公差分析(Tolerance Analysis)
與
蒙地卡羅模擬(Monte Carlo Simulation)
註：本課程感謝李艮生(Allen Lee)博士提供大部份材料與指導
I. Cp與Cpk的概念
製程能力指數﹝Process capability index─傳統上簡稱為Cp﹞，係統計製程管制SPC的一個很重要的指標。代表著我們產品製程的品質有多好或不良率是多少。傳統上品管使用正負3 SIGMA﹝標準差﹞，它是假設量產產品的品質特性值遵守常﹝正﹞態分配，而中心值加減 3 SIGMA的界線，一般稱之為管制上限和管制下限，產品品質特性值出現在管制上下限內的機率值為99.73%，這個部分構成品質管制中所謂統計製程管制─SPC的主體。
Standard deviation
自從1950年代SPC普及以來，大抵使用Cp這樣的一個能力指數，來反映品質水準的狀況。但遂著時間的推移，電子產業的興起，以前的品質水準不良率以百分比%為單位就足以勝任，因為電子元件的數量龐大，百分比的不良率不敷使用，所以演化成以PPM為不良率的單位。同時更自1980年代因為美國的汽車產業也不堪日本汽車業的競爭，從而將製程能力指數修正成Cpk，近年來電子產業多以追求Cpk為準。
深究Cpk的內容，你會發現它不是什麼新東西，只是舊瓶新酒，只是過去在談論SPC時，大家都假設實際品質特性值的中心值是和目標值一致的。傳統品管上針對這個問題是以Ca處理，但通常都帶過未加以刻意強調。而時下流行的Cpk只是對舊有的Cp做了中心值的修正。
需要注意的是傳統上Cp時代，我們對製程能力指數的要求是Cp=1，易言之，良品率是99.73%，而多年前Cpk出現時要求的是Cpk=1.33，而這兩年則要求提升到Cpk=1.67。而當Cpk=1.63時即可進入個位數的PPM世界。
公差T
Cpk=( 1 - K ) * --------------- = ( 1 - K ) *-------------
六倍標準差6* σ
註：上式中K即早期的Ca，但中心值處理部分加絕對值。
II. 公差、常態分佈(normal distribution)與Cpk
σ = 1
σ = 1.33
σ = 2
mean=5.60 5.60±0.04 Example1:
X1=5.60±0.04
Example 2:
X2=4.40±0.08
2208.004.000.1021+±=+X X
Normal distribution
Uniform distribution
=10.00 ±0.09 For Cpk=1, 3σ =0.09 Cpk=2, X1
X2
+
For Cpk=1, 3σ =0.04 Cpk=2, 3σ =0.02 For Cpk=1, 3σ =0.08 Cpk=2, 3σ =0.04
)08.004.0(00.1021+±=+X X =10.00 ±0.12
X1=5.60±0.04 III. 根平方和法RSS(Root of Sum of Square)與蒙地卡
羅分析法(Monte Carlo Simulation)
(1) Root Sum of Square
(2) Monte Carlo Simulation (Numerical experiment with Random
Sampling)
X2 X1 =10.00 ±0.09 2
208.004.000.1021+±=+X X
RSS X2=4.40±0.08 X1+X2 Cpk=1.0, Dpm=2300ppm// Cpk=1.33, Dpm=200ppm
Cpk=1.0, Dpm=2100ppm
Cpk=1.0, Dpm=3200ppm
IV. Matlab應用於Monte Carlo Simulation
Example M1:
% This program is to calculate 5.60 +/- 0.04 plus 4.40+/- 0.08 with Cpk = % 1.33
nd=0;
sigma1=0.04/4;sigma2=0.08/4;
for i=1:10000
sa1(i)=5.60+randn(1)*sigma1;
sa2(i)=4.40+randn(1)*sigma2;
s(i)=sa1(i)+sa2(i);
if s(i) > 10.09
nd=nd+1;
elseif s(i) < 9.91
nd=nd+1;
end
end
dpm=nd*100;
Example M2:
Simulate a Pin mating with a hole.(ZIF is expected)
C h = 20.00 ±0.05, C p = 20.0 ±0.03
R h = 5.04 ±0.04 (or 5.00 +0.08/-0.00), R p = 5.0 ±0.04
Gap = (C p– R p) – (C h– R h)
Expected conditions:
(1)ZIF is achieved if Gap ≧0.00
(2)Gap <= 0.05
蒙地卡羅模擬如下：
% This program is to calculate the probability of ZIF with Cpk = 1.0 、
% 1.33 or 1.67.
% Cp=20.00+/-0.03, Ch=20.00+/-0.05, Rp=5.00+/-0.04, Rh=5.04+/-0.04
nd=0;
sigmacp=0.03/3;sigmach=0.05/3;sigmarp=0.04/3;sigmarh=0.04/3;
for i=1:50000
cp(i)=20.00+randn(1)*sigmacp;
ch(i)=20.00+randn(1)*sigmach;
rp(i)=5.00+randn(1)*sigmarp;
rh(i)=5.04+randn(1)*sigmarh;
gap(i)=cp(i)-ch(i)-rp(i)+rh(i);
if gap(i) <= 0.00
nd=nd+1;
elseif gap(i) >= 0.05
nd=nd+1;
end
end
dpm=nd*1000000/50000;
DPM=333100ppm if Cpk=1.33; DPM=232400ppm if Cpk=1.67 Conclusion: High Risk
Action: change the tolerances or increase the Cpk.
