2019秋七年级数学下册 微专题 等腰三角形中的手拉手模型-共顶点的等腰三角形中考热点课件北师大版

完整版)全等三角形之手拉手模型
本文将介绍手拉手模型中的全等三角形。

所谓手拉手模型，是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。

因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。

基本模型如下：已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。

可以得出三个结论：结论1：△ABC≌△AB'C'(SAS)，BC=B'C'；结论2：
∠BOB'=∠BAB'；结论3：AO平分∠BOC'。

在共顶点的等腰直角三角形中，也可以应用手拉手模型。

例如，如下图所示，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且
∠BAC=∠DAE=90°。

可以证明：⑴BD=CE⑵BD⊥CE。

另外，在共顶点的等边三角形中，也可以使用手拉手模型。

如下图，点A为线段BD上一点，△ABC和△ADE均是等边
三角形。

可以求出：（1）CD=BE；（2）∠DAE＋
∠BFD=180°；（3）∠BFA=∠DFA=60°。

总之，手拉手模型在全等三角形的证明中是一个非常有用的工具，能够帮助我们更好地理解和应用三角形的性质。

专题10模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (11)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (18)【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB AC BAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，BAM CANAB AC ABM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．【变式训练】【答案】①②③④⑤【分析】根据等边三角形的性质得到60DCE ∠=︒，根据平行线的判定定理得到根据全等三角形的性质得到出ACM DCN △≌△，故④60CMN ∠=︒，根据平行线的判定定理得到⑤正确．【详解】解：DAC 、ECB在ACM △与DCN 中，60CAM CDN AC CD ACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，ACM DCN ∴ ≌，故④正确；CM CN ∴=，CMN ∴ 是等边三角形，60CMN ∴∠=︒，CMN ACD ∴∠=∠，MN AB ∴∥，故①正确；30DBE ∠=︒ ，60BPE APD ∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒．故⑤正确；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC 和等边CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．求证：(1)AD BE =；(2)CPQ 为等边三角形；【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质可知60AC BC CD CE ACB DCE ==∠=∠=︒，，，从而可求出ACD BCE ∠=∠，即可利用“SAS ”证明ADC BEC △△≌，即得出AD BE =；（2）由等边三角形的性质可知60ACB DCE ︒∠=∠=，AC =BC ，即可求证60ACP BCQ ∠=∠=︒．再根据ADC BEC △△≌可得出CAP CBQ ∠=∠，利用“ASA ”证明APC BQC ≌△△，据此即可证明结论成立．【详解】（1）证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，60AC BC CD CE ACB DCE ∴==∠=∠=︒，，，ACD ACB BCD BCE DCE BCD ∠=∠+∠∠=∠+∠， ，ACD BCE ∠∠∴=，∴AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADC BEC ∴≌△△，AD BE ∴=；（2）证明：ABC 和CDE 是等边三角形，60ACB DCE AC BC ∴∠=∠=︒=，，∴18060BCQ ACP ECD ∠=︒-∠-∠=︒，∴60ACP BCQ ∠=∠=︒．ADC BEC≌ △△∴CAP CBQ ∠=∠．∴CAP CBQ AC BC ACP BCQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA APC BQC △△≌．∴C P C Q =，又∵60PCQ ∠=︒，∴CPQ 为等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a 和b ()a b >的两个等边三角形纸片ABC 和三角形C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30︒，连接AD ，BE ．如图2：在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的C DE ' ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3：在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD 的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD 的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．【答案】(1)BE AD =，证明见解析(2)BE AD =，证明见解析(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【分析】（1）先由等边三角形判断出AC BC =，CE CD =，再由旋转判断出BCE ACD ∠=∠，进而判断出BCE ACD ≌，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a b -，即可得出结论．【详解】（1）解：BE AD=证明： 点C 与1C 重合，ABC 和1C DE △，ABC ∴ 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，30BCE ACD ∠=∠=︒，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=，（2）解：BE AD =，证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=；（3）解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC CD a b +=+，如图，∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC CD a b -=-，如图，∴当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【答案】(1)见解析(2)平行EC AC CD=+(3)有最小值，5【分析】（1）由ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，推出AB AC =，AD AE =BAC DAE ∠=∠，则BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠【详解】（1）证明：∵ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒，∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC∠-∠=∠-∠即BAD CAE∠=∠在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ABD ACE ∆∆≌（）；（2）平行，EC AC CD =+，理由如下：由（1）得SAS ABD ACE ∆∆≌（），∴60B ACE ∠=∠=︒，CE BD ＝，∴BAC ACE =∠∠，∴AB CE ∥，∵CE BD =，AC BC =，∴CE BD BC CD AC CD ==+=+；（3）有最小值，理由如下：如图，在射线BC 上取一点M ，使得DM PC =，连接EM ，∵ABC ∆和DPE ∆是等边三角形，∴PE ED =，60DEP ACB ∠=∠=︒，∴180********ACD ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴12060180ACD DEP ∠+∠=︒+︒=︒，由三角形内角和为180︒，可知：180PCE CEP EPC ∠+∠+∠=︒，180ECD CDE CED ∠+∠+∠=︒，∴360PCE CEP EPC ECD CDE CED ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，又∵180PCE ECD CEP CED ACD DEP ∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，∴360180180EPC CDE ∠+∠=︒-︒=︒，∵180EDM CDE ∠+∠=︒，∴EPC EDM ∠∠=，在EPC ∆和EDM ∆中，PE ED EPC EDM PC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS EPC EDM ∆∆≌（），∴EC EM =，PEC DEM ∠∠=，∵60PEC CED DEP ∠+∠∠=︒＝，∴60CEM DEM CED ∠=∠+∠=︒，∴CEM ∆是等边三角形，∴60ECD ∠=︒，180606060ACE ECD ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180，即点E 在ACD ∠的角平分线上运动，在射线CD 上截取CP CP '=，连接EP '，在CEP ∆和CEP '∆中，60PC P C PCE P CE CE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪='⎩'，SAS CEP CEP '∆∆≌（），∴PE P E '=，则BE PE BE P E '+=+，由三角形三边关系可知，BE P E BP ''+≥，即当点E 与点C 重合，BE P E BP ''+=时，PE BE +有最小值BP '，∵325BP BE CP BC CP ''=+=+=+=，∴5BE PE BE P E BP ''+=+≥=，∴BE PE +最小值为5．【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】(1)【猜想】：如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD 的数量关系是________(2)【探究】：把DCE △绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，BE ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把DCE △绕点C 在平面内自由旋转，若5AC =，22CE =，当时，则AE 的长是________．【答案】(1)BE AD =，BE AD⊥由题意可知：Q，∠=∠=︒ACB DCE90∴∠+∠=∠ACB ACE DCEDCE 是等腰直角三角形，且224DE CE CD ∴=+=，CM AD ⊥ ，122CM EM DE ∴===，在Rt ACM △中，5AC =，DCE 是等腰直角三角形，且22DE CE CD ∴=+CN AD ⊥ ，12CN NE DE ∴===在Rt ACN V 中，AC 【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC 和DEC 中，90BCA DCE ∠=∠=︒，点E 在边AB 上，ED 与AC 交于点F ，连接AD ．