线性代数毕业大补考大纲

《线性代数》考试大纲一、考试基本要求：第一部份： 行列式1. 二阶、三阶行列式计算的对角线法则2. 排列与排列的逆序数的计算3. 奇排列与偶排列4. n 阶行列式的定义5. n 阶行列式的一般项的符号的确定6. 行列式的5条性质7. 简单的n 阶行列式的计算8. 行列式的子式，余子式与代数余子式9. 行列式依行依列展开10. 掌握公式 ∑j=1n a ij A sj =⎩⎨⎧D i=s 0 i ≠s , ∑i=1n a ij A it =⎩⎨⎧D i=t 0 i ≠t 11. 利用行列式性质计算行列式12. 理解拉菩拉斯定理n 阶行列式计算依k 行k 列展开13. 掌握克莱姆法则14. 利用克莱姆法则解线性方程组15. 掌握n 元n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件16. 带有参数的齐次线性方程组的解的讨论第二部份 矩阵考核要求：1. 矩阵的定义2. 理解矩阵相等的定义与零矩阵3. 矩阵的线性运算（加法与数乘），负矩阵及其算律4. 矩阵与矩阵的乘法与算律5. 注意矩阵的乘法不满足交换律与相消律6. 方阵乘积的行列式等于方阵行列式的积7. 方阵的方幂运算8. 矩阵的转置及其算律9. 几种特殊的矩阵，行（列）矩阵，对角阵，数量矩阵，单位矩阵，上下三角阵，对称阵10. 掌握分块矩阵的方法11. 掌握分块矩阵的运算和对角分块矩阵上（下）三角形分块矩阵的运算特点12. 理解逆矩阵的定义与性质13. 方阵的伴随矩阵与性质14. 方矩阵可逆的充要条件15. 逆矩阵的伴随矩阵求法16. 逆矩阵的3条性质17. 应用逆矩阵解矩阵方程18. 掌握逆矩阵的基本证明方法19. 分块矩阵求逆矩阵的方法20. 掌握矩阵的初等行（列）变换21. 掌握三种初等矩阵与初等变换的关系22. 初等矩阵的性质23. 掌握行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵24. 运用矩阵的行初等变换化为最简阶梯形矩阵25.理解方阵可逆的充要条件是它可以表成一系列初等矩阵之积26.掌握用初等变换求逆矩阵的方法27.矩阵的k阶子式28.理解矩阵的秩的概念与满秩矩阵29.理解矩阵的初等变换不改变矩阵的秩30.掌握用初等变换求矩阵的秩的方法31.掌握n阶方阵A的秩<n的充要条件式|A|=032.掌握若矩阵A是可逆矩阵则秩(AB)=秩B第三部份线性方程组考核要求：1.线性方程组的增广矩阵与系数矩阵2.对增广矩阵作行的初等变换求解线性方程组3.线性方程组的一般解与自由未知量4.非齐次线性方程组有解的判别方法5.带有参数的线性方程组的解的个数的讨论6.齐次线性方程组有非零解的充要条件7.n元n个方程的齐次线性方程组有非零解的判别8.理解n维向量及n维向量空间9.掌握n维向量的线性运算及算律10.知道向量β由向量组α1,α2,…,αm线性表出的含义11.掌握判别β可以由向量组α1,α2,…,αm线性表出对具体方法12.理解向量组线性相关与线性无关的定义13.利用定义判断向量组的线性相关性14.掌握向量组线性相关的充要条件是其中一个可由其余线性表示15.掌握向量组线性相关性的矩阵判别法16.理解用矩阵的秩来判别列向量组线性相关的定理17.理解向量组线性相关性的一些常用性质18.理解向量组的极大线性无关组的概念19.理解向量组的极大线性无关组的充要条件20.