高2020届优化方案高考总复习数学理第一章集合与常用逻辑用语2第2讲刷好题练能力

1．给出以下程序：INPUT x1，x2IF x1＝x2 THENx1＝x1＋x2ENDIFy＝x1＋x2PRINT yEND若是输入x1＝2，x2＝3，那么执行此程序的结果是输出( )A．7B ．10C．5D ．8解析：选C.由于输入的两个数x1＝2，x2＝3，不满足条件x1＝x2，因此，不执行语句体x1＝x1＋x2，而直接执行y＝x1＋x2，因此y＝5，最后输出5.2．阅读以下程序：若是输入5，则该程序运行结果为()A．1B．10C．25D．26解析：选D.a＝5时，条件a>5不成立，故执行ELSE后的语句b＝a2＋1＝52＋1＝26.3．下面是判断所输入的正整数的奇偶性的程序INPUT xm＝xMOD2IF THENPRINT“x为奇数”ELSEPRINTENDIFEND将其补充完满，则横线上应填A．m＝2k＋1，x＝2k (xMOD2的意思是求x除以2的余数)(B．m＝0，“x为偶数”)C．m＝0，x为偶数D．m＝1，“x为偶数”解析：选D.第一个空是“x是奇数”的条件，应填“m＝1”；第二个空应填“x为偶数”，并加引号．4．(教材例5改编)若下面程序执行的结果是5，则输入的x值是________．INPUT xIF x>＝0THENy＝xELSEy＝－xENDIFPRINT yENDx，x≥0解析：由程序语句知，该程序的功能是输入一个x，输出函数y＝的值，－x，x<0故输出5时，应输入5或－5.答案：5或－51．以下对条件语句的描述正确的选项是()A．ELSE后边的语句不可以是条件语句B．两个条件语句可以共用一个ENDIF语句C．条件语句可以没有E LSE后的语句D．条件语句中IF—THEN和ELSE后的语句必定都有解析：选C.条件语句有两种格式：分别是IF—THEN格式和于一个分支的条件语句可以没有ELSE后的语句．IF—THEN—ELSE格式．对2．给出以下三个问题：x2－1，x≥0①输入一个数x，输出f(x)＝的函数值；x＋2，x<0②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a、b、c中的最大数．其中可以用条件语句来描述其算法的有A．1个C．3个(B．2个D．0个)解析：选 B.在算法中需要逻辑判断的都要用到条件语句，其中①③都需要进行逻辑判断，故都要用到条件语句，②只需用序次结构就能描述其算法，故答案选 B.3.若输入x的值为3，则该程序运行后，输出变量y的值是()A．3B．6C．9D．27解析：选.执行ELSE后的语句，＝2x ＝2×3＝6.B y4．已知程序：若输入的两位数是83，则输出的结果为()A．83B．38C．3D．8解析：选 B.程序功能是输入一个两位数，交换其个位与十位的地址，则输入83，应输出38.5．已知程序以下，若输入的x值为5，则运行结果是()INPUT“x＝”；xIF x>＝0THEN y＝1ELSEy＝－1ENDIFPRINT“y＝”；y ENDA．y＝5 C．＝1B．y＝－5 D．＝－1解析：选C.由于x＝5>0，因此y＝1，因此运行结果为 1.6．阅读下面的程序：可知程序运行的结果是()A．3B．34C．345D．3456解析：选 D.本题主要观察了条件语句的叠加，程序执行条件语句的叠加的过程中对于所有的条件都要进行判断，依次考据每一个条件，直到结束．在本题中共出现四次PRINT，每一条件都成立，故输出结果为3456.7．(2020年东营高一检测)将程序补充完满：输入两个数，输出其中较大的数，则①处应填________．INPUT“a＝”；aINPUT“b＝”；bIFa>b THENPRINTaELSE①ENDIFEND解析：这个语句是比较a与b的大小，且输入其中一个较大者．答案：PRINT b8．下面的程序是求一个函数的函数值的程序：若执行此程序的结果为3，则输入的x值为________．－x，x≤0解析：此程序是求函数y＝0，0<x≤1的值．x－1，x>1若输出的结果为3，则有可能x－1＝3即x＝4，或－x＝3即x＝－3.答案：4或－39．读程序，完成以下题目：程序如图：(1)若执行程序时，没有执行语句y＝x＋1，则输入的x的范围是________；(2)若执行结果y＝3，则执行的赋值语句是解析：(1)不执行y＝x＋1语句说明不满足条件，x≥1，故有x<1________，输入的x的值是________．当x<1时，y<2×1＋1＝3只有x＋1＝3，x＝2答案：(1)x<1 (2)y＝x＋1210．输入一个数x，若是它是正数，则输出它；否则不输出．画出解决该问题的程序框图，并写出对应的程序．解：程序框图以下列图：相应的程序以下：11．(2020年吉林高一检测 )给出以下程序．(其中x满足：0<x<12)程序：(1)该程序用函数关系式怎样表达．画出这个程序的程序框图．解：(1)函数关系式为2x0<x≤4y＝84<x≤824－2x8<x<12程序框图12．到银行办理个人异地汇款(不高出100万)时，银行要收取必然的手续费．汇款额不高出100元，收取1元手续费；高出100元但不高出5000元，按汇款额的1%收取；高出5000元，一律收取50元手续费．试用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取的手续费为y元的过程，画出程序框图并写出程序．解：依解析可知程序框图以下列图：程序以下：。

2020年高考总复习 理科数学题库第一章 集合学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________题号一二三总分得分第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．设集合，，则{1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}M =U M =ðA. B. C. D. {2,4,6}{1,3,5}{1,2,4}U2．集合{|0,}{|2,},{|0}{|02}{|2}P x x x R x x x R Q x x x x x x =≠∈≠∈=<<<> ,则集合与的关系一定是--------------------------------------------------（ P Q ）A. B. C. D.Q P ⊆Q P ÝQ P ÜP Q=3．已知集合A={x }，B={x }，则A B=( )1x ＞2x 1-＜＜ （A ） {x } （B ）{x } （C ）{x } （D ）{x 2x 1-＜＜1-x ＞1x 1-＜＜2x 1＜＜}（2011辽宁文１）【精讲精析】选D ，解不等式组，得．所以A B=．.⎩⎨⎧<<->211x x 21<<x {}21<<x x 4．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N)，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N|f (n )∈P }，＝{n ∈N|f (n )∈Q }，则(∩)∪(∩)＝( )Q ∧P ∧N ðQ ∧Q ∧N ðP ∧(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}(2005浙江理)5．集合，的子集中，含有元素的子集共有( ){1,0,1}A =-A 0（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个（D ）8个（2008四川延考理）（1）（文科1）6．设集合，(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈(){}2,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈，则集合中元素的个数为（ ）M N A.1 B.2C.3D.4（2004全国3理1）7．集合A= {x ∣}，B={x ∣x<1}，则= （D ）12x -≤≤()R A B ð（A ）{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣ } (D) {x ∣} （2007）12x <≤12x ≤≤8．若集合，，则等于( ){}20A x x x =|-<{|03}B x x =<<A B A ． B ． C ． D ．{}01x x |<<{}03x x |<<{}13x x |<<∅（2008福建文）（1）9．设集合{}08U x x =∈<N ≤，{}1245S =，，，，{}357T =，，，则()U S T = ð( )A ．{}124，， B ．{}123457，，，，， C ．{}12， D ．{}124568，，，，，（2008天津文） 1．10．已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）A ．I ＝A ∪BB ．I ＝（A ）∪B IC C ．I ＝A ∪（B）D ．I ＝（A ）∪（I C I C I C B ）（1996全国理，1）11．定义集合运算，则集合*{,,},{1,2},{0,2}A B Z Z xy x A y B A B =|=∈∈==设的所有元素之和为（ ）。

