)抛物线y 2＝4cx 的焦点F 1(c,0)，准线l ：x ＝－c ，连接PF 1和EO (O 为坐标原点)，如图，则|PF 1|＝2|EO |＝2a ，所以点P 到准线l ：x ＝－c 的距离等于2a ，所以点P 的横坐标为2a －c ，由点P 在抛物线y 2＝4cx 上，得P (2a －c,2c a －c )．连接OP ，则|OP |＝|OF |＝c ，所以(2a －c )2＋[2ca －c ]2＝c 2，解得e ＝c a ＝5＋12，故选D.(2)因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)， 故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px 整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D ＝2pp8＝16.故选A.(3)设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，故选C. [答案] (1)D (2)A (3)C[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．已知椭圆的短轴长为8，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为9π4，则椭圆的离心率为( )A.45B.22C.35D.223解析：选C 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2b ＝8，即b ＝4，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有S △PF 1F 2＝12(2a ＋2c )r ＝12×2c |y P |，即r ＝c |y P |a ＋c ，当点P 运动到椭圆短轴的端点时，r 有最大值32，此时|y P |＝b ，于是有4c a ＋c ＝32，即3a ＝5c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝35.2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.法二：如图，过点F1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ， 所以e ＝c a＝ 3.3．(2018·贵阳模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则p ＝________.解析：过点A ，B 向抛物线的准线x ＝－p2作垂线，垂足分别为C ，D ，过点B 向AC 作垂线，垂足为E ，∵A ，B 两点在抛物线上，∴|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.∵BE ⊥AC ，∴|AE |＝|AF |－|BF |，∵直线AB 的倾斜角为60°，∴在Rt △ABE 中，2|AE |＝|AB |＝|AF |＋|BF |， 即2(|AF |－|BF |)＝|AF |＋|BF |，∴|AF |＝3|BF |. ∵|AF |＝2，∴|BF |＝23，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝83.设直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得3x 2－5px ＋3p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝53p ，∵|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝83，∴p ＝1.答案：1[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]圆锥曲线的定义、标准方程和性质[二级结论要用好]1．椭圆焦点三角形的3个结论设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ；若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a .3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)； (4)|AB |＝x A ＋x B ＋p . 4．圆锥曲线的通径 (1)椭圆通径长为2b2a；(2)双曲线通径长为2b2a；(3)抛物线通径长为2p . 5．圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a (长轴长)． (2)双曲线上两点间的最小距离为2a (实轴长)．(3)椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．[易错易混要明了]1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a ＜|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．[针对练1] △ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________．解析：如图，设内切圆的圆心为P ，过点P 作AC ，BC 的垂线PD ，。
第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)． 设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．8 答案 A解析 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)， 所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4，解得A (1,2)．抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)， 准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练 1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上， ∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4， 可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22 答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0， 依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . ∵cos∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0， 而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C ．(1,2) D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a >a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ， 则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二 圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c＝c3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴c ＝2a ，b ＝3a ， ∴渐近线方程为y ＝±3x . 热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率；(2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a3a 2＋b 2，求椭圆的短轴与长轴的比值．解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ， ∴|AB |＝2b 2a ＝12a ，即a 2＝4b 2，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2，∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·8a 2b4a 2＋b2＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12，∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0. 所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0. (2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)， 直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 0，y ＝x 2，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0.Δ＝(mx 0－1)2－4×m 2×x 204＝1－2mx 0>0，即mx 0<12.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m2.所以(1－mx 0)216m 4＝x 212m2， 解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝|y B ||y D |＝43±6.真题体验1．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． 答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62 B.52C. 3 D ．2 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即|AF 2→|＝b ，则|BF 2→|＝3b . 在△AF 2O 中，|OA →|＝a , |OF 2→|＝c ，tan∠F 2OA ＝b a ，tan∠AOB ＝4b a ＝2×b a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设点M 的坐标为(1,2)，点N 的坐标为(4,4)． 又∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D.3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B.4．(2018·华大新高考联盟质检)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( )A.45B.23C.12D.25 答案 B解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理|F 1F 2|sin∠F 1PF 2＝2c sinπ3＝2R ，∴R ＝233c ，∵R ＝4r ，∴r ＝36c ， 由余弦定理，()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a 2－c 2，则由三角形面积公式12()|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a 2－c 2·32， ∴e ＝c a ＝23.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案3－1 2解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ， 则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2. 如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点， 设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点，若|AB |＝3|CD |，则直线l 的斜率为________．答案 ±22解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由x 2－px ＋y 2－34p 2＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，所以直线l 过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，可得|CD |＝2p ，若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝p2，|AB |＝2p ，|CD |＝2p ，不符合题意，∴直线l 的斜率存在．∴可设直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，化为x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2p k 2x ＋p24＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk 2，由|AB |＝3|CD |，所以2p ＋2pk2＝6p ，可得k 2＝12，所以k ＝±22.8．(2018·百校联盟联考)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，A (x 1，y 1)，则B ()－x 1，－y 1，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 21a 2＋y 21b 2＝1，两式相减得x 2－x 21a 2＝－y 2－y 21b 2，所以y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a2，所以直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －y 1x －x 1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋y 1x ＋x 1≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 21x 2－x 21＝2b a， 由题意得2ba≤1，所以a 2≥4b 2＝4a 2－4c 2，即3a 2≤4c 2， 所以e 2≥34，又因为0<e <1，所以32≤e <1. 