2013年高考数学创新型客观题评析

2013年高考数学试卷分析（理）承担校区 试卷分析人三、解答题18、本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

(Ⅰ)由题 意得**22213,64,11,41.043)22(5Nn n a N n n a d d d d a a a n n ∈+=∈+-==-==--+=⋅或所以 或故 即 (Ⅱ)设数列{}由因为项和为的前,0,<d S n a n n （Ⅰ）得则,11,1+-=-=n a d n 当.22121112321n n S a a a a n n n +-=+⋯⋯+++≤＝时， 当.11022121212211321+-=+-+⋯⋯+++≥n n S S a a a a n n n ＝时，综上所述，.)12(11022121)11(2212122321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-+⋯⋯+++n n n n n n a a a a n ＝19.本题主要考查随机事件的概率和随机量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

满分14分。

(Ⅰ) ,由题意得.6,5,4,3,2=ξ 故 ;1856622132)4(;3166232)3(;416633)2(=⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯==ξξξP P P3616611)6(;9166122)5(=⨯⨯===⨯⨯⨯==ξξP P所以ξ的分布列为(Ⅱ)由题意知η的分布列为 所以.95)353()352()351()(222=++⋅-+++⋅-+++⋅-=c b a c c b a b c b a a D η化简得：⎩⎨⎧=-+=--0114042c b a c b a解得.1:2:3::,2,3===c b a c b c a 故　20．（本题满分15分）如图，在四面体A BCD -中，AD BCD ⊥平面，BC CD ⊥，2AD =，BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．（1）证明：//PQ BCD 平面；（2）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．BAPCDMQ【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的运用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足错误！未找到引用源。

(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4（B ）－45错误！未找到引用源。

（C ）4（D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i +-=2243(34)(34)(34)i i i ++-+=3455i+，故z 的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。

C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为52，则C 的渐近线方程为 A .14y x =± B .13y x =± C .12y x=± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52c a=，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x=±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈，∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3错误！未找到引用源。

2013年高考山东卷数学（文）试题评析2013年高考山东卷数学（文）试题，题目较类型较往年并没有太大改变，试卷结构、题型、题量及分值分布等都与去年一致，没有出现偏题怪题，整套试卷的制定，严格按照《2013年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》和《2013年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》（以下简称《考试说明》）的要求。

试题难度与往年相比基本维持在稳定水平，应该说考得比较常规。

一、试卷的结构及难度今年的高考卷知识覆盖面全，题目似曾相识，整体给学生平和的感觉。

但题目在条件给出及设问环节有所创新。

整体难度方面，与去年相比要低一些。

比如集合、复数等基础题型的考察较之去年增加了一点计算量和思维量，但如果想到用采用模的公式、特殊集合法计算也很简单；而12、16题的难度相比去年降低了一些，至少可做性强了；17、18题三角和概率的考察顺序互换了一下，应该是从难度和计算量的角度考虑，所以对学生来言是好事；考前大家普遍担心的19、20题立体几何和数列的考察也是常规的基础题型，没有像去年那样创新，特别是数列题，思维量有所降低，但计算量有所增加；21、22仍旧是并列的两道压轴题，只是顺序与去年相反，先考的导数后考的椭圆；导数的第一问求单调区间问题也是常规题型，虽然讨论起来篇幅不少，但基础好的学生做出来应该没有问题；椭圆的第一问还是简单的求标准方程问题，所以分数更好拿；两题的最后一问都是集难度、技巧性和计算量于一身的好题，尽显高考本色。

二、试卷题目特点1.试卷立足教材，回归课本，注重基本知识与技能考查选择题的第1题，复数的四则运算和模；第2题，集合的交、并、补运算；第3题，函数的奇偶性；第4题，三视图还原几何体，求正四棱锥的侧面积和体积；第5题，函数的定义域；第6题，算法与框图；第7题，正余弦定理解三角形的考察都比较基础而常规。

第9题，函数图像的判定就可以使用我们一轮复习时讲过的“三步走”方法，即“函数性质、特殊点、极限假设”的方法，通过函数的奇偶性判断，可排除b，通过特殊点位置的判断排除a，通过极限位置假设在靠近0处的图像情况就可以选出正确答案了。

