高中数学 学案66算法与流程图

第12章算法初步、复数学案66算法与流程图导学目标：1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解三种基本算法结构：顺序结构、选择结构、循环结构．自主梳理1．算法的含义一般而言，对一类问题的________、________求解方法称为算法．2．流程图流程图是由一些________和________组成的，其中________表示各种操作的类型，________中的文字和符号表示操作的内容，________表示操作的先后次序．3．流程图的三种基本结构：________、________、________.其结构形式为①________②________③________________④直到型循环结构自我检测1．下列关于算法的说法正确的有________(填序号)．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后产生确定的结果．2．如图所示的是一个算法的流程图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．第2题图第3题图3．(2010·课标全国改编)如果执行如图所示的流程图，输入N＝5，则输出的数为________．4．(2011·北京改编)执行如图所示的流程图，输出的s值为________．第4题图第5题图5．(2011·山东)执行如图所示的流程图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________.探究点一算法的顺序结构例1已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图．变式迁移1 阅读右面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a 、b 、c 分别是________________．探究点二 算法的选择结构例2 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)0 (x ＝0)2 (x <0)，写出求该函数的函数值的算法，并画出流程图．变式迁移2 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是_____________________________________________________________．探究点三 算法的循环结构例3 写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出流程图.变式迁移3(2010·天津和平区一模)在如图所示的流程图中，当程序被执行后，输出s 的结果是______．1．流程图主要包括三部分：(1)表示相应操作的框；(2)带箭头的流程线；(3)框内外必要的文字说明，读懂流程图要从这三个方面研究．流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明表明了操作内容．2．两种循环结构的区别：(1)执行情况不同：当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．(2)循环条件不同：当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填______________．第1题图第2题图2．(2010·福建改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的i值为________．3．(2010·浙江改编)某流程图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为________．第3题图第4题图4．(2010·辽宁改编)如果执行下面的流程图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p为________．5．阅读下面的流程图，则输出的S为________．第5题图第6题图6．(2011·浙江，12)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．7．执行下面的流程图，输出的T＝________.8．(2010·江苏)如图是一个流程图，则输出的S的值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…，(1)若程序运行中输出一个数组是(9，t)，求t的值；(2)求程序结束时，共输出(x，y)的组数；(3)求程序结束时，输出的最后一个数组．10．(14分)(2010·内蒙古包头一模)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第ii12345678a i4041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的流程图(其中a是这8个数据的平均数)，求输出的S的值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.(1)试求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b m 的值．学案66 算法与流程图答案自主梳理1．机械的 统一的 2.图框 流程线 图框 图框 流程线 3.顺序结构 选择结构 循环结构 ①顺序结构②选择结构 ③当型循环结构 自我检测 1．②③④ 2．11解析 已知图形是一个顺序结构的框图，表示的算法的功能是求两数a 1、a 2的算术平均数，已知a 1＝3，输出结果为7，有a 1＋a 22＝7，解得a 2＝11.3．56解析 第一次运行N ＝5，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2，1<5成立，进入第二次运行；k ＝2，S ＝11×2＋12×3，2<5成立，进入第三次运行；k ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4，3<5成立，进入第四次运行；k ＝4，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，4<5成立，进入第五次运行；k ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1－16＝56，5<5不成立，此时退出循环，输出S .4．2解析 由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ， 故最终输出的s 值为2.5．