9．(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1) ＝4k 2＋4k2.由题意知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2si n∠OAB ，而∠OAB ＝π4，所以|AQ |＝2y 2. 由|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4. 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1. 由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方， 整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以k 的值为12或1128.B 组 能力提高11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH ，AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于长半轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，且点F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．(2018·河南省名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________． 答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)解析 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)，令x ＝－c ，可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a， 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a ， 若∠DAB 为钝角，则AD →·AB →<0， 即0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2， 可得c 2<2a 2，即e ＝c a<2， 又e >1，可得1<e <2； 若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →<0，即c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0， 化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0， 由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0， 又e >1，可得e >2＋2； 又AB →·DB →＝2b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋b 2a >0，∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．13．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b 2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ |2|MN |＝42＝2 2.方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22； 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ， 则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， Δ＝8k 2＋8>0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k2，则|OP |2＝x 23＋y 23＝2(1＋k 2)1＋2k2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k2，所以|PQ |2|MN |＝2 2.综上，|PQ |2|MN |＝2 2.14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . ①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12.又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)， 则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立， 可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c232.同理△FPM 的面积等于75c232.由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。
第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。
复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系 式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254． 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ． 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0， 解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3． 因此a 2＝6，b 2＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463． 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0． 于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52， 从而b 2＝a 2－c 2＝754， 所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围． 解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP ·OQ <0， 即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23， 依题意且满足(*)得m 2<23， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值． 解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2． 从而y 1＝4k 1＋4k 2． 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2． 由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145． 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。
2019-2020学年高考数学二轮复习 专题1.6 圆锥曲线教学案一．考场传真1. 【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2．【2017课标II ，理9】若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 B．3【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为：0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为：d ，不妨考查点()2,0到直线0bx ay +=的距离：2bd c===即：()22243c a c -=，整理可得：224c a =,双曲线的离心率2e ==.故选A.3．【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A4．【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=，点(,0)A a 到直线by x a=的距离AP =Rt PAN ∆中，cos PA PAN NA=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以c e a ===5．【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN = .【答案】66．【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为by x a =± ，椭圆中：2222212,3,9,c 3a b c a b ==∴=-== ，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0± ，据此可得双曲线中的方程组：2223b ac a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：224,5a b == ，则双曲线C 的方程为2145x y 2-= .故选B . 7．【2017课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.(2)由(1)可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+ .故圆心M 的坐标为()22,m m + ，圆M 的半径r =.由于圆M 过点()4,2P - ，因此0AP BP ⋅= ，故()()()()121244220x x y y --+++= ，即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= .由(1)可得12124,4y y x x =-= .所以2210m m --= ，解得1m = 或12m =- .当1m = 时，直线l 的方程为20x y --= ，圆心M 的坐标为()3,1 ，圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-= .当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-= ，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4 ，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .8．【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，（t ，.则121k k +==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）9．【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .二．高考研究 【考纲解读】 1.考纲要求(1)直线方程：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.(３)圆锥曲线：①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知道它的简单几何性质.④了解圆锥曲线的简单应用.⑤理解数形结合的思想(2)曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.2.命题规律：1、题量稳定：解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功. 3．学法导航1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．2. 解决与圆有关的问题一般有两种方法：几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 3讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4.准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 5．明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．6．解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．7．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．一．基础知识整合 基础知识：1. 直线的方程：点斜式：)(11x x k y y -=-； 截距式：b kx y +=；两点式：121121x x x x y y y y --=--； 截距式：1=+bya x ；一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. 2．两条直线的位置关系：两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交. 