2017年柳州高考数学(理科)一模试题(10月份)学生版

文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{}|10N x x =->，则MN =（ ）A ．{}|12x x <<B ．{}|01x x <<C ．{}|2x x >D ．{}|0x x <2.设i 是虚数单位，复数21iz i=-，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量(1,2)a =，(3,2)b =-，若()//(3)ka b a b +-，则实数k 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．13D ．13-4.已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（ ） A ．14B ．34C ．45D ．255.设57()9a =，159()7b =，27log 9c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（ ）A B ．34C D ．11167.已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2，3,4，则该长方体的外接球的表面积等于（ ） A ．13πB ．25πC ．29πD ．36π8.如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，的等腰梯形，则该几何体的体积是（ ）A ．283π B ．28πC ．73π D ．7π9.如图的程序框图给出了计算数列{}n a 的前8项和S 的算法，算法执行完毕后，输出的S 为（ ） A ．92B ．63C ．28D ．810.不等式组0,0,4,x y y kx k ≥⎧⎪≥⎨⎪≤-+⎩（0k >）所表示平面区域的面积为S ，则21k S +的最小值等于（ ） A ．34B ．32C ．14D ．1811.已知抛物线28y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =，则△AOB 的面积为（ ） ABCD12.已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式[]1212()()()0x x f x f x --<恒成立，则不等式(23)0f x ->的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.曲线32y x x m =-+在1x =处的切线斜率等于 ．14.国庆期间某商场新进某品牌电视机30台，为检测这批品牌电视机的安全系数，现采用系统抽样的方法从中抽取5台进行检测，若第一组抽出的号码是4，则第4组抽出的号码为 ．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，3B π=，sin 2A A =，则b = ．16.已知P 为双曲线221916x y -=上的动点，点M 是圆22(5)4x y ++=上的动点，点N 是圆22(5)1x y -+=上的动点，则||||PM PN -的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的前三项分别为λ，6，3λ，前n 项和为n S ，且165k S =． （1）求λ及k 的值； （2）设32n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计如下表：年份2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 水上狂欢节届编号x 1 2 3 4 5 外地游客人数y （单位：十万）0.60.80.91.21.5（1）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数．参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-．19.在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，2CB =，12AA =，60ACB ∠=︒，E 、F 分别是11AC ，BC的中点． （1）证明：AB ⊥平面11BB C C ；（2）设P是BE 的中点，求三棱锥11P B C F -的体积．20.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 为动点，已知点A ，(B ，直线PA 与AB 的斜率之积为定值12-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若(1,0)F ，过点F 的直线l 交轨迹E 于M ，N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．21.已知函数32()f x ax bx x c =+-+（a ，b ，c R ∈且0a ≠）．（1）若1a =，1b =，求函数()f x 的单调区间；（2）若存在实数1x ，2x （12x x ≠）满足12()()f x f x =，是否存在实数a ，b ，c ，使()f x 在122x x +处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a ，b ，c ，否则说明理由． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin ρθθ=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P的极坐标为)4π，求||PM 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．柳州市2017届高中毕业班10月份模拟考试卷文科数学答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABDCBDCCACBD二、填空题三、解答题17.解：（1）∵λ，6，3λ成等差数列，∴312λλ+=，∴3λ=． ∴等差数列{}n a 的首项13a =，公差3d =，前n 项和公式2332n n n S +=，由165k S =，即2331652k k+=，解得10k =． （2）∵21112(1)1n n b S n n n n ===-++， ∴1211111(1)()()2231n n T b b b nn =+++=-+-++-+ (1111)n n n =-=++． 18.解：（1）由所给数据计算得：1(12345)35x =++++=，1(0.60.80.9 1.2 1.5)15y =++++=，521()4101410ii x x =-=++++=∑，51()()(2)(0.4)(1)(0.2)010.220.5 2.2iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯=∑，2.20.2210b ==，a y bx =-10.2230.34=-⨯=， 所求的回归方程为0.220.34y x =+．（2）由（1）知，当7x =时，0.2270.34 1.88y =⨯+=，于是预测2017年第七届中国柳州国际水上狂欢节到柳州的外地游客可达18万8千人． 19.（1）证明：在△ABC 中，因为4AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，所以AB = 所以222AB BC AC +=，所以AB ⊥BC ，过O 作//OH AB 交BC 与H ，则OH ⊥平面11BB C C ， 在等边△BCG 中可知CO ⊥BG ，∴1BO =， 在Rt BOC ∆中，可得OH =11111112233223P B C F B C F V S OH -=⋅=⨯⨯⨯⨯=． 20.解：（112=-，整理得2212x y +=． 所以所求轨迹E 的方程为2212x y +=（0y ≠）． （2）当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意； 当直线l 与x 轴垂直时，l ：1x =，此时M，(1,N ，以MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(12±，不合题意； 当直线l 与x 既不重合，也不垂直时，不妨设直线l ：(1)y k x =-（0k ≠）．11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点1212(,(1))22x x x xQ k ++-， 由22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +-+-=，得2122421k x x k +=+，21222221k x x k -⋅=+，所以Q 2222(,)2121k kk k -++， 则线段MN 的中垂线m 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，整理得直线m ：221x k y k k =-++，则直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k +， 注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM ⊥RN ， 即112222(,)(,)2121kkRM RN x y x y k k ⋅=-⋅-++0=， 2121212222()021(21)kk x x y y y y k k +-++=++，① 由[]22121212212122()1,212(2),21k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩② 将②代入①解得1k =±，即直线l 的方程为(1)y x =±-， 综上，所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．21.解：（1）当1a =，1b =时，32()f x x x x c =+-+，()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2'()321f x x x =+-．由'()0f x >，得1x <-或13x >；由'()0f x <，得113x -<<． 所以函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和1(,)3+∞，()f x 的单调递减区间是1(1,)3-．（2）不存在实数a ，b ，c 满足条件，事实上，由12()()f x f x =得：3322121212()()()0a x x b x x x x -+---=， ∵12x x ≠，∴22112212()()10a x x x x b x x ++++-=， 而2121212'()3()21222x x x x x xf a b +++=+⋅-222221************()1()44x x x x a a a x x x x x x ++=⋅+-++-=--∵0a ≠且120x x -≠，所以12'()02x x f +=， 故不存在实数a ，b ，c 满足条件．22.解：（1）因为直线的参数方程是3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为30x y -+=．由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin ρθθ=，得22cos 2sin ρθρθ=． 所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =．（2）由23,2,y x x y =+⎧⎨=⎩得2260x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点1212(,)22x x y y M ++， 因为122x x +=，所以(1,4)M ， 又点P 的直角坐标为(1,1)，所以||3PM ==．23.解：（1）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++，由()3f x ≥，得|1||1|3x x -++≥． 当1x ≤-时，不等式可化为113x x ---≥，即23x -≥，其解集为3(,]2-∞-； 当11x -<≤时，不等式可化为113x x -++≥，不可能成立，其解集为∅； 当1x ≥时，不等式可化为113x x -++≥，即23x ≥，其解集为3[,)2+∞． 综上得()3f x ≥的解集为33(,][,)22-∞-+∞．（2）若1a =，21,,()1,1,2(1),1,x a x a f x a a x x a x -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩()f x 的最小值为1a -；若1a >，21,1,()1,1,2(1),,x a x f x a x a x a x a -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩()f x 的最小值为1a -．所以x R ∀∈，()f x 2≥，a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．。