(1)求证：BCE ACD △△≌；(2)求证：AB AD ⊥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据90BCA DCE ∠=∠=︒，可得BCE ACD ∠=∠，再由等腰直角三角形的性质可得,BC AC CE CD ==，可证明BCE ACD △△≌，即可求证；（2）根据BCE ACD △△≌，可得=B CAD ∠∠，从而得到90CAD CAE ∠+∠=︒，即可求证．【详解】（1）证明：∵90BCA DCE ∠=∠=︒，∴90BCE ECA ECA ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE ACD ∠=∠，∵ABC 和DEC 是等腰直角三角形，∴,BC AC CE CD ==，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCE ACD ≌△△；（2）证明：∵BCE ACD △△≌，∴=B CAD ∠∠，∵90ACB ∠=︒，∴90B CAE ∠+∠=︒，∴90CAD CAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，∴AB AD ⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB ∠的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）90ADB ∠=︒，2AD CM BD =+；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明()SAS ACE BCD ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，∴AC BC =，CD CE =，∴90ACE ECB BCD ECB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACE BCD ∠=∠，∴()SAS ACE BCD ≌，∴AE BD =，CAE CBD ∠=∠，∵90CAE AOC ∠+∠=︒，AOC BOH ∠=∠，∴90BOH CBD ∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AE BD ⊥．故答案为：AE BD =，AE BD ⊥．（2）90ADB ∠=︒，2AD CM BD =+；理由如下：如图2中，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，∴45CDE CED ∠=∠=︒，∴180135AEC CED ∠=︒-∠=︒，α<<︒），连接BD和CE，此时(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（090立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接∠的度数；①ACE②若32==，3AB ACCD=，则线段DE的长是多少？=成立，证明见解析【答案】(1)BD CE(2)①45°②310【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，ABC 与CDE 都是等腰三角形，42AC BC CD CE ACB DCE AD BE ==∠=∠=︒，，，、相交于点M ．(1)试说明：AD BE =；(2)求AMB ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)42︒【分析】（1）由“SAS ”可证≌ACD BCE V V ，可得BE AD =；（2）根据全等三角形的性质可得CAD CBE ∠=∠，再利用三角形内角和定理计算AMB ∠．【详解】（1）解：证明：ACB DCE ∠=∠ ，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ACD BCE ∴≌△△，AD BE ∴=；（2）ACD BCE ≌，CAD CBE ∴∠=∠，18042138BAC ABC ∠+∠=︒-︒=︒ ，138BAM ABM BAC CAD ABC CBE BAC ABC ∴∠+∠=∠-∠+∠+∠=∠+∠=︒，18013842AMB ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ≠≠．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE ∠=∠=︒时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC =．(2)若60BAD CAE ∠=∠≠︒，①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE ∠=∠=︒∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAC DAB BAC ∠=∠+∠，BAE CAE BAC ∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC =．（2）①当AB AD =，AE AC =时，成立．理由：如图，∵AB AD =，BAE DAC ∠=∠，AE AC =，∴()SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC =；②当AB DB =，AC EC =时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ∠=∠≠︒，∴AB DB AD =≠，AC EC AE =≠，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ≠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB ∠与DCE ∠为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ∠=︒，则∠=EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ∠=∠，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE ∠=︒可求出45DCE ACB ∠==︒，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ∠∠=，然后根据“8”子三角形即可求出EMD ∠的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE =．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ∠=∠，所以ACD BCE ∠=∠．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE =．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ∠=∠．∵90ACE ∠=︒，∴45DCE ACB ∠==︒．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ∠∠=．∵MOE COD ∠=∠，∴45EMD DCE ∠=∠=︒．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP =．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠．又因为90BCP PCA ︒∠+∠=，所以90ACQ PCA ︒∠+∠=．所以90PCQ ∠=︒，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）（1）如图1，两个等腰三角形ABC 和△ADE 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，连接BD ，CE ．则ADB △≌_______________，此时线段BD 和线段CE 的数量关系式_____________________；（2）如图2，两个等腰直角三角形ABC 和△ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD ，CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和线段CE 的关系，并说明理由；（3）如图3，分别以ABC 的两边AB ，AC 为边向ABC 外作等边ABD △和等边ACE △，连接BE ，CD ，两线交于点P ．请直接写出线段BE 和线段CD 的数量关系及PBC PCB ∠+∠的度数．【答案】（1）AEC △，BD CE =；（2）BD CE =且BD CE ⊥；（3）CD BE =，60PBC PCB ∠+∠=︒【分析】（1）先判断出DAB EAC ∠=∠，进而判断出△≌△ADB AEC ，即可得出结论；（2）先判断出DAB EAC V V ≌，得出BD CE =，DBA ECA ∠=∠，进而判断出DBC ECB ∠+∠，即可得出结论；（3）先判断出ACD AEB ≌，得出CD BE =，ADC ABE ∠=∠，进而求出60BPD ∠=︒，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．【详解】解：（1）DAE BAC ∠=∠ ，DAE BAE BAC BAE ∴∠+∠=∠+∠．即DAB EAC ∠=∠，在ADB 和AEC △中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴ ≌，BD CE ∴=，故答案为：AEC △，BD CE =；（2）BD CE =且BD CE ⊥；理由如下：90DAE BAC ∠=∠=︒ ，DAE BAE BAC BAE ∴∠+∠=∠+∠．即DAB EAC ∠=∠．在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴ ≌，BD CE ∴=，DBA ECA ∠=∠，90ECA ECB ABC ∠+∠+∠=︒ ，90DBA ECB ABC ∴∠+∠+∠=︒，即90DBC ECB ∠+∠=︒，180()90BPC DBC ECB ∴∠=︒-∠+∠=︒，BD CE ∴⊥，综上所述：BD CE =且BD CE ⊥；（3）如图3所示，BE CD =，60PBC PCB ∠+∠=︒，理由如下：ABD 和ACE △是等边三角形，AD AB ∴=，AC AE =，60ADB ABD BAD CAE ∠=∠=∠=∠=︒，BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，CAD EAB ∠=∠∴，在ACD 和AEB △中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD AEB SAS ∴ ≌，CD BE ∴=，ADC ABE ∠=∠，180BPD PBD BDP∴∠=︒-∠-∠180ABE ABD BDP=︒-∠-∠-∠180()ABD ABE BDP =︒-∠-∠+∠180()ABD ADC BDP =︒-∠-∠+∠180ABD ADB=︒-∠-∠=︒，60∴∠+∠=∠=︒．60PBC PCB BPD【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性ADB AEC是解本题的关键．质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△≌△。

专题12.19 三角形全等几何模型-“手拉手”模型（知识讲解）图一图二图三图四图五图六图七手拉手模型的定义：定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。