掌握用矩阵的行初等变换求最大无关组的方法21.理解向量组的秩的概念22.理解矩阵的列（行）秩的概念及矩阵的列秩等于矩阵的秩的定理23.已知带有参数λ的向量组的秩求参数λ24.齐次线性方程组的解向量的性质25.理解齐次线性方程组的基础解系26.基础解系中所含解向量的个数27.利用化行初等变换求最简阶梯形矩阵得到基础解系28.求齐次线性方程组的通解（用基础解系表示）29.非齐次线性方程组的解向量与它的导出组的解向量之间的关系30.非齐次线性方程组的解的结构定理31.求非齐次线性方程组的通解（写成结构解的形式）第四部份向量空间的线性变换考核要求：1.理解向量关于基的坐标2.掌握过渡矩阵的求法3.掌握施密特正交化方法第五部份矩阵的特征值考核要求：4.理解矩阵的特征值与相应的特征向量概念5.理解矩阵的特征多项式与特征方程概念6.掌握求矩阵特征值与特征向量的方法7.A与A T有相同的特征值8.理解不同特征值对应的特征向量线性无关9.掌握相似矩阵的定义10.掌握相似矩阵的基本性质11.理解n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量12.掌握相似对角矩阵的具体算法13.理解n阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是对于A的每一个n i重特征值λi，有秩(λi I-A)=n-n i14.理解约当形矩阵于约当块的基本概念15.任一个矩阵与约当矩阵相似16.理解向量的内积17.掌握内积运算的基本性质18.掌握向量的范数及其基本性质19.掌握柯西-布涅可夫斯基不等式20.理解正交向量与正交向量组的概念21.掌握正交向量组必是线性无关的22.掌握向量组正交单位化的方法23.理解正交矩阵概念24.掌握正交矩阵的基本性质25.理解实对称矩阵的特征值都是实数26.理解实对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的27.掌握实对称矩阵正交对角化的具体算法第六部份二次型考核要求：1.理解x1,x2,…,x n的一个n元二次型2.掌握二次型的矩阵及其特点，二次型的矩阵乘积写法3.理解变量x1,x2,…,x n到变量x1,x2,…,x n间的线性替换4.掌握线性替换的矩阵及非退化的线性替换5.理解二次型的标准形与二次型的秩6.理解两个矩阵合同的定义7.理解二次型通过非退化线性替换得到的二次型的矩阵是合同的8.掌握用配方法将二次型化为标准形的具体方法，并能写出非退化线性替换的变换式9.理解任何一个二次型与某个对角矩阵合同10.掌握用初等变换方法将二次型化为标准形的具体过程11.掌握用正交变换方法将二次型化为标准形的具体过程12.理解任一个实对称矩阵A必存在一个正交矩阵Q使得Q T AQ=D，其中D为对角矩阵13.理解二次型与对称矩阵的规范形14.理解二次型与对称矩阵的规范形是唯一的15.掌握把二次型与对称矩阵化为规范形的方法16.理解二次型的正、负惯性指标及惯性定理17.理解正定、负定、半正定、半负定与不定二次型18.理解正定、负定、半正定、半负定与不定的对称矩阵19.理解实对称矩阵是正定的充要条件20.掌握用顺序主子式判别对称矩阵为正定矩阵的方法21.理解对称矩阵为正定的充要条件是它的特征值全大于零22.带有参数的二次型的正定性的讨论方法三、考试形式及试卷结构1、考试形式为闭卷、笔试。