全国高考数学考试客观性试题逐题讲评一、选择题（1）设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合M N 中元素的个数为（ ）A.1B. 2C. 3D. 4讲解：在同一坐标系中，作出单位圆221x y +=和抛物线2y x =的图形，易知它们有两个交点，应选B.评注：也可通过解如下方程组求解： 2221,0.x y x y ⎧+=⎨-=⎩ （2）函数sin2xy =的最小正周期是（ ） A. 2π B. π C. 2π D. 4π讲解：作出函数sin2xy =的图象，易知最小正周期是2π，应选C. 评注：函数sin 2x y =的最小正周期是函数sin 2x y =的一半. (3) 设数列{}na是等差数列，且26,a =-86a =, n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则（ ）A.45S S <B.45S S =C.65S S <D.65S S =讲解：由题意得 28520,a a a +==即50,a =于是4555S S a S =-=，应选B. 评注：一般解法是：设等差数列{}n a 的公差是d ，则有已知，得116,76,a d a d +=-⎧⎨+=⎩解出 18, 2.a d =-=于是 414620,S a d =+=- 5151020,S a d =+=- 从而 45S S =，应选B.(4) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A. 20x -=B. 40x +-=C.40x +=D. 20x +=讲解：显然，点(P 的坐标不适合方程A, C ，从而应否定A, C; 将圆的方程化为()22222x y -+=，圆心()2,0到直线40x +-=的距离为1d ==，不是圆的半径2，故应选D.评注：一般解法为：设圆的切线方程是(1)y k x -=-，即0kx y k -+=， 则圆心()2,0到切线0kx y k -+=的距离为2,d ==解出 3k =(5)函数y =）A. )(11,2⎡⎤-⎣⎦B. ()()11,2-C.[)(]2,11,2-- D. ()()2,11,2--讲解： 取 1.5x =，有12log 1.250<，否定C, D; 取x =0y =，否定B. 应选A.评注：一般解法为：由题意得 ()212log 10x -≥，即()21122log 1log 1x -≥， 等价于2011x <-≤.(6) 设复数z 的幅角的主值为23π2z =（）A. 2--B. 2i -C. 2+D. 2i讲解：设复数221cossin 3322z r i r i ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则有2= 2.r =于是 22224cos sin 433z i ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭44cos sin 33i ππ⎛⎫+⎪⎝⎭=2--.应选A. 评注：也可用代数形式：22114422222z i i ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(7) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A. 5B.C.2D. 54讲解：设双曲线的方程是22221x y a b -=，其两条渐近线为b y x a =±，于是12b a =，即有2a b =，有222244()a b c a ==-，2254a c =，即e =c a=应选C. 评注：双曲线22221x y a b -=对于的两条渐近线为22220x y a b -=，也就是b y x a =±. (8) 不等式113x <+<的解集为（ ） A. ()0,2 B. ()()2,02,4- C. ()4,0- D. ()()4,20,2--讲解：取1x =，适合不等式，否定C; 取3x =-，适合不等式，否定A, B. 应选D.评注：一种直接解法是：由原不等式得 113x <+<或113x <--<，即02x <<或4 2.x -<<-(9) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱柱的体积为（ ）A.B.C.3D. 讲解：显然，侧面是等腰直角三角形，其直角边为，于是三棱柱的体积为11323V =⋅= 应选C.评注：本题的模型是正方体截下的一个，教室的一个墙角. 当中的体积计算需要转换角度思考问题.(10) 在ABC中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A.B.C. 32D.讲解：由余弦定理222431cos 2432A +-==⋅⋅，得sin 3h A ==，有h=.应选B.评注：请读者自己补上几何图形.(11) 设函数()()21,1,41,x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）A.(][],20,10-∞-B. (][],20,1-∞-C. (][],21,10-∞-D. [][]2,01,10-讲解：取12x =，有21() 1.512f =≥成立，否定C, D ；取2x =，有(2)431f ==≥成立，否定B. 应选A.评注：分段函数常考常新. 本题也可给出直接解法，图象解法.(12) 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种讲解： 本题可以给出一种直接解法 234336,C P ⋅= 应选C.评注： 请读者用文字语言表述234336C P ⋅=的实际意义. 再想想：解法34336P ⋅=是否正确？二、 填空题（13）用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为______________.讲解：设截得小圆的半径是r ，球的半径是R, 画一个轴截面图形. 在Rt ABD 中，显然，30ABD ∠=︒，于是c o s 30.r R ︒== 故截得小圆的面积与球的表面积的比值为222134416r r R R ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，应填3.16 评注：题中的Rt ABD 就是我们常用的三角板模型，它是高考的热门话题. （14）函数sin y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为_____________.讲解：将函数式变形为2sin()6y x π=+. 由02x π≤≤，得2663x πππ≤+≤. 于是，函数的最小值为1sin.62π=应填1.2评注：如果画出函数的图象，就可看出最小值对应的点是函数图象的左端点.（15）已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-. 设()f x 的反函数是()y g x =，则(8)g -=________.讲解：易求得：当0x <时，()31x f x -=-+. 这样由318x --+=-，解得(8) 2.x g =-=-应填 2.-评注：反函数的定义域是原函数的值域.（16）设P是曲线24(1)0,1的距离与点P到y轴的距y x=-上的一个动点，则点P到点()离之和的最小值是______________.=-的准线，y x而(2,0)=.F是抛物线的焦点，于是MP MF+=+≥=的开窍点.。

