2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(理)试题(四)及答案

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|13}A x x =<≤，{|02}B x x =≤<，则A B =U （ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|03}x x ≤≤C ．{|12}x x <<D ．{|13}x x <≤2.设函数1,0()1,02xx x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=（ ）A ．32B1C ．1 D ．3 3.若向量(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，2(2,3)c xa yb =+=r r r(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．4B ．5C ．3D ．24.若实数x ，y 满足约束条件113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.命题p ：若复数21iz i=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么（ ）A ．p q ∧是真命题B ．()p q ∧⌝是真命题C ．()p q ⌝∨是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题6.执行如图所示的程序框图，若输入的40n =，则输出的S =（ ）A ．80B ．96C ．112D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（ ）A ．14 B ．23 C ．35 D ．3109.如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．512π10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为3242π++，则图中的x=（）A．1 B．2C．32D．211.已知数列{}na满足2*1232()nna a a a n N⋅⋅⋅=∈，且对任意的*n N∈都有12111nta a a++⋅⋅⋅+<，则t的取值范围为（）A．1,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.若存在1,x ee⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln30x x x mx+-+≥成立，则实数m的最大值为（）A．132ee+-B．32ee++C．4 D．21e-第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知{}na是等差数列，nS是其数列的前n项和，且4103S=-，1221a a+=，则3a=．14.已知圆C的方程为22(2)(1)1x y++-=，则圆上的点到直线0x y-=的距离的最小值为．15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为．16.已知双曲线1C：2212xy-=，曲线2C：1y x=+，P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C，2C 都有公共点，则称点P为“差型点”.下面有4个结论：①曲线1C的焦点为“差型点”；②曲线1C与2C有公共点；③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”. 其中正确结论的个数是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的外接圆半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？（2）在抽取的n 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310n，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 近视 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.82819.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，6DBC ∠=，2BD BC ==，32AB =，E 为AC 的中点，F 在棱CD 上，且BC EF ⊥.（1）求证：BF CF =； （2）求三棱锥A BEF -的体积.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.（1）若直线AB 与椭圆的长轴垂直，12AB a =，求椭圆的离心率； （2）若直线AB 的斜率为1，3222a AB a b =+，求椭圆的短轴与长轴的比值.21.已知曲线()xmx m f x e -=在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-. （1）求函数()f x 的极小值； （2）当(0,)x π∈时，求证：21()cos sin f x x x x e+>-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，2sin ρθ=. （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为参数方程； （2）当6πα=时，直线l 与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23b cf x x a x =-+++的最小值为7（a ，b ，c 为正数）. （1）求222a b c ++的最小值；（2）求证：444222222a b c a b c b c a++≥++.文数（三）一、选择题1-5: BDAAB 6-10: DCBCA 11、12：DA二、填空题13. 43-14. 12 15. 1296 16. 3三、解答题17.解：（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 即2sin cos sin()sin A A B C A =+=. ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =. ∵0A π<<，∴3A π=.又2sin bR B=（R 为外接圆半径），2b =，R =∴sin 2B =，∴4B π=或34π（舍）. ∴5()12C A B ππ=-+=. （2）由（1）知，4B π=或34π， 又B 为锐角，∴4B π=.由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，即24()2a c ac =+-.∵3a c +=，∴49(2ac =-+，∴(25ac =， ∴ac =∴1sin24ABC S ac B ∆===. 18.解：（1）由图1可知，高中生占学生总数的20%，∴学生总数为300020%15000÷=人， ∴样本容量为150002%300⨯=.∵抽取的高中生人数为30002%60⨯=人， 由于近视率为60%，∴抽取的高中生近视人数为6060%36⨯=人. （2）列联表如下：平均学习时间不超过9小时 平均学习时间超过9小时总计 不近视 18 6 24 近视 24 12 36 总计421860（3）由列联表可知，260(1812246)0.47624364218K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵0.476 3.841<，∴没有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关. 19.解：（1）取BC 的中点G ，连接EG ，GF .∵E 为AC 的中点，∴//EG AB . ∵AB ⊥平面BCD ，∴EG ⊥平面BCD ，∴EG BC ⊥. 又∵BC EF ⊥，EF EG E =I ， ∴BC ⊥平面EFG ，∴BC GF ⊥. 又∵G 是BC 的中点， ∴BF CF =.（2）由图可知，三棱锥A BEF -体积与三棱锥F ABE -体积相等. ∵FG BC ⊥，FG AB ⊥，AB BC B =I ， ∴FG ⊥平面ABC .∵150DBC ∠=o，且2BD BC ==，∴15BCD ∠=o.在Rt FGC ∆中，1CG =，∴tan152GF ==o∴13A BEF F ABE ABE V V S FG --∆-=⨯⨯11111232322ABC S FG ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯1(2(26⨯⨯=， 即三棱锥A BEF -的体积为16. 