特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）3、如右图：手拉手模型的重要结论：结论1：∆ABC≅∆A/B/C/（SAS）BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)结论2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及顶角相等的等腰三角形底角相等）结论3：AO平分∠B O C/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）典型例题讲练：在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB 全等的三角形是，此线BD和CE的数量关系是（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及△PBC+△PCB的度数、【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD△CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，△PBC+△PCB=60°．【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；（2）通过条件证明△DAB△△EAC（SAS），得到△DBC+△ECB=90°，即可证明BD△CE，从而得到结果；≅即可得到证明；（3）根据已知条件证明DAC BAE解：（1）△AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，∠+∠=∠+∠，△DAE EAB BAC EAB即DAB EAC ∠=∠，△()△△ADB AEC SAS ≅，△BD=CE ；（2）BD=CE 且BD△CE ；理由如下：因为△DAE=△BAC=90°，如图2．所以△DAE+△BAE=△BAC+△BAE ．所以△DAB=△EAC ．在△DAB 和△EAC 中，,,.AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△DAB△△EAC （SAS ）．所以BD=CE ，△DBA=△ECA ．因为△ECA+△ECB+△ABC=90°，所以△DBA+△ECB+△ABC=90°．即△DBC+△ECB=90°．所以△BPC=180°-（△DBC+△ECB ）=90°．所以BD△CE ．综上所述：BD=CE 且BD△CE ．（3）如图3所示，BE=CD ，△PBC+△PCB=60°．由图可知60DAB EAC ∠=∠=︒，AD=AB ，AE=AC ，△+DAB BAC EAC BAC ∠∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，△()△DAE △BAE SAS ≅，△BE=CD ，ABE ADC ∠=∠，又△60BDA ∠=︒，△60ADC BDC ABE BDC ∠+∠=∠+∠=︒，△120BPC ABP BDC BDA ∠=∠+∠+∠=︒，△△PBC+△PCB=60°．【点拨】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键． 举一反三变式1：如图，AC △BC ，DC △EC ，AC ＝BC ，DC ＝EC ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）求△AFD 的度数．【答案】（1）详情见解析；（2）90AFD ∠=︒【分析】（1）利用角的等量代换求出ACE BCD ∠=∠，再判断ACE ≌BCD △即可求解； （2）利用全等三角形的性质得到E D ∠=∠，再通过角的等量代换求解即可．解：（1）△AC BC ⊥，DC EC ⊥△90ACB ECD ∠=∠=︒△ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠△ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE ≌BCD △(SAS)△AE BD =（2）设BD 与CE 的交点为G ，如图所示：△ACE ≌BCD △△E D ∠=∠△180EFG FGE E ++=︒∠∠∠，180GCD CGD D ++=︒∠∠∠，且BGE CGD ∠=∠△90EFG GCD ==︒∠∠△90AFD ∠=︒【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活运用角的等量代换是解题的关键．例题2．已如：如图1，B ，C ，D 三点在一条直线上，△ABC 和△ECD 均为等边三角形，连接BE ，AD 交于点F ，BE 交AC 于点M ，AD 交CE 于点N ．（1）以下结论正确的有 ；△AD =BE △△EFD =60° △MC =NC △△AMB =△END（2）探究：将图1中的△ECD 绕点C 顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示． △问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；△连接FC ，如图3所示，求证：FC 平分△BFD【答案】（1）△△△；（2）△ △△；△见解析．【分析】（1）△根据等边三角形的性质得CA =CB ，CD =CE ，△ACB =60°，△DCE =60°，则△ACE =60°，利用“SAS ”可判断△ACD △△BCE ，则AD =BE ；△根据三角形外角关系得△EFD =△EBC +△ADC =△DAC +△ADC =△ACB =60°,从而可得结论； △连接MN ，证明△MCN 是等边三角形即可得出结论；△60,60AMB EBC END NDC ∠=︒+∠∠=︒+∠，而AC ≠CD 得CAD CDA ∠≠∠，从而可得出结论；（2）△方法同（1），逐个结论进行证明即可；△作,CG BE CH AD ⊥⊥于点G ，H ，证明△BGC △△AHC ，△CGF △△CHF 可得△CFG CFH =∠，从而可得结论．解：（1）△△ABC ，△ECD 是等边三角形，△AC=BC ，CE=CD ，△ACB=△ECD=60°△△ACD=△BCE=△120°△△ACD△△BCE△AD=BE ，故△正确；△△FEN=△NDC又△△ENF=△CND△△EFD=△ECD=60°，故△正确；又△△ACE=△NCD=60°△MEC=△NDCEC=CD△△EMC△△DNC△MC=NC ，故△正确；又△△AMB=△ACB+△ECB=60°+△ECB ，△END=△ECD+△NDC=60°+△NDC而AC CD ≠△CAD CDA ∠≠∠△MBC NDC ∠≠∠△MBC END ∠≠∠，故△错误；故答案为：△△△；（2）△△ACB=△ECD=60°△△BCE=△ACD又AC=BC ，CE=CD△△ACD△△BCE△AD=BE,故△正确；△△ADC=△BEC又△ENF=△CND△△EFD=△ECD=60°，故△正确△△ACE≠60°=△ECD△△EMC 不全等于△DNC ，△MC≠NC ，故△错误（3）,CG BE CH AD ⊥⊥于点G ，H ，如图，由(2)△知，△CBG=△CAHAC=BC△BGC=△AHC=90°△△BGC△△AHC△CG=CH又CF=CF ，△CGF=△CHF=90°△△CGF△△CHF△△CFG=△CFH△FC 平分△BFD【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．举一反三变式：如图，在ABC∆中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则AOB∠的度数为（）A．100︒B．120︒C．130︒D．150︒【答案】B【分析】先证明△DCB△△ACE，求出△CAE＝△CDB，再利用“8字型”证明△AOH＝△DCH ＝60°即可解决问题．解：如图：AC与BD交于点H，△△ACD，△BCE都是等边三角形，△CD＝CA，CB＝CE，△ACD＝△BCE＝60°，△△DCB＝△ACE，在△DCB和△ACE中，CD CADCB ACECB CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△DCB△△ACE，△△CAE＝△CDB，△△DCH＋△CHD＋△BDC＝180°，△AOH＋△AHO＋△CAE＝180°，△DHC＝△OHA，△△AOH＝△DCH＝60°，△△AOB＝180°−△AOH＝120°．故选：B.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．例题3．（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若△BAC=△DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD△△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：△BD=EC；△△BOC=60°；△△AOE=60°；△EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，△ABC=△BDC=60°，试探究△A与△C的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）△△△；（3）△A+△C=180°．【分析】（1）利用等式的性质得出△BAD=△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD△△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出△BOC=60°，再判断出△BCF△△ACO，得出△AOC=120°，进而得出△AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出△OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，△DBP=60°，进而判断出△ABD△△CBP（SAS ），即可得出结论．（1）证明：△△BAC=△DAE ，△△BAC+△CAD=△DAE+△CAD ， △△BAD=△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，△△ABD△△ACE ；（2）如图2，△△ABC 和△ADE 是等边三角形， △AB=AC ，AD=AE ，△BAC=△DAE=60°， △△BAD=△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，△△ABD△△ACE ，△BD=CE ，△正确，△ADB=△AEC ， 记AD 与CE 的交点为G ，△△AGE=△DGO ，△180°-△ADB -△DGO=180°-△AEC -△AGE ， △△DOE=△DAE=60°，△△BOC=60°，△正确，在OB上取一点F，使OF=OC，△△OCF是等边三角形，△CF=OC，△OFC=△OCF=60°=△ACB，△△BCF=△ACO，△AB=AC，△△BCF△△ACO（SAS），△△AOC=△BFC=180°-△OFC=120°，△△AOE=180°-△AOC=60°，△正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12 CE，△BD=CE，△CF=OF=12 BD，△OF=BF+OD，△BF＜CF，△△OBC＞△BCF，△△OBC+△BCF=△OFC=60°，△△OBC＞30°，而没办法判断△OBC大于30度，所以，△不一定正确，即：正确的有△△△，故答案为△△△；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，△△BDC=60°，△△BDP 是等边三角形，△BD=BP ，△DBP=60°，△△BAC=60°=△DBP ，△△ABD=△CBP ，△AB=CB ，△△ABD△△CBP （SAS ），△△BCP=△A ，△△BCD+△BCP=180°，△△A+△BCD=180°．【点拨】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．举一反三变式：如图，C 为线段AE 上一动点(不与点,A E 重合)，在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形,CDE AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论：①AD BE =；①//PQ AE ；①60AOB ∠=︒；①CPQ 是等边三角形，恒成立的是______．【答案】△△△△【分析】△由△ABC 和△CDE 都是等边三角形，可知AC=BC ，CD=CE ，△ACB=△DCE=60°，所以△ACD=△BCE=120°，所以△ACD△△BCE （SAS ），从而AD=BE ，故△正确；△△由△ACD△△BCE 得△CBE=△DAC ，加之AC=BC ，易得△ACB=△BCQ=60°，可证△CQB△△CPA （ASA ），从而CP=CQ ，再加之△PCQ=60°，可推出△PCQ 为等边三角形，易得△PQC=60°=△DCE ，根据内错角相等，两直线平行，可知△△正确；△结合△ACD△△BCE 和三角形的外角的性质，可得△AOB=60°，故△正确．解：△△等边△ABC 和等边△CDE ，△AC=BC ，CD=CE ，△ACB=△DCE=60°，△△ACB+△BCD=△DCE+△BCD ，即△ACD=△BCE ，△在△ACD 与△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝△△ACD△△BCE （SAS ），△AD=BE ，故△正确；△△△△ACD△△BCE ，△△CBE=△DAC ，△由△ACB=△DCE=60°得△BCD=60°，△△ACP=△BCQ ，又△AC=BC ，△△CQB△△CPA （ASA ），△CP=CQ ，又△△PCQ=60°△△PCQ 为等边三角形，△△PQC=60°，△△PQC=60°=△DCE△PQ△AE故△△正确；△△△ACD△△BCE （SAS ），△△CAD=△CBE ，△△AOB=△CAD+△CEB=△CBE+△CEB ，又△△ACB=△CBE+△CEB=60°，△△AOB=△ACB=60°，故△正确.故答案为：△△△△.【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练应用三角形全等的判定是解题的关键．。