已知全集，若，，则不可能是（）A．B．C．D．2．复数（）A．B．C．D．3．在等差数列中，，则此数列前项的和（）A．13 B．26 C．52 D．1564．已知，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．48 D．806．动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填写（）A．B．C．D．8．已知，则（）A．B．C．D．9．已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（）A．B．C．D．10．在中，已知，若最长边为，则最短边长为（）A．B．C．D．11．点是椭圆上一点，是椭圆的右焦点，，则点到抛物线的准线的距离为（）C．D．A．B．12．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A．24种B．48种C．64种D．72种13．计算：．14．已知变量满足约束条件，则的最大值为．15．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为．16．已知函数，则在上的最大值与最小值之差为．17．数列满足下列条件：．（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每温差（℃）发芽数（颗）求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：）19．如图，在四棱锥中，已知，点是的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．20．如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，，当与的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值．21．已知函数．（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）令，当（是自然数）时，函数的最小值是3，求出的值；（Ⅲ）当时，证明：．22．选修4-1：几何证明选讲：如图，在中，作平行于的直线交于，交于，如果和相交于点，和相交于点，的延长线和相交于．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）23．选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极方程为．（Ⅰ）分别求曲线和曲线的普通方程；（Ⅱ）若点，求的最小值．24．选修4-5：不等式选讲．已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案 1．D【解析】试题分析：由已知得可能为，故选D．考点：集合的元素及交并补运算．2．B【解析】试题分析：，故选B．考点：复数的运算．3．B【解析】试题分析：由，得，于是，故选B．考点：等差数列的性质，等差数列求和．4．C【解析】试题分析：由条件得，所以，所以，即．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为，下底为，高为，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为，其余四面的面积为，所以几何体的表面积为，故选A．考点：空间几何体四棱台的特征．6．C【解析】试题分析：设,则，，动点与定点的连线的斜率之积为,，，即，又时,必有一个斜率不存在,故，综上:点的轨迹方程为，故应选C．考点：直接法求轨迹．【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程了．设出点,表示出两线的斜率,利用其乘积为建立方程化简即可得到点的轨迹方程．7．A【解析】试题分析：当即当退出循环，所以判断框内应填“”．故本题正确答案为A．考点：算法的含义和程序框图．8．D【解析】试题分析：由，得，所以,故选D．考点：诱导公式；二倍角的正切公式．9．B【解析】试题分析：，,，即是最小正周期为的函数,令,则,当时,，，，是定义在上的偶函数,，令,则，，，，当时，函数的解析式为:.所以B选项是正确的.考点：利用函数的性质求解析式.【思路点睛】根据将换为,再将换为,得到函数的最小正周期为,由当时,,求出的解析式,再由是定义在上的偶函数,求出的解析式,再将的图象向左平移个单位即得的图象,合并并用绝对值表示的解析式.10．A【解析】试题分析：由，得，由，，得，于是，即为最大角，故有，又，最短边为，于是由正弦定理，求得，故选A．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【方法点晴】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出，由的值为负数及的范围得到为钝角即最大角，即，又，为最小边，根据正弦定理，由及的值即可求出的值．11．B【解析】试题分析：设，由，得，即，解得或（舍去），即点的横坐标为，故点到抛物线的距离为．故选B．考点：抛物线的定义；椭圆的参数方程．12．D【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点的涂色方法，有种方法，若点与不同色，则、点只有种涂色的方法，有种涂法，若点与同色，则点有种涂色的方法，共种涂法，所以不同的涂法共有种．法二：用种颜色涂色时，即同色，共有种涂色的方法，用种颜色时，有和同色种情况，共有，故共有种,故选D．考点：分类计数原理，排列组合．【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论．13．【解析】试题分析：．考点：二倍角公式．14．【解析】试题分析：如图，作出可行域，有圆心到切线的距离等于半径，可求得的最大值为．考点：线性规划，数形结合．15．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为，得底面所在平面截其外接球所成圆半径为，又由高为，则球心到圆的球心距为，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径满足：，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为．考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．16．【解析】试题分析：，当时，，故，即函数的值域为，故答案为．考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，，进而利用的范围得到，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法．17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用递推关系，可以得出是等比数列；（2）错位相减求和．试题解析：（1）由已知有，又，是首项为，公比为的等比数列，即．（2）由已知有，即…①于是…②得．考点：数列递推求通项公式；数列求和．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）可靠．【解析】试题分析：（1）先确定基本事件总数，事件的反面比较简单，即相邻两组数据的情况有种；（2）利用数据代入公式得回归方程的系数，即得回归方程；（3）利用回归方程算出数据的估计值，判断误差即可．试题解析：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，所以，故选取的组数据恰好是不相邻的天数据的概率是．（Ⅱ）由数据，求得．，，，由公式求得．所以关于的线性回归方程为．（Ⅲ）当时，，同样地，当时，，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率．【方法点晴】（1）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从组数据中选取组数据共有种情况，用正难则反的思想找到种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可．19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）由,分别是的中点，由中位线定理可得平行且等于，进而可得出平面；（II）运用空间直角坐标系的坐标解决，求出平面的法向量，运用向量的夹角公式，即可得到直线与平面所成角的正弦值试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，有平行且等于，于是平行且等于，所以四边形是平行四边形，即，又平面，故平面．（Ⅱ）依题意知：，所以，即平面，建立如图所示空间坐标系，，于是有，设平面的法向量为，由，有，得，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．考点：线面平行的判定，直线和平面所成角．20．（I）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）设出，的点坐标，根据，得到，进而根据点在抛物线上，把换成，即可得出结果；（II）由，得出，设直线的方程为，与抛物线联立可得，又点到直线的距离为，所以，构造关于的函数，求导利用单调性求最值即可．试题解析：解（Ⅰ）由抛物线过点，得，设直线的斜率为，直线的斜率为，由、倾斜角互补可知，即，将，代入得．（Ⅱ）设直线的斜率为，由，得，由（Ⅰ）得，将其代入上式得．因此，设直线的方程为，由，消去得，由，得，这时，，，又点到直线的距离为，所以，令，则由，令，得或．当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为．（附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）考点：直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（I）求导，根据函数单减得在上恒成立，再结合二次函数的性质可求出的范围；（II）由，对分情况讨论，由在的单调性求最值符合题意；（III）构造函数，利用单调性证明不等式．试题解析：解：（Ⅰ）在上恒成立，令，有，得，得．（Ⅱ）由，得，①当时，在上单调递减，，（舍去），②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴,，满足条件．③当时，在上单调递减，,（舍去），综上，有．（Ⅲ）令，由（Ⅱ）知，，令，当时，,在上单调递增，，，即．考点：利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式．【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成在区间上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以后，左右两个函数有，易得结果．22．（I）证明见解析；（II）证明见解析．【解析】试题分析：（I）利用三角形相似易得；（II）由∽，即，同理，易得．试题解析：解（Ⅰ）∵，∽，即，同理，于是．（Ⅱ），∴∽，即，同理，所以，又由（Ⅰ）有，所以，即．考点：三角形相似判定和性质．23．（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）消参得的普通方程为，由，得的普通方程为；（II）利用直线和圆的位置关系即可得出的最小值为．试题解析：解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，由有，又，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）圆的圆心，半径．点到直线的距离为，故的最小值为．考点：参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；直线与圆的位置关系．24．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）由得，解得，可得出；（II）对，分段解不等式即可．试题解析：解：（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得．（Ⅱ）当时，，设，于是，，故当时，，当时，，当时，，所以实数的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．　11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为　4cm3　．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。

广西柳州、玉林、贵港、百色市2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁U A）∩B=( ) A．D．（﹣1，4）考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值是表达式的解法求出集合A，二次不等式的解法求解集合B，然后求解（∁U A）∩B．解答：解：A={x||x﹣1|＞2}={x|x＞3或x＜﹣1}，∁U A={x|﹣1≤x≤3}．B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，∴（∁U A）∩B={x|2＜x≤3}．故选：C．点评：本题考查集合的基本运算，绝对值表达式以及二次不等式的解法，考查计算能力．2．设复数（其中i为虚数单位），则的虚部为( )A．2i B．0 C．﹣10 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先计算出z2=﹣3﹣4i，，代入则即可求出其虚部．解答：解：∵，∴z2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i，，∴，∴复数的虚部为2．故选D．点评：本题综合考查了复数的运算及其基本概念，熟练掌握运算法则、准确理解基本概念是做好本题的关键．3．函数f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx（x∈R）的最小正周期为( )A．B．π4C．π8D．π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：把函数f（x）的解析式利用二倍角公式变形后，化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式中，求出函数的周期．解答：解：函数f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx=sin2x（1﹣2sin2x）=sin2x•cos2x=sin4x，故函数的最小正周期为=，故选：A．点评：此题考查了二倍角的正弦余弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数值是求函数周期的关键，属于基础题．4．已知向量与向量满足||=1，||=2，⊥（﹣），则与的夹角是( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题设条件，可先由⊥（﹣）得•（﹣）=0，解出•的值，于由夹角公式求出余弦值即可求出两向量的夹角．解答：解：由⊥（﹣）得•（﹣）=0，得•﹣2=0，又||=1，所以•=1，又，||=2，所以cos＜，＞===所以＜，＞=．故选：D．点评：本题考查数量积求夹角，数量积与垂直的关系，考查了方程的思想，属于向量中的基本题5．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．解答：解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2．故选B．点评：本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．6．已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y﹣1的最大值( )A．9 B．8 C．7 D．6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y﹣1得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由，得，即A（1，4）此时z=1+8﹣1=8，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．7．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为( )A．B．C．D．考点：正弦定理；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由sinA、sinB、sinC成等比数列，则有sin2B=sinA×sinC，由正弦定理知有b2=ac，c=2a，故由余弦定理可求cosB的值．