2013年普通高考（山东卷）数学试题评析2013年高考山东卷数学试题，严格遵循考试大纲和考试说明的各项要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，展现了数学的学科价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，具有良好的选拔和导向功能。

一、试卷保持相对稳定，平衡传承与创新2013年高考山东卷数学文、理试卷结构、题型、题量及分值分布等都与往年保持相对稳定，从宏观和微观上实现了“知识与技能，过程与方法，情感态度和价值观”的有机整合，继续承袭“多题把关”的命题特点，第21、22题并列压轴。

文理两科的解答题，在题目设计上做到了入口宽、梯度合理，有利于不同程度的考生充分地发挥。

在保持相对稳定的基础上，2013年试卷进行了适度创新。

如文理科第12题，试题表面上以三元方程形式呈现，通过一系列地巧妙转换，化为考生熟悉的二次函数的最值问题，将基本不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来，一气呵成，浑然一体。

又如文理科第16题，新定义以考生熟悉的对数运算为载体，以分段函数的形式呈现，考查了分类整合及自主学习的能力，“动静结合”，“等与不等”自然转化，富有思考性和挑战性，是考查考生创新意识和潜在的数学素养的极好素材，是今年山东卷的点睛之笔。

再如理科第22题将常考的直线与圆锥曲线的相交关系变为相切关系，推理为主，运算为辅，斜率设而不求，设问方式上突破了常规的“存在”模式，把一题多解置于题目解答中，为不同层次的考生提供了更宽广的展示舞台。

二、突出主干知识，注重能力立意试卷依据考试说明，全卷涵盖了考试说明中的绝大部分知识点，对要求较高的三角函数、立体几何、概率统计、数列、函数和导数的应用、圆锥曲线等主干知识均以解答题形式出现，并都达到了一定的考查深度和广度。

在知识与信息的重组上呈现多元化，从数学学科的整体角度和思维价值的高度出发，充分展现知识网络交汇点。

如理科第14题绝对值不等式与几何概型的巧妙结合，第13题程序框图中“斐波那契数列”的渗透，第18题立体几何中“墙角”模型的呈现，第22题圆锥曲线中光学性质的蕴含等，起点低，层次多，题意新，结构巧，给整份试卷注入了活力。