两直线平行⇔两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直⇔两直线的斜率之积为1-或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零； 与已知直线0(0,0)Ax By C A B ++=≠≠平行的直线系方程为0()Ax By m C m ++=≠； 若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.两平行直线间距离公式：10(0,0)Ax By C A B ++=≠≠与2120(0,0,)Ax By C A B C C ++=≠≠≠的距离d =3．圆的有关问题：圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=. 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则（1）d r <⇔直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点； （2）d r >⇔直线与圆相离⇔直线与圆无公共点；（3）d r =⇔直线与圆相切⇔直线与圆有且只有一个公共点；【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则（1）0∆>⇔直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点； （2）0∆<⇔直线与圆相离⇔直线与圆无公共点；（3）0∆=⇔直线与圆相切⇔直线与圆有且只有一个公共点；若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则l =4．椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0,0)Ax By A B +=>>或221(0,0)x y A B A B+=>>； 椭圆的参数方程： 椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b =；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 5．椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=. 椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于212tan 2F PF b ∠，其中b 是短半轴的长； 过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a6．双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0)Ax By AB +=<或221(0)x y AB A B+=< 7．双曲线的简单几何性质双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于212tan2b F PF ∠，其中b 是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22b a8．抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线.需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线. 抛物线的方程有四种类型：22y px =、22y px =-、22x py =、22x py =-.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例 （1）范围：x≥0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的； （5）准线方程2px =-； （6）焦半径公式：抛物线上一点11(,)P x y ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：22112:;2:22p py px PF x y px PF x ==+=-=-+ 22112:;2:22p px py PF y x py PF y ==+=-=-+（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，AB 的倾斜角为α，则有12AB x x p =++或22sin pAB α=，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求. 在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切； 9．直线与圆锥曲线的位置关系：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决． ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．直线l 被圆锥曲线所截得弦为AB，则长为||||A B A B AB x x y y =-=-，其中k 为直线l 的斜率 必备方法：1.点差法（中点弦问题）利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系.2．联立消元法：韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解 3．设而不求法 4.判别式法 5.求根公式法椭圆与双曲线的经典结论 一．椭圆1．12||||2PF PF a +=2．标准方程：22221x y a b+=3．11||1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b +=+;(2) 2222L a A b B=+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i )对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M (222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii )对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'0P 点.18．设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C :22221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-.19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B ,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2tan )2b P c γ .21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+.29．设A ,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为2222222221()cos sin x y a b m a b αα-+=+,其中2222tan b x a yα=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max()2a l x c e=-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =. 32．椭圆22221x y a b +=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则212||||PA PA b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP |2+|OQ |2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M (m ,o ) 或(o , m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q , A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k (k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在椭圆上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(2222222{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+⋅++=+).45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是Aab=. 48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. 50．设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m ,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=222()a m a a mb n a -⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）. 54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =号）.55．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a-≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、Bx 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P。
一、考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想． 二、概念掌握和解题上注意点：1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点： ）.消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.）.重视“判别式Δ”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.3.处理中点弦问题的常用方法）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 三、高考考题题例分析例1.(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率，(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】(1)1；(2) y ＝x ＋7.(2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值． 【答案】(1) (－1,1)；(2)2716【解析】(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时， |P A |·|PQ |取得最大值2716.学例3.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A ． 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3【答案】C∵点M 在x 轴的上方， ∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝(3＋1)2＋(23－23)2＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C ．例4．(2016全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 【答案】(1)14449；(2) (32，2)． 【解析】设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6kt (1＋k 2)3k 2＋t.由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0， 即k －2k 3－2＜0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2)．例5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 【答案】见解析(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值圆锥曲线综合应用练习题一、选择题1．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫0，23 B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．⎝⎛⎭⎫－23，23 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 【答案】C【解析】 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝ ( )A ． 2B ．22 C ．12D ．03．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，符合题意．若k ≠0，则Δ＝0， 即64－64k ＝0，解得k ＝1，所以直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个共公点时，k ＝0或1.4．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是 ( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分【答案】B 【解析】x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．5．