解答：解：sinA、sinB、sinC成等比数列，则有sin2B=sinA×sinC，由正弦定理知有b2=ac，∵c=2a，∴由余弦定理cosB==．故选：B．点评：本题主要考察正弦定理和等比数列的通项公式的应用，属于中档题．8．执行如图所示的程序框图，输出的a的值为( )A．3 B．5 C．7 D．9考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据题中的程序框图，模拟运行，分别求解S和a的值，判断是否满足判断框中的条件，直到满足，则结束运行，即可得到答案．解答：解：根据程序框图，模拟运行如下：输入S=1，a=3，S=1×3=3，此时不符合S≥100，a=3+2=5，执行循环体，S=3×5=15，此时不符合S≥100，a=5+2=7，故执行循环体，S=15×7=105，此时符合S≥100，故结束运行，∴输出a=7．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．本题解题的时候要特别注意求值的顺序，也就是S和a的运行顺序．属于基础题．9．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则不等式f（x﹣2）＞0的解集为( ) A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据给出的函数在x≥0时的解析式，求出函数在x＜0时的解析式，然后分段解不等式f（x）＞0，最后把所得区间端点右移2个单位即可．解答：解：设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣2x﹣4，又函数为偶函数，所以f（x）=﹣2x﹣4，当x≥0时，由f（x）=2x﹣4＞0，得x＞2，当x＜0时，由f（x）=﹣2x﹣4＞0，得x＜﹣2，所以不等式f（x﹣2）＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．故选：B．点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了分类讨论思想，同时考查了函数的图象平移问题，函数图象的平移，遵循“左加右减”的原则．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：根据题意得ED∥BF，进而得到直线DE与平面BB1C1C所成的角等于直线BF与平面BB1C1C所成的角．利用几何体的结构特征得到∠FBG=．即可得到答案．解答：解：取AC的中点为F，连接BF、DF．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以∠FBG=∠BCA=．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟悉线面角的作法，即由线上的一点作平面的垂线再连接斜足与垂足则得到线面角．11．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为( )A．B．C．D．考点：二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．解答：解：展开式的通项为∴展开式的前三项系数分别为∵前三项的系数成等差数列∴解得n=8所以展开式共有9项，所以展开式的通项为=当x的指数为整数时，为有理项所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项所以有理项不相邻的概率P=．故选D点评：解决排列、组合问题中的不相邻问题时，先将没有限制条件的元素排起来；再将不相邻的元素进行插空．12．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A．x2=y B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．解答：解：∵双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，∴c=2a，即=4，∴，双曲线的一条渐近线方程为：．抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，∴2=，∵，∴p=8．∴抛物线C2的方程为x2=16y．故选：D．点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．二、填空题13．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．解答：解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．点评：本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是9．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：先求出圆心和半径，由圆心到直线的距离等于零可得可得直线经过圆心，可得a+b=1，再根据+=（+）（a+b），利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0，即圆（x+1）2+（y﹣2）2 =4，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆．设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得+=（+）（a+b）=5++≥5+4=9，当且仅当=时，取等号，故答案为：9．点评：本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式、基本不等式，难点在于对“直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（﹣1，2），”的理解与应用，属于中档题．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16+8π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是一个长方体和半圆柱的组合体，分别求出两个几何体的体积，相加可得答案．解答：解：三视图复原的几何体是长方体和半圆柱的组合体，长方体的长、宽、高分别2，2，4，体积为：16，半圆柱的底面直径为4，故底面面积S=×π×=2π，宽为4，其体积为：8π故该几何体的体积V=16+8π，故答案为：16+8π点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），．则a，b，c的大小关系是c＞a＞b．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：常规题型；压轴题．分析：由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较的大小即可．解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故答案为：c＞a＞b点评：本题主要考查由已知函数构造新函数用原函数的性质来研究新函数．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用递推关系求出数列的通项公式，（2）进一步利用求出新数列的通项公式，最后利用裂项相消法求数列的和．解答：解：（1）当n=1时，a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1∴a n=2a n﹣1，即∴数列{an}为以2为公比的等比数列，∴a n=2n．（2）b=log2a n=nc n===T n=c1+c2+…+c n==点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的和．属于基础题型．18．2014年全国网球赛规定：比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分．甲、乙两个网球选手参加了此次比赛．已知甲每个阶段取胜的概率为，乙每个阶段取胜的概为．甲、乙取胜相互独立．（1）求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率；（2）设甲的最后积分为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分，乙得20分”为事件B，“甲得10分，乙得10分”为事件C，“甲得20分，乙得0分”为事件D，P（A）=P（B+C+D），由此能求出甲、乙两人最后积分之和为20分的概率．（2）X的取值为0，10，20，30，40，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．解答：（本小题满分12分）解：（1）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分，乙得20分”为事件B，“甲得10分，乙得10分”为事件C，“甲得20分，乙得0分”为事件D，又P（B）=，P（C）==，P（D）==，P（A）=P（B+C+D）==．（2）X的取值为0，10，20，30，40，P（X=0）=1﹣=，P（X=10）==，P（X=20）==，P（X=30）==，P（X=40）=（）4=，∴X的分布列为：X 0 10 20 30 40PEX==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．19．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（1）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（2）当EM=2MC时，求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，分析：CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用EM=2MC，求出平面BDM的法向量、平面ABF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值．解答：证明：（1）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF；解：（Ⅱ）以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵AB=AD=CD=2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），则∵EM=2MC，∴==（0，﹣，），又∵=（2，2，0），=+=（0，，），设平面BDM的法向量=（x，y，z），则，即，∴令y=﹣1，取=（1，﹣1，4），∵平面ABF的法向量=（1，0，0），∴cos＜，＞==，∴平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为．点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，熟练掌握利用向量知识解决立体几何问题是解答本题的关键．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．解答：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．21．已知函数f（x）=e2x+1﹣ax+1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+ey+1=0垂直，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设a＜2e3，当x∈时，都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到f′（0），由f′（0）=e，求得a的值；（2）求出导函数，由导函数的正负性，求出原函数的单调区间，注意函数中含有参数a，所以要对a进行分类讨论；（3）对f（x）≥1进行化简，用分离变量法，把a表示成关于x的一个不等式，从而构造函数g（x），求g（x）的最小值，即a≤g（x）min．解答：解：f′（x）=2e2x+1﹣a，（1）由题意知：f′（0）=2e﹣a=e，得a=e；（2）当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，当a＞0时，由：f′（x）=2e2x+1﹣a＞0，得，∴f（x）在上单调递增，由：f′（x）=2e2x+1﹣a＜0，得x＜，∴f（x）在（﹣∞，）上单调递减，综上：当a≤0时，f（x）的单调递增为R，当a＞0时，f（x）的单调递增为，单调递减区间为（﹣∞，），（3）由f（x）≥1得，e2x+1≥ax，当x=0时，不等式成立，当x∈（0，1]时，a≤，令，则，易知，当时g′（x）＜0，当时g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递减，在上单调递增，∴g（x）的最小值为，∴a的取值范围为（﹣∞，2e2]．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数的单调性与导函数符号的关系，利用函数的最值解决恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC（1）求证：MN=MB；（2）求证：OC⊥MN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）连结AE，BC，根据直径所对的圆周角是直角，得∠AEB=90°，根据等量代换得∠MBC=∠MCB，最后利用三角形的性质即可得出MB=MC，从而得到MN=MB；（2）设OC∩BE=F，根据OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由（1）知，∠MBC=∠MCB，等量代换得∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°即可证出结论．解答：证明：（Ⅰ）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC，∴MN=MB．…（Ⅱ）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．…点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、圆的性质的应用等基础知识，考查化归与转化思想．属于基础题．五、（本小题满分0分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．解答：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，即有ρsinθcos+ρcosθsin=4，即为直线x+y﹣8=0；（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，则d==，则当sin（）=1，此时α=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．六、（本小题满分0分）选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）考点：绝对值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得a﹣m≤x≤a+m，比较题意可得，解之可得答案；（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，不等式可化为|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①分类讨论：当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于，或，或，解之综合可得答案．解答：解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，结合题意可得，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，所以f（x）+t≥f（x+2t）可化为|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于，或，或，解得x＜2﹣2t，或2﹣2t，或x∈ϕ，即x≤2﹣；综上，当t=0时，原不等式的解集为R，当t＞0时，原不等式的解集为{x|x≤2﹣}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查绝对值不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属中档题．。