68解析 当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y ＝y －105后y 的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68. 课堂活动区例1 解题导引 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．流程图中一定包含顺序结构．解 算法如下：S1 输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C . S2 计算Z 1←Ax 0＋By 0＋C . S3 计算Z 2←A 2＋B 2.S4 计算d ←|Z 1|Z 2.S5 输出d . 流程图：变式迁移1 75、21、32 解析 由流程图中的各个赋值语句可得x ＝21，a ＝75，c ＝32，b ＝21，故a 、b 、c 分别是75、21、32.例2 解题导引 求分段函数函数值的流程图的画法，如果是分两段的函数，则需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框．解 算法如下： S1 输入x ；S2 如果x >0，则y ←－2；如果x ＝0，则y ←0；如果x <0，则y ←2； S3 输出函数值y . 相应的流程图如图所示．变式迁移2 3解析 本问题即求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的值．若x ≤2，由x 2＝x 得，x ＝1或0； 若2<x ≤5，由x ＝2x －3得，x ＝3；若x >5，由x ＝1x 得，x ＝±1，不符合．故符合要求的x 值有3个．例3 解题导引 数学中的累加、累乘、累差等重复性操作可以用循环结构来实现．循环结构分当型和直到型两种，二者的区别是：前者是，当满足条件时执行循环体，而后者是“直到”条件满足时结束循环．解 S1 设S 的值为1. S2 设i 的值为2.S3 如果i ≤100执行S4，否则转去执行S7. S4 计算S 乘i 并将结果赋给S . S5 计数i 加1并将结果赋给i . S6 转去执行S3.S7 输出S 的值并结束算法． 根据自然语言描述，流程图如下：变式迁移3 286解析 数列{a n }：4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 课后练习区1．y ←8＋2.6(x －2) 解析 根据题意可知x >2时，收费应为起步价7元＋超过2公里的里程收费2.6(x －2)元＋燃油附加费1元＝8＋2.6(x －2)．2．4解析 由框图可知i ＝1，s ＝1×21＝2；i ＝2，s ＝2＋2×22＝10；i ＝3，s ＝2＋2×22＋3×23>11，此时输出的i ＝4.3．k >4解析 当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k >4”．4．360解析 由框图可知：当n ＝6，m ＝4时，第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3，k ＝2.第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3.第三次循环：p ＝(6－4＋3)×12＝60，k ＝4.第四次循环：p ＝(6－4＋4)×60＝360，此时k ＝m ，终止循环．输出p ＝360.5．30解析 第一次循环：S ＝12；第二次循环：S ＝12＋22；第三次循环；S ＝12＋22＋32；第四次循环：S ＝12＋22＋32＋42＝30.6．5解析 初始值：k ＝2，执行“k ＝k ＋1”得k ＝3，a ＝43＝64，b ＝34＝81，a >b 不成立； k ＝4，a ＝44＝256，b ＝44＝256，a >b 不成立；k ＝5，a ＝45＝1 024，b ＝54＝625，a >b 成立，此时输出k ＝5.7．30解析 按照流程图依次执行为S ＝5，n ＝2，T ＝2；S ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6；S ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；S ＝20，n ＝8，T ＝12＋8＝20；S ＝25，n ＝10，T ＝20＋10＝30>S ，输出T ＝30.8．63解析 当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33.故S ＝63.9．解 (1)循环体运行结果如下： 输出(1，0)n ＝3x ＝3y ＝－2n <2 011 输出(3，－2)n ＝5x ＝9y ＝－4n <2 011 输出(9，－4)n ＝7x ＝27y ＝－6n <2 011…… ∴输出数组(9，t )中的t 值是－4.(6分) (2)计数变量n 的取值为：3,5,7，…，构成等差数列，由3＋(m －1)×2＝2 011，解得m ＝1 005.由于当m ＝1 005时，n ＝2 011，循环体还要执行一遍，会输出第1 006个数组，然后n ＝2 013>2 011，跳出循环体．故共输出1 006个数组．(3)程序输出的数组(x n ，y n )按输出的先后顺序，横坐标x n 组成一个等比数列{x n }，首项x 1＝1，公比q ＝3.纵坐标组成一个等差数列{y n }，首项y 1＝0，公差d ＝－2.∴x 1 006＝31 005，y 1 006＝－2×1 005＝－2 010.故程序结束时，输出的最后一个数组是(31 005，－2 010)．(14分)10．解 该流程图即求这组数据的方差， ∵a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44， (5分) ∴S ＝18∑8i ＝1 (a i －a )2＝18×[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7. (14分) 11．解 由题中框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)． (3分) (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021.∴⎩⎨⎧ 1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去)．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(10分) (2)由(1)可得b n ＝2a n ＝22n －1， ∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m)1－4＝23(4m－1)．(14分)。