第一部分 专题一 第二讲A 组1．(2017·全国卷Ⅱ，1)3＋i1＋i ＝( D )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i[解析]3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i ．故选D ．2．(文)已知i 为虚数单位，则复数1－3i1＋i ＝( C )A ．2＋iB ．2－iC ．－1－2iD ．－1＋2i[解析]1－3i 1＋i＝(1－3i )(1－i )2＝－1－2i ，故选C ．(理)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，则|a ＋b i|＝( C ) A ．12＋iB ． 5C ．52D ． 54[解析] ∵(1＋2a i)i ＝－2a ＋i ＝1－b i ， ∴a ＝－12，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|－12－i|＝(－12)2＋(－1)2＝52． 3．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( C ) A ． 2 B ．2 3 C ．2D ． 6[解析] ∵|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝16，∴|a －b |＝2，故选C ．4．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( B ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10 [解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴x －2＝0，∴x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10．5．(2019·成都检测)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示．若输入的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为(C)A．2 B．3C．4 D．5[解析]执行程序框图，x＝4，y＝6，k＝1，k＝k＋1＝2，x>y不成立，x＝y不成立，y＝y－x＝2；k＝k＋1＝3，x>y成立，x＝x－y＝4－2＝2；k＝k＋1＝4，x>y不成立，x＝y成立，输出k＝4．6．(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(D)A．21 B．34C．52 D．55[解析]由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D．7．下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是(D)A ．k ＝8?B ．k ≤7?C ．k <7?D ．k >7?[解析] 开始→k ＝10，S ＝1，满足条件→S ＝1＋10＝11，k ＝10－1＝9，满足条件→S ＝11＋9＝20，k ＝9－1＝8，满足条件→S ＝20＋8＝28，k ＝8－1＝7.由于输出S 的值为28，故k ＝7不再满足条件，故选D ．8．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD →＝DC →，则BA →·BD →的值是( B )A ．48B ．24C ．12D ．6[解析] 解法一：由题意得，BA →·BC →＝0， BA →·CA →＝BA →·(BA →－BC →)＝|BA →|2＝36，∴BA →·BD →＝BA →·(BC →＋CD →)＝BA →·(BC →＋23CA →)＝0＋23×36＝24．解法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．由2AD →＝DC →，得D (4,2)． ∴BA →·BD →＝(6,0)·(4,2)＝24．9．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[解析] 由|a ·b |＝||a |·|b |·cos θ|，因为－1≤cos θ≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立；由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a －b |≥||a |－|b ||，故B 选项不成立； 根据向量数量积的运算律C ，D 选项恒成立．10．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( C )A ．201B ．411C ．465D ．565[解析] 200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465．11．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( A )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析] 解法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为(1＋m 2，m －12)，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1．解法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A ．12．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1,0，13，12，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( A )A ．15B ．16C ．28D ．25[解析] 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15．13．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝．[解析] 由a ∥b ⇒m ＋4＝0，解得m ＝－4，故2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝45．14．已知△ABC 的面积为23，且B ＝2π3，则AB →·BC →＝__4__．[解析] 设△ABC 的三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 则S ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，即ac ＝8，AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos(π－B )＝ca cos π3＝8×12＝4．15．执行下边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值为__13__．[解析] 第一次执行程序，满足条件x ＜2，x ＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x ＜2，y ＝3×22＋1＝13，输出y ＝13，结束．答案为13．16．观察等式：f (13)＋f (23)＝1；f (14)＋f (24)＋f (34)＝32；f (15)＋f (25)＋f (35)＋f (45)＝2；f (16)＋f (26)＋f (36)＋f (46)＋f (56)＝52； …由以上几个等式的规律可猜想f (12 020)＋f (22 020)＋f (32 020)＋…＋f (2 0192 020)＝__2 0192__．