1 手拉手模型
模型 手拉手
如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB ＝AC ，AD
＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝α．
结论：连接BD 、CE ，则有△BAD ≌△CAE ．
模型分析
如图①，
∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ．
∵∠BAC ＝∠DAE ＝α，
∴∠BAD ＝∠CAE ．
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
﹐﹐
﹐ 图②、图③同理可证．
（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．
模型实例
例1 如图，△ADC 与△EDG 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ，问：
（1）AG 与CE 是否相等？
（2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？
解答：
C D E A B 图① C D E A B 图② C
D E A B 图③ C D E G H A O。

初中几何经典模型总结（手拉手模型）模型可以让同学更快的进入到几何之中，产生兴趣。

也是近来学习初中几何不可或缺的一种重要方法。

下面给大家介绍一种经典几何模型---手拉手模型，这也是历年数学中考常考的几何压轴题型之一。

手拉手模型的概念:1、手的判别：判断左右：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。

2、手拉手模型的定义：定义: 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

（左手拉左手，右手拉右手）例如：3、手拉手模型的重要结论三个固定结论:结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS)BC=B'C'（左手拉左手等于右手拉右手）结论2：∠BOB'=∠BAB'（用四点共圆证明）结论3: AO平分∠BOC'（用四点共圆证明）例题解析：类型一共顶点的等腰直角三角形中的手拉手例1：已知：如图△ABC 和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°．求证：BD=CE．分析：要证BD=CE可转化为证明△BAE≌△CAD，由已知可证AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，因为∠BAC∠CAE=∠EAD ∠CAE，即可证∠BAE=∠CAD，符合SAS，即得证．解答：证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC∠CAE=∠EAD ∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，AB=AC,∠BAE=∠CAD，AE=AD∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BD=CE．类型二共顶点的等边三角形中的手拉手例2：图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形。

(1)如图1，求证：AD=CE；(2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.①求证：∠CFA=60°；②求证：CF BF=AF.分析：（1）如图1，利用等边三角形性质得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再证∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE得出结论；（2）①如图2，利用（1）中的全等得：∠BCE=∠DAB，根据两次运用外角定理可得结论；②如图3，作辅助线，截取FG=CF，连接CG，证明△CFG是等边三角形，并证明△ACG≌△BCF，由线段的和得出结论．解答：证明：(1)如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形，∴BD=BE,AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC ∠CBD=∠DBE ∠CBD，即∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB=AC∠ABD=∠CBEBD=BE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD=CE，(2)①如图2,由(1)得：△ABD≌△CBE，∴∠BCE=∠DAB，∵∠ABC=∠BCE∠CEB=60°，∴∠ABC=∠DAB ∠CEB=60°，∵∠CFA=∠DAB ∠CEB，∴∠CFA=60°，②如图3,在AF上取一点G,使FG=CF,连接CG,∵∠AFC=60°，∴△CGF是等边三角形，∴∠GCF=60°，CG=CF，∴∠GCB ∠BCE=60°，∵∠ACB=60°，∴∠ACG ∠GCB=60°，∴∠ACG=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，∵AF=AG GF，∴AF=BF CF.类型三共顶点正方形中的手拉手例3：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。

模型介绍共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形*常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：（1）BCD ACE≅△△（2）AE BD=（3）AFB DFE∠=∠（4）FC BFE∠平分【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1图2图3图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图4手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