2013年高考数学必做客观题——立体几何作者：余飞宏来源：《数学金刊·高考版》2013年第08期空间几何体的直观图与三视图（★★★★）必做1 图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是________.[4][6][2][2][俯视图] [2][正视图][侧视图]图1[牛刀小试] [牛刀小试]精妙解法由三视图可以构造出空间图形（直观图）如图2所示. 在计算体积时，把左侧面看成底面，长为6的底棱看成高，这样就易得该几何体的体积为36.极速突击此类试题的突破点在于观察三视图，还原几何体. 如果几何体为锥体，那么只需将锥体的顶点从俯视图中拉起还原就行；如果几何体不是锥体，那么通常先找一个基本几何体，然后将它削出来，我们通常称之为“寄居法”，这个基本几何体就是我们所研究几何体“寄居”的壳.误点警示注意对得到的直观图，要“压扁”还原检验，看看其三视图是否符合要求.（★★★）必做2 若某多面体的三视图（单位： cm）如图3所示，则此多面体外接球的表面积是（）A. 18π cm2B. 24π cm2C. 27π cm2D. 36π cm2[牛刀小试] [牛刀小试]精妙解法先还原出该几何体的直观图形. 该题所表达的几何体是一个棱长为3的正方体截去一个正三棱锥剩下的部分（如图4所示），所以这个几何体的外接球与（母体）正方体的外接球是一致的. 正方体的体对角线就是球的一直径. 答案选C.极速突击在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图5），各棱长为a，一个考生应该具备下面几个知识点：（1）正方体中有两个重要关系的截面，如截面A1C1B与截面AD1C，两个都是正三角形，且相互平行，都垂直于体对角线B1D，并且三等分B1D.（2）正方体的体对角线长相等且交于一点，互相平分，交点为O，它到正方体八个顶点的距离相等，所以正方体的外接球（过正方体的八个顶点的球）的球心就是O，直径等于正方体的体对角线的长.（3）正方体中如A1，C1，B，D四点构成一个正四面体，因此任何一个确定的正方体对应于一种大小确定的正四面体；反过来，任何一个正四面体，只能扩张为一个确定的正方体. 从而在解决正四面体的许多数量关系时可以考虑外延到正方体中进行思考（这种方法容易记忆），如正四面体的高就等于正方体的体对角线长的，正四面体相对棱之间的距离等于正方体的棱长，正四面体的外接球就是正方体的外接球等.（4）正方体可以分解为所需要的若干几何体，反过来，许多几何体也可以扩展回归到正方体中进行考虑（包括正方体的棱长、对角线以及各种截面等问题）.以上知识绝大多数都可以推广到长方体中去.三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方正投影得到的，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 基本原则是“长对正、高平齐、宽相等”.空间几何体的表面积与体积（★★★★）必做3 如图6，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A1-BCD，使平面A1BD⊥平面BCD，若四面体A1-BCD的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. πB. 3πC. πD. 2π[D][A][B][C][A1][B][C][D]图6[牛刀小试] [牛刀小试]精妙解法由四面体A1-BCD可以延伸为一个棱长为1的正方体（如图7），其中△A1BD 为正方体一个底面的一部分（刚好是底面正方形的一半），CD为正方体的侧棱. 故选A.极速突击高考试题中，解决多面体的外接球问题，大多要依据正方体、长方体以及正四面体等特殊几何体与它们的外接球的关系，但这些关系最后都要归结到正方体与其外接球的关系上去.（★★★★）必做4 如图8所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4π，则正四面体的体积是_____.[牛刀小试] [牛刀小试]精妙解法法1：由已知πR3=4π，所以R=.设AE为球的直径. 故AD⊥DE，AE⊥O1D.设AD=a，所以O1D=·a=a，所以AO1=a，O1E=2R-AO1=2-a.由射影定理知，O1D2=AO1·O1E，解得a=2. 故V=·a2·AO1=.法2：正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为球的直径.由πR3=4π，所以R=，所以正方体棱长为2，所以AB=2，S△BCD=×2×2sin60°=2.