[解析] 从所给四个等式看，等式右边依次为1，32，2，52，将其变为22，32，42，52，可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f (12 020)＋f (22 020)＋f (32 020)＋…＋f (2 0192 020)＝2 0192．B 组1．已知复数z 满足z (1＋i)＝1＋a i(其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限．2．(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( D )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53[解析] z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53．3．设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( A ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |>|b |[解析] 方法一：∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2．∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ． ∴a ·b ＝0． ∴a ⊥b ． 故选A ．方法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，∴|AC |＝|DB |从而平行四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b ． 故选A ．4．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( D )A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和[解析] 由程序框图得，输出的S ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n －1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和．5．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a －t b |(t ∈R )的最小值为( A )A ．32 B ．12C ．1D ．2[解析] 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，于是|a ＋b |2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1， 即a ·b ＝－12．|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2t a ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －t b |的最小值为32．6．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 019a 2 020＝( C )A ．2 0162 017B ．2 0172 018C ．2 0182 019D ．2 0192 020[解析] 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1n，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 019a 2 020＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…(12 018－12 019)＝1－12 019＝2 0182 019.故选C ． 7．(2019·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填( B )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?[解析] 执行程序框图，i ＝12，s ＝1；s ＝12×1＝12，i ＝11；s ＝12×11＝132，i ＝10.此时输出的s ＝132，则判断框中可以填“i ≥11？”．8．(2019·南宁摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( A )A ．33 B ． 3 C ．32D ．23[解析] ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33．9．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z＋z 2的虚部为__－1__．[解析] ∵z ＝1－i(i 为虚数单位)，∴zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )－2i ＝2i 2－2i ＝－i ，故其虚部为－1． 10．(文)(2019·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的__乙，丙__两人说对了．[解析] 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．(理)(2019·湖北七市联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)；…可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝__1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)__．[解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)． 11．(2017·江苏卷，4)如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是__－2__．[解析] 输入x ＝116<1，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2，故输出y 的值为－2．12．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是__(－1,0)__．[解析] 根据题意知，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD →＝tOC →． ∵D 在圆外，∴t <－1，又D ，A ，B 共线，∴存在λ、μ，使得OD →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，又由已知，OC →＝mOA →＋nOB →，∴tmOA →＋tnOB →＝λOA →＋μOB →， ∴m ＋n ＝1t ，故m ＋n ∈(－1,0)．。

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲解读] 1.搞清四种命题的判断及其关系，掌握命题的否定与否命题的区别．(重点)。