绝密★启用前2016-2017学年度???学校3月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知集合A ={x|x −2x −3≤0}，B ={y|y =2x }，则A ∩B =（ ）A. (0，3]B. (0，3)C. [0，3]D. [3，+∞)【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】A【解析】依题意得A =[−1,3],B =(0,+∞)，所以A ∩B =(0,3].点睛：本题主要考查集合的交集的概念，考查一元二次不等式的解法，考查了集合的三要素.集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.在研究一个集合的过程中，首先要确定研究对象是什么，如本题中的集合B ，研究对象是函数的值域而不是定义域，在做题目的时候一定要细心.2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a −i 与2+bi 互为共轭复数，则(a −bi)2=（ ） A. 3+4i B. 3−4i C. 5−4i D. 5+4i【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】B【解析】依题意得a =2,b =1，所以(2−i )2=3−4i .下列说法错误的是（ ）A. 甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B. 乙同学的数学成绩平均值是81.5C. 丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D. 在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三试卷第2页，总13页…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※…………装…………○……【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】D【解析】D 选项显然错误，因为第六次成绩甲为第一，丙为第二，乙为第三.4．已知平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足a ⃗⋅(a ⃗+b ⃗⃗)=3，且|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=1，则向量a ⃗与b ⃗⃗夹角的余弦值为（ ） A.√32B. −√32C. 12D. −12【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】D【解析】a ⋅(a +b )=|a |2+|a |⋅|b |⋅cosθ=4+2cosθ=3，cosθ=−12.5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】A【解析】依题意，这是一个等比数列，公比为2，a 1(1−27)1−2=381,a 1=3.6．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A. 0B. 2C. 4D. 14【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】B【解析】试题分析：由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18-14=4，由a ＞b ，则a 变为14-4=10， 由a ＞b ，则a 变为10-4=6， 由a ＞b ，则a 变为6-4=2， 由a ＜b ，则b 变为4-2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2 考点：程序框图7．将函数f(x)=3sin(4x +π6)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，则y =g(x)的图象的一条对称轴是（ ） A. x =π12B. x =π6C. x =π3D. x =2π3【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】C【解析】试题分析：将函数f(x)=3sin(4x +π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数f(x)=3sin(2x +π6)的图象，再向右平移π6个单位长度，可得f(x)=3sin[2(x −π6)+π6]=3sin(2x −π6)的图象，故g(x)=3sin(2x −π6)，令2x −π6=kπ+π2,k ∈Z ，得到x =kπ4+π3,k ∈Z ，则得y =g(x)图象的一条对称轴是x =−π6，选C考点：三角函数的图像和性质8．在△ABC 中，B =π6，BC 边上的高等于√39BC ，则cosA =（ ）A.5√1326B. −5√1326C. −3√3926D.3√3926【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题【答案】B【解析】设BC 边上的高为AD ，由于B =π6，故AB =2√39BC,BD =13BC,CD =23BC ，由勾股定理计算得AC =√1333，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−5√1326. 9．若x >y >1，0<a <b <1，则下列各式中一定成立的是（ ） A. x a >y b B. x a <y b C. a x <b y D. a x >b y【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】C【解析】令x =16,y =4,a =14,b =12，1614=2,412=2，故A,B 不正确.(14)16=2−32,(12)4=2−4，前者较小，故排除D 选项.选C .10．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB|=4b ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是（ ） A. (1，√52) B. (√5，+∞) C. (√52，√5) D. (1，√52)∪(√5，+∞)【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题【答案】D【解析】双曲线的实轴长为2a ，要使这样的直线有两条，第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需4b <2a ，此时直线若和左支相交，必有两条直线符合，即1<e =√1+(ba )2<√52.当4a >2b 时，直线与两支都相交时，存在两条直线符合题意，此时需要当直线仅与左支相交时，最短的弦长大于4b ，即2b 2a>4b ，b a>2,e =√1+(ba )2>√5.综上，选D .11．已知函数f(x)=|lg(x −1)|，若1<a <b 且f(a)=f(b)，则a +2b 的取值范围为（ ）A. (3+2√2，+∞)B. [3+2√2，+∞)C. (6，+∞)D. [6，+∞)试卷第4页，总13页………外…………○………○…………订…………※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………内…………○………○…………订…………【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】C 【解析】根据绝对值的几何意义，有lg(a −1)=−lg(b −1)，且1<a <2<b ，故lg(a −1)(b −1)=0,(a −1)(b −1)=1，化简得a =1b−1+1，a +2b =1b−1+2b +1，令f(x)=1x−1+2x +1(x >2)，f ′(x)=−1(x−1)2+2=2x 2−4x+1(x−1)2，故函数f(x)在(2,+∞)上单调递增f(2)=6，所以a +2b >6.点睛：本题主要考查含有绝对值函数图像与性质，考查对数函数图象的性质与应用.先利用对数运算化简已知条件，然后利用导数求得a +2b 的取值范围.本题不能用基本不等式计算：a+b ab=1a+1b=1，(a +2b)(1a+1b)=3+2b a+a b≥3+2√2，此时2b a>1>ab等号不成立. 12．A. 48B. 16C. 32D. 16√5【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】B【解析】试题分析：直观图如下图所示，由图可知这是一个四棱锥，底面积为√20⋅4=8√5，高为AH ，设A(2,4),BC 所在直线方程为y =−12x +2,x +2y −4=0，带到直线的距离为|AH|=√5，所以体积为13⋅8√5√5=16.考点：三视图.【思路点晴】有关网格纸上小正方形的三视图的题目，大都是在长方体，或正方体中截去某些部分所得.本题中，我们首先判断这是一个椎体，由于俯视图是一个正方形，所以这是一个四棱锥，然后我们利用正视图和侧视图，确定这个四棱锥的顶点和底面所在的平面，在图形上表示出来，有时候，需要尝试看看点的位置是否正确.试卷第6页，总13页……○…………订…………○…※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………订…………○…第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知实数x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y ≥0y ≤1，则z =2x +y −5的最小值为__________．【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】−6【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A(1,1)处取得最小值为−614．已知tanα=2，则cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=__________．【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】−1 【解析】cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)sin 2α+cos 2α=cos 2α−sin 2α−cosαsinαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanα1+tan 2α=1−4−21+4=−1.15．已知a =1π∫√4−x 2dx 2−2，则在(√x 3+√x)10的展开式中，所有项的系数和为__________．【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】310【解析】∫√4−x 22−2dx 表示圆x 2+y 2=22的上半部分，所以∫√4−x 22−2dx =12⋅π⋅22=2π，故a =2.二项式为(x 13+2x −12)10，令x =1，求得所有项的系数和为310. 16．已知圆C 的方程为(x −3)2+y 2=1，圆M 的方程为(x −3−3cosθ)2+(y −3sinθ)2=1(θ∈R)，过M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则∠APB 的最大值为__________．【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】π3【解析】由于sin 12∠APB =CA CP，CA =1，故当CP 取得最小值时角最大，CP min =CM −1=√(3cosθ)2+(3sinθ)2−1=2,sin 12∠APB =12,12∠APB =π6,∠APB =π3.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.首先确定两个圆的圆心和半径，第一个圆的圆心和半径是给定的已知条件，第二个圆的圆心是用三角函数来表示的，但是半径是给定的.根据一点引圆的两条切线的性质，将所求角分成两个相同的角，利用其正弦值的最大值来确定角的最大值. 三、解答题17．设数列{a n S n ，且λS n =λ−a n ，其中λ≠0且λ≠−1. （1）证明：{a n }是等比数列，并求其通项公式； （2）若S 4=1516，求λ.【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】（1）a n =λ(1+λ)；（2）λ=1或λ=−3.【解析】试题分析：（1）令n =1，求出a 1，然后利用a n =S n −S n−1，求出a n ,a n−1的关系式，即证明了a n 是等比数列且求出其通项公式.（2）由于a n 是等比数列，利用等比数列前n 项和公式建立方程，解这个方程即可求得λ的值. 试题解析：（1）当n =1时，λa 1=λ−a 1， ∵λ≠0且λ≠−1，∴a 1=λ1+λ，当n ≥2时，λS n−1=λ−a n−1，λS n =λ−a n ， 两式相减得(1+λ)a n =a n−1，因为λ≠−1， ∴a n a n−1=1(1+λ)，因此{a n }是首项为a 1=λ1+λ，公比为1(1+λ)的等比数列，∴a n =λ1+λ(λ1+λ)n−1=λ(1+λ)n.