线性代数基本知识复习目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四 06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, …………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi 都用ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1na11a12… a1nb1A= a21 a22… a2n和(A| )= a21 a22… a2n b2…………………a m1 am2… amnam1am2… amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,⋯,an的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,an)或 a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n 矩阵,右边是n⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为 1, 2,⋯, n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=( 1, 2,⋯ , n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量 和 相等(记作 = ),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当 是列向量时, T表示行向量, 当 是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设 1, 2,…, s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c22+…+css为 1, 2,…, s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A| ),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:a11 a12… a1na 21 a22… a2n……… .a n1 an2… ann如果行列式的列向量组为 1, 2, … , n,则此行列式可表示为| 1,2, … , n|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a11 a12a 21 a22= a11a22-a12a21.a 11 a12a13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定 (j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ- 全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********, (436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出. 于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量 则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量 换为 或 所得到的行列式.例如| , 1+ 2 |=| , 1 |+| , 2 |. ④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 … 1 a 1 a2 a3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … … a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j ji a a -∏<因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D), 这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A| )作初等行变换,使得A变为单位矩阵:(A| )→(E|η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 44+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 111 1 .1 1+x21 1 1+x131 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =( , 1, 2 , 3),B =( , 1, 2 , 3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑ .… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏ .… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题 例14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c). 例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12… a1nb11b12… b1sc11c12… c1sA= a21 a22… a2nB= b21b22… b2sC=AB=c21c22… c2s………………………a m1 am2… amn, bn1bn2… bns, cm1cm2… cms,则c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…+a in b nj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: ① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地 由AB =0推不出A =0或B =0.由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律) 由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC . ② 数乘性质 (c A )B =c(AB ). ③ 结合律 (AB )C = A (BC ).④ (AB )T =B T A T.2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A 的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: ① A k A h = A k+h . ② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等! n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定 f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A11 A12B11B12= A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22B21B22A21B11+A22B21 A21B12+A22B22要求A ij的列数B jk和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A10 0A= 0 A2 0………0 0 …n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A10 ... 0 B1 0 0A= 0 A2... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …k0 0 …B k如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2… 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵.A的列向量组为 1, 2,…, n,B的列向量组为 1, 2,…, s,AB的列向量组为 1, 2,…, s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为: i=A i,i=1,2,…,s.即A( 1, 2,…, s)=(A 1,A 2,…,A s).② =(b1,b2,…,b n)T,则A = b1 1+b2 2+…+b n n.应用这两个性质可以得到:如果 i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则i=A I=b1i 1+b2i 2+…+b ni n.即:乘积矩阵AB的第i个列向量 i是A的列向量组 1, 2,…, n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量 i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵 从左侧乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵 从右侧乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=( 1, 2,…, s),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i= i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B 变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)→(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21… An1A*= A12 A22… An2=(Aij)T.………A 1n A2n… Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时,A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 =(1,-2,3) T, =(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A= T,则A k=( T )k-1A=(tr A )k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如 T 的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求 T .（2003一）②设 =(1,0,-1)T, A= T,求|a E-A n|.③ n维向量 =(a,0,⋯,0,a)T, a<0,A=E- T,A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④ n维向量 =(1/2,0,⋯,0,1/2)T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E- T,其中 , 都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求 T .例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4 设A为3阶矩阵, 1, 2, 3是线性无关的3维列向量组,满足A= 1+ 2+ 3, A 2=2 2+ 3, A 3=2 2+3 3.1求作矩阵B,使得A( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=( 1, 2, 3),|A|=1,B=( 1+ 2+ 3, 1+2 2+3 3,+4 2+9 3),求|B|.(05)1例6 3维向量 1, 2, 3, 1, 2, 3满足+ 3+2 1- 2=0, 3 1- 2+ 1- 3=0, 2+ 3- 2+1=0,3已知 1, 2, 3|=a,求| 1, 2, 3|.例7设A是3阶矩阵, 是3维列向量,使得P=( ,A ,A2 )可逆,并且A3 =3A -2A2 .又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设 1=(5,1,-5)T, 2=(1,-3,2)T, 3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A=(4,3) T, A 2=(7,-8) T, A 3=(5,-5) T,1求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则 |A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3 3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设 是n维非零列向量,记A=E- T.证明(1) A2=A⇔ T =1.(2) T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔ A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明⇒,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设 1, 2,…, s是一个n维向量组.如果n维向量 等于 1, 2,…, s的一个线性组合，就说 可以用 1,2,…, s线性表示.如果n维向量组 1, 2,…, t 中的每一个都可以可以用 1, 2,…, s线性表示,就说向量1, 2,…, t可以用 1, 2,…, s线性表示.判别“ 是否可以用 1, 2,…, s线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+ x2 2+…+x s s=是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以 1, 2,…, s 为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以 A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“ 是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组 1, 2,…, t可以用 1,2,…, s线性表示,则矩阵( 1, 2,…, t)等于矩阵( 1, 2,…, s)和一个s⨯t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是 i对 1, 2,…,s的分解系数(C不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组 1, 2,…, t可以用 1,2,…, s线性表示,而 1, 2,…, s 可以用γ1,γ2,…,γr线性表示,则 1,2,…, t可以用γ1,γ2,…,γr线性表示.当向量组 1, 2,…, s 和 1, 2,…, t互相都可以表示时 就说它们等价 并记作 1, 2,…, s ≅ 1, 2,…, t .等价关系也有传递性.2. 向量组的线性相关性(1) 定义(从三个方面看线性相关性)。