2.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考对命题及充要条件的判断为必考内容，考查知识面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向．试题难度以中、低档题型为主，且以客观题的形式进行考查.1．命题用语言、符号或式子表达的，可以□01判断真假的陈述句叫做命题，其中□02判断为真的语句叫做真命题，□03判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有□04相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性□05没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的□01充分条件，q 是p 的□02必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为Bp是q的□03充分不必要条件p⇒q且q⇒/p A是B的□04真子集p是q的□05必要不充分条p⇒/q且q⇒p B是A的□06真子集件p是q的□07充要条件p⇔q □08A＝Bp是q的□09既不充分也不p⇒/q且q⇒/p A，B互不□10包含必要条件1．概念辨析(1)“x－3>0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2答案 B解析“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．(2)对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A，∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．(3)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题是真命题．逆命题：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题．否命题：“若a>b，则ac2>bc2”是假命题．逆否命题：“若ac2>bc2，则a>b”是真命题．所以四个命题中真命题有2个．(4)“sinα>0”是“α是第一象限角”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析sin π2＝1>0，但π2不是第一象限角，所以sinα>0 ⇒/α是第一象限角，α是第一象限角⇒sinα>0，所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．题型一四种命题及其关系1．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1答案 C解析原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则a x≤1”．2．(2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0答案 C解析因为原命题为真命题，所以它的逆否命题也是真命题．它的逆命题是“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，是假命题；所以原命题的否命题也是假命题．所以这三个命题中，真命题有1个．3．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题答案 A解析原命题的逆否命题是“若a，b都小于1，则a＋b<2”，此命题是真命题，故原命题是真命题；原命题的逆命题是“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”是假命题，如a＝－10，b＝2，但a＋b＝－8<2.1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．如举例说明1中，“已知a>1”是大前提．(3)注意一些常见词语及其否定表示：词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于如举例说明3中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”．2．判断命题真假的两种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．1．(2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③答案 A解析由题意得，命题α与命题β互为否命题，命题α与命题γ互为逆否命题．命题β与命题γ互为逆命题．故①③正确，②错误．2．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假答案 A解析若a n＋a n＋12<a n，则a n＋1<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列，由此可知原命题为真命题；原命题的否命题为“若a n＋a n＋12≥a n，n∈N*，则{a n}不是递减数列”，若a n＋a n＋12≥a n，则a n＋1≥a n，则{a n}不是递减数列，所以原命题的否命题是真命题．因为原命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假，所以原命题的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．题型二充分、必要条件的判断角度1定义法判断充分、必要条件1．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a －3b |＝|3a ＋b |等价于|a －3b |2＝|3a ＋b |2，即(a －3b )2＝(3a ＋b )2，等价于a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，又因为a ，b 为单位向量，所以a 2＝1，b 2＝1，所以1＋9－6a ·b ＝9＋1＋6a·b ，即a·b ＝0，等价于a ⊥b .所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．角度2 集合法判断充分、必要条件2．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 解⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12得－12<x －12<12，即0<x <1；解x 3<1得x <1，因为(0,1)(－∞，1)，所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件．角度3 等价转化法判断充分、必要条件3．已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由5x －6>x 2得x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3. 记A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x >1或x <－3}，则A B ，所以q 是p 的充分不必要条件， 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．判断充分、必要条件的三种方法方法 解读适合题型定义法第一步，分清条件和结论：分清谁定义法是判断充分、必要条件是条件，谁是结论；第二步，找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论最根本、最适用的方法．如举例说明1等价法利用p⇒q与綈q⇒綈p；q⇒p与綈p⇒綈q；p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法．如举例说明3 集合法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若A B，则p是q的充分不必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况．如举例说明21．对于直线m，n和平面α，β，m⊥α成立的一个充分条件是()A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α答案 C解析对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1.因为綈q⇒綈p，但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件．3．(2017·天津高考)设θ∈R，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sinθ＜12”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，∴－π12＜θ－π12＜π12， 即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立． 故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A. 