第一课时 1.1.1 算法的概念教学要求：了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法应满足的要求；会写出解线性方程（组）的算法、判断一个数为质数的算法、用二分法求方程近似根的算法.教学重点：解二元一次方程组等几个典型的的算法设计.教学难点：算法的含义、把自然语言转化为算法语言.教学过程：一、复习准备：1. 提问：我们古代的计算工具？近代计算手段？（算筹与算盘→计算器与计算机，见章头图）2. 提问：①小学四则运算的规则？（先乘除，后加减）②初中解二元一次方程组的方法？（消元法）③高中二分法求方程近似解的步骤？（给定精度ε，二分法求方程根近似值步骤如下：A．确定区间，验证，给定精度ε；B. 求区间的中点；C. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；D. 判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．二、讲授新课：1. 教学算法的含义：①出示例：写出解二元一次方程组的具体步骤.先具体解方程组，学生说解答，教师写解法→针对解答过程分析具体步骤，构成其算法第一步：②－①×2，得5y=0 ③；第二步：解③得y=0；第三步：将y=0代入①，得x=2.②理解算法：12世纪时，指用阿拉伯数字进行算术运算的过程. 现代意义上的算法是可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，程序和步骤必须是明确和有效的，且能在有限步完成. 广义的算法是指做某一件事的步骤或程序.算法特点：确定性；有限性；顺序性；正确性；普遍性.举例生活中的算法：菜谱是做菜肴的算法；洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法；歌谱是一首歌曲的算法；渡河问题.③练习：写出解方程组的算法.2. 教学几个典型的算法：①出示例1：任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.提问：什么叫质数？如何判断一个数是否质数？→写出算法.分析：此算法是用自然语言的形式描述的. 设计算法要求：写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用. 要使算法尽量简单、步骤尽量少. 要保证算法正确，且计算机能够执行.②出示例2：用二分法设计一个求方程的近似根的算法.提问：二分法的思想及步骤？如何求方程近似解→写出算法.③练习：举例更多的算法例子；→对比一般解决问题的过程，讨论算法的主要特征.3. 小结：算法含义与特征；两类算法问题（数值型、非数值型）；算法的自然语言表示.三、巩固练习：1. 写出下列算法：解方程x2－2x－3＝0；求1×3×5×7×9×11的值2. 有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题.3. 根据教材P6 的框图表示，使用程序框表示以上算法.4. 作业：教材P4 1、2题.第二课时 1.1.2 程序框图（一）教学要求：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构. 掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图. 通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图.教学重点：程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构.教学难点：综合运用框图知识正确地画出程序框图教学过程：一、复习准备：1. 写出算法：给定一个正整数n，判定n是否偶数.2. 用二分法设计一个求方程的近似根的算法.二、讲授新课：1. 教学程序框图的认识：①讨论：如何形象直观的表示算法？→图形方法.教师给出一个流程图（上面1题），学生说说理解的算法步骤.②定义程序框图：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.③程序框名称功能终端框表示一个算法的起始和结束（起止框）输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理（执行）框赋值、计算判断框判断一个条件是否成立流程线连接程序框④阅读教材P5的程序框图. →讨论：输入35后，框图的运行流程，讨论：最大的I值.2. 教学算法的基本逻辑结构：①讨论：P5的程序框图，感觉上可以如何大致分块？流程再现出一些什么结构特征？→教师指出：顺序结构、条件结构、循环结构.②试用一般的框图表示三种逻辑结构. （见下图）③出示例3：已知一个三角形的三边分别为4,5,6，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图. （学生用自然语言表示算法→师生共写程序框图→讨论：结构特征）④出示例4：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在.画出这个算法的程序框图. (学生分析算法→写出程序框图→试验结果→讨论结构)⑤出示例5：设计一个计算1＋2＋3＋…＋1000的值的算法，并画出程序框图. (学生分析算法→写出程序框图→给出另一种循环结构的框图→对比两种循环结构)3. 小结：程序框图的基本知识；三种基本逻辑结构；画程序框图要注意：流程线的前头；判断框后边的流程线应根据情况标注“是”或“否”；循环结构中要设计合理的计数或累加变量等.三、巩固练习：1.练习：把复习准备题②的算法写成框图. 2. 作业：P12 A组1、2题.第三课时 1.1.2 程序框图（二）教学要求：更进一步理解算法，掌握算法的三个基本逻辑结构. 掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图.学会灵活、正确地画程序框图.教学重点：灵活、正确地画程序框图.教学难点：运用程序框图解决实际问题.教学过程：一、复习准备：1. 说出下列程序框的名称和所实现功能.2.顺序结构条件结构循环结构程序框图结构说明按照语句的先后顺序，从上而下依次执行这些语句. 不具备控制流程的作用. 是任何一个算法都离不开的基本结构根据某种条件是否满足来选择程序的走向.当条件满足时，运行“是”的分支，不满足时，运行“否”的分支.从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况. 用来处理一些反复进行操作的问题二、讲授新课：1. 教学程序框图①出示例1：任意给定3个正实数，判断其是否构成三角形，若构成三角形，则根据海伦公式计算其面积. 画出解答此问题算法的程序框图.（学生试写→共同订正→对比教材P7 例3、4 →试验结果）②设计一个计算2＋4＋6＋…＋100的值的算法，并画出程序框图.（学生试写→共同订正→对比教材P9 例5 →另一种循环结构）③循环语句的两种类型：当型和直到型.当型循环语句先对条件判断，根据结果决定是否执行循环体；直到型循环语句先执行一次循环体，再对一些条件进行判断，决定是否继续执行循环体. 两种循环语句的语句结构及框图如右.说明：“循环体”是由语句组成的程序段，能够完成一项工作.注意两种循环语句的区别及循环内部改变循环的条件.④练习：用两种循环结构，写出求100所有正约数的算法程序框图.2. 教学“鸡兔同笼”趣题：①“鸡兔同笼”，我国古代著名数学趣题之一，大约在1500年以前，《孙子算经》中记载了这个有趣的问题，书中描述为：今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？②学生分析其数学解法. （“站立法”，命令所有的兔子都站起来；或用二元一次方程组解答.）③欣赏古代解法：“砍足法”，假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则“独脚鸡”，“双脚兔”. 则脚的总数47只；与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）.鸡35－12＝23（只）.④试用算法的程序框图解答此经典问题. （算法：鸡的头数为x，则兔的头数为35－x，结合循环语句与条件语句，判断鸡兔脚数2x＋4（35－x）是否等于94.）三、巩固练习：1. 练习：100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个，求大、小和尚各多少个？分析其算法，写出程序框图. 2. 作业：教材P12 A组1题.。