20.解：（1）由题意，直线AB 的方程为x c =-,∴2212b AB a a ==， 即224a b =，故2c e a ====. （2）设1(,0)F c -，则直线AB 的方程为y x c =+，联立22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()20a b c a cx a c a b +++-=，42222222444()()8a b a a b c b a b ∆=-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212222a c x x a b +=-+，2221222()a cb x x a b-=+.∴12AB x =-==22222242ab a a b a b ==++. ∴222a b =，∴2212b a =，∴b a =. 21.解：（1）由题得，()f x 的定义域为R ，(2)'()xm x f x e --=，∴'(1)mf e=.∵曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1e-， ∴1m e e=-，∴1m =-. ∴1()x x f x e -=，2'()xx f x e-=， 当2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减， ∴()f x 的极小值为21(2)f e=-. （2）由（1）可知，21()f x e +在2x =处取得最小值0， 设()cos sin g x x x x =-，(0,)x π∈， 则'()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-， ∵(0,)x π∈，∴'()0g x <， ∴()g x 在区间(0,)π上单调递减， 从而()(0)0g x g <=， ∴21()cos sin f x x x x e+>-. 22.解：（1）由直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），得直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 由曲线2C 的极坐标方程2sin ρθ=， 得直角坐标方程为22(1)1x y +-=，∴曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.（2）当6πα=时，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.当6πθ=时，4cos6OA π==2sin16OB π==，∴1AB OA OB =-=. 23.解：（1）∵2323b c b c x a x a -+++≥++（当且仅当()023b c x a x ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭时取等号），由题意，得723b ca ++=. 根据柯西不等式，可知22222211()123a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦24923b c a ⎛⎫≥++= ⎪⎝⎭，∴22236a b c ++≥. ∴222a b c ++的最小值为36.（2）∵42222a b a b +≥，42222b c b c +≥，42222c a c a +≥，∴444222222a b c a b c b c a +++++2222()a b c ≥++， ∴444222222a b c a b c b c a++≥++.。

河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷数学试题考试时间120分钟 总分160分参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.） 1.已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B =_________． 2.复数()()12a i i ++纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =_____________3.某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值为__________．(第11题)4.现有三张识字卡片，分别写有“抗”、“疫”、“情”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“抗疫情”的概率是_____________5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率2e =，则其渐近线的方程为 _________6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．7.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2a 、5a 、14a 成等比数列，253S a =，则10a =______________8.将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_____________ 9.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是__．10.若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．11.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，AB CD ⋅=_____________12.若对于任意的-15x ∈∞⋃+∞（，）（，），都有22(2)0,x a x a --+>则实数a 的取值范围是______．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 14.在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ=__________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分..）15.如图，ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =．（1）求cos B 的值； （2）求CD 的长.16.如图，在四棱锥P ABCD⊥，过CD-中，PC⊥平面ABCD，AB//CD，CD ACPA PB交于点,E F．的平面分别与,（1）求证：CD⊥平面PAC；AB EF（2）求证：//17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.19.已知函数()()22ln f x x x ax a R =-+∈.（1）当2a =时，求()f x 的图象在 1x =处的切线方程；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若对区间()1,2内任意两个不等的实数1x ，2x ，不等式()()12122f x f x x x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足11b =，22b =，12n nn n T bT b ++=.（1）求数列{}n a 、{}n b 通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由.河北省衡水中学2020-2021高考数学模拟试卷（参考答案）考试时间120分钟 总分160分一、填空题：1.【答案】{}1,1-．详解】2{|,3}B x x R x =∈<＝{x|x 又{}1,1,2,3,A =-则A ∩B ＝{＝1＝1}＝【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键． 2.【答案】2【详解】因为复数()()12a i i ++是纯虚数，化简，()()()12221a i i a a i ++=-++，则20210a a -=⎧⎨+≠⎩，则实数2a = 【点睛】本题考查复数的概念，属于简单题 3.【答案】5【详解】由伪代码可得22,5log ,5x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，当32x =时，2log 325y ==．【点睛】本题主要考查条件语句及分段函数，属于基础题． 4.【答案】16【详解】由题得“抗”、“疫”、“情”这三个字的排列有：抗疫情，抗情疫，疫抗情，疫情抗，情抗疫，情疫抗，共有6种，其中，组成“抗疫情”的只有1种. 故能组成“抗疫情”的概率是16P =.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.