题型 三 知充分、必要条件求参数的取值范围1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1<0＝{x |(x －1)(x ＋1)<0}，得－1<x <1，当a ＝1时，B ＝{x |(x －b )2<1}＝{x |b －1<x <b ＋1}，因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1>－1b －1<1，解得－2<b <2.2．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2解析 ∵綈q 的一个充分不必要条件是綈p ， 即綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴p 是q 的必要不充分条件．由p ：4x －1≤－1得4x －1＋1≤0，x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1， 记A ＝{x |－3≤x <1}．由q ：x 2＋x <a 2－a 得(x ＋a )[x ＋(1－a )]<0. ∵a >12，∴－a <－(1－a )，故解得－a <x <a －1，记B ＝{x |－a <x <a －1}． 由p 是q 的必要不充分条件可得B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－3a －1≤1a >12，解得12<a ≤2.条件探究1 举例说明2中的“充分不必要”改为“必要不充分”，其余不变，该如何求解？解 ∵綈q 的一个必要不充分条件是綈p ， 即綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． ∵p 对应集合A ＝{x |－3≤x <1}，q 对应集合B ＝{x |－a <x <a －1}，其中a >12，∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a <－3a －1≥1a >12，解得a >3.条件探究2 举例说明2中“4x －1≤－1”改为“4x －10≤－1”，“綈p ”改为“p ”，其余不变，该如何求解？解 由题意得，p 是綈q 的充分不必要条件．由4x －10≤－1得x －6x －10≤0，解得6≤x <10. ∴p 对应集合C ＝{x |6≤x <10}． 又∵q 对应集合B ＝{x |－a <x <a －1}， ∴綈q 对应集合∁R B ＝{x |x ≤－a 或x ≥a －1}， 其中a >12，∴C∁R B ，∴⎩⎨⎧a >12－a ≥10或⎩⎨⎧a >12a －1≤6，解得12<a ≤7.1．知充分、必要条件求参数取值范围的步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，如举例说明2中p 对应的集合是q 对应的集合的真子集．(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． 2．解题时的三个注意点(1)注意充分条件、必要条件定义的直接应用．如举例说明1.(2)看清“p 是q 的……条件”还是“p 的……条件是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断．如举例说明2.(3)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍．如举例说明2.1．(2019·广州模拟)已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，q ：x >a 2－2a －2，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．[－1,3]答案 C解析 由p ：(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1，要使得綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，p ⇒/ q ．所以a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，故选C.2．(2018·河北保定模拟)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．答案 [0,3]解析 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m 1－m ≥－21＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．思想方法 等价转化思想在充要条件中的应用[典例] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 [9，＋∞)解析 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，NM ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．思想方法 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.典例中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化.。

[基础题组练]1.已知命题p :所有的指数函数都是单调函数,则﹁p 为( ) A.所有的指数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是指数函数 C.存在一个指数函数,它不是单调函数 D.存在一个单调函数,它不是指数函数解析:选C.命题p :所有的指数函数都是单调函数,则﹁p :存在一个指数函数,它不是单调函数.2.已知命题p :∃x 0∈R ,log 2(3x 0＋1)≤0,则( ) A.p 是假命题；﹁p :∀x ∈R ,log 2(3x ＋1)≤0 B.p 是假命题；﹁p :∀x ∈R ,log 2(3x ＋1)＞0 C.p 是真命题；﹁p :∀x ∈R ,log 2(3x ＋1)≤0 D.p 是真命题；﹁p :∀x ∈R ,log 2(3x ＋1)＞0解析:选 B.因为3x ＞0,所以3x ＋1＞1,则log 2(3x ＋1)＞0,所以p 是假命题,﹁p :∀x ∈R ,log 2(3x ＋1)＞0.故应选B.3.(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题: P 1:∃x ∈R ,sin x ＋cos x ＝2； P 2:∃x ∈R ,sin 2x ＝sin x ； P 3:∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2,1＋cos 2x2＝cos x ； P 4:∀x ∈(0,π),sin x ＞cos x . 其中真命题是( ) A.P 1,P 4 B.P 2,P 3 C.P 3,P 4D.P 2,P 4解析:选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4,所以sin x ＋cos x 的最大值为2,可得不存在x ∈R ,使sin x ＋cos x ＝2成立,得命题P 1是假命题；因为存在x ＝k π(k ∈Z ),使sin 2x ＝sin x 成立,故命题P 2是真命题； 因为1＋cos 2x 2＝cos 2x ,所以1＋cos 2x 2＝|cos x |,结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2得cos x ≥0,由此可得1＋cos 2x2＝cos x ,得命题P 3是真命题； 因为当x ＝π4时,sin x ＝cos x ＝22,不满足sin x ＞cos x ,所以存在x ∈(0,π),使sin x ＞cos x 不成立,故命题P 4是假命题. 故选B.4.“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.因为﹁p 为假,所以p 为真,所以“p ∨q 为真”,反之不成立,可能q 为真,p 为假,﹁p 为真.所以“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的必要不充分条件.故选B.5.已知命题p :若a ＞|b |,则a 2＞b 2；命题q :若x 2＝4,则x ＝2.下列说法正确的是( ) A.“p ∨q ”为真命题 B.