（2）由λS n =λ−a n 得 S 4=1−1λa 4，=1−1(λ+1)4∴1−1(λ+1)4=1516，∴λ=1或λ=−3.18．某市公租房的房源位于A ，B ，C ，D 四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中： （1）求恰有1人申请A 片区房源的概率；（2）用x 表示选择A 片区的人数，求x 的分布列和数学期望.【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】（1）2764；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）基本事件总数为43种，A 区有1人，方法数有3种，剩余2人从剩下3个中任选，方法数有32，根据分步计数原理，符合题意的方法数有3⋅32=27种，试卷第8页，总13页故概率为2764.（2）选A 的人数可能有0,1,2,3个，3个人，每个人选到A 的概率为14，故X ∼B(3,14)为二项分布，利用二项分布的公式可求得期望和方差.试题解析：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中， 每一个有四种选择，共有43种结果.满足条件的事件恰有1人申请A 片区房源有C 31⋅32， 根据等可能事件的概率p =c 313243=2764.（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意， p(ξ=0)=3343=2764， p(ξ=1)=c 31⋅3243=2764，p(ξ=2)=c 32⋅343=964，p(ξ=3)=143=164，∴X 的分布列为：∴ξ的数学期望：E ξ=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34.法2：每个片区被申请的概率均为14，没被选中的概率均为34， ξ的所有可能结果为0，1，2，3，且ξ～B(3，14)，p(ξ=0)=(34)3=2764，p(ξ=1)=C 31⋅14⋅(34)2=2764， p(ξ=2)=C 32⋅(14)2⋅34=964，p(ξ=3)=(14)3=164，∴X 的分布列为：∴X 的数学期望： Eξ=3×14=34.19．在四棱锥P −ABCD 中，∠DBA =π2，AB ∥__CD ，△PAB 和△PBD 都是边长为2的等边三角形，设P 在底面ABCD 的射影为O .…线…………○………线…………○……（1）求证：O 是AD 中点； （2）证明：BC ⊥PB ；（3）求二面角A −PB −C 的余弦值.【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）−√63. 【解析】试题分析:（1）根据等边三角形有PA =PD ，依题意有PO ⊥平面ABCD ，故PO ⊥AD ，由此可知O 为AD 中点.（2）由PO ⊥平面ABCD 可得PO ⊥BC ，而BO ⊥AD ，即BC ⊥BO ，故BC ⊥平面PBO ，故BC ⊥PB .（3）以OB,OD,OP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，利用法向量计算二面角的余弦值. 试题解析：（1）证明：∵△PAB 和△PBD 都是等边三角形， ∴PA =PB =PD ， 又∵PO ⊥底面ABCD ， ∴OA =OB =OD ，则点O 为△ABD 的外心，又因为△ABD 是直角三角形， ∴点O 为AD 中点.（2）证明：由（1）知，点P 在底面的射影为点O ，点O 为AD 中点， 于是PO ⊥面ABCD ， ∴BC ⊥PO ，∵在Rt △ABD 中，BD =BA ，OB ⊥AD ， ∴∠DBO =∠ODB =π4， 又AB ∥__CD ，∴∠CBD =π4，从而∠CBO =π2即CB ⊥BO ，由BC ⊥PO ，CB ⊥BO 得CB ⊥面PBO ， ∴BC ⊥PB .（3）以点O 为原点，以OB ，OD ，OP 所在射线为x 轴 ，y 轴，z 轴建系如图，试卷第10页，总13页…○…………线…………○……※※…○…………线…………○……∵AB =2，则O(0，0，0)，A(0，−√2，0)，B(√2，O ，O)，C(√2，2√2，0)，D(0，√2，0)，P(0，0，√2)，BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√2，−√2，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√2，0，√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2√2，0)，设面PAB 的法向量为n ⃗⃗=(x ，y ，z)，则 n ⃗⃗⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，n ⃗⃗⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，得−√2x −√2y =0，−√2x +√2z =0， 取x =1，得y =−1，z =1，故n ⃗⃗=(1，−1，1). 设面PBC 的法向量为m ⃗⃗⃗=(r ，s ，t)，则m ⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，m ⃗⃗⃗⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，得s =0，−√2r +√2t =0， 取r =1，则t =1，故m ⃗⃗⃗=(1，0，1)， 于是cos <m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗>=m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=√63， 由图观察知A −PB −C 为钝二面角， 所以该二面角的余弦值为−√63. 20．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(2，√2)且离心率等于√22，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，满足OM ∥AP ，ON ∥BP ，求证：三角形MON 的面积是定值.【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】（1）x 28+y 24=1；（2）2√2.【解析】试题分析：（1）根据椭圆上一点的坐标和离心率列方程组，可求解得椭圆的标准方程.（2）设出直线MN 的方程，联立直线的方程x =my +t 和椭圆的方程，写出韦达定理，将两直线平行转化为斜率的乘积，化简后可m,t 的一个等量关系.最后利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积的表达式，化简后可得定值为2√2.试题解析：（1）依题意得{4a 2+2b 2=1ca=12a 2−b 2=c 2，解得a 2=8，b 2=4，试卷第11页，总13页∴椭圆方程为x 28+y 24=1.（2）设直线MN 方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 28+y 24=1得：(m 2+2)y 2+2mty +t 2−8=0， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 y 1+y 2=−2mtm 2+2，y 1y 2=t 2−8m 2+2， 设P(x P ，y P )，则x P28+y P24=1，∴2y P 2=8−x P 2，k AP k BP =P x −2√2P x +2√2=y P2x P2−8=y P2−2y P2=−12.由题意知k AP k BP =k OM k ON ，k OM k ON =y 1y 212=y 1y 212=y 1y 2212122=t 2−8m 2+2m 2t 2−8m 2+2+mt −2mtm 2+2+t 2=t 2−82t 2−8m 2=−12，得到t 2=2m 2+4，∴S △MON =12|t||y 1−y 2|=12|t|√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=|t|√2t 2t 22=2√2，∴三角形MON 的面积为2√2.点睛：本题主要考查椭圆的方程，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查两条直线的位置关系.第一问求椭圆的标准方程是i 一种常见的题型，主要的方法是通过两个已知条件和一个椭圆的隐含条件a 2=b 2+c 2，解方程组求解.第二问是求三角形面积，就涉及到弦长公式和点到直线距离公式.21．已知函数f(x)=x 2+2x +alnx(a ∈R). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当t ≥1时，不等式f(2t −1)≥2f(t)−3恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】（1）详见解析；（2）a ≤2. 【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，求导通分后发现分母是含有参数的二次函数，根据其判别式进行分类讨论，由此求得函数的单调区间.（2）将2t −1和t 代入原函数，可将原不等式化简为a[ln(2t −1)−lnt 2]≥2[(2t −1)−t 2]恒成立，利用分离常数法，可将问题转化为切线的斜率来求解. 试题解析：（1）f′(x)=2x +2+ax =2x 2+2x+ax(x >0)，令g(x)=2x 2+2x +a ，判别式为：Δ=4−8a ， ①：当Δ=4−8a ≤0，得a ≥12， 此时g(x)≥0，从而f′(x)≥0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. ②：当Δ=4−8a >0，即a <12， 令g(x)=2x 2+2x +a =0，得方程的根x 1=−1−√1−2a （舍去），x 2=−1+√1−2a ，若a <0，此时x 2>0，g(x)>0，得x >x 2=−1+√1−2a ，试卷第12页，总13页由g(x)<0，得x <x 2=−1+√1−2a ，∴f(x)在(−1+√1−2a ，+∞)上单调递增，在(0，−1+√1−2a)单调递减， 若0≤a <12，此时g(x)=2x 2+2x +a 的对称轴为x =−12，g(0)=a >0，∴g(x)>g(0)=a >0，从而f(x)在(0，+∞)上单调递增.综上：当a ≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a <0，f(x)在(−1+√1−2a ，+∞)上单调递增，(0，−1+√1−2a)单调递减.（2）由题意有(2t −1)2+2(2t −1)+aln(2t −1)≥2t 2+4t +2alnt −3恒成立， 即a[ln(2t −1)−2lnt]≥−2t 2+4t −2，即a[ln(2t −1)−lnt 2]≥2[(2t −1)−t 2]恒成立， 当t =1时，不等式显然恒成立，当t >1时，t 2−(2t −1)=(t −1)2>0， 所以t 2>2t −1，则lnt 2>ln(2t −1)，于是 a ≤2[(2t−1)−t 2]ln(2t−1)−lnt 2，在t >1上恒成立，令u =2[(2t−1)−t 2]ln(2t−1)−lnt 2，设A(t 2，lnt 2)，B(2t −1，ln(2t −1))， 则k AB =(2t−1)−t 2ln(2t−1)−lnt 2，且A ，B 两点在y =lnx 的图象上，又t 2>1，2t −1>1， 故0<k AB <y′|x=1=1， 所以u =21kAB>2，故a ≤2为所求.点睛：本题主要考查函数导数与单调区间，考查利用导数证明不等式的方法，还考查了分类讨论的数学思想方法和恒成立问题的转化方法.第一问注意一定要先求定义域，求导通分后观察到其分子是个含有参数的二次函数，且参数在二次函数的常数的位置，由此可利用判别式来讨论函数的单调区间.第二问主要是将原不等式化简后分离常数，利用数形结合的思想转化为切线的斜率来求解.22．已知曲线C 在平面直角坐标系xOy 下的参数方程为{x =1+√3cosθy =√3sinθ（θ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是ρcos(θ−π6)=3√3，射线OT:θ=π3(ρ>0)与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长.【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】（1）(x −1)2+y 2=3，ρ2−2ρcosθ−2=0；（2）4. 【解析】试题分析：（1）利用sin 2θ+cos 2θ=1可消去参数，经圆的参数方程化为普通方程.令x =ρcosθ,y =ρsinθ，可将圆的普通方程化为极坐标方程.（2）将θ=π3 分别代入直线的极坐标方程和圆的极坐标方程，可求得A,B 两点对应的ρ的值，两者作差即可求得AB 的长.试题解析：（1）因为曲线C 的参数方程为{x =1+√3cosθy =√3sinθ（θ为参数），消去参数t 得曲线C 的普通方程为(x −1)2+y 2=3，试卷第13页，总13页又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴曲线C 的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−2=0.（2）由{ρ2−2ρcosθ−2=0θ=π3(ρ>0)⇒ρ2−ρ−2=0⇒ρ=2， 故射线OT 与曲线C 的交点A 的极坐标为(2，π3)；由{ρcos(θ−π6)=3√3θ=π3(ρ>0)⇒ρ=6， 故射线OT 与直线l 的交点B 的极坐标为(6，π3)，∴|AB|=|ρB −ρA |=4.23．已知关于x 的不等式|x −2|−|x +3|≥|m +1|有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足a +2b +c =M ，求证：1a+b+1b+c≥1.【来源】[首发]广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】（1）M =4；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由|x −2|−|x +3|≤|x +3−x +2|=5，若|x −2|−|x +3|≥|m +1|有解，应满足|m +1|≤5，解得−6≤m ≤4，所以M =4；（2）由（1）知a +2b +c =4，故1a+b +1b+c =14[(a +b)+(b +c)]·(1a+b+1b+c)=14(1+1+a+b b+c+b+c a+c)≥14(2+2√a+b b+c·b+c a+b)=1试题解析： 解：（1）由|x −2|−|x +3|≤|x +3−x +2|=5，若|x −2|−|x +3|≥|m +1|有解，应满足|m +1|≤5，解得−6≤m ≤4，所以M =4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由正数a,b,c 满足a +2b +c =4，知1a+b+1b+c =14[(a +b)+(b +c)]·(1a+b +1b+c )=14(1+1+a+bb+c +b+ca+c )≥14(2+2√a+bb+c ·b+ca+b )=1，当且仅当a =c,a +b =2时取等号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：不等式选讲.。