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是 ( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0【答案】D【解析】由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.6．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为 ( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．x 2＝2yD ．x 2＝4y【答案】B7．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )A ．4x 221－4y 225＝1B ．4x 221＋4y 225＝1C ．4x 225－4y 221＝1D ．4x 225＋4y 221＝1【答案】D【解析】因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1. 学8．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( )A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)【答案】A9．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有 ( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A ．x 218＋y 29＝1B ．x 227＋y 218＝1C ．x 236＋y 227＝1D ．x 245＋y 236＝1【答案】A【解析】因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.11．已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP→为 ( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9【答案】D12.抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为 ( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . 二、填空题13．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为 ． 【答案】16【解析】直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.14．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是 ．【答案】x ＋2y －8＝015．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为 . 【答案】2【解析】不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．【答案】2＋3【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.学三、解答题17．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．【答案】(1) x 24＋y 22＝1；(2) 126818.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)当p ＝1时，若抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .求线段PQ 的中点M 的坐标．【答案】(1) y 2＝8x ；(2) (1，－1)．【解析】 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上， 得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .19．已知定点F (0,1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切． (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2两条切线相交于点P ，求△P AB 外接圆面积的最小值. 【答案】(1) x 2＝4y ；(2) 4π.【解析】 (1)法一：设圆心M 到直线l 的距离为d ， 由题意|MF |＝d . 设圆心M (x ，y )，则有x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|.化简得x 2＝4y .所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设圆心M 到直线l 的距离为d ， 由题意|MF |＝d .根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线， 焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1. 所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设l AB ：y ＝kx ＋1， 代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝4(k 2＋1)．因为曲线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x2.所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.①同理可得直线l 2的方程为y ＝x 22x －x 224.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P (2k ，－1)．因为P A →·PB →＝(x 1－2k ，y 1＋1)·(x 2－2k ，y 2＋1) ＝x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝0， 所以P A ⊥PB ，即△P AB 为直角三角形．所以△P AB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是外接圆的直径．因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.因为AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋1)，所以AB 的中垂线方程为y －(2k 2＋1)＝－1k (x －2k )，因为P A 的中垂线方程为y －(k 2－kk 2＋1)＝(k ＋k 2＋1)[x －(2k －k 2＋1)]，联立上述两个方程，解得其交点坐标为N (2k,2k 2＋1)． 因为点M ，N 的坐标相同，所以AB 的中点M 为△P AB 的外接圆的圆心． 所以△P AB 是直角三角形，且P A ⊥PB ， 所以线段AB 是△P AB 外接圆的直径．学 因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2＝23相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点． 【答案】(1) x 22＋y 2＝1；(2)见解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2⇒(kx 2＋m －1)x 1＋(kx 1＋m －1)x 2x 1x 2＝2，即(2－2k )x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k )(2m 2－2)＝(m －1)(－4km )，即(1－k )(m 2－1)＝－km (m －1)，由m ≠1，得(1－k )(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m (x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1)． 综上，直线AB 过定点(－1，－1)．21．已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，F 为左焦点，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点．直线AP 与过点B 且垂直于x 轴的直线l 交于点M ，直线MN ⊥BP 于点N .(1)求证：直线AP 与直线BP 的斜率之积为定值； (2)若直线MN 过焦点F ，AF →＝λFB →(λ∈R )，求实数λ的值. 【答案】(1)见解析；(2) λ＝13.(2)设直线AP 与BP 的斜率分别为k 1，k 2，由已知F (－c,0)，直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋a )，直线l 的方程为x ＝a ，则M (a,2ak 1)． ∵MN ⊥BP ，∴k MN ·k 2＝－1. 由(1)知k 1·k 2＝－b 2a 2，∴k MN ＝a 2b 2·k 1.又F ，N ，M 三点共线，得k MF ＝k MN ， 即2ak 1a ＋c ＝a 2b 2k 1，得2b 2＝a (a ＋c )．∵b 2＝a 2－c 2，∴2(a 2－c 2)＝a 2＋ac ，化简整理得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 解得c a ＝12或ca ＝－1(舍去)．∴a ＝2c .由AF →＝λFB →，得(a －c,0)＝λ(a ＋c,0)， 将a ＝2c 代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c ＝3λc ， ∴λ＝13.22．已知抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，椭圆C 2与抛物线C 1有公共的焦点，且C 2的中心在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 1分别交于A ，B 两点．(1)若AM →＝12MB →，求直线l 的方程；(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 1上，直线l 与椭圆C 2有公共点，求椭圆C 2的长轴长的最小值.【答案】(1) y ＝2x －42或y ＝－2x ＋42；(2) 34(2)设P (m ，n )，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫m 2，n 2. 因为O ，P 两点关于直线y ＝k (x －4)对称，所以⎩⎨⎧n 2＝k ⎝⎛⎭⎫m2－4，nm ·k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8k 21＋k2，n ＝－8k1＋k2.将其代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋k 22＝4·8k 21＋k 2. 所以k 2＝1.。
第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆的有关知识为B 级要求，双曲线、抛物线的有关知识为A 级要求．热点一 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝20x 的焦点相同，则双曲线的方程是________． 答案x 25－y 220＝1 解析 由题意得b a ＝2，c ＝5，再由c 2＝a 2＋b 2得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程是x 25－y 220＝1.(2)(2018·南通等六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P ()－2，3，则双曲线C 的焦距为________． 答案 4 3解析 ∵双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，∴设双曲线C 的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，∵双曲线C 经过点P ()－2，3， ∴λ＝4－1＝3，∴双曲线C 的方程为x 23－y 29＝1.∴双曲线C 的焦距为23＋9＝4 3.思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求|PF 1－PF 2|＜F 1F 2.(2)注意数形结合，画出合理草图．跟踪演练1 (1)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)， ∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线方程为________．答案 y 2＝3x解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线与x 轴的交点为G ，设BF ＝a ， 则由已知得BC ＝2a ，由抛物线定义，得BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵AE ＝AF ＝3，AC ＝3＋3a ， 由2AE ＝AC ，得3＋3a ＝6，从而得a ＝1，FC ＝3a ＝3. ∴p ＝FG ＝12FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x . 热点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________． 答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2解析 设B 为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝OB ＝2 2. 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tanπ4＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．