点A到平面BCD的距离h=×2R=，所以VA-BCD=S△BCD×h=.极速突击方法1设法寻求正四面体的棱长与球的半径之间的关系；方法2将正四面体ABCD置于正方体中.空间的平行关系（★★★★）必做5 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④[牛刀小试] [牛刀小试]精妙解法①平行关系的传递性. ②举反例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，AB⊥AA1，但AD不平行AA1. ③a与b可能相交. ④垂直于同一平面的两直线互相平行. 故①④正确，选C.极速突击本题的入手点是借助实体模型进行排除验证，同时也要求我们必须熟练记住关于平行的一些常见结论.（★★★）必做6 如图10，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心. 从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）[B][A][C][G][H][E][F][K][B′][C′][A′]图10A. KB. HC. GD. B′[牛刀小试] [牛刀小试]精妙解法假如平面PEF与侧棱BB′平行，则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK∥BB′，排除A；假如P为B′点，则平面PEF即平面A′B′C，此平面只与一条侧棱AB平行，排除D. 若P为H点，则HF为△BA′C′的中位线，所以HF∥A′C′；EF为△ABC′的中位线，所以EF∥AB；HE为△AB′C′的中位线，所以HE∥B′C′，显然不合题意，排除B，故选C.极速突击本题主要考查“线面平行”的判定，“线面平行”可由“线线平行”或“面面平行”进行转化. 一般地，我们习惯选择降维处理，即选择用“线线平行”来推出“线面平行”，所以思维的落脚点应该在寻找“线线平行”. 所以在此题中，也可这样考虑，因为EF是△ABC′的中位线，所以EF∥AB∥A′B′，故点P只要使得平面PEF与其他各棱均不平行即可，故选G点.空间的垂直关系（★★★★）必做7 如图11，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为线段A1B1和CC1的中点，点D和F分别是线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）[D][A][B][C][E][F][G][A1][B1][C1]图11A.，1B.，2C. [1，）D.，[牛刀小试]精妙解法由题所揭示的几何体，可以按图所示，以A为原点，AB为x轴、AC为y轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），G，0，1，E0，1，，D（0，y，0），F（x，0，0）. 所以=x，-1，-，=-，y，-1，由GD⊥EF得x+2y=1. 结合x∈（0，1），y∈（0，1），得y∈0，；又DF===∈，1. 故选A.[A][B][C][E][F（x，0，0）][G][A1][B1][C1][z][x][y][D（0，y，0）]图12极速突击本题应从垂直、平行关系入手，寻找垂直、平行成立的充分条件. 另外，本题有三个明显特征，启发我们使用空间直角坐标系解题：①有运动的背景；②有长度的取值范围（即函数的值域意义）；③有“空间直三面角”条件.误点警示该题中，容易忽略求变量y的取值范围，导致所求的取值范围偏大.（★★★）必做8 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α与体对角线BD垂直，则正方体在平面α上的射影面积为__________.精妙解法如图13，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，体对角线BD1与截面正三角形AB1C、正三角形A1C1D垂直，即这两个三角形所在的平面与平面α是平行的，两个三角形的六个顶点到直线BD1的距离都等于··AB1=，这六个点的分布是均匀的，所以，正方体ABCD-A1B1C1D1在平面α上的射影为正六边形，边长就是前面求得的距离（即正六边形外接圆的半径），所以正方体ABCD-A1B1C1D1在平面α上的射影的面积为6··=.极速突击能正确作出相应图形是解题的关键，因此要注意结合图形解题的方法.