线性代数课程大纲一、课程简介本课程旨在介绍线性代数的基本概念、原理和应用。

学生将通过深入学习线性代数的理论和技巧，培养解决线性方程组、矩阵运算、向量空间和特征值等问题的能力。

课程还将涵盖线性代数在科学、工程和经济学等领域的应用。

二、课程目标1. 理解线性代数的基础概念和理论；2. 掌握线性方程组的求解方法；3. 熟悉矩阵运算的规则和性质；4. 理解向量空间的概念和性质；5. 学习矩阵的特征值和特征向量的计算方法；6. 掌握线性代数在实际问题中的应用。

三、课程内容1. 向量和矩阵1.1 向量的定义和运算1.2 向量空间的概念1.3 矩阵的定义和性质1.4 矩阵运算的规则2. 线性方程组2.1 线性方程组的基本概念2.2 线性方程组的解集和解的判定 2.3 高斯消元法和矩阵消元法2.4 线性方程组的应用3. 矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义3.2 特征值和特征向量的计算方法 3.3 对角化和相似矩阵3.4 特征值和特征向量的应用4. 向量空间和线性变换4.1 向量空间的性质和子空间4.2 线性相关性和线性无关性4.3 线性变换的定义和性质4.4 线性变换的矩阵表示5. 内积空间5.1 内积的定义和性质5.2 正交性和正交基5.3 格拉姆-施密特正交化方法5.4 最小二乘解和投影6. 应用案例分析6.1 线性代数在图像处理中的应用6.2 线性代数在数据分析中的应用6.3 线性代数在物理学中的应用6.4 线性代数在经济学中的应用四、教学方法1. 理论课讲授：通过教师的讲解和演示，引导学生掌握线性代数的基本概念和理论。

2. 实践练习：课堂上提供典型例题和习题，帮助学生巩固所学知识并培养解决实际问题的能力。

3. 课题研究：指导学生选择一些与线性代数相关的课题进行深入研究，锻炼科研能力和创新精神。

五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与、作业完成情况和实验报告等。

2. 期中考试：对课程前半部分内容进行综合测试。

《线性代数》考试大纲第一篇：《线性代数》考试大纲课程名称：《线性代数》考试对象：09级本科使用教材：《线性代数教程》，科学出版社，陆建华主编一、课程要求：二、课程考试内容及所占比重：1、掌握行列式的相关概念、性质，熟练运用行列式的性质计算行列式，掌握化三角形法和降价法这两种基本的计算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代数余子式的性质，了解克拉默法则。

2、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算律，特别是方阵、行列式混合运算律，能熟练运用；掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法，利用逆矩阵的性质进行矩阵运算和证明；理解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。

能熟练运用逆矩阵的球阀解矩阵方程，熟练求出矩阵的秩，掌握求线性方程组的通解的方法。

3、理解n维向量的概念；掌握向量组的线性相关性、矩阵的秩等概念，并能熟练运用相关性质定理判断和证明向量的相关性；熟练求向量组的极大无关组；掌握齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构；掌握非齐次线性方程组有解的条件及解的结构；能熟练地用初等变换方法求线性方程组的解及基础解系。

4、理解向量内积的定义，掌握线性无关向量组的正交化方法，理解正交矩阵的定义，掌握其主要性质。

5、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟练运用其性质；理解相似矩阵的概念，掌握其基本性质，掌握矩阵可对角化的条件，熟练求得正交变换矩阵将是对称矩阵对角化。

6、理解二次型的定义，掌握二次型的两种表示方法并能互相转化；理解正定二次型和正定矩阵的概念，能够判别二次型的正定性，了解有定性判别法。

各部分所占比重：1、基本理论：70%2、综合运用：30%三、考试方法：闭卷、笔试四、试题类型：选择题20%填空题24%计算题30%解答题20%证明题6%五、成绩评定方式：成绩评定采取百分制：平时成绩占40%，笔试成绩占60%第二篇：2012线性代数考试大纲2012-2013学年《线性代数》教学及考试大纲第一章行列式（9学时）熟练掌握行列式按行（列）展开法则，并利用这一法则并结合行列式的六个性质会计算一般难度的行列式，熟悉范德蒙行列式，会用克拉默法则解含n个未知数n个方程的线性方程组。

《线性代数B》考试大纲总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解线性代数中行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵；学会、掌握或熟练掌握上述各部分知识的结构、知识的内在联系及本课程中的基本方法；应具有一定的抽象思维能力、培养和提高逻辑思维以及分析问题解决问题的能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算，能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