跟踪演练2 (1)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．(2)(2018·江苏省盐城中学模拟)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，(*)将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入(*)式，解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a2c2， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.热点三 直线与圆锥曲线例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析 设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件Δ≥0.涉及中点问题也可以用点差法．跟踪演练3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________． 答案 a 2解析 设P ()x ，y ，则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y ，y ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y ，y ，于是PR →·PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y －x ，0· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y －x ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y －x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y －x ＝x 2－a 2b 2y 2＝1b 2()b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2b 2＝a 2.(2)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b ＝________. 答案22解析 由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2， 联立渐近线与椭圆方程消去y ，得x 2＝(b 2＋5)b25b 2＋20，又∵C 1将线段AB 三等分， ∴1＋22×2(b 2＋5)b 25b 2＋20＝2a 3，解得b 2＝12.∴b ＝22.1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 答案 2解析 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc |b 2＋a2＝b .∴b ＝32c ， ∴a ＝c 2－b 2＝12c ，∴e ＝c a＝2.2．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 答案 2 3解析 渐近线方程为y ＝±33x ，右准线方程为x ＝32， 得P ，Q 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.PQ ＝3，F 1F 2＝2c ＝4，所以四边形F 1PF 2Q 的面积等于12×4×3＝2 3.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且FM ＝4PM ，则双曲线C 的离心率为_________________． 答案5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝bax ，右焦点F ()c ，0，过F 与渐近线垂直的直线为y ＝－ab()x －c ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab ()x －c ，可解得x M ＝a 2c ，y M ＝ab c，在y ＝－a b ()x －c 中，令x ＝0，可得y P ＝ac b， ∵FM ＝4PM ，∴FM →＝4MP →，∴a 2c －c ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 2c ，整理得5a 2＝c 2，则e 2＝5， ∴e ＝5，即双曲线C 的离心率为 5.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是_________________________________．答案63解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2， 又F (c,0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b24＝0，(*)又因为b 2＝a 2－c 2.代入(*)式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 5．(2018·无锡期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 216＋y 212＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF 21PF 2的最小值为________． 答案 8解析 由已知c ＝16－12＝2，∴F 1()－2，0，F 2()2，0，e ＝24＝12 .又双曲线C 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，∴a2＋b 2＝c 2＝4，e c ＝2a ＝1e ＝2，∴a 2＝1，b 2＝3 ，则双曲线C: x 21－y 23＝1.P 在右支上，∴PF 1>PF 2，根据双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a ＝2，∴PF 1＝2＋PF 2 ，PF 21＝()2＋PF 22＝PF 22＋4PF 2＋4，∴PF 21PF 2＝PF 22＋4PF 2＋4PF 2＝PF 2＋4PF 2＋4≥2PF 2·4PF 2＋4＝8，当且仅当PF 2＝2时等号成立．故PF 21PF 2的最小值为8.A 组 专题通关1．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝____________________________________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.2．(2018·淮安等四市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________． 答案52解析 y ＝b a x ＝12x ，所以b a ＝12，得离心率e ＝c a ＝52.3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是________． 答案 1解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2ax .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，所以2a＝2，解得a ＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________． 答案 92解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，又因为过点P (1,3)，则p ＝92.即为焦点到准线的距离．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________． 答案 4解析 设右焦点为F (4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15， 即M (3，±15)． 由两点间距离公式得MF ＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________． 答案x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，又渐近线过点(2，3)， 所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2＋b 2＝7， 即a 2＋b 2＝7，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________． 答案 12解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt△FOB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.8．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0, 2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围为________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 设直线l 的方程为 y －2＝k ()x －0， 即y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立可得 ()2k 2＋1x 2＋42kx ＋2＝0，直线与椭圆有两个不同的交点，则 Δ＝()42k 2－8()2k 2＋1>0，解得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析 圆的方程可化为x 2＋()y －32＝4，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，依题意有3aa 2＋b2>2，整理得3a ＞2c ，∴e <32，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 10．已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，若点M 为右准线上一点，点A 为椭圆C 的左顶点，连结AM交椭圆于点P ，则PM AP的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 设点P 的横坐标为x 0，则PM AP ＝12x 0＋4－1， ∵－4＜x 0≤4，∴PM AP ＝12x 0＋4－1≥12， ∴PM AP 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. B 组 能力提高11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为________． 答案 2 5解析 由已知，得b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝－1，所以b a ＝63. 由点F (c,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c ⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋(－1)2＝2，可得c ＝5，则2c ＝2 5.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________________．答案 x 25－y 24＝1 解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0)，所以c ＝3，又双曲线的两条渐近线bx ±ay ＝0均和圆C 相切，所以3ba 2＋b 2＝2，即3b c＝2， 又因为c ＝3，所以b ＝2，即a 2＝5，所以该双曲线的方程为x 25－y 24＝1. 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有________个．答案 2解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得MF 1＋MF 2＝2a ＝10，且F 1F 2＝2c ＝6，∴△MF 1F 2的周长为MF 1＋MF 2＋F 1F 2＝10＋6＝16.设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ，由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32. 设M (x 0，y 0)，则12MF F S ＝12(MF 1＋MF 2＋F 1F 2)·r ＝12·F 1F 2·|y 0|， 即12×16×32＝12×6·|y 0|，解得|y 0|＝4. ∴y 0＝±4，∴M (0,4)或M (0，－4)．即满足条件的点M 有2个．14．(2018·江苏省盐城中学期末)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 1上存在点P ，由点P 向圆C 2所作的两条切线为PA, PB 且∠APB ＝60°，则椭圆C 1的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 因为∠APB ＝60°，所以∠POB ＝60°，在Rt △POB 中，由OB ＝b ，得PO ＝2b ，由点P 在椭圆上知， b <PO ＝2b ≤a ，所以4b 2＝4()a 2－c 2≤a 2，解得e ≥32，又知0<e <1，故椭圆C 1的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1. 15．(2018·全国大联考江苏卷)已知M ，N 是离心率为2的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，则|k 1|＋4|k 2|的最小值为________．