【答案】y =【【详解】双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，∴双曲线渐近线为b y x a =±，又离心率为2c e a==，可得2c a =，224c a ∴=，即2224a b a +=，可得b =，由此可得双曲线渐近线为y =，故答案为y =. 6.【答案】265【详解】平均值为3698465++++=， 所以方差为()()()()()22222136669686465⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦99442655+++==. 【点睛】本小题主要考查样本方差的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7.【答案】19【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出0d ≠，由题意得25214253a a a S a ⎧=⎨=⎩，即()()()()211121141351020a d a d a d a d a d d ⎧+=++⎪⎪+=+⎨⎪≠⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 因此，101919219a a d =+=+⨯=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解答的关键就是得出关于首项和公差的方程组，考查计算能力， 属于中等题. 8.【答案】【详解】半径为1的小铁球的体积为43π，底面周长为2π，高为4的铁制圆柱的底面半径为1，体积为4π，锻造成的大铁球的体积为341644333R ππππ+==，可得R =，所以该大铁球的表面积为2244R ππ==，故答案为：.【点睛】本题主要考查球的体积与表面积公式，考查了柱体的体积公式，属于基础题. 9.【答案】π7π(,)1212【详解】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(＝则2sin ϕ=，sin ϕ=，0,23ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤. 【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误. 10.【详解】令2x y k +=＝则2y k x =-＝()22210x x k x ∴+--=＝即23210x kx -+-=＝24120k ∴∆=-≥＝且0k >＝k ∴≥，即2x y +＝点睛：基本不等式的考察的一个主要考察方法就是判别式法，可以应用判别式法的题型基本特点：（1）题干条件是二次式；（2）问题是一次式（或可以化简为一次式）．熟悉判别式法的应用，可以提升考试中碰到不等式题型的准确率． 11.【答案】4-【详解】如图，由已知可得1,3,,60AF AF FB FB ===所以()()C AB A D FB E F CE D ⋅=+⋅+()133F F B AF A B F ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭2218333FB FB AF AF =-+-⋅18139134332=-+⨯-⨯⨯⨯=-故答案为：4-.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 12.【答案】(1,5] 【详解】利用一元二次方程根的分布去解决，设2()2(2)f x x a x a =--+ ＝ 当24(2)40a a ∆=--<时，即14a << 时，()0f x > 对x ∈R 恒成立； 当1a =时，(1)0f -= ，不合题意； 当4a =时，(2)0f = 符合题意；当∆<0 时，0125(1)0(5)0a f f ∆<<-<≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 即：45a <≤综上所述：实数a 的取值范围是(1,5].【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()22:23C x y m ++-=，若圆C上存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围为_________． 【答案】[由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，所以OA OB ⊥,如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B D 、，圆上要存在满足题意的点A ，只需090BOD ∠≥，即045COB ∠≥，连接CB ，CB OB⊥，由于(2,)C m -，CO =CB =，sin sin 45CB COB CO∠==≥=，解得m ≤≤14.【答案】12+ 【详解】在ABC ∆中，120C =，由余弦定理得222c a b ab =++，① 因为tan 3tan A B =，即sin sin 3cos cos A BA B =⋅，所以sin cos 3sin cos A B B A =，由正弦定理得cos 3cos a B b A =，所以222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，整理得22222c a b =-，②由①②可得2230a ab b --=，所以230a bb a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a b =，所以sin sin A B =，又sin sin A B λ=，所以sin sin =A λB =．故答案为：12二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.试题解析：（1）在ABC 中，4cos 5A =，()0,πA ∈，所以3sin 5A ===．…………………………2分 同理可得，12sin 13ACB ∠=． ……………………………………… 4分 所以()()cos cos πcos B A ACB A ACB ⎡⎤=-+∠=-+∠⎣⎦sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． ……………………………………………7分（2）在ABC 中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． …………9分 又3AD DB =，所以154BD AB ==． ……………………………………………………11分 在BCD中，由余弦定理得，CD ===．………………………………………………………14分【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16.详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， (3)分∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PCAC C =，∴CD ⊥平面PAC .………………………………6分（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF 平面PAB EF =…………………9分 又CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，………………………………………………………… 11分∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF ……………………………………………………………………………………………14分点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17.试题解析：（1）因为24a =，23b =，所以1c ==，所以F 的坐标为()1,0……2分设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线l 的方程为1x my =+， 代入椭圆方程，得()2243690m ymy ++-=，…………………………………………………5分则12343m y m -+=+，22343m y m--=+．若2QF PF =，则2233204343m m m m---++⨯=++，………………………………6分解得m =l 的方程为20y -=． (8)分（2）由（1）知，122643m y y m -+=+，122943y y m -=+，…………………………………10分所以()1212293432mmy y y y m -==++， 所以()()12112212211223y my k y x k x y y my --=⋅=++ ………………………………………………………12分()()1211223123332y y y y y y +-==++， 故存在常数13λ=，使得1213k k =．