2017广西高考理科数学真题及答案注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．学#科&网根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{}|10N x x =->，则M N =（ ）A ．{}|12x x <<B ．{}|01x x <<C ．{}|2x x >D ．{}|0x x <【答案】A考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.设i 是虚数单位，复数21iz i=-，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 试题分析：22(1)1212i i i z i i +===-+-，所对应的点位于第二象限，选B. 考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.已知向量(1,2)a =，(3,2)b =-，若()//(3)ka b a b +-，则实数k 的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．13D ．13-【答案】D 【解析】试题分析：1()//(3)(3,22)//(10,4)10(22)4(3)3ka b a b k k k k k +-⇒-+-⇒+=--⇒=-r r r r ，选D.考点：向量平行坐标表示4.已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（ ） A ．14B ．34C ．45D ．25【答案】C考点：二倍角公式5.设57()9a =，159()7b =，27log 9c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：57()(0,1)9a =∈;159()17b =>;27log 09c =<,所以c a b <<，选B.考点：比较大小6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（ ）A B ．34C D ．1116【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理得643a b c ==，令2,3,4a m b m c m ===，所以由余弦定理得222416911cos 22416m m m B m m +-==⨯⨯，选D.考点：正余弦定理【名师点睛】1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．7.已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2，3,4，则该长方体的外接球的表面积等于（ ） A ．13π B ．25πC ．29πD ．36π【答案】C考点：外接球的表面积【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．8.如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，的等腰梯形，则该几何体的体积是（ ）A ．283π B ．28π C ．73πD ．7π【答案】C 【解析】试题分析：几何体为圆台，体积是221217((1212)1333S S h ππ++=++⨯⨯=，选C. 考点：圆台体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 9.如图的程序框图给出了计算数列{}n a 的前8项和S 的算法，算法执行完毕后，输出的S 为（ ） A ．92B ．63C ．28D ．8【答案】A第七次循环，63,29,8S a n ===；第八次循环，92,37,9S a n ===；结束循环，输出92S =，选A. 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.不等式组0,0,4,x y y kx k ≥⎧⎪≥⎨⎪≤-+⎩（0k >）所表示平面区域的面积为S ，则21k S +的最小值等于（ ）A ．34B ．32C ．14D ．18【答案】C 【解析】试题分析：14482S k k =⨯⨯=，所以221121884k k k S k k ++=≥=，当且仅当1k =时取等号，所以选C.考点：线性规划，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知抛物线28y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =，则△AOB 的面积为（ ）ABCD【答案】B考点：抛物线12.已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式[]1212()()()0x x f x f x --<恒成立，则不等式(23)0f x ->的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞【答案】D 【解析】试题分析：由题意得()f x 为单调递减函数，又(01)0(1)0f f +=⇒=，所以(23)0(23)(1)2312f x f x f x x ->⇒->⇒-<⇒<，选D.考点：利用函数性质解不等式【思路点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线32y x x m =-+在1x =处的切线斜率等于 ． 【答案】1考点：导数几何意义【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.14.国庆期间某商场新进某品牌电视机30台，为检测这批品牌电视机的安全系数，现采用系统抽样的方法从中抽取5台进行检测，若第一组抽出的号码是4，则第4组抽出的号码为 ． 【答案】22 【解析】试题分析：第4组抽出的号码为304(41)225+⨯-= 考点：系统抽样15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，3B π=，sin 2A A +=，则b = ．考点：正弦定理16.已知P 为双曲线221916x y -=上的动点，点M 是圆22(5)4x y ++=上的动点，点N 是圆22(5)1x y -+=上的动点，则||||PM PN -的最大值是 ．【答案】9 【解析】试题分析：设两圆圆心为12(5,0),(5,0)C C -,为双曲线左右焦点，因此12||||||2(||1)232339PM PN PC PC a -≤+--=+=⨯+=考点：双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前三项分别为λ，6，3λ，前n 项和为n S ，且165k S =． （1）求λ及k 的值； （2）设32n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）3λ=，10k =（Ⅱ）1nn + 【解析】11111(1)()()2231n T n n =-+-++-+ (1)nn =+试题解析：（1）∵λ，6，3λ成等差数列，∴312λλ+=，∴3λ=． ∴等差数列{}n a 的首项13a =，公差3d =，前n 项和公式2332n n nS +=，由165k S =，即2331652k k+=，解得10k =．（2）∵21112(1)1n n b S n n n n ===-++， ∴1211111(1)()()2231n n T b b b n n =+++=-+-++-+ (1111)n n n =-=++． 考点：等差数列性质，裂项相消法求和【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.18.中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数．参考公式：121()()()niiinii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-．【答案】（Ⅰ）0.220.34y x =+（Ⅱ）18万8千人．试题解析：（1）由所给数据计算得：1(12345)35x =++++=，1(0.60.80.9 1.2 1.5)15y =++++=，521()4101410ii x x =-=++++=∑，51()()(2)(0.4)(1)(0.2)010.220.5 2.2iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯=∑，2.20.2210b ==，a y bx =-10.2230.34=-⨯=， 所求的回归方程为0.220.34y x =+．（2）由（1）知，当7x =时，0.2270.34 1.88y =⨯+=，于是预测2017年第七届中国柳州国际水上狂欢节到柳州的外地游客可达18万8千人． 考点：线性回归方程【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a ，b ^，写出回归方程，回归直线方程恒过点(x －，y －).19.在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC =，2CB =，12AA =，60ACB ∠=︒，E 、F 分别是11A C ，BC 的中点．（1）证明：AB ⊥平面11BB C C ；（2）设P 是BE 的中点，求三棱锥11P B C F -的体积．【答案】往依赖于线面垂直，由于AB ⊥平面11BB C C ，所以作与AB 平行线，在棱AC 上取中点G ，在BG 上取中点O ，则1//PO BB ，过O 作//OH AB 交BC 与H ，则OH ⊥平面11BB C C ，最后根据锥体公式求体积试题解析：（1）证明：在△ABC 中，因为4AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，所以AB = 所以222AB BC AC +=，所以AB ⊥BC ， 由已知AB ⊥1BB ，所以AB ⊥平面11BB C C ．（2）在棱AC 上取中点G ，连接EG 、BG ，在BG 上取中点O ，则1//PO BB ， 所以点P 到平面11BB C C 的距离等于点O 到平面11BB C C 的距离． 过O 作//OH AB 交BC 与H ，则OH ⊥平面11BB C C ， 在等边△BCG 中可知CO ⊥BG ，∴1BO =，在Rt BOC ∆中，可得OH =111111122332P B C F B C F V S OH -=⋅=⨯⨯⨯=考点：线面垂直判定定理，锥的体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 为动点，已知点A ，(B ，直线PA 与AB 的斜率之积为定值12-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若(1,0)F ，过点F 的直线l 交轨迹E 于M ，N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=（0y ≠）．（Ⅱ）10x y --=或10x y +-=．(1)y k x =-（0k ≠）．联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得2122421k x x k +=+，21222221k x x k -⋅=+，从而可得中垂线方程22212()2121kk y x k k k +=--++，解得交点R 坐标，根据RM ⊥RN ，列出关于k 的方程，解之即得直线方程试题解析：（112=-，整理得2212x y +=．所以所求轨迹E 的方程为2212x y +=（0y ≠）． （2）当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意； 当直线l 与x 轴垂直时，l ：1x =，此时M，(1,N ，以MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1±，不合题意； 当直线l 与x 既不重合，也不垂直时，不妨设直线l ：(1)y k x =-（0k ≠）．11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点1212(,(1))22x x x xQ k ++-， 由22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 得2122421k x x k +=+，21222221k x x k -⋅=+，所以Q 2222(,)2121k kk k -++，则线段MN 的中垂线m 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，整理得直线m ：221x k y k k =-++，则直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k +，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM ⊥RN ， 即112222(,)(,)2121kkRM RN x y x y k k ⋅=-⋅-++0=， 2121212222()021(21)kk x x y y y y k k +-++=++，① 由[]22121212212122()1,212(2),21k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩② 将②代入①解得1k =±，即直线l 的方程为(1)y x =±-， 综上，所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．考点：直接法求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