答案 4 3解析 设M (p ，q )，N (－p ，－q )，P (s ，t )，则p 2a 2－q 2b 2＝1, s 2a 2－t 2b 2＝1，两式相减整理得，p 2a 2－s 2a 2＝q 2b 2－t 2b 2，∴q 2－t 2p 2－s 2＝b 2a 2，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2， ∴c a ＝2，c 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，由斜率公式可得k 1k 2＝q 2－t 2p 2－s 2＝3，∴k 1与k 2同号，∴|k 1|＋4|k 2|≥2 |k 1|·4|k 2|＝4|k 1|·|k 2|＝43，当且仅当|k 1|＝4|k 2|，即k 1＝4k 2时等号成立，∴|k 1|＋4|k 2|的最小值为4 3.16.如图，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝r 2都过点P (－1,0)，且椭圆C 1的离心率为22，过点P 作斜率为k 1，k 2的直线分别交椭圆C 1，圆C 2于点A ，B ，C ，D ，且k 1＝λk 2，若直线BC 恒过定点Q (1,0)，则λ＝________.答案 2解析 因为椭圆过点P (－1,0)，所以a ＝1， 又椭圆的离心率为22，所以c ＝22， 则b 2＝1－12＝12，故C 1：x 2＋2y 2＝1， 又由题意得圆C 2：x 2＋y 2＝1.由x 2＋y 2＝1与y ＝k 1(x ＋1)联立，消去y 得(k 21＋1)x 2＋2k 21x ＋k 21－1＝0，解得x ＝－1或x ＝1－k 21k 21＋1， 故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21k 21＋1，2k 1k 21＋1， 同理可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 222k 22＋1，2k 22k 22＋1. 因为B ，C ，Q 三点共线，所以2k 1k 21＋11－k 21k 21＋1－1＝2k 22k 22＋11－2k 222k 22＋1－1， 解得k 1＝2k 2，故λ＝2.。
第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)． 设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．8 答案 A解析 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)， 所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4，解得A (1,2)．抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)， 准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练 1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上， ∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4， 可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22 答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0， 依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . ∵cos∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0， 而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C ．(1,2) D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a >a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ， 则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二 圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c＝c 3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴c ＝2a ，b ＝3a ， ∴渐近线方程为y ＝±3x . 热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率；(2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a3a 2＋b 2，求椭圆的短轴与长轴的比值．解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ， ∴|AB |＝2b 2a ＝12a ，即a 2＝4b 2，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2，∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·8a 2b4a 2＋b2＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12，∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0. 所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0. (2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0. 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)， 直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 0，y ＝x 2，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0.Δ＝(mx 0－1)2－4×m 2×x 204＝1－2mx 0>0，即mx 0<12.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m2.所以(1－mx 0)216m 4＝x 212m2， 解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝|y B ||y D |＝43±6.真题体验1．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． 答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62 B.52C. 3 D ．2 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离为d ＝bc a 2＋b 2＝b ，即|AF 2→|＝b ，则|BF 2→|＝3b . 在△AF 2O 中，|OA →|＝a , |OF 2→|＝c ，tan∠F 2OA ＝b a ，tan∠AOB ＝4b a ＝2×b a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设点M 的坐标为(1,2)，点N 的坐标为(4,4)． 又∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D.3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B.4．(2018·华大新高考联盟质检)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( )A.45B.23C.12D.25 答案 B解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理|F 1F 2|sin∠F 1PF 2＝2c sinπ3＝2R ，∴R ＝233c ，∵R ＝4r ，∴r ＝36c ， 由余弦定理，()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a 2－c 2，则由三角形面积公式12()|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a 2－c 2·32， ∴e ＝c a ＝23.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案3－1 2解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ， 则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2. 如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点， 设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点，若|AB |＝3|CD |，则直线l 的斜率为________．答案 ±22解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由x 2－px ＋y 2－34p 2＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，所以直线l 过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，可得|CD |＝2p ，若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝p2，|AB |＝2p ，|CD |＝2p ，不符合题意，∴直线l 的斜率存在．∴可设直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，化为x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2p k 2x ＋p24＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk 2，由|AB |＝3|CD |，所以2p ＋2pk2＝6p ，可得k 2＝12，所以k ＝±22.8．(2018·百校联盟联考)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，A (x 1，y 1)，则B ()－x 1，－y 1，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 21a 2＋y 21b 2＝1，两式相减得x 2－x 21a 2＝－y 2－y 21b 2，所以y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a2，所以直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －y 1x －x 1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋y 1x ＋x 1≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 21x 2－x 21＝2b a， 由题意得2ba≤1，所以a 2≥4b 2＝4a 2－4c 2，即3a 2≤4c 2， 所以e 2≥34，又因为0<e <1，所以32≤e <1. 9．(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1) ＝4k 2＋4k2.由题意知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin∠OAB ，而∠OAB ＝π4，所以|AQ |＝2y 2. 由|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4. 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1. 由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方， 整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以k 的值为12或1128.B 组 能力提高11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH ，AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于长半轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，且点F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．