内容一、行列式1. 知识范围（1）二、三阶行列式及其对角线法则（2）全排列的概念，对换，排列的逆序数，排列的奇偶性（3）行列式的概念（4）行列式的性质，行列式按行（列）展开定理（5）余子式、代数余子式的概念2.考试要求（1）了解二、三阶行列式的对角线法则（2）了解全排列的概念，会计算排列的逆序数，会判断排列的奇偶性（3）了解行列式的定义（4）熟练掌握行列式的性质和行列式按行（列）展开定理，并能熟练运用计算低阶行列式及简单的高阶行列式（5）了解行列式的余子式、代数余子式的概念，会计算行列式的余子式、代数余子式二、矩阵1. 知识范围（1）矩阵的概念，零矩阵，单位矩阵，对角矩阵，纯量矩阵，上（下）三角矩阵（2）矩阵加法和数与矩阵的乘法，矩阵的乘法，矩阵的转置，方阵的行列式，及其运算规律（3）对称矩阵的定义，性质（4）方阵的伴随矩阵的定义，伴随矩阵的性质（5）逆矩阵的概念，逆矩阵存在的充分必要条件，逆矩阵的运算规律，逆矩阵的求法（6）矩阵的初等变换的定义，初等变换的逆变换，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，矩阵的标准形，及其应用（7）初等矩阵的概念，初等矩阵的逆矩阵，初等矩阵的性质，及其应用（8）等价矩阵的定义，性质（9）矩阵的秩的定义，矩阵的秩的求法，矩阵的秩的性质（10）满秩矩阵的定义（11）分块矩阵的定义，分块矩阵的运算法则，运算规律，分块对角矩阵的性质2. 考试要求（1）理解矩阵的概念，掌握单位矩阵、对角矩阵与对称矩阵的性质（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律（3）理解伴随矩阵的定义，会运用伴随矩阵的性质（4）理解逆矩阵的概念及其性质，熟练掌握逆矩阵的求法（5）熟练掌握矩阵的初等变换及其应用，理解等价矩阵的定义，性质（6）理解矩阵的秩的概念并掌握其求法，会运用矩阵的秩的性质证明一些相关结论（7）了解满秩矩阵的定义（8）了解分块矩阵的定义、运算法则和运算规律三、向量组的线性相关性1. 知识范围（1）n维向量的概念及其运算（2）向量组的定义，向量的线性组合的定义，向量的线性表示的定义及其判别定理（3）向量组的线性相关的定义、性质、判别（4）向量组的线性无关的定义、性质、判别（5）向量组的秩的定义，向量组的极大无关组的定义，向量组的秩和极大无关组的求法，向量组的秩的性质（6）向量的内积、长度与正交的概念，规范向量组，施密特（Schimidt）正交化过程 2. 考试要求（1）了解n维向量的概念及其运算（2）理解向量组的线性相关、线性无关与线性表示的概念、性质和判别，了解与之有关的重要结论，会用这些结论证明一些命题（3）了解向量组的极大无关组和秩的概念，会求向量组的秩和极大无关组（4）了解向量的内积、长度与正交的概念，了解规范向量组的概念，会用施密特正交化过程把向量组正交规范化四、线性方程组1. 知识范围（1）克莱默（Crammer）法则（2）非齐次线性方程组无解、有惟一解、有无穷多解的充分必要条件；齐次线性方程组有非零解、只有零解的充分必要条件（3）齐次（非齐次）线性方程组解的性质，齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组解的结构（4）用矩阵的初等行变换法求解线性方程组的方法（5）用计算机解线性方程组的基本方法2. 考试要求（1）理解克莱默法则（2）理解非齐次线性方程组无解、有惟一解、有无穷多解的充分必要条件；理解齐次线性方程组有非零解、只有零解的充分必要条件；会运用线性方程组的理论讨论线性方程组解的情况（3）理解齐次（非齐次）线性方程组解的性质；理解齐次线性方程组的基础解系和通解；理解非齐次（齐次）线性方程组解的结构，会运用线性方程组解的结构求线性方程组的通解（4）熟练掌握用矩阵的初等行变换法求解线性方程组的方法和基本步骤（5）了解用计算机解线性方程组的基本方法五、相似矩阵1. 知识范围（1）矩阵的特征值与特征向量的定义，矩阵特征值与特征向量的性质（2）相似矩阵的定义，相似矩阵的性质，矩阵相似对角化的条件（3）矩阵的相似对角化方法，实对称矩阵的相似对角阵的求法（4）正交矩阵的定义，正交矩阵的性质2. 考试要求（1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念，熟练掌握求矩阵的特征值与特征向量，熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的性质（2）了解相似矩阵的概念、性质和矩阵相似对角化的条件，会判断一个矩阵在什么条件下可以相似对角化（3）熟练掌握矩阵的相似对角化和实对称矩阵的相似对角阵的求法（4）了解正交矩阵的概念，及其性质试卷结构试卷总分：100分考试时间：120分钟试卷内容比例：行列式约12%矩阵约28%向量组的线性相关性约16%线性方程组约24%矩阵的特征值与特征向量约20%试卷题型比例：选择题：约24%填空题：约24%计算题：约42%证明题：约10%试题难易比例：容易题：约50%中等难度题：约40%较难题：约10%制定日期：2008.10。