空间的角（★★★★）必做9 在正四棱锥S-ABCD中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB与底面的正方形ABCD的对角线AC所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则α，β，γ，θ之间的大小关系是（）A. αC. α[S][A][E][D][C][O][B][F]图14[牛刀小试]精妙解法作底面的垂线SO，交底面于点O，则O为AC和BD的交点，BO是侧棱SB在底面ABCD上的射影，而BO垂直AC，因此，γ=；过O作OE⊥AD交AD于点E，连结SE，则sinα=，sinβ=，且SA>SE，故α. 故有α极速突击本题采用“几何法”求解，其步骤一般为“找角→找角所在的三角形→求三角形各边的长→利用余弦定理（三角函数）求解”.误点警示做这类试题要杜绝凭感觉胡乱选择，注意异面直线所成角的取值范围为0，，所以其余弦值为正值.（★★★★）必做10 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连结DM，则DM与平面PAC所成角的大小是__________.[P][C][A][B][D][M]图15[牛刀小试]精妙解法：法1：取AC中点O，连结DO，PO，MO，则DO⊥平面PAC，所以∠DMO是DM与平面PAC所成角.因为PB与底面所成角为60°，所以∠PBO=60°，记AB=a，则BO=a，所以cos∠PBO===，所以PB=a. 在△PAC中，MO=PC=a，所以tan∠DMO==1，所以DM与平面PAC所成角为45°.法2：如图16建立空间直角坐标系，则平面PAC的法向量为n=（1，0，0），D-a，0，0，M0，-a，a，=a，-a，a，所以sinφ=cosθ==，所以DM与平面PAC所成角为45°.极速突击本题采用两种方法求解，方法1为“几何法”，可按照“一找、二证、三算”的步骤进行；方法2为“向量法”，先建立空间直角坐标系，再求解“斜线与平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜线与平面法向量所成角的余弦值的绝对值”等于“斜线与平面所成角的正弦值”得出答案.误点警示本题易错在采用向量法计算时，没有正确理解“斜线与平面法向量所成的角”和“斜线与平面所成的角”的关系，误以为它们是相等的，实则不然.找异面直线所成的角，一般可以采用平移的方法，把其中一条异面直线平移至与另一条异面直线相交，然后在某个三角形中解他们的夹角；当然，也可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法进行求解.利用平面法向量求直线与平面的夹角时，应注意直线与平面的夹角θ和两向量夹角（锐角）是互为余角的关系，即sinθ=cosα；利用平面法向量求二面角的平面角时，应注意法向量的方向，或直接从图形中观察出其是钝（或锐）二面角，再利用向量夹角与平面角的互补关系而得.空间的距离（★★★）必做11 若正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，E，F分别为PC，PD的中点，则异面直线AC与EF的距离为（）A. B.C. D.[牛刀小试]精妙解法法1：因为EF∥CD，则异面直线AC与EF的距离即为E到平面ABCD的距离，因为E为PC中点，所以E到平面ABCD的距离为P到平面ABCD的距离的一半，所以d=. 故选B.法2：以正方形ABCD的中心为原点，与边BC，CD垂直的直线分别为x轴、y轴，OP 为z轴建立空间直角坐标系，则由条件知：C（1，1，0），D（-1，1，0），P（0，0，3），所以E，，，F-，，，所以=（1，1，0），=（-1，0，0）. 设n=（x，y，z），则n·=0，n·=0，所以x+y=0，-x=0，所以x=y=0，取n=（0，0，1），又=-，-，，所以d==，故选B.极速突击求异面直线间的距离时，可以作出两异面直线的公垂线段，然后再求其长度；也可以采用上述的向量方法；有时也可以转化为直线与平面的距离，或者点到平面的距离再求解. 运用向量法求解点A到平面α的距离时，可以采用如下的方法：建立适当的空间直角坐标系→确定点A的坐标→在平面α内取一点B→求出向量→求出平面α的一个法向量n→求出点A到平面α的距离. 运用几何法求点A到平面α的距离时，可以先作平行线或平行平面，将A 点到平面α的距离转移到点B到平面α的距离，或者利用中位线及线段长度的比例关系，将A 点到平面α的距离转移到其他点到平面α的距离，再利用等积变换或直接法求之.点A（x，y）到平面α距离： d= （P为平面α上任一点，n为平面α的法向量），而线面距离、面面距离都可以转化成点面距离，当题目中的距离难以找出来时，应采用空间向量进行求解，避免耗时过多.a。