1。

2流程图互动课堂疏导引导1。

流程图流程图又称程序框图，是一种用规定的图形、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.通常，流程图由一些图框和流程线组成，一个或几个图框的组合表示算法中的一个步骤;流程线是方向箭头，按照算法进行的顺序将图框连接起来。

框图的名称与功能（1）起止框起止框表示算法的开始和结束，通过用圆角矩形表示，它一般出现在一个流程的开头或结尾.（2)输入、输出框输入、输出框表示一个算法的输入和输出的操作,一般画成平行四边形.（3）处理框处理框通常表示对输入或输出的信息进行处理，一般是“赋值"“计算”。

其形状通常为矩形.(4）判断框判断框的功能是根据条件决定执行两条路线中的某一条,它有两条输出路线.如果判断某条件成立,则出口处标明“是"或“Y”，若不成立时则标明“否”或“N".一般画成菱形。

（5)流程线流程线表示算法执行的步骤或者说流程进行的方向.疑难疏引（1)对于以上几个常见的图框，要明确.①起、止框是任何流程不可少的，表明程序开始和结束；②输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置;③算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内；④当算法要求你对两个不同的结果进行判断时,判断条件要写在判断框内;⑤一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连结。

（2）画流程图的规则①使用标准的框图的符号；②框图一般按从上到下、从左到右的方向画；③除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；④一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断,而且有且仅有两个结果，另一种是多分支判断，有几种不同的结果;⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

（3）画流程图的注意事项①画流程图时要注意模仿、操作、探索,进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力。

②开始框只有一个出口无入口；结束框只有一个入口无出口；菱形判断框有一个入口和两个出口；输入、输出框、处理框各有一个入口、一个出口.（4)用流程图表示算法的优点用流程图表示算法可以使算法的基本逻辑结构变得清晰、直观,可将依次设计好的算法清晰直观地表示出来,且使算法变得容易阅读、理解和修改,为将算法语言转化为计算机语言提供了一定的依据。