对外经济贸易大学远程教育学院2016-2017学年第一学期《线性代数》复习大纲一、单选题1. n阶矩阵满足，其中为n阶单位矩阵，则必有。

（）A.B.C.D.2. 设都是n阶非零矩阵，且，则的秩。

（）A.B.C.D.3. 设为方阵，则的必要条件是。

（）A.B.C.D.4. 设，则下列结论中是正确的。

（）A.B.C.D.5. 已知是6阶行列式中带正号的项，则。

（）A.B.C.D.6. 。

（）A.B.C.D.7. 设，其中，则（）A.B.C.D.8. 已知向量则（）A.B.C.D.9. 若二阶行列式 =1，则= （）A. 12B. 15C. 20D. 6010. 行列式D= = （）A. -18B. 12C. 18D. -1211. 下列行列式中，不等于零的是（）A.B.C.D.12. 若三阶行列式D的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，则D= （）A. -8B. 8C. -20D. 2013. 行列式的值为（）A. -12B. -24C. 36D. 7214. 设线性方程组若此方程组有惟一解，则、满足的条件是____ （）A.B.C.D.15. 已知线性方程组当=（）时，此线性方程组有解（）A. -1B. 1C. -2D. 216. 设向量线性无关，且则向量组（）（）A. 不一定线性相关B. 一定线性相关C. 一定线性无关D. 不解确定其线性相关性17. 当个向量线性相关时，使等式成立的常数应为（）A. 任意一组常数B. 任意一组不全为零的常数C. 某些特定的不全为零的常数D. 惟一的一组不全为零的常数18. 下列命题中，错误的是（）A. 若线性无关，则常数必全为零B. 若线性无关，则常数必不全为零C. 若对任何不全为零的数，都有线性无关D. 若线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数，使19. 设维向量组（I）：和（Ⅱ）：都线性无关，且（I）不能由（Ⅱ）线性表示，（Ⅱ）也不能由（I）线性表示，则向量组，（）（）A. 必线性无关;B. 必线性相关;C. 可能线性相关，也可能线性无关;D. 既不线性相关，也不线性无关.20. 已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A.B.C.D.21. 已知向量组的秩为2，则的值为（）A. 0B. 2C.D. 422. 已知矩阵，当（）时，A. 0B. 1C. 2D. 323. 设（1，2，3），=（4，0，-1），=（6，4，5），下列向量组（）是的一个极大无关组A.B.C.D.24. 已知元线性方程组，其增广矩阵为，当（）时，线性方程组有解. （）A.B.C.D.25. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是______ （）A.B.C.D.26. 线性方程组有解的充分必要条件是等于（）A.B. -1C.D. 127. 设矩阵，B是3×4非零矩阵，且AB=0，则必有（）A.B.C.D.28. 设矩阵，3 阶矩阵，且满足AB=0，则必有（）A.B.C.D.29. 设为阶方阵，为常数，则（）。