手拉手模型特点：“两等腰，共顶点”模型探究：例题精讲考点一：等边三角形中的手拉手模型【例1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．有下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ为正三角形．其中正确的结论有_____________.解：∵△ABC和△DCE是正三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°＝∠ACB，在△ACP和△BCQ中∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，∴②正确；PC＝QC，∴△CPQ为正三角形∴⑤正确∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝60°＝∠CAD+∠ADC，∴∠CAD+∠BEC＝60°，∴∠AOB＝∠CAD+∠BEC＝60°，∴③正确；∵△DCE 是正三角形，∴DE ＝DC ，∵∠AOB ＝60°，∠DCP ＝60°，∠DPC ＞∠AOB ，∴∠DPC ＞∠DCP ，∴DP ＜DC ，即DP ＜DE ，∴④错误；所以正确的有①②③⑤变式训练【变式1-1】．如图，ABD ∆，AEC ∆都是等边三角形，则BOC ∠的度数是()A ．135︒B ．125︒C ．120︒D ．110︒解：ABD ∆ ，AEC ∆都是等边三角形，AD AB ∴=，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，60ADB DBA ∠==︒，DAB BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE ∴∠=∠，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，ADC ABE ∴∠=∠，BOC BDO DBA ABE∴∠=∠+∠+∠BDO DBA ADC =∠+∠+∠ADB DBA=∠+∠6060=︒+︒120=︒，BOC ∴∠的度数是120︒故选：C ．【变式1-2】．如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM ＝CN ；③AC ＝DN ；④∠DAE ＝∠DBC ．其中正确的有（）A ．②④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解：∵△DAC 和△EBC 均是等边三角形，∴AC ＝DC ，BC ＝CE ，∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE≌△DCB，①正确由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误；∵∠DBC+∠CDB＝60°∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确，∴正确答案①②④故选：C．【变式1-3】．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝．解：连接CE，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CE于点N，∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，∵AB＝BC＝5，∴DC＝2，∵∠ACB＝∠ACE＝60°，FM⊥BC，FN⊥CE，∴FM＝FN，＝DC•FM，S△FCE＝CE•FN，∵S△DFC∴，∴，故答案为：．考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型【例2】．如图，ACB∆和ECD∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD∠=∠=︒，D为AB边上一点，若5AD=，12BD=，则DE的长为__________解：ACB∆和ECD∆都是等腰直角三角形，CD CE∴=，AC BC=，90ECD ACB∠=∠=︒，ACE BCD∴∠=∠，在ACE∆和BCD∆中，CE CDACE BCD AC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS∴∆≅∆，12BD AE∴==，45CAE CBD∠=∠=︒，90EAD∴∠=︒，222212513DE AE AD∴=+=+=．变式训练【变式2-1】．如图，3AB=，2AC=，连结BC，分别以AC、BC为直角边作等腰Rt ACD∆和等腰Rt BCE∆，连结AE、BD，当AE最长时，BC的长为()A．22B．3C．11D．17解：90ACD BCE∠=∠=︒，ACD ACB BCE ACB∴∠+∠=∠+∠，即ACE DCB∠=∠，在ACE ∆和DCB ∆中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，AC CD == ，90ACD ∠=︒，2AD ∴=，3AB = ，∴当点A 在BD 上时，BD 最大，最大值为325+=，如图，过C 作CE AD ⊥于E ，由等腰三角形“三线合一”得1DE AE ==，314BE AB AE ∴=+=+=，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得1DE =，BC ∴=．故选：D ．【变式2-2】．如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，点D 为BC 中点，点E 在AB 边上，连接DE ，过点D 作DE 的垂线，交AC 于点F ．下列结论：①AED CFD ∆≅∆；②EF AD =；③BE CF AC +=；④212AEDF S AD =四边形，其中正确的结论是（填序号）．解：AB AC = ，90BAC ∠=︒，点D 为BC 中点，12BD CD AD BC ∴===，45BAD CAD C ∠=∠=∠=︒，AD BC ⊥，BC =，DF DE ⊥ ，90EDF ADC ∴∠=∠=︒，ADE CDF ∴∠=∠，AD CD = ，BAD C ∠=∠，()AED CFD ASA ∴∆≅∆，故①正确；当E 、F 分别为AB 、AC 中点时，12EF BC AD ==，故②不一定正确；ADE CDF ∆≅∆ ，AE CF ∴=，BE AE AB += ，BE CF AC ∴+=，故③正确；ADE CDF ∆≅∆ ，ADE CDF S S ∆∆∴=，212ADF CDF ADC AEDF S S S S AD ∆∆∆∴=+==⨯四边形，故④正确；故答案为：①③④．【变式2-3】．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ．（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴＝＝，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；（2）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，又∵＝＝，AE＝2∴＝，∴BF＝，又∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2+BF2＝12+（）2＝3，∴EF＝，∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝．考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型【例3】．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD ＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是_____．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴A、B、M、O四点共圆，∴∠AMO＝∠ABO＝72°，同理可得：D、C、M、O四点共圆，∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故③错误；变式训练【变式3-1】．如图，等腰ABC ∆中，120ACB ∠=︒，4AC =，点D 为直线AB 上一动点，以线段CD 为腰在右侧作等腰CDE ∆，且120DCE ∠=︒，连接AE ，则AE 的最小值为()A ．23B ．4C ．6D ．8解：连接BE 并延长交AC 延长线于F ，120ACB ∠=︒ ，AC BC =，30CAB CBA ∴∠=∠=︒，120DCE ACB ∠=︒=∠ ，ACD BCE ∴∠=∠，AC BC = ，CD CE =，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，CB 为定直线，30CBE ∠=︒为定值，∴当D 在直线AB 上运动时，E 也在定直线上运动，当AE BE ⊥时，AE 最小，30CAB ABC CBE ∠=︒=∠=∠ ，90AFB ∴∠=︒，∴当E 与F 重合时，AE 最小，在Rt CBF ∆中，90CFB ∠=︒，30CBF ∠=︒，122CF CB ∴==，6AF AC CF ∴=+=，AE ∴的最小值为6AF =，故选：C ．【变式3-2】．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，∠BAC ＝120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM ＝∠ACB ，点D 为边BC （不含端点）上的任意一点，在射线CM 上截取CE ＝BD ，连接AD ，DE ，AE ．设AC 与DE 交于点F ，则线段CF 的最大值为．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°；∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD．∴＝．∴AD2＝AF•AC．∴AD2＝5AF．∴AF＝．∴当AD最短时，AF最短、CF最长．∵当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD＝AB＝．∴AF最短＝＝．∴CF最长＝AC﹣AF最短＝5﹣＝．故答案为：．【变式3-3】.【问题背景】（1）如图1，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AQ BC ⊥于点Q ，则BC AB =；【知识应用】（2）如图2，ABC ∆和ADE ∆都是等腰三角形，120BAC DAE ∠=∠=︒，D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．求证：ADB AEC ∆≅∆．（3）请写出线段AD ，BD ，CD之间的等量关系，并说明理由．（1）解：AB AC = ，120BAC ∠=︒，AQ BC ⊥，30B C ∴∠=∠=︒，BQ QC =，12AQ AB ∴=，由勾股定理得：32BQ AB ===，BC ∴=，∴BC AB ==（2）证明：BAC DAE ∠=∠ ，BAC BAE DAE BAE ∴∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠，在ADB ∆和AEC ∆中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴∆≅∆；（3）解：CD BD =+，理由如下：由（1）可知：DE =，ADB AEC ∆≅∆ ，EC BD ∴=，CD DE EC BD ∴=+=+．实战演练1.风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB AD =，B D ∠=∠，BAE DAC ∠=∠，那么AC 与AE 相等．小飞直接证明ABC ADE ∆≅∆，他的证明依据是()A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS证明：BAE DAC ∠=∠ ，BAE EAC DAC EAC ∴∠+∠=∠+∠，BAC DAE ∴∠=∠，AB AD = ，B D ∠=∠，()ABC ADE ASA ∴∆≅∆，AC AE ∴=，故选：C ．2．如图，ABD ∆，AEC ∆都是等边三角形，则BOC ∠的度数是()A ．135︒B ．125︒C ．120︒D ．110︒解：ABD ∆ ，AEC ∆都是等边三角形，AD AB ∴=，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，60ADB DBA ∠==︒，DAB BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE ∴∠=∠，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，ADC ABE ∴∠=∠，BOC BDO DBA ABE∴∠=∠+∠+∠BDO DBA ADC =∠+∠+∠ADB DBA=∠+∠6060=︒+︒120=︒，BOC ∴∠的度数是120︒，故选：C ．