(2018·河南省名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)解析 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)，令x ＝－c ，可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a ， 设A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，D (0，b )， 可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a ， 若∠DAB 为钝角，则AD →·AB →<0，即0－2b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0， 化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<2，又e >1，可得1<e <2；若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →<0， 即c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0， 化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0， 由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0，又e >1，可得e >2＋2；又AB →·DB →＝2b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋b 2a >0， ∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．13．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________. 答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b 2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ |2|MN |＝42＝2 2. 方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22； 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1， 整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， Δ＝8k 2＋8>0. 由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1， 则|MN |＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2， 则|OP |2＝x 23＋y 23＝2(1＋k 2)1＋2k 2， 又|PQ |＝2|OP |， 所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2， 所以|PQ |2|MN |＝2 2. 综上，|PQ |2|MN |＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1， 即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2， 即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2. 由已知|FQ |＝3c 2， 有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22， 整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)， 即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1， 消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2， 进而可得|FP |＝ (c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8， 所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ， 整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。
第2讲 圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x212＋y28＝1 B.x212＋y24＝1 C.x23＋y22＝1 D.x23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)． 设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y0x0＋3·y0x0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x203＋y20b2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x203，② 由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x23＋y22＝1.(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．8 答案 A解析 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)， 所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ， 由错误!解得A (1,2)．抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)， 准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( ) A.x216－y29＝1 B.x23－y24＝1 C.x24－y23＝1 D.x29－y216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上， ∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝ba x 上，∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4， 可得双曲线的方程为x29－y216＝1.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt △ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22 答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k>0， 依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .∵cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0， 而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F1F2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF1F2＝3csin∠PF2F1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C ．(1,2) D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝|PF2||PF1|，所以|PF2||PF1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF1||－PF2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF1＝2a ，解得||PF1＝6ac 3c －a ，而||PF1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73.又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠PAB ＝|PB||AB|＝3a ＋2＝36，解得a ＝4， 所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y ＝ba x ，则直线l 的斜率k l ＝－ab ，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a2a2＋b2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a2c，则弦长为2c2－d2＝2c2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a22c2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e2＋3e －2＝0. 又双曲线的离心率e >1，则e ＝ca ＝2，所以b a＝c2－a2a2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二 圆心到直线l 的距离为c2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a2c＝c 3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴c ＝2a ，b ＝3a ， ∴渐近线方程为y ＝±3x .热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率；(2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a3a2＋b2，求椭圆的短轴与长轴的比值．解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ， ∴|AB |＝2b2a ＝12a ，即a 2＝4b 2， 故e ＝ca＝a2－b2a2＝1－b2a2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x2a2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a2ca2＋b2，x 1x 2＝错误!，∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·错误!＝错误!·错误! ＝4ab2a2＋b2＝2a3a2＋b2， ∴a 2＝2b 2，∴b2a2＝12，∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程； (2)求|OB||OD|的值．解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0. 所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0. (2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x02，0.设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)， 直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x0，y ＝x2，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0.Δ＝(mx 0－1)2－4×m 2×x204＝1－2mx 0>0，即mx 0<12.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx0m2，y 1y 2＝3y 2＝x204m2. 所以错误!＝错误!，解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0. 所以点D 的纵坐标y D ＝－x02m ＝x206±43，故|OB||OD|＝|yB||yD|＝43±6.真题体验1．(2017·北京)若双曲线x 2－y2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，解得m ＝2.2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 由点到直线的距离公式，得|2b|a2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c2a2＝1＋b2a2＝2. 3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． 答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝错误!＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2－y2b2＝1，x2＝2py ，消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a2＝p ，即b2a2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．已知F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF2→＝13F2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62 B.52C. 3 D ．2 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为d ＝bc a2＋b2＝b ，即|AF2→|＝b ，则|BF2→|＝3b .在△AF 2O 中，|OA →|＝a , |OF2→|＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ，tan ∠AOB ＝4b a ＝2×ba 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A. 2．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a2＋9434a2＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x24＋y23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝错误! ＝ 错误!＝错误!