“p ∧q ”为真命题 C.“﹁p ”为真命题D.“﹁q ”为假命题解析:选A.由a ＞|b |≥0,得a 2＞b 2,所以命题p 为真命题.因为x 2＝4⇔x ＝±2,所以命题q 为假命题.所以“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,“﹁p ”为假命题,“﹁q ”为真命题.综上所述,可知选A.6.(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p :∃x ∈R ,x －2＞lg x ,命题q :∀x ∈R ,e x ＞x ,则( ) A.命题p ∨q 是假命题 B.命题p ∧q 是真命题 C.命题p ∧(﹁q )是真命题D.命题p ∨(﹁q )是假命题解析:选B.显然,当x ＝10时,x －2＞lg x 成立,所以命题p 为真命题.设f (x )＝e x －x ,则f ′(x )＝e x －1,当x ＞0时,f ′(x )＞0,当x ＜0时,f ′(x )＜0,所以f (x )≥f (0)＝1＞0,所以∀x ∈R ,e x ＞x ,所以命题q 为真命题.故命题p ∧q 是真命题,故选B.7.(2019·惠州第一次调研)设命题p :若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数,则∀x ∈R ,f (－x )≠f (x ).命题q :f (x )＝x |x |在(－∞,0)上是减函数,在(0,＋∞)上是增函数.则下列判断错误的是( )A.p 为假命题B.﹁q 为真命题C.p ∨q 为真命题D.p ∧q 为假命题解析:选 C.函数f (x )不是偶函数,仍然可∃x ,使得f (－x )＝f (x ),p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0）在R 上是增函数,q 为假命题.所以p ∨q 为假命题,故选C. 8.(2019·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x ∈R ,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题,则实数a的取值范围为( )A.(－∞,0)B.[0,4]C.[4,＋∞)D.(0,4)解析:选 D.因为命题“∃x ∈R ,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题,所以其否定“∀x ∈R ,4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题,则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a ＜0,解得0＜a ＜4,故选D.9.已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x ＜3x ；q :“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件.下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(﹁p )∧(﹁q )C.(﹁p )∧qD.p ∧(﹁q )解析:选B.由20＝30知,p 为假命题；命题q :“x ＞1”不能推出“x ＞2”,但是“x ＞2”能推出“x ＞1”,所以“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件,故q 为假命题.所以(﹁p )∧(﹁q )为真命题.故选B.10.(2019·湖北荆州调研)已知命题p :方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q :函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题:①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨(﹁q ),则其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:选C.由于Δ＝4a 2＋4＞0,所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根,即命题p 是真命题；当x ＜0时,f (x )＝x ＋4x 的值为负值,故命题q 为假命题.所以p ∨q ,p ∧(﹁q ),(﹁p )∨(﹁q )是真命题,故选C.11.(2019·沈阳期中)有下列四个命题: (1)命题p :∀x ∈R ,x 2＞0为真命题；(2)设p :xx ＋2＞0,q :x 2＋x －2＞0,则p 是q 的充分不必要条件；(3)命题:若ab ＝0,则a ＝0或b ＝0,其否命题是假命题；(4)非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |,则a 与a ＋b 的夹角为30°. 其中真命题有( ) A.3个 B.2个 C.1个D.0个解析:选C.对于(1),∀x ∈R ,x 2≥0,故(1)为假命题；对于(2),设p :xx ＋2＞0,q :x 2＋x －2＞0,可得p ∶x ＞0或x ＜－2；q :x ＞1或x ＜－2.由p 推不到q ,但由q 推得p ,则p 是q 的必要不充分条件,故(2)为假命题；对于(3),命题:若ab ＝0,则a ＝0或b ＝0,其否命题为:若ab ≠0,则a ≠0且b ≠0, 其否命题是真命题,故(3)为假命题； 对于(4),非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |,可设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝a ＋b ,BA →＝a －b ,可得△OAB 为等边三角形,四边形OACB 为菱形,OC 平分∠AOB ,可得a 与a ＋b 的夹角为30°,故(4)为真命题.故选C.12.(2019·保定模拟)有下面四个命题: p 1:若x ＞1,则0.3x ＞0.3； p 2:若x ＝log 23,则⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝16； p 3:若sin x ＞33,则cos 2x ＜13； p 4:若f (x )＝tanπx3,则f (x )＝f (x ＋3). 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析:选C.对于p 1,由y ＝0.3x 在R 上递减,且x ＞1,可得0.3x ＜0.3,故p 1是假命题； 对于p 2,若x ＝log 23,可得2x＝3,⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝12×13＝16,故p 2是真命题； 对于p 3,若sin x ＞33,可得cos 2x ＝1－2sin 2x ＜1－2×13＝13,故p 3是真命题； 对于p 4,若f (x )＝tanπx3,可得f (x )的最小正周期为3,即有f (x ＋3)＝f (x ),故p 4是真命题. 则其中真命题的个数为3.故选C.[综合题组练]1.(创新型)在射击训练中,某战士射击了两次,设命题p 是“第一次射击击中目标”,命题q 是“第二次射击击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )A.(﹁p )∨(﹁q )为真命题B.p ∨(﹁q )为真命题C.(﹁p )∧(﹁q )为真命题D.p ∨q 为真命题解析:选A.命题p 是“第一次射击击中目标”,命题q 是“第二次射击击中目标”,则命题﹁p 是“第一次射击没击中目标”,命题﹁q 是“第二次射击没击中目标”,故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p )∨(﹁q )为真命题,故选A.2.(2019·河北武邑中学模拟)给出下列四个命题: ①若x ∈A ∩B ,则x ∈A 或x ∈B ； ②∀x ∈(2,＋∞),x 2＞2x ；③若a ,b 是实数,则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件；④“∃x 0∈R ,x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋2≤3x ”.其中真命题的序号是________.解析:①若x ∈A ∩B ,则x ∈A 且x ∈B .