3．如图，点A 是x 轴上一个定点，点B 从原点O 出发沿y 轴的正方向移动，以线段OB 为边在y 轴右侧作等边三角形，以线段AB 为边在AB 上方作等边三角形，连接CD ，随点B 的移动，下列说法错误的是()A ．BOA BDC∆≅∆B ．150ODC ∠=︒C ．直线CD 与x 轴所夹的锐角恒为60︒D ．随点B 的移动，线段CD 的值逐渐增大解：A ．OBD ∆ 和ABC ∆都是等边三角形，60ABC OBD ODB BOD ∴∠=∠=∠=∠=︒，BO BD =，BC AB =，ABC DBA OBD DBA ∴∠-∠=∠-∠，CBD ABO ∴∠=∠，()BOA BDC SAS ∴∆≅∆，故A 不符合题意；B ．BOA BDC ∆≅∆ ，90BDC BOA ∴∠=∠=︒，6090150ODC BDO BDC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故B 不符合题意；C ．延长CD 交x 轴于点E ，150ODC ∠=︒ ，18030ODE ODC ∴∠=︒-∠=︒，90BOA ∠=︒ ，60BOD ∠=︒，30DOA BOA BOD ∴∠=∠-∠=︒，60DEA DOA ODE ∴∠=∠+∠=︒，∴直线CD 与x 轴所夹的锐角恒为60︒，故C 不符合题意；D ．BOA BDC ∆≅∆ ，CD OA ∴=，点A 是x 轴上一个定点，OA ∴的值是一个定值，∴随点B 的移动，线段CD 的值不变，故D 符合题意；故选：D ．4．如图，3AB =，2AC =BC ，分别以AC 、BC 为直角边作等腰Rt ACD ∆和等腰Rt BCE ∆，连结AE 、BD ，当AE 最长时，BC 的长为()A ．22B ．3C ．11D ．17解：90ACD BCE ∠=∠=︒ ，ACD ACB BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠，即ACE DCB ∠=∠，在ACE ∆和DCB ∆中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，2AC CD == ，90ACD ∠=︒，222AD AC CD ∴=+=，3AB = ，∴当点A 在BD 上时，BD 最大，最大值为325+=，如图，过C 作CE AD ⊥于E ，由等腰三角形“三线合一”得1DE AE ==，314BE AB AE ∴=+=+=，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得1DE =，2217BC CE BE ∴=+=．故选：D ．5．如图，线段OA 绕点O 旋转，线段OB 的位置保持不变，在AB 的上方作等边PAB ∆，若1OA =，3OB =，则在线段OA 旋转过程中，线段OP 的最大值是()A 10B ．4C ．5D ．5解：如图，以AO 为边，在AO 的左侧作等边AOH ∆，连接BH ，AOH ∆ ，ABP ∆是等边三角形，1AO AH OH ∴===，AB AP =，60OAH BAP ∠=∠=︒，OAP HAB ∴∠=∠，在OAP ∆和HAB ∆中，AO AH OAP HAB AP AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OAP HAB SAS ∴∆≅∆，OP BH ∴=，在OPH ∆中，BH OH OB <+，∴当点H 在BO 的延长线上时，BH 的最大值4OH OB =+=，OP ∴的最大值为4，故选：B ．6．如图，O 是等边△ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，则∠AOB ＝150°．解：连接OO ′，如图，∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，∴BO ′＝BO ＝4，∠O ′BO ＝60°，∴△BOO ′为等边三角形，∴∠BOO ′＝60°，∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠O ′BO ﹣∠ABO ＝∠ABC ﹣∠ABO ，即∠O ′BA ＝∠OBC ，在△O ′BA 和△OBC中，∴△O ′BA ≌△OBC （SAS ），∴O ′A ＝OC ＝5，在△AOO ′中，∵OA ′＝5，OO ′＝4，OA ＝3，∴OA 2+OO ′2＝O ′A 2，∴∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝60°+90°＝150°，故答案为：150°．7．如图，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，则CD＝﹣．解：∵AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴BC＝AB＝2，DE＝AE＝3，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝45°＝∠ACB，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ECB＝∠ECD＝90°，∴DE2＝EC2+CD2，∴18＝（2+CD）2+CD2，解得：CD＝﹣，CD＝﹣﹣（不合题意舍去），故答案为：﹣．8．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，连接CD、BE，点F、G分别为DE、BE 的中点，连接FG．在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，若AB＝3，AD＝2，则线段FG的长为．解：连接BD，∠BAD＝90°﹣∠BAE，∠CAE＝90°﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE．又AD＝AE，AB＝AC，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°﹣45°＝90°．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，∴DE＝2，BC＝3．设BD＝x，则DC＝2+x，在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2＝BC2，所以x2+（2+x）2＝18，解得x1＝﹣﹣（舍去），x2＝﹣+．∵点F、G分别为DE、BE的中点，∴FG＝BD＝．故答案为．9．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．解：猜测AE＝BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；∵∠AFC＝∠DFH，∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．10．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．11．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．解：（1）BD＝CE，理由如下：∵△ABC和△ADE是都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝120°；+S△CDE＝S△ADE，理由如下：（3）S△ABE∵△ABC和△ADE是都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），＝S△ACE，∠ABC＝∠ACE＝60°，∴S△ABD∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，∴∠ABC＝∠ECD，∴AB∥CE，＝S△ABC，∴S△ABE+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∵S△ACE+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△ACD+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABC+S△CDE＝S△ADE．∴S△ABE12．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．（1）求证：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求的值．②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠EAB＝∠CAD，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠BAD＝90°，∴∠DOB＝90°，即BE⊥DC；（2）解：①取DE的中点H，连接GH、FH，∵点G是BD的中点，∴GH∥BE，GH＝BE，同理，FH∥CD，FH＝CD，∵BE＝CD．BE⊥DC，∴GH＝FH，GH⊥FH，∴△HGF为等腰直角三角形，∴GF＝GH，∵GH＝BE，∴GF＝BE，∵BE＝BC，∴＝；②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，在△BAE和△BAC中，，∴△BAE≌△BAC（SSS），∴∠BAE＝∠BAC＝135°，∴∠DAE＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD+∠OAE＝45°，∵△BAE≌△DAC，∴AM＝AN，又AM⊥BE，AN⊥CD，∴OA平分∠BOC，∴∠BOA＝∠COA＝45°，∴∠DOA＝∠EOA＝135°，∴∠ODA+∠OAD＝45°，∴∠OAE＝∠ODA，∴△ODA∽△OAE，∴＝，即OD•OE＝OA2＝4，∴△DOE的面积＝×OD•OE＝2．13．如图（1），在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD 为一边在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°，AD＝AE，解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图（2），线段CE、BD之间的数量关系为CE＝BD；位置关系为CE⊥BD；（不用证明）②当点D在线段BC的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述CE⊥BD成立的理由．解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．理由：如图（2），∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：CE＝BD；CE⊥BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．如图（3），∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，且∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）如图（4）所示，当∠BCA＝45°时，CE⊥BD．理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG，∠AGC＝45°，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．14．（注意：本题中的说理过程中的每一步必须注明理由，否则不得分）如图1，在△ABC 中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°；①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为CF⊥BD，线段CF、BD的数量关系为CF＝BD；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．理由如下：由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD．理由如下：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．15．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，由题意知，AE＝4，AB＝8，∵＝，∴AG＝6，AD＝12，∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，∵，AE＝4，AB＝8∴AG＝6，AD＝12．∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，∵，∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA＝∠AGD，∴A，E，G，Q四点共圆，∴∠GQP＝∠PAE＝90°，∴GD⊥EB，连接EG，BD，∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．。