……………………………………………………………14分【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设λ存在，利用所求的12y y +，12y y ，结合已知条件12k k λ=，得出坐标关系，再把12y y +，12y y 代入求出λ符合题意，则λ存在，否则不存在.18.试题分析： 解:(1) 过点作于点，则，所以，……………………………………………………………………2分．所以…………………………………………………………………………4分，…………………………………………………………………………………6分因为，所以，所以定义域为．…………………………………………7分（2）矩形窗面的面积为．……………………………………9分则透光区域与矩形窗面的面积比值为．设，．………………………………………………………………11分则，……………………………………………………………………………………13分因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时………………………………16分答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．19.【详解】（1）当时，，，切点坐标为………1分切线的斜率，则切线方程为，即.…………………… …………3分（2），则，…………………………………4分，故时，.当时，； 当时，. 故在处取得极大值.……………………………………………………………6分又，，，则， 在上的最小值是.……………………………… ……………………………………8分在上有两个零点的条件是2a =()22ln 2f x x x x =-+()222f x x x'=-+()1,1()12k f ==()121y x -=-21y x =-()22ln g x x x m =-+()()()21122x x g x x x x-+-'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0g x '=1x =11x e <<()0g x '>1x e <<()0g x '<()g x 1x =()11g m =-2112g m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22g e m e =+-()2221140g e g e e e ⎛⎫-=-+<⎪⎝⎭()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g e ()110g m =->()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 实数m 的取值范围是…………………………………………………………………………10分（3）不妨设，恒成立等价于，即.………………………………………………………………………………12分令，由，具有任意性知，区间内单调递减，恒成立，即恒成立，，在上恒成立. 令，则……………………………………………………………14分 在上单调递增，则，实数a 的取值范围是 (16)分【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值和最值、以及考查函数的恒成立问题和转化思想，属于难题20.【详解】解：（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即，又，则，………………………………2分所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故 (3)分2112m e <≤+211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦1212x x <<<()()12122f x f x x x -<-()()()21212f x f x x x -<-()211222f x x f x x ->-（）()()2u x f x x =-1x 2x ()u x ()1,2()()20u x f x '=-<()2f x <222x a x -+<222a x x<-+()1,2()222h x x x=-+()2220h x x'=+>()222h x x x=-+()1,2()()12h x h >=(],2-∞22n n S a =-2n ≥1122n n S a --=-122n n n a a a -=-12n n a a -=1122S a =-12a ={}n a 12a =2n n a =由得，，，…，，以上个式子相乘得，即①，当时，②，………………5分两式相减得，即（），所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列， ,,因此数列的通项公式为.…………………………………………………………………………………………………………6分 （2）当时，无意义，………………………………………………………………………7分设（，），显然.则，即………………………9分…………………………………………………………………………………………………11分显然，所以，所以存在，使得，，……………………………………………………………………………………………………13分下面证明不存在，否则，即， 此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的为，.……………………………………………………………………………16分12n nn n T b T b ++=1123T b T b=2234T b T b=3345T b T b=111n n n n T b T b --+=n 1121n n n T b b T b b +=12n n n T b b +=2n ≥112n n n T b b --=()112n n n n b b b b +-=-112n n b b +--=2n ≥{}n b 2121k b k -=-22k b k ={}n b n b n =1n =11n n n n a b a b +++-()112121n n n n n n n a b n c a b n +++++==--+2n ≥*N n ∈1n c >()()11122212221n n n n n n n n c c n n +++++++-=--+-+()()11202221n n nn n n ++-⋅=<⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦11n n c c +>>()2121n nn n ++>-+234731c c c =>=>>>2n =72b c =33b c =2n c =()21221n n nn c n ++==-+()231n n =+2n n b 3b 7b点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.n S n a n a 1,2n n n a S S n -=-≥n a n S n S n n a 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1,2n n =≥。

河北省衡水市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B ．C ．73D 【答案】D 【解析】 【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=3e ∴==. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.2．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n nn a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,因为n nn a αβ=+,所以111n n n a αβ+++=+()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()222223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 3．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B . 【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-. 【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.4．