2017年广西柳州市、钦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A．（0，3]B．（0，3） C．[0，3]D．[3，+∞）2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a﹣bi）2=（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i3．甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：下列说法错误的是（）A．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B．乙同学的数学成绩平均值是81.5C．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三4．已知平面向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．66．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．147．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．D．8．在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA=（）A．B．C．D．9．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（）A．x a＞y b B．x a＜y b C．a x＜b y D．a x＞b y10．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．B．C．（6，+∞）D．[6，+∞）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为．14．已知tanα=2，则=．15．已知，则在的展开式中，所有项的系数和为．16．已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，且λS n=λ﹣a n，其中λ≠0且λ≠﹣1．（1）证明：{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求λ．18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．21．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2017年广西柳州市、钦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A．（0，3]B．（0，3） C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，B={y|y=2x}=（0，+∞），则A∩B=（0，3]，故选：A．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a﹣bi）2=（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由共轭复数的概念求得a，b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，∴a=2，b=1，则（a﹣bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故选：B．3．甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：下列说法错误的是（）A．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B．乙同学的数学成绩平均值是81.5C．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三【考点】众数、中位数、平均数．【分析】由统计表利用平均数能求出结果．【解答】解：由统计表知：甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A 正确；乙同学的数学成绩平均值是：（88+80+85+78+86+72）=81.5，故B正确；丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，故C正确；在6次测验成绩是甲第一、丙第二、乙第三，故D错误．故选：D．4．已知平面向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量、的夹角为θ，根据平面向量数量积的定义进行化简即可求出结果．【解答】解：设向量、的夹角为θ，由，且，得+•=3，即22+2×1×cosθ=3，解得cosθ=﹣．故选：D．5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即．解得：a=3．故选：A．6．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．7．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x﹣），从而得到g（x）图象的一条对称轴是．【解答】解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故g（x）=3sin（2x﹣）．令2x﹣=kπ+，k∈z，得到x=•π+，k∈z．则得y=g（x）图象的一条对称轴是，故选：C．8．在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，设BC=x，那么BC边上的高等于，利用勾股定理建立关系，求出AC，AB，在利于余弦定理求cosA的值．【解答】解：由题意，设BC=x，那么BC边上的高AD=，∵∠B=30°，∴BAD=60°，AB=，BD=AB•sin60°=x，则DC=x﹣=．那么：．由余弦定理可得：cosA==．故选B．9．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（）A．x a＞y b B．x a＜y b C．a x＜b y D．a x＞b y【考点】不等式比较大小．【分析】根据指数函数的性质判断即可．∵x＞y＞1，0＜a＜b＜1，故a x＜a y＜b y，故选：C，10．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，可得：e＞或1综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞或1．故选：D．11．已知函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．B．C．（6，+∞）D．[6，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据对数的性质的可知：函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），可得，即，可得a，b的关系，利用基本不等式求解a+2b的取值范围∵1＜a＜b且f（a）=f（b），则b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b=0．那么：a=．则a+2b===，当且仅当b=时取等号．∵b＞2∴a+2b=＞6．故选：C．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【解答】解：画出的可行域如图阴影区域：由得A（﹣1，1）目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线l，由图数形结合可知：当l过点A时，z最小为﹣2×1+1﹣5=﹣6．故答案为：﹣6．14．已知tanα=2，则=﹣1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．【解答】解：由==，∵tanα=2，∴=．故答案为：﹣1．15．已知，则在的展开式中，所有项的系数和为310．【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】利用定积分求出a，令x=1，可得在的展开式中，所有项的系数和．【解答】解：==2，令x=1，可得在的展开式中，所有项的系数和为310．故答案为：310．16．已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为．【考点】圆的切线方程．【分析】首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出∠APB的最大值．【解答】解：圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆心坐标为：C（3，0）半径r=1．圆M的方程（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，圆心坐标为：M（3+3cosθ，3sinθ），半径R=1．由于cos2θ+sin2θ=1，|C1C2|＞R+r，所以两圆相离．过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则要求∠APB 的最大值，只需满足：在圆M找到距离圆C最近点即可．所以|PC|=3﹣1=2，|AC|=1．解得：∠APC=，所以：∠APB=，即∠APB的最大值为．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，且λS n=λ﹣a n，其中λ≠0且λ≠﹣1．（1）证明：{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求λ．【考点】数列递推式．【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项以及数列相邻两项的关系，利用数列是等比数列，求出公比，然后求解通项公式．（2）利用数列的通项公式以及已知条件推出λ的关系式，求解即可．【解答】解：（1）当n=1时，λa1=λ﹣a1，∵λ≠0且λ≠﹣1，∴，当n≥2时，λS n﹣1=λ﹣a n﹣1，λS n=λ﹣a n，两式相减得（1+λ）a n=a n﹣1，因为λ≠﹣1，∴，因此{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴．（2）由λS n=λ﹣a n得=∴，∴λ=1或λ=﹣3．18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）求出实验发生包含的事件是3位申请人中，满足条件的所有事件有43种结果．恰有1人申请A片区房源结果，然后求解概率．（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望即可．【解答】解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中，每一个有四种选择，共有43种结果．满足条件的事件恰有1人申请A片区房源有，根据等可能事件的概率．（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意，，，，，∴X的分布列为：∴ξ的数学期望：．法2：每个片区被申请的概率均为，没被选中的概率均为，ξ的所有可能结果为0，1，2，3，且ξ～B（3，），，，，，∴X的分布列为：∴X的数学期望：．（Eξ=1×=）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O 为AD中点．（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB=2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面PAB的法向量为，则，，得，，取x=1，得y=﹣1，z=1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s=0，，取r=1，则t=1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆结果的点，求出长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程；（2）求出k AP k BP=﹣，设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用k OM k ON=﹣，推出t2=2m2+4，利用三角形的面积公式，化简求解即可推出结论．【解答】（1）解：椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，可得=，即：，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆方程为：．（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，且AP∥OM，BP∥ON，设P（2cosθ，2sinθ）则直线AP，BP斜率必存在且不为0，又由已知k AP k BP===．因为AP∥OM，BP∥ON，所以k OM k ON=设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，得（2+m2）y2+2mty+t2﹣8=0…①，设M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，x1x2=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=，所以k OM k ON===﹣，得t2=2m2+4，=|t||y1﹣y2|==又S△MON===2，即△MON的面积为定值2…21．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，得到t=1时，不等式显然恒成立，当t＞1时，问题转化为，在t＞1上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1），令g（x）=2x2+2x+a，判别式为：△=4﹣8a，①：当△=4﹣8a≤0，得，此时g（x）≥0，从而f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．②：当△=4﹣8a＞0，即，令g（x）=2x2+2x+a=0，得方程的根（舍去），，若a＜0，此时x2＞0，g（x）＞0，得，由g（x）＜0，得，∴f（x）在上单调递增，在单调递减，若，此时g（x）=2x2+2x+a的对称轴为，g（0）=a＞0，∴g（x）＞g（0）=a＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增．综上：当a≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0，f（x）在上单调递增，单调递减．（2）由题意有（2t﹣1）2+2（2t﹣1）+aln（2t﹣1）≥2t2+4t+2alnt﹣3恒成立，即a[ln（2t﹣1）﹣2lnt]≥﹣2t2+4t﹣2，即a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，当t=1时，不等式显然恒成立，当t＞1时，t2﹣（2t﹣1）=（t﹣1）2＞0，所以t2＞2t﹣1，则lnt2＞ln（2t﹣1），于是，在t＞1上恒成立，令，设A（t2，lnt2），B（2t﹣1，ln（2t﹣1）），则，且A，B两点在y=lnx的图象上，又t2＞1，2t﹣1＞1，故0＜k AB＜y'|x=1=1，所以，故a≤2为所求．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开利用互化公式即可得出极坐标方程．（II）射线OT：θ=（ρ＞0）分别与曲线C，直线l的极坐标方程联立解出交点坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（II）联立，化为：ρ2﹣ρ﹣2=0，ρ＞0，解得ρ=2．射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点．联立，解得ρ=6，射线OT：θ=（ρ＞0）与直线l交于B，∴线段AB的长=6﹣2=4．23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．2017年3月15日。