第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录【类型一 共顶点的等边三角形】 (1)【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 (10)【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 (18)【类型一 共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点C 是AB 上一点，ACM △、CBN △都是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．(1)求证：NAC BMCÐ=Ð(2)连接EF ，判断CEF △的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CEF △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明()SAS ACN MCB V V ≌，即可得证；（2）由（1）可得EAC FMC Ð=Ð，继而得到ACE MCF Ð=Ð，证明()ASA ACE MCF V V ≌，得CE CF =，根据等边三角形的判定即可得出结论；掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵ACM △与CBN △为等边三角形，∴60ACM BCN Ð=Ð=°，AC MC =，NC BC =，∴ACM MCN BCN NCM Ð+Ð=Ð+Ð，即ACN MCB Ð=Ð，在ACN △和MCB △中，AC MC ACN MCB NC BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ACN MCB V V ≌；∴NAC BMC Ð=Ð；（2）CEF △为等边三角形．理由：∵180ACB Ð=°，60ACM BCN Ð=Ð=°，∴180606060MCF ACE °-Ð=°-=°Ð°=，∵NAC BMC Ð=Ð，即EAC FMC Ð=Ð，在ACE △和MCF △中，EAC FMC AC MCACE MCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ACE MCF V V ≌∴CE CF \=，∵60MCF Ð=°，∴CEF △是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE，其中AC BC>．(1)求证：AD BE =；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF =；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH =，5CH =，直接写出BH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8BH =【分析】（1）由“SAS ”可证ACD ECB △≌△，可得AD BE =；（2）由“ASA ”可证BCG DCF V V ≌，可得BG DF =；（3）如图3，过点C 作CP BE ^于P ，CN AD ^于N ，由面积法可求CP CN =，可证60BHC CHA Ð=Ð=°，由直角三角形的性质可求 2.5PH HN ==，由“AAS ”可证BCP DCN V V ≌，可得 5.5DN BP ==，即可求解．【详解】（1）证明：BCD QV 和ACE △是等边三角形，BC CD \=，AC CE =，60BCD ACE Ð=Ð=°，BCE DCA \Ð=Ð，在ACD V 和ECB V 中，AC CE ACD ECB CD BC =ìïÐ=Ðíï=î，EBC ADCÐ+Ð+ Q，DBH EBC Ð=Ð\Ð=Ð=°，60DHB DCB\Ð=°，120BHA(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若：AO平分DOEÐ；(3)在（2）的条件下再探索【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；=+，理由见解析．(3)OE OA OC由（1）知：ABE ADC △≌△，BE ∴ABE ADC S S =V V ，∴11··22BE AM DC AN =，∴AM AN =，∴点在DOE Ð的平分线上， 即由（1）知：ABE ADC△≌△，Ð=Ð，∴ADC ABEÐ+Ð=Ð+Ð∴ADC BDO ABE BDO V中，在BOD＝а-Ð-Ð-Ð180BOD BDO DBA(1)如图1，当点D 在BC 边上时，连接CE ，此时AB ，CD ，CE 之间的数量关系为______，ACE Ð=______；(2)如图2，当点D 在BC 的延长线上时，连接CE ，（1）中AB ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 的中点F ，连接EF ，当EF 的值最小时，请直接写出CFE Ð的度数．【答案】(1)CE CD AB +=；60°(2)不成立，CE CD AB -=，证明见解析(3)30°【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明ABD ACE ≌△△，可得ACE B Ð=Ð，CE BD =，即可得到AB ，CD ，CE 之间的数量关系；（2）同（1）中原理证明ABD ACE ≌△△，可得AB ，CD ，CE 之间新的数量关系；（3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，根据ABD ACE ≌△△，证明BDG CFE V V ≌，则可得EF DG =，当GD BC ^时，取最小值，则EF 此时也去最小值，即可求得此时CFE Ð的值，见手拉手模型则考虑证全等，将EF 转换到ABD △中等量的中线看最小值，是解题的关键．【详解】（1）解：ABC QV 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE \==，BAC DAE Ð=Ð，,60AB BC B =Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在BAD V 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS BAD CAE \△≌△，CE BD \=，60ACE B Ð=Ð=°，CE DC BD DC BC AB \+=+==，即CE CD AB +=，故答案为：CE CD AB +=；60°；【类型二 共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）ABC V 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC V 内部，点E 在ABC V 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE =，BD CE^(2)BD CE =，BD CE ^，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形 结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC V 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°，∴AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-， 即BD CE =，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ^，∴BD CE ^；（2）BD CE =，BD CE ^，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABCV 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°，∴AB AC =，AD AE =，∵BAD BAC DAC Ð=Ð-Ð，CAE DAE DAC Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，在ABC V 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE =，ABD ACE Ð=Ð，∵A F B G F C Ð=Ð，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°，∴90CGF BAF Ð=Ð=°，即BD CE ^；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC V 与CDE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB Ð的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD =，AE BD ^；（2）90ADB Ð=°，2AD CM BD =+；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明()SAS ACE BCD V V ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD VV ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，∴AC BC =，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案为：，．（2），；理由如下：如图2中，∵和均为等腰直角三角形，，∴，CD CE =90ACE ECB BCD ECB Ð+Ð=Ð+Ð=°ACE BCD Ð=Ð()SAS ACE BCD V V ≌AE BD =CAE CBD Ð=Ð90CAE AOC Ð+Ð=°AOC BOH Ð=Ð90BOH CBD Ð+Ð=°90AHB Ð=°AE BD ^AE BD =AE BD ^90ADB Ð=°2AD CM BD =+ACB △DCE △90ACB DCE Ð=Ð=°45CDE CED Ð=Ð=°∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，为斜边上的高，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B ，C 重合），连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC =CE +CD ；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC =CE +CD 是否还成立？若不成立，请猜想BC ，CE ， CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC ，CE ， CD 之间存在的数量关系及直线CE 与直线BC 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2） 结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由见解析；（3）BC CD CE =- ；CE BC ^，理由见解析【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC =BD +CD =CE +CD 成立；（2）同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC BD CD CE CD =-=-成立，故BC =CE +CD 不成立；（3）补全图形，同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），利用全等三角形的性质即可作出结论：BC CD CE =- ；180135AEC CED Ð=°-Ð=°ACE BCD V V ≌AE BD =135BDC AEC Ð=Ð=°1354590ADB BDC CDE Ð=Ð-Ð=°-°=°DCE CM DE CM DM ME ==2DE CM =2AD DE AE CM BD =+=+CE BC ^．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB =AC ，AD =AE ，90BAC DAE Ð=Ð=°∴90BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð=°∴BAD CAE Ð=Ð∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）∴BD =CE∴BC =BD +CD =CE +CD（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由如下：Q 90BAC DAE Ð=Ð=°\BAC CAD DAE CADÐ+Ð=Ð+Ð\BAD CAEÐ=Ð又∵AB =AC ，AD =AE\()BAD CAE SAS @V V \BD CE=\BC BD CD CE CD =-=-（3）BC CD CE =- ；CE BC ^；理由如下：补全图形如图3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，(1)如图1，若30CAD Ð=°，10DCB Ð=°，求DEB Ð的度数；(2)如图2，若A 、D 、E 三点共线，AE 与BC 交于点F ，且CF BF =，AD (3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ^，延长CD 与AB 交于点BM CG =，连接NM ，请猜想CN 、NM 、BG 之间的数量关系并证明你的猜想．90ACB DCE Ð=Ð=°Q，ACB BCD DCE BCD \Ð-Ð=Ð-Ð，ACD BCE ÐÐ\=，在ACD V 和BCE V 中，CA CB ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，ACD V \≌()SAS BCE V ，30CAD CBE \Ð=Ð=°，10DCB Ð=°Q ，901080ECB \Ð=°-°=°，180803070CEB \Ð=°-°-°=°，45CED Ð=°Q ，704525DEB \Ð=°-°=°；（2）如图2中，过点C 作CQ DE ^于Q ．同理可得：ACD V ≌BCE V ，ADC CEB \Ð=Ð，3AD BE ==，45CDE CED Ð=Ð=°Q ，135ADC CEB \Ð=Ð=°，90AEB \Ð=°，在CFQ △和BFE Ð中，AD CD ^Q ，90ADC \Ð=°，同理：ACD V ≌BCE V 90ADC BEC \Ð=Ð=90BCT ECB Ð+Ð=QBM CG =Q ，BM BT \=，在BNM V 和BNT V 中，45BM BT NBM NBT BN BN =ìïÐ=Ð=°íï=î，BNM \V ≌()SAS BNT V ，MN NT \=，CN MN CN NT CT BG \+=+==．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【类型三 共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边BC 上的高AH 叫做的“余高”．(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；ABC V ADE V AB AC AD AE ===ABC ÐADE ÐABC V ADE V ABC V ADE V ABC V ADE V BD CE ABD △ACE △【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形全等，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和三角形全等的判定．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC V 中，AB AC BC ¹¹．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE Ð=Ð=°时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC =．(2)若60BAD CAE Ð=й°，①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD =，AE AC =，60DAB CAE Ð=Ð=°，证明BAE DAC ≌V V ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌V V ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE V 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE Ð=Ð=°∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD△、ACE △是等边三角形，∴AB AD =，AE AC =，60DAB CAE Ð=Ð=°，∵DAC DAB BAC Ð=Ð+Ð，BAE CAE BAC Ð=Ð+Ð，∴DAC BAE Ð=Ð，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BAE DAC ≌V V ．∴BE DC =．（2）①当AB AD =，AE AC =时，成立．理由：如图，∵AB AD =， BAE DAC Ð=Ð，AE AC =，∴()SAS BAE DAC ≌V V ，∴BE DC =；②当AB DB =，AC EC =时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE Ð=й°，∴AB DB AD =¹，AC EC AE =¹，∴BAE V 与DAC △不全等，∴BE DC ¹．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB Ð与DCE Ð为“同源角”．(1)如图1，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC V 和CDE V 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE Ð=°，则Ð=EMD ______°．(3)如图3，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE Ð=Ð，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE Ð=°可求出45DCE ACB Ð==°，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ÐÐ=，然后根据“8”子三角形即可求出EMD Ð的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP Ð=Ð，BE AD =．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP =，ACQ BCP Ð=Ð，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE =．理由：因为ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，所以ACB DCE Ð=Ð，所以ACD BCE Ð=Ð．在ACD V 和BCE V 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î所以()SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE =．（2）∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð．∵90ACE Ð=°，∴45DCE ACB Ð==°．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ÐÐ=．∵MOE COD Ð=Ð，∴45EMD DCE Ð=Ð=°．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP Ð=Ð，BE AD =．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP =．在ACQ V 和BCP V 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP =ìïÐ=Ðíï=î所以()SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP =，ACQ BCP Ð=Ð．又因为90BCP PCA °Ð+Ð=，所以90ACQ PCA °Ð+Ð=．所以90PCQ Ð=°，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①，在ABC V 与ADE V 中，AB AC =，当BAC BAD BAE ÐÐÐ、、、满足条件____时，ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”；(2)如图②，在ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC =， BE CD 、相交于点M ，连AM ，求证：MA 平分BMDÐ(3)如图③，在四边形ABCD 中，180BAD BCD Ð+Ð=°，AD AB =，AC BC DC =+，求BAD Ð的度数．【答案】(1)BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð；(2)见解析(3)60BAD Ð=°【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出BAC BAD BAE ÐÐÐ、、的关系便可；（2）过点A 作AM BE ^于点M ，作AN CD ^于点N ，再证明ABE ACD V V ≌得AM AN =，再根据角平分线的判定定理得结论；（3）延长CD 至E ，使得DE BC =，连接AE ，证明ABC ADE △≌△，进而得ACE △是等边三角形，便可得60BAD CAE Ð=Ð=°．【详解】（1）∵在ABC V 与ADE V 中，AB AC =，∴当BAC DAE Ð=Ð时，ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，∵BAE DAE BAD Ð=Ð+Ð，∴BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð，故当BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð时，ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，故答案为BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð；（2）过点A 作AH BE ^于点H ，作AN CD ^于点N ，∵在ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC =，∴BAC DAE Ð=Ð，AD AE =，∴BAE CAD Ð=Ð，∴()SAS ABE ACD V V ≌，∴AH AN =（全等三角形的对应高相等），∴MA 平分BMD Ð；（3）延长CD 至E ，使得DE BC =，如图③，∵180BAD BCD Ð+Ð=°，∴360180180Ð+Ð=°-°=°ABC ADC ，∵180ADC ADE Ð+Ð=°，∴ABC ADE Ð=Ð，∵AB AD =，∴()SAS ABC ADE V V ≌，∴AC AE BAC DAE =Ð=Ð，，∴BAD CAE Ð=Ð，∵AC BC DC DE DC CE =+=+=，∴AC CE AE ==，∴60CAE Ð=°，。