所以①为假命题； ②当x ＝4时,x 2＝2x ,所以②为假命题；③取a ＝0,b ＝－1,则a ＞b ,但a 2＜b 2；取a ＝－2,b ＝－1,则a 2＞b 2,但a ＜b ,故若a ,b 是实数,则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件,所以③为假命题；④“∃x 0∈R ,x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋2≤3x ”,所以④为真命题.答案:④3.(应用型)若∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2,使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题,则实数λ的取值范围是________.解析:因为∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2,使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题,所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2,使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题,即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2,使得λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题,令f (x )＝2x ＋1x ,则f ′(x )＝2－1x 2,当x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时,f ′(x )＜0,当x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时,f ′(x )＞0,所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫22＝22,则λ≤2 2.答案:(－∞,22]4.(应用型)已知命题p :∀x ∈R ,不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集；命题q :f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0,若命题p ∧(綈q )是真命题,则实数a 的取值范围是________.解析:因为∀x ∈R ,不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集,所以当a ＝0时,不满足题意；当a ≠0时,必须满足⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝（22）2－4a ≤0，解得a ≥2.由f (x )＝(2a －5)x在R 上满足f ′(x )＜0,可得函数f (x )在R 上单调递减,则0＜2a －5＜1,解得52＜a ＜3.若命题p ∧(綈q )是真命题,则p 为真命题,q 为假命题,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3,则实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，52∪[3,＋∞).答案:⎣⎡⎦⎤2，52∪[3,＋∞)。

2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念及运算最新考纲1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤2020}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2. 综上，a 的值为0或2.题型一 集合的含义1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．6D ．9 答案 C解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1； 当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 解析 因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二 集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2＋1，n ∈Z， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2019x ＋2019<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 [2019，＋∞)解析 由x 2－2019x ＋2019<0，解得1<x <2019，故A ＝{x |1<x <2019}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2019. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2019}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)已知集合A ＝{y |0≤y <a ，y ∈N }，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，若A B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为________． 答案 8解析 B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，当a 分别取1,2,3时，所得集合A 分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足A B ，当a ＝4时，A ＝{0,1,2,3}，不满足AB ，同理，当a ≥5时均不满足A B .所以满足条件的正整数a 所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，1]解析 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ， 所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.(2)(2019·海南联考)已知集合A ＝{x |3x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |log 2(2x －1)≤0}，则A ∩B 等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23≤x ≤1 C.{}x | －1≤x ≤1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤23 答案 D解析 由题意得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤23，故选D. 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2019·惠州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a >2 D ．a ≥2答案 D解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1} 解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2019·烟台模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |y ＝log 2x ，x ∈R }，则A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．[1，＋∞) C ．(0,2] D ．