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y ++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差【答案】C【解析】【分析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲 4 5 4 5 4 5乙 3 4 3 3 5 4由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A．438π+B．238π+C．434π+D．834π+【答案】A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为21311434234238323Vππ=⨯⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7．已知数列{}n a的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，·22(2)0a b λ=+-=rr ，本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，2c ＝p ，∴离心率eca ===1， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )A B ．38C D由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，3p =， ∴3(,0)F ，11333228FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．11．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．12．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④ B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明. 【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f-=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

衡水中学2020－2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2og 1{|l }A x x =<，集合{|B y y ==，则A B ⋃=（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若双曲线()2210mx ny m +=>mn=（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．－44．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2D 5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，12BC AC =．根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ． C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．2D ．8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()20202020f e < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,2M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0-B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．||AB =10．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b +B ．21a b +的最小值为2C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++11．已知函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为－212．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α、下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC ；的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设,a b 为单位向量，且|1rra b -=，则|2|a b -=__________．14．已知数列{}n a 满足21,1log (3),2,*n n n a n n n N +=⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123)(*a a a k N ⋅⋅∈为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2020内所有“幸福数”的和为__________．15．关于x 的方程ln 1xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围__________． 16．设双曲线222116x y b -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程__________；M 在曲线E 上，点()8,0A ，()5,6B ，则1||||2AM BM +的最小值__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a =（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由． （2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos222CC -+=③()sin sin sin a A B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，1sin sin 4A B +=，2c =，__________，求角C 及ABC △的面积S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点．（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点M ，N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案详解1．D解：∵{}2log 1A x x =<{}02x x =<<，{B y y =={}0y y =≥，∴[0,)AB =+∞，故选：D ．2．D依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。

2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。

2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试（四）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数，则z=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】 ,故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.已知集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|（x+1）（x-3）≤0}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|（x+1）（x-3）≤0}={x|-1≤x≤3}，∴A∩B={x|-1≤x＜1}=[-1，1）．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，得解．【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选：B．【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．4.已知数列{a n}是等比数列，a1=5，a2a3=200，则a5=（）A. 100B.C. 80D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=5，a2a3=200，∴52×q3=200，解得q=2．则a5=5×24=80．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁．如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设正八边形的边长为a，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由几何概型知概率是面积比得答案．【详解】设正八边形的边长为a，则其面积为=．中间正方形的面积为2a2．由几何概型知概率为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是．故选：A．【点睛】本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可以看出，从而得出a，b，c的大小关系【详解】，；∴b＞c＞a．故选：B．【点睛】考查对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求出该锥体的表面积．【详解】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如图所示；且底面圆的半径为1，高为2，母线长为；所以该锥体的表面积为：S=π•12+π•1•+•2•2=π+2．故选：C．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．8.设D为△ABC所在平面内一点，，若，则λ-μ=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可知B、C、D三点在同一直线上，然后结合图形和向量运算找出λ、μ的值．【详解】解：由，可知，B、C、D三点在同一直线上，图形如下：根据题意及图形，可得：∴λ-μ=．故选：A．【点睛】本题主要考查向量共线的知识以及向量的数乘和线性运算，属基础题．9.如图所示的程序框图设计的是求的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意n的值为多项式的系数，由100，99…直到1，从而得到我们需要输出的结果．【详解】由题意，n的值为多项式的系数，由100，99…直到1，由程序框图可知，输出框中“”处应该填入n=100-i．故选：C．【点睛】本题主要考查了当型循环语句，算法在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．10.已知双曲线，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若，则双曲线C的离心率为（）A. 3 B. 2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出a、b、c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】由题意可知：，解得tan∠MAF=3，可得：，可得c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e＞1，解得e=2．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11.如图，三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】取BC中点O，连结OD，OA，则OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y 轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值．【详解】取BC中点O，连结OD，OA，∵三棱锥D-ABC中，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，∴OD⊥BC，O A⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，C（，0，0），A（0，，0），D（0，0，），M（0，，），N（，0，），B（-，0，0），=（-，,），=（，0，），设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ，则cosθ=．∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数，若，且恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，利用已知条件列出不等式，然后求解a的范围．【详解】函数f（x）=x2+ax-lnx，可得：f′（x）=2x+a-，若m，n∈[1，+∞），且恒成立，即2x+a-＞3，x∈[1，+∞），恒成立．即a恒成立，令y=3-2x+在x∈[1，+∞）时是减函数，可得a＞3-2+1=2．故选：C．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足约束条件，若z=x+y，则z的最大值为______．【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由解得．代入目标函数z=x+y得z=．即目标函数z=x+y的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.两个女生和三个男生站成一排照相，两个女生要求相邻，男生甲不站在两端，不同排法的种数为______【答案】24【解析】【分析】先把2名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的2名男生全排列形成了2个空（不包含两端），将男生甲插入到其中，问题得以解决．【详解】先把2名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的2名男生全排列形成了2个空（不包含两端），将男生甲插入到其中，故有A22A33A21=24种，故选：24．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，对于受到多个限制条件的排队问题，要关键题意，确定合理的分类或分步解决方案，做到既满足题意，又不重不漏15.已知等差数列{a n}的首项a1=1，若3a3=7a7，则数列{a n}的前n项和的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】先求出公差，再求出通项公式，求出数列{a n}的前n项和的最大值的项，根据求和公式即可求出．【详解】设公差为d，∵3a3=7a7，a1=1，∴3（1+2d）=7（1+6d），解得d=-，∴a n=1-（n-1）=，令a n≥0，解得n=10，∴数列{a n}的前n项和的最大值为S10=10+，故答案为：5【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题16.已知点P（-1，-1），且点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过点F且斜率为-2的直线l与该抛物线交于A，B两点．若，则p=______．【答案】2【解析】【分析】联立直线l的方程与抛物线的方程，利用韦达定理以及向量数量积列式可得．【详解】∵F（，0），直线l：y=-2（x-）=-2x+p，联立消去y得4x2-6px+p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2= p，x1x2=，∴ =（-1-x1）（-1-x2）+（-1-y1）（-1-y2）=1+x1x2+x1+x2+（p+1）2+4x1x2-2（p+1）（x1+x2）=5x1x2+（-1-2p）（x1+x2）+1+（p+1）2= +（-1-2p）× p+1+（p+1）2=0，解得p=2．故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线的性质，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角的对边分别为，已知．求；若，且面积，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值．【详解】（1）∵，∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，可得：cosA=sinA，可得：tanA=，∵A∈（0，π），∴A=（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，∴解得：c=2，b=4，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥DA，DC∥AB，AB=2DC=4，PA=DA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：平面PCB⊥平面ABP；（2）求二面角D-PC-B的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设E，F分别为AP，PB的中点，过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，推导出DE⊥AP，CF⊥AP，从而CD⊥平面PAD，C D⊥PD，CQ⊥AB，进而，CQ=AD ,CF⊥PB，CF⊥平面APB，由此能证明平面PCB⊥平面ABP．