第一章 算法初步§1.1 算法与程序框图【入门向导】“孙子问题”最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中．其原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？答曰：二十三”．意思是说：今有一些事物，不知道它的数目，三个三个地数它们剩余二个，五个五个地数它们剩余三个，七个七个地数它们剩余二个，问这些事物的数目是多少？“孙子问题”相当于求关于x ，y ，z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3x ＋2m ＝5y ＋3m ＝7z ＋2的正整数解．《孙子算经》中给出了具体的解法，其步骤是：选定5×7的一个倍数，被3除余1，即70；选定3×7的一个倍数，被5除余1，即21；选定3×5的一个倍数，被7除余1，即15.然后按下式计算：m ＝70×2＋21×3＋15×2－105P .式中105为3,5,7的最小公倍数，P 为适当的整数，使得0<m ≤105，这里取P ＝2.你能想出一种算法，利用计算机来解决上述问题吗？1．对算法含义的理解(1)算法是机械的算法的设计要“面面俱到”不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．(2)算法是普遍存在的实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．例1 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种流程( )A ．1.洗脸刷牙、2.刷水壶、3.烧水、4.泡面、5.吃饭、6.听广播B ．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭、5.听广播C ．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭同时听广播D ．1.吃饭同时听广播、2.泡面、3.烧水同时洗脸刷牙、4.刷水壶分析 处理问题的算法要求能够一步一步地执行，好的算法还要花费时间少．解析 A 中洗脸刷牙可以在烧水的过程中进行，听广播可以和吃饭同时进行；D 中吃饭要在刷水壶、烧水、泡面之后．答案 C2．算法与数学问题解法的区别与联系(1)联系算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤；同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．(2)区别算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．例2 给出求解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7. ①4x ＋5y ＝11 ②的一个算法． 解 方法一 (消元法)S1 ②－①×2，得3y ＝－3，③S2 解③得y ＝－1；④S3 将④代入①，得x ＝4；S4 输出x ＝4，y ＝－1.方法二 (公式法)S1 计算D ＝2×5－4×1＝6；S2 因为D ＝6，所以x ＝5×7－11×16＝4，y ＝11×2－7×46＝－1； S3 输出x ＝4，y ＝－1.点评 本题中的方法二，直接利用高斯消去法的算法步骤，显得更为简捷．3．程序框图(1)与自然语言相比用程序框图表示算法的优越性用自然语言表示算法的步骤有明确的顺序性，但在处理条件结构或循环结构这样的问题时比较困难，不够直观、准确．程序框图是表示算法的另一种形式，它的结构清晰，步骤准确，有时能解决自然语言不易表达的问题．(2)画程序框图的规则画程序框图的规则应是大家共同遵守的一些规则，目的是为了使大家彼此之间能读懂各自画的框图．①使用标准的框图符号；②框图一般按从上到下，从左到右的方向来画；③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；④在图形符号内描述语言要简练、清楚．例3 已知圆的半径，设计一个算法求圆的周长和面积的近似值，并用程序框图表示． 分析 解答本题可由圆的周长公式和面积公式直接求解，其中圆的半径可由算法输入． 解 算法设计：S1 输入圆的半径R .S2 计算L ＝2πR .S3 计算S ＝πR 2.S4 输出L 和S .程序框图：1．算法的确定性理解不到位例1 求2＋4＋6＋8＋…＋100的算法．错解 算法：S1 计算2＋4＋6＋8＋ (100)S2 输出第一步中的结果．正解 算法：S1 计算2＋4得到6；S2 将第一步的结果与6相加得到12；S3 将第二步的结果与8相加得到20；S4 如此继续下去，一直加到100；S5 输出运算结果．2．程序框图中循环结构功能、条件出错例2 如图所示是某一算法的程序框图，根据该框图指出这一算法的功能．错解 求S ＝12＋14＋16＋18＋110的值． 正解 在该程序框图中，S 与n 为两个累加变量，k 为计数变量，所以该算法的功能是求12＋14＋16＋…＋120的值. 1．按部就班法此法是基本方法，要求按问题的解题步骤“按部就班”地做，每一步都有唯一的结果，且在有限步之后得出结果．例1 写出作∠ABC 的平分线的一个算法．分析 解决这个问题，只需按作图方法“按部就班”地设计算法．解 S1 以B 为圆心，以任意长为半径画弧，与边BA 交于M 点，与边BC 交于N 点．S2 以M 为圆心，以大于12MN 的长d 为半径画弧． S3 以N 为圆心，以大于12MN 的长d 为半径画弧． S4 取第二、三两步所得的弧的交点P .S5 过B ，P 作射线BP ，射线BP 即为∠ABC 的平分线．2．公式法利用现有公式解决问题是设计算法的重要思路．