04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。

3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。

（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。

（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。

（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。

1.1二阶、三阶行列式了解二阶、三阶行列式的概念;熟练掌握其计算方法..1.2排列了解排列、正逆序数、奇偶排列、对换的概念;熟练掌握逆序数的计算方法、3个定理1.3n阶行列式了解n阶行列式的定义和由二阶、三阶行列式展开式的特点导出的一般规律；;掌握用定义计算特殊n阶行列式的方法;熟记三角形行列式的计算结果..1.4行列式的性质熟练掌握行列式的运算性质;并应用它们进行行列式的运算..转置行列式的概念；行列式的5个性质和两个推论1.5行列式按行列展开掌握余子式和代数余子式的概念;熟练掌握行列式按行列展开的方法..三阶行列式按行列展开式；余子式和代数余子式的概念；行列式按行列展开定理;范德蒙行列式1.6克拉默法则掌握线性方程组解的克拉默运算法则;掌握用克拉默法则判断齐次线性方程组仅有零解和有非零解的方法..1.7数域掌握数域的定义..2.1消元法了解线性方程组的消元解法;熟练掌握矩阵的初等变换方法;熟练掌握用矩阵的初等变换法解线性方程组以及判断方程组无解、有解唯一解、无穷多解的方法..2.2n维向量空间了解向量的定义;掌握向量的运算;熟悉线性方程组的向量表达形式..向量的有关概念；向量的运算法则；n维向量空间的概念；线性方程组的向量表达形式2.3向量间的线性关系掌握向量的线性组合概念;熟练掌握一个向量可由其它向量线性表示的方法;熟练掌握向量组线性相关和线性无关的概念、理论和方法..向量的线性组合概念；判断一个向量可由其它向量线性表示的方法；向量组线性相关和线性无关的概念；判断向量组线性相关和线性无关的方法；判断向量组线性相关和线性无关的一些结论；5个定理2.4向量组的秩了解向量组极大无关组的概念;掌握等价向量组的概念和性质;掌握向量组秩的概念与相关结论..2.5矩阵的秩了解矩阵的秩的概念;熟练掌握求向量组极大无关组的方法;熟练掌握求向量组秩和矩阵秩的方法..矩阵的行秩与列秩的概念；矩阵子式的概念；矩阵秩的概念；求向量组极大无关组、向量组秩、矩阵秩的方法；2.6线性方程组解的判定掌握非齐次线性方程组有无解、有唯一解、无穷多解的判定方法;熟练掌握齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法..非齐次线性方程组有无解判定方法定理1；非齐次线性方程组有唯一解、无穷多解的判定方法定理2；齐次线性方程组有非零解解、只有零解判定方法推论1、22.7线性方程组解的结构熟练掌握基础解系的概念;熟练掌握用基础解系表示方程组解的方法..齐次线性方程组解的两个性质；齐次线性方程组基础解系的概念;特别强调基础解系中含解向量个数与未知量个数和系数矩阵秩间的关系；齐次线性方程组解的基础解系表示法；非齐次线性方程组与齐次线性方程组解间的关系；非齐次线性方程组解的基础解系表示法；3.1-3.2矩阵的概念与运算了解矩阵的概念;熟练掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、乘法、转置、行列式的运算法则和相应的性质..矩阵的定义以及几种特殊矩阵；矩阵的加法法则和对应的性质；数与矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的乘法法则和对应的性质；矩阵的转置概念和对应的性质；矩阵行列式概念和对应的性质3.3可逆矩阵理解可逆矩阵的概念;了解伴随矩阵的概念;熟练掌握用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵的方法..3.4矩阵的分块了解分块矩阵的概念以及矩阵分块的原则;熟练掌握分块矩阵的运算法则..3.5初等矩阵理解三种初等矩阵的概念;掌握初等矩阵在矩阵乘法运算中的作用;熟练掌握利用初等变换求可逆矩阵的方法..三种初等矩阵的概念和它们在矩阵乘法运算中的作用；任意矩阵经过有限次初等变换化成的标准型；可逆矩阵与初等矩阵间的关系定理；利用初等变换求可逆矩阵的方法3.6常见的特殊矩阵了解对角矩阵、准对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念和运算性质..4.1向量空间了解向量空间的概念和性质;了解向量空间基以及向量在基下坐标的概念..4.2向量的内积了解内积的概念;掌握内积的性质;熟练掌握n维向量空间两向量内积的坐标表示法;会求向量长度和向量单位化;了解正交向量组的概念;理解标准正交基的概念;熟练掌握向量组的施密特正交化过程..向量内积的概念和性质；n维向量空间两向量内积的坐标表示法；单位向量的概念和向量单位化；正交向量组的概念；正交基、标准正交基的概念；向量组的施密特正交化过程4.3正交矩阵了解正交矩阵的概念;熟练掌握其性质..5.1矩阵的特征值与特征向量了解矩阵特征值与特征向量的概念;熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法;熟练掌握特征值与特征向量的性质；了解矩阵迹的概念与性质..矩阵特征值与特征向量的概念；求矩阵特征值与特征向量的方法；矩阵特征值与特征向量的性质；矩阵迹的概念与性质；5.2相似矩阵和矩阵对角化的条件了解相似矩阵的概念;掌握相似矩阵的性质;熟练掌握矩阵对角化的条件和对角化的方法.. 5.3实对称矩阵的对角化了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质;熟练掌握实对称矩阵对角化的方法..。