初中数学经典几何模型专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图41、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。

6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)其中结论正确的个数是_______【基础训练】1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【巩固提升】1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．2、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．4、如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论．5、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．6、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）专题05 手拉手模型构造全等三角形答案【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1 图2图3 图41、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB△△DCE;DA△EC.解析：（1）△DAC和△DBE都是等边三角形.△DA=DC,DB=DE,△ADC=△BDE=60°.△DA=DC,DB=DE,△ADC=△BDE=60°△△ADC+△CDB=△BDE+△CDB,（重点）即△ADB=△CDE在△DAB和△DCE中，DA=DC△ADB=△CDEDB=DE△△DAB△△DCE.（2）△△DAB△△DCE△△A=△DCE=60°△△ADC=60°△△DCE=△ADC△DA△EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.解析:△△ACB和△DCE都是等腰三角形△ACB=△DCE=90°△AC=BC,DC=EC△△ACB+△ACD=△DCE+△ACD△△BCD=△ACE在△ACE和△BCD中AC=BC△ACE=△BCDCE=CD△△ACE△△BCD(SAS)△AE=BD3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使△QAP＝△BAC，连接BQ、CP，△若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；△若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？解析：（1）△△QAP＝△BAC△△QAP－△B AP＝△BAC－△BAP即△QAB＝△P AC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP△QAB＝△P ACAB＝AC△△AQB△△APC△BQ＝CP（2）△△QAP＝△BAC△△QAP＋△BAP＝△BAC＋△BAP即△QAB＝△P AC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP△QAB＝△P ACAB＝AC△△AQB△△APC△BQ＝CP4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.解析：连接BD交于AC于点O,△四边形ABCD、AGFE是正方形△AB=AD,AE=AG,△DAB=△EAG△△EAB=△GAD在△AEB和△AGD中AE=AG△EAB=△GADAB=AD△△EAB△△GAD（SAS）△EB=GD△四边形ABCD是正方形，AB=√2△BD△AC,AC=BD=√2AB=2BD=1△△DOG=90°，OA=OD=12△AG=1△OG=OA+AG=2△GD=√5，EB=√55、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。