例2 计算上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积．分析 根据梯形的面积公式S ＝12(a ＋b )h .其中a 是上底，b 是下底，h 是高，只需令a ＝2，b ＝4，h ＝5，代入公式即可．解 算法如下：S1 a ＝2，b ＝4，h ＝5；S2 S ＝12(a ＋b )h ； S3 输出S .3．循环法有些问题需要重复计算，而这正是计算机的强项，因此我们可以利用循环来实现． 例3 设计出一个求23＋43＋63＋…＋603的算法．解 S1 p ＝0，i ＝2.S2 p ＝p ＋i 3.S3 i ＝i ＋2.S4 如果i ＞60，算法结束，否则，返回第二步．S5 输出p .1．抓特征组成任何一个程序框图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”．“四框”即起、止框、输入(出)框、处理框、判断框．“一线”即流程线，任意两个程序框之间都存在流程线．“文字说明”即在框图内加以说明的文字、算式等，这是每个框图不可缺少的内容．2．明规则程序框图的画法规则是：①用标准，即使用标准的图形符号；②按顺序，即框图一般按照从上到下、从左到右的顺序画；③看出入，即大多数程序框只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有两个出口的图框，条件分支结构中要在出口处标明“是”或“否”；④明循环，即循环结构要注意变量的初始值及循环终止条件；⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；⑥简说明，即在程序框内的描述语言要简练清晰．3．依步骤画程序框图的总体步骤是：第一步，先设计算法，因为算法的设计是画程序框图的基础，所以在画程序框图前，首先应在稿纸上写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪些基本逻辑结构；第二步，再把算法步骤转化为对应的程序框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．例4 某商场进行优惠促销：若购物金额x 在500元以上(不包括500元)，则全部货款打8折；若购物金额x 在300元以上(不包括300元)500元以下(包括500元)，则全部货款打9折；否则，不打折．画出程序框图，要求输入购物金额x 元，能输出实际交款额．分析 由题意，实际交款额y 与购物金额x 之间的函数关系是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， 0≤x ≤300，0.9x ，300＜x ≤500，0.8x ，x ＞500.因为它需对x 进行三次判断，所以算法含有两个条件结构，写出算法步骤如下．解 算法如下：S1 输入购物金额x .S2 判断x ≤300是否成立．若是，则y ＝x ，执行第四步；否则，进入第三步． S3 判断x ≤500是否成立．若是，则y ＝0.9x ；否则，y ＝0.8x .S4 输出y ，算法结束．画法步骤 ①画顺序结构图，即起、止框及输入框，并且流程线连接(如图中①)；②画条件结构图，即画判断框，里面填写“x ≤300”(如图中②)．对于“是”画处理框并填入“y ＝x ”，对于“否”流向下一个判断框；③再画条件结构图，即画判断框，里面填写“x ≤500”对于“是”画处理框并填入“y ＝0.9x ”，对于“否”画处理框并填入“y ＝0.8x ”(如图中③)；④画一个总的输出框并输出y ，以及起、止框表示算法结束(如图中④)．最后，合成整个算法程序框图.1．(天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 i ＝1时，a ＝2；i ＝2时，a ＝5；i ＝3时，a ＝16；当i ＝4时，a ＝65>50.即条件a >50成立，所以输出的i 的值为4.答案 B2．(湖南)若执行如图所示的程序框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于______．解析 由框图的算法功能可知，输出的数为：S ＝(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)23＝23. 答案 233．(日照模拟)执行下边的程序框图，输出的T ＝________.解析 按照程序框图依次执行为S ＝5，n ＝2，T ＝2；S ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6；S ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；S ＝20，n ＝8，T ＝12＋8＝20；S ＝25，n ＝10，T ＝20＋10＝30>S ，输出T ＝30.答案 304．(威海调研)某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是__________．解析 由题意知，该程序框图表达的是一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤1，x －2，x >1. 答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤1，x －2，x >1 5．(抚顺模拟则图中判断框应填________，输出的s ＝________.解析 该程序框图是统计6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数，因此图中判断框应填i ≤6，输出的s ＝a 1＋a 2＋…＋a 6.答案 i≤6 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6。