线性代数课程考核大纲一、适应对象修读完本课程规定内容的化学工程与工艺、制药工程专业的学生；提出并获准免修本课程、申请进行课程水平考核的化学工程与工艺、制药工程专业的学生；提出并获准副修第二专业、申请进行课程水平考核的非化学工程与工艺、制药工程专业的学生。

二、考核目的检查学生是否掌握行列式、矩阵、线性方程组、二次型等基本理论和基本知识，是否具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决实际问题能力，三、考核形式与方法闭卷考试，时间100分钟四、课程考核成绩构成平时作业占10％，课堂考勤占10％，期末考试占占80％五、考核内容与要求第一章行列式考核要求：1、行列式1.1二阶、三阶行列式的定义与性质（识记）2、 n阶行列式2.1 排列与逆序(领会)2.2 n阶行列式的定义(识记)3、行列式的性质(应用)4、行列式按行(列)展开(应用)5、克莱姆法则(应用)第二章矩阵考核要求：1、矩阵的概念（识记）2、矩阵的运算2.1矩阵的加法和数与矩阵的乘法（应用）2.2 矩阵乘法的定义与运算律（应用）2.3 矩阵转置的定义与性质（领会）2.4 方阵的幂（识记）3、几种特殊的矩阵(对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵)（应用）4、分块矩阵（领会）5、逆矩阵5.1 逆矩阵的定义和性质、伴随矩阵（识记）5.2 逆矩阵的公式求法（应用）6、矩阵的初等变换6.1 矩阵初等变换的定义与定理（识记）6.2 初等变换求逆矩阵的方法（应用）7、矩阵的秩7.1 秩的定义与性质（识记）7.2 初等变换求矩阵秩的方法（应用）第三章线性方程组考核要求：1.线性方程组的消元解法（领会）2.n维向量定义与向量的运算律（应用）3.向量间的线性关系3.1 线性组合的定义与性质（识记）3.2 线性相关与线性无关的定义与性质（识记）3.3 判定向量组线性相关与线性无关的定理（应用）3.4 向量组的极大无关组与向量组的秩的求法（应用）4.线性方程组解的结构4.1 齐次线性方程组的基础解系和结构解的求法（应用）4.2 非齐次线性方程组的基础解系和结构解的求法（应用）第四章矩阵的特征值考核要求：1、矩阵的特征值与特征向量1.1 矩阵特征值、特征向量的定义与性质（识记）1.2 矩阵特征值与特征向量的求法（应用）2、相似矩阵2.1 相似矩阵的定义与性质（识记）2.2 n 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件（应用）第五章 二 次 型考核要求：3、 二次型及其矩阵的定义（识记）4、 用配方法化二次型为标准型（应用）3、用初等变换法化二次型为标准型（应用）六、样卷一 选择题（总分24分，每题4分）1.A 是3阶矩阵且A =4,则A A -等于(A) 16. (B) -16 (C) 256. (D) -2562.设A,B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是（A ）若A,B 均可逆，则A ＋B 可逆.（B ）若A,B 均可逆，则AB 可逆.（C ）若A ＋B 可逆，则A-B 可逆.（D ）若A ＋B 可逆，则A,B 均可逆3.设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) 011100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B) 010100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. 4.设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必须(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B .5.设A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O ，则R （A ）和R （B ）的下列结论正确的是（A ）必有一个等于零. （B ）都小于n..(C ) 一个小于n ，一个等于n. (D) 都等于n6.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.二 填空题（总分24分，每题4分）1.若n ij D a a ==，则ij D a =-=2.矩阵006040300A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵A -1＝3.已知A 6=E,则A -1＝4.设12105α-＝（，，，），24230α--＝（，，，），3101k α＝（－，，，），11021α-＝（，，，），则k ＝ 时，线性相关。