2013年全国高考数学（理）试卷分析数学组王新刚2013年高考已经结束，初看到今年的数学试卷会发现有似曾相识的感觉，但解答时又会发现题目在条件的给出和设问上又有很多的创新点。

总体看今年新课标的高考数学试题从试题的结构与难度与去年相比整体变化不大，这也符合“平稳中创新”的高考指导思想。

坚持对基础知识、数学思想方法进行考查。

试卷宽角度、多视点、有层次地考查了数学理性思维能力，考生对数学本质的理解能力及考生的数学素养和潜能。

试卷对课程中新增内容和传统内容进行了科学、规范的结合考查，真正体现了新课程理念。

全国卷与其他各地高考试卷相比有非常明显的特点：重基础、图创新；讲传承、保稳定；顾全面，求综合；重思维、考能力。

下面将2013年全国高考理科数学新课标版试卷做如下具体分析:1.试卷结构及难度试题在题型、题量、分值、难度、知识分布与覆盖上保持相对稳定，避免了大起大落。

函数知识约22分（去年22分），立体几何约22分（去年22分），解析几何约22分（去年22分），三角知识约17分（去年17分），数列10分（去年10分），概率统计约17分（去年17分），证明选讲10分（去年10分），线性规划、集合运算、向量、二项式、复数及算法各5分（线性规划、集合运算、向量、排列组合、复数及算法各5分）。

知识覆盖面全，题目似曾相识，与此前的模拟练习很类似。

但题目在条件给出及设问环节有所创新，整体虽然给学生平和的感觉。

难度与去年基本持平。

2.试卷题目特点试题源于教材，以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。

今年数学试题所涉及的知识内容几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

在重基础的同时，注重知识综合方面的考查，在知识交汇点处出题。

部分题目初看都比较朴实、平和，都是考生熟悉的题干，但深入解题后又会发现与过去已做过的题目不同。

今年的考题更注重考查数学思维方法，选择题与填空题都不需要过多的复杂计算就可得出结论。

2013年高考江苏数学试卷评析——华研会谢广喜2013年高考江苏数学试卷继续遵循了新课程高考方案的基本思想。

与2012年试卷相比，试卷结构稳定，突出双基，重视能力，知识点广，容易上手，难度适中，区分度明显，利于选拔，各种层次的考生可以充分展现自己的真实能力。

但后面大题的排序上作了调整，将解析几何放到第17题，与三角有关的应用题放在第18题，有的学生觉得不太适应。

我们认为其实这是非本质的东西，考生完全可以不用太在意。

卷Ⅰ的填空题着重考查基础知识和基本技能，对数学能力考查体现不同的要求，较去年稳中有降。

1～10题是体现最低要求的容易题，只需稍作运算即可顺利完成，具有很好的导向作用，引导广大教师遵循课程标准，充分利用教材开展教学活动。

11～14题复杂程度、能力要求和解题难度也不是很大，即使第14题，大部分考生的反应相比去年来说，觉得能做一做。

当然这些题对把握概念本质属性和运用数学思想方法提出较高要求（可先省略常数－1进行估算），对考生的想像力、抽象度、灵活性、深刻性等思维品质提出新的挑战。

解答题着重考查综合运用知识、分析和解决数学问题的能力。

第15题和第16题，考生一致的反应是比较简单，相比较去年第15题的第二小问得分上有明显的提高。

第17题是解析几何中有关圆（阿波罗尼圆）的问题，考生认为第二小问比较困难（理科考生也可用三角参数换元法求解之）。

第18题是有关三角的应用题，考生的反应是能做，但计算量较大，认为算出来了也不一定对。

第19与20题分别是数列与函数试题，有的考生认为20题比19题简单，19题只能做第一问，20题能做两问，这与去年有明显的区别。

解答题分别形成四个不同的水平层次。

第一层次是基础知识和推理论证的最低要求；第二层次重在对知识和方法的综合运用，重在基本运算能力的要求；第三层次突出对知识和方法的灵活运用，加大了分析和解决问题的思考力度；第四层次重点考查解决新问题的能力，体现了对考生的高层次数学思维能力的要求和高水平数学素质的要求。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N = （ ） （A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ,所以M N {}2,1,0=，选A.2、设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1【答案】A 【解析】i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，所以选A. 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则1a ＝（ ）（A ） 31（B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α， l ⊄β，则（ ）（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5，则a ＝（ ） （A ） －4 （B ） －3 （C ）－2 （D ）－1 【答案】D6、执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的S =（ ）【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，选B.7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.8、设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）（A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >>【答案】D9、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ， 若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（ ）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）210、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。