，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t2＋14＋3t2＝627，化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 2＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t×0＋1|1＋t2＝11＋t2，2 2，故圆O的方程为x2＋y2＝12.所以r＝A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x28－y210＝1 B.x24－y25＝1 C.x25－y24＝1 D.x24－y23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x24－y25＝1.故选B.2．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM →·FN →等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D解析 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设点M 的坐标为(1,2)，点N 的坐标为(4,4)． 又∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D.3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B.4．(2018·华大新高考联盟质检)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( ) A.45 B.23 C.12 D.25 答案 B解析 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理|F1F2|sin∠F1PF2＝2c sinπ3＝2R ，∴R ＝233c ，∵R ＝4r ，∴r ＝36c ， 由余弦定理，()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a2－c2，则由三角形面积公式12()|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a2－c2·32， ∴e ＝c a ＝23.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2018·北京)已知椭圆M ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x2m2－y2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案3－1 2解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n m x ，则nm ＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x2a2＋y2b2＝1，得x 2＝a2b23a2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a2b23a2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0，∴3－6b2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b2a22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 2＝1－b2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则nm＝tan 60°＝ 3. 又c 1＝m2＋n2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c1m ＝2.如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点， 设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1. 又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c2a ＝21＋3＝3－1.7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点，若|AB |＝3|CD |，则直线l 的斜率为________． 答案 ±22解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由x 2－px ＋y 2－34p 2＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，所以直线l 过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，可得|CD |＝2p ，若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝p2，|AB |＝2p ，|CD |＝2p ，不符合题意，∴直线l 的斜率存在．∴可设直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y2＝2px ，化为x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2p k2x ＋p24＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk2，由|AB |＝3|CD |，所以2p ＋2pk2＝6p ，可得k 2＝12，所以k ＝±22.8．(2018·百校联盟联考)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 不妨设椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，A (x 1，y 1)，则B ()－x1，－y1，所以x2a2＋y2b2＝1，x21a2＋y21b2＝1，两式相减得x2－x21a2＝－y2－y21b2，所以y2－y21x2－x21＝－b2a2，所以直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －y1x －x1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋y1x ＋x1≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y2－y21x2－x21＝2b a， 由题意得2ba≤1，所以a 2≥4b 2＝4a 2－4c 2，即3a 2≤4c 2， 所以e 2≥34，又因为0<e <1，所以32≤e <1. 9．(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由错误!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k2＋4k2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k2＋4k2. 由题意知4k2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1. 因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝3，y0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝11，y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ||PQ|＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值． 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c2a2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x29＋y24＝1. (2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y2si n∠OAB ，而∠OAB ＝π4， 所以|AQ |＝2y 2.由|AQ||PQ|＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x29＋y24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k2＋4 . 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128. 所以k 的值为12或1128.B 组 能力提高11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH ，AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于长半轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，且点F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．(2018·河南省名校联考)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)解析 设双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)， 令x ＝－c ，可得y ＝±b c2a2－1＝±b2a， 设A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b2a ，D (0，b )， 可得AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ，b －b2a ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b2a ， 若∠DAB 为钝角，则AD →·AB →<0，即0－2b2a ·⎝⎛⎭⎪⎫b －b2a <0， 化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<2， 又e >1，可得1<e <2；若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →<0，即c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b2a －b <0， 化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0， 又e >1，可得e >2＋2；又AB →·DB →＝2b2a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋b2a >0， ∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．13．已知直线MN 过椭圆x22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ|2|MN|＝________. 答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ|2|MN|＝42＝2 2. 方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ|2|MN|＝22； 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程错误!整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－4k22k2＋1，x 1x 2＝2k2－22k2＋1， 则|MN |＝1＋k2错误!＝错误!.直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x22＋y2＝1，解得x 2＝21＋2k2，y 2＝2k21＋2k2， 则|OP |2＝x 23＋y 23＝错误!， 又|PQ |＝2|OP |， 所以|PQ |2＝4|OP |2＝错误!，所以|PQ|2|MN|＝2 2. 综上，|PQ|2|MN|＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b22. (1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1， 即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝错误!，y ＝错误!，即点Q 的坐标为错误!.由已知|FQ |＝3c 2， 有错误!2＋错误!2＝错误!2，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)， 即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x24c2＋y23c2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x24c2＋y23c2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2， 进而可得|FP |＝ 错误!＝错误!，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·ta n ∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8， 所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c232. 同理△FPM 的面积等于75c232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c232－27c232＝3c ， 整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x216＋y212＝1.。