(0,1]答案 D解析 由集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{x |y ＝log 2x ，x ∈R }＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例4(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15B ．16C ．20D ．21 答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1，2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)设数集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B答案 C解析 由题意知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x <2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x <2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B.3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4)B ．{2,4}C ．{3}D ．{2,3}答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2019·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9B ．8C ．5D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5.(2019·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}答案 D解析 由题意可得A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |－2<x <3}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤1}，故选D.6．(2019·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析 由集合A ＝N 和B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －3≤0＝{x |0≤x <3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}，故选C. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)答案 B解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．(2019·郑州模拟)已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ， 所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ， 所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－xx －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a的取值范围是______． 答案 [5，＋∞)解析 由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5.∴实数a的取值范围是[5，＋∞)．2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，请写出集合A ，B 的其他关系对应的条件p ，q 的关系． 提示 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ ) 题组二 教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠4．(2019·郑州质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0 D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }， ∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2019·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．(2)(2019·济南模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2 B ．1<b ≤2 C ．b ≤1 D ．b <1答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2019·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析 对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C.(2)(2019·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0答案 C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2019·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( )A．∃x0∈R，log2x0＝0 B．∃x0∈R，cos x0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.3x＋1)≤0，则( )(2)已知命题p：∃x0∈R，log2(0A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0答案 B解析因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故选B.题型三充分、必要条件的应用例4已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是__________． 答案 [－1,1]解析 依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)， 所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四 命题中参数的取值范围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值范围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质． 例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________． 答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．素养提升 例题中得到实数m 的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.2．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．3．(2019·西安模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 4．(2019·石家庄模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2019·天津河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92 D ．{3}答案 A解析 因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件．14．(2019·山东济南一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2，得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又由题意知A ⊆B ， ∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516.∴m ≥54或m ≤－54.。