柳州市2017届高中毕业班1月份模拟考试卷理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，{}2x B y y ==，则A B =（ ）A.(]0 3，B.()0 3，C.[]0 3，D.[)3 +∞，2.已知 a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi -=（ ） A.34i +B.34i -C.54i -D.54i +3.甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如下表：下列说法错误的是（ ）A.甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B.乙同学的数学成绩平均值是81.5C.丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D.在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三4.已知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅+=，且 2 1a b ==，，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）B. C.12D.12-5.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”（ ）A.3B.4C.5D.66.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A.0B.2C.4D.147.将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的图象的一条对称轴是（ ） A.12x π=B.6x π=C.3x π=D.23x π=8.在ABC △中，6B π=，BC ，则cos A =（ ）B.C. 9.若1x y >>，01a b <<<，则下列各式中一定成立的是（ ） A.a b x y >B.a b x y <C.x y a b <D.x y a b >10.过双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是（ ）A. 1 ⎛ ⎝B.)+∞，C.D.()1 5 ⎛+∞ ⎝，11.已知函数()()lg 1f x x =-，若1a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围为（ ）A.()3 ++∞，B.)3 ⎡++∞⎣，C.()6 +∞，D.[)6 +∞，12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A.48B.16C.32D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数 x y ，满足条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则25z x y =+-的最小值为 ．14.已知tan 2α=，则3cos 2sin cos 22ππααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ． 15.已知21a π-=⎰，则在10的展开式中，所有项的系数和为 ．16.已知圆C 的方程为()2231x y -+=，圆M 的方程为()()2233cos 3sin 1x y θθ--+-=()R θ∈，过M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则APB ∠的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a λλ=-，其中0λ≠且1λ≠-. （1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若41516S =，求λ. 18.某市公租房的房源位于 A B C D ，，，四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中： （1）求恰有1人申请A 片区房源的概率；（2）用x 表示选择A 片区的人数，求x 的分布列和数学期望. 19.在四棱锥P ABCD -中，2DBA π∠=，AB CD ∥，PAB △和PBD △都是边长为2的等边三角形，设P 在底面ABCD 的射影为O .（1）求证：O 是AD 中点； （2）证明：BC PB ⊥；（3）求二面角A PB C --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点(2 ，点 A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值.21.已知函数()()22ln f x x x a x a R =++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1t ≥时，不等式()()2123f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线C 在平面直角坐标系xOy 下的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭射线():03OT πθρ=>与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长.23.已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数 a b c ，，满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++.柳州市2017届高中毕业班1月份模拟考试卷理科数学（参考答案）一、选择题1-5:ABDDA 6-10:BCBCD 11、12：CB二、填空题13.6- 14.1- 15.103 16.3π三、解答题17.解：（1）当1n =时，11a a λλ=-， ∵0λ≠且1λ≠-，∴11a λλ=+，当2n ≥时，11n n S a λλ--=-，n n S a λλ=-， 两式相减得()11n n a a λ-+=，因为1λ≠-， ∴()111n n a a λ-=+， 因此{}n a 是首项为11a λλ=+，公比为()11λ+的等比数列， ∴()1111n n na λλλλλλ-⎛⎫==⎪++⎝⎭+. （2）由n n S a λλ=-得 4411S a λ=-，()4111λ=-+∴()41151161λ-=+， ∴1λ=或3λ=-.18.解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中， 每一个有四种选择，共有34种结果.满足条件的事件恰有1人申请A 片区房源有1233C ⋅，根据等可能事件的概率1233327464c p ==.（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意， ()333270464p ξ===， ()12333271464c p ξ⋅===，()233392464c p ξ⋅===，()3113464p ξ===， ∴X 的分布列为：∴ξ的数学期望：27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 法2：每个片区被申请的概率均为14，没被选中的概率均为34， ξ的所有可能结果为0，1，2，3，且13 4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～，， ()33270464p ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131********p C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， ()22313924464p C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()3113464p ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：∴X 的数学期望： 13344E ξ=⨯=. 19.解：（1）证明：∵PAB △和PBD △都是等边三角形， ∴PA PB PD ==， 又∵PO ⊥底面ABCD ， ∴OA OB OD ==，则点O 为ABD △的外心，又因为ABD △是直角三角形， ∴点O 为AD 中点.（2）证明：由（1）知，点P 在底面的射影为点O ，点O 为AD 中点， 于是PO ⊥面ABCD ， ∴BC PO ⊥，∵在Rt ABD △中，BD BA =，OB AD ⊥， ∴4DBO ODB π∠=∠=，又AB CD ∥，∴4CBD π∠=，从而2CBO π∠=即CB BO ⊥，由BC PO ⊥，CB BO ⊥得CB ⊥面PBO ， ∴BC PB ⊥.（3）以点O 为原点，以 OB OD OP ，，所在射线为x 轴 ，y 轴，z 轴建系如图，∵2AB =，则()0 0 0O ，，，()0 0A ，，，) B O O ，，，)0C，，，()0 0D ，，(0 0 P ，，() 0BA =，，，( 0 BP =，，()0 0BC =，，，设面PAB 的法向量为() n x y z =，，，则0n BA ⋅=，0n BP ⋅=，得0-=，0+=，取1x =，得1y =-，1z =，故()1 1 1n =-，，.设面PBC 的法向量为() m r s t =，，，则 0m BC ⋅=，0m BP ⋅=，得0s =，0+=，取1r =，则1t =，故()1 0 1m =，，， 于是6cos m n m n m n⋅<>==，， 由图观察知A PB C --为钝二面角， 所以该二面角的余弦值为. 20.解：（1）依题意得2222242112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得28a =，24b =， ∴椭圆方程为22184x y +=.（2）设直线MN 方程为x my t =+，代入椭圆方程22184x y +=得：()2222280my mty t +++-=，设()11 M x y ，，()22 N x y ，，则 12222mt y y m +=-+，212282t y y m -=+， 设() P P P x y ，，则22184P Px y +=， ∴2228P Py x =-， 22221822P P AP BPP Py y k k x y ====---. 由题意知AP BP OM ON k k k k =，()()()1212122212121212OM ON y y y y y y k k x x my t my t m y y mt y y t ===+++++222222222288128228222t t m t mt t m m mt t m m --+===----++++， 得到2224t m =+， ∴112MONS t y =-=△∴三角形MON 的面积为21.解：（1）()()222'220a x x af x x x x x++=++=>，令()222g x x x a =++，判别式为：48a ∆=-， ①：当480a ∆=-≤，得12a ≥， 此时()0g x ≥，从而()'0f x ≥， 所以()f x 在()0 +∞，上单调递增. ②：当480a ∆=->，即12a <， 令()2220g x x x a =++=，得方程的根11x =-（舍去），21x =-+若0a <，此时20x >，()0gx >，得21x x >=-+ 由()0g x<，得21x x <=-+，∴()fx 在()1 -++∞，上单调递增，在(0 1-+，单调递减， 若102a ≤<，此时()222g x x x a =++的对称轴为12x =-， ()00g a =>，∴()()00g x g a >=>，从而()f x 在()0 +∞，上单调递增.综上：当0a ≥，()f x 在()0 +∞，上单调递增；当0a <，()fx 在()1 -+∞，上单调递增，(0 1-，单调递减.（2）由题意有()()()2221221ln 21242ln 3t t a t t t a t -+-+-≥++-恒成立，即()2ln 212ln 242a t t t t --≥-+-⎡⎤⎣⎦，即()()22ln 21ln 221a t t t t ⎡⎤⎡⎤--≥--⎣⎦⎣⎦恒成立， 当1t =时，不等式显然恒成立，当1t >时，()()222110t t t --=->，所以221t t >-，则()2ln ln 21t t >-，于是 ()()22221ln 21ln t t a t t ⎡⎤--⎣⎦≤--，在1t >上恒成立，令()()22221ln 21ln t t u t t ⎡⎤--⎣⎦=--，设()22 ln A t t ，，()()2 1 ln 21B t t --，， 则()()2221ln 21ln AB t t k t t --=--，且 A B ，两点在ln y x =的图象上， 又2 1 211t t >->，， 故10'1AB x k y =<<=， 所以122ABu k =>， 故2a ≤为所求.22.解：（1）因为曲线C的参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去参数t 得曲线C 的普通方程为()2213x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=.（2）由()222cos 2020203ρρθρρρπθρ⎧--=⎪⇒--=⇒=⎨=>⎪⎩， 故射线OT 与曲线C 的交点A 的极坐标为 2 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，；由()cos 6603πρθρπθρ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒=⎨⎪=>⎪⎩，故射线OT 与直线l 的交点B 的极坐标为 6 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴4B A AB ρρ=-=.23.解：（1）()()23235x x x x --+≤--+=, 若不等式231x x m --+≥+有解，则满足15m +≤，解得64m -≤≤，∴4M =.（2）由（1）知正数 a b c ，，满足24a b c ++=， ∴()()111114a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 124b c a b a b b c ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭124⎛≥+ ⎝ 1=.当且仅当a c =，2a b +=时，取等号．。