（2）过P作AD的垂线，垂足为O，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A原垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角D-PC-B的余弦值．【详解】（1）如图，设E，F分别为AP，PB的中点，过C向AB引垂线，垂直足为Q，连结CF，DE，EF，FQ，得,，故EF//DC, EF=DC，∴CF∥DE，又PA=PD=DA，∴DE⊥AP，∴CF⊥AP，由平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴PC2=DC2+DP2=8，又CQ⊥AB，∴CQ//AD，CQ=AD,∴BC2=QC2+QB2=8，∴PC=BC，又F为PB的中点，∴CF⊥PB，∴CF⊥平面APB，又CF⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面ABP．（2）如图，过P作AD的垂线，垂足为O，由（1）知O为AD的中点，故PO⊥AD，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过点O作A原垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则D（-1，0，0），C（-1，2，0），B（1，4，0），P（0，0，），=（1，-2，），=（2，1，0），设平面PCB的法向量=（x，y，z），则，即，取x=1，得=（1，-1，-），设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，，取z=1，得=（-，0，1），∴cos＜＞==-，∴二面角D-PC-B的余弦值为-．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知P（0，2）是椭圆的一个顶点，C的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为-4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，解得a=，b=2，c=，即可求出，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，根据韦达定理和斜率公式，即可求出y=kx-k-2=k（x-1）-2，可得直线过定点，当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，易求出直线AB经过定点，定点为（1，-2）【详解】（1）由题意可得，解得a=，b=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理，可得（3k2+2）x2+6ktx+3t2-12=0，∴△=36（kt）2-4×（3k2+2）（3t2-12）=0＞0，即6k2+4-t2＞0，则x1+x2=-，x1x2=，由l1与l2的斜率之和为-4，可得+=-4，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴+=-+=2k+=2k+=-4，化简可得t=-k-2，∴y=kx-k-2=k（x-1）-2，∴直线AB经过定点（1，-2），当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，A（m，y1），B（m，y2），+=，又y1，y2互为反函数，∴y1+y2=0，故x=1，也过点（1，-2），综上直线AB经过定点，定点为（1，-2）【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、斜率公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图．该公司给出了两种日薪方案．方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元．（1）分别求出两种日薪方案中日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：（Ⅰ）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X（单位：元）的数学期望及方差；（Ⅱ）如果你要应聘该公司的销售员，结合（Ⅰ）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由．【答案】（1）见解析；（2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（1）分别写出方案1、方案2的日工资y与销售件数n的函数关系式即可；（2）（Ⅰ）根据柱状图写出方案1的日薪X1的分布列，计算数学期望和方差；写出方案2的日薪X2的分布列，计算数学期望和方差；【详解】（1）方案1：日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式为：y=20n，n∈N；方案2：日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式为y=；（2）（Ⅰ）根据柱状图知，日销售量满足如下表格；所以方案1的日薪X1的分布列为，数学期望为E（X1）=60×0.05+80×0.2+100×0.25+120×0.4+140×0.1=106，方差为D（X1）=0.05×（60-106）2+0.2×（80-106）2+0.25×（100-106）2+0.4×（120-106）2+0.1×（140-106）2=444；方案2的日薪X2的分布列为，数学期望为E（X2）=90×0.5+110×0.4+130×0.1=102，方差为D（X2）=0.5×（90-102）2+0.4×（110-102）2+0.1×（130-102）2=176；（Ⅱ）答案1：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），但两者相差不大，又D（X1）＞D（X2），则方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2．答案2：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1．【点睛】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．21.已知函数．（1）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=-x-1，求a，b的值；（2）当b=1，a＜0时，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1+x2＞2．【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进行求解即可．（2）求函数的导数，判断函数的单调性，由零点存在性定理，转化为证明f（x2）＞f（2-x1）即可．【详解】（1）f（0）=-b=-1，所以b=1．又f'（x）=2x-2+，则f'（0）=-2+a，所以-2+a=-1，得a=1．（2）当b=1吋．f（x）=x2-2x+-1，则f′（x）=2x-2+=（x-1）（2-）已知a＜0，所以2-＞0，故f'（x）=0得x=1．当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减．在（1，+∞）上单调递增．又f（1）=-2+＜0，f（-1）=2-ae＞0，当-1≤a＜0时，3a≥-3，2e3+3a≥2e3-3＞0，所以f（3）=2+＞0；当a＜-1，-e3a＞e3⇒ln（-e3a）＞ln e3=3＞1．不妨没ln（-e3a）=t＞3，则f（t）=t2-2t+-1=t2-2t+-1=t2-（2+）t-1．二次函数g（t）=t2-（2+）t-1的对称轴为t=＜3所以f（t）＞g（3）=9-6--1=2-＞0，由零点存在性定理，函数f（x）存在两个零点x1，x2，设x1＜1＜x2，由x1+x2＞2，得x2＞2-x1＞1＞x1，由函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，只需证f（x2）＞f（2-x1）即可．又f（x1）=f（x2）=0，所以只需证f（x1）＞f（2-x1）即可．f（x1）=x12-2x1+-1，f（2-x1）=（2-x1）2-2（2-x1）+-1，只需证x12-2x1+＞（2-x1）2-2（2-x1）+，化简得即证，=设h（x）=xe2-x-（2-x）e x，则h'（x）=（1-x）（e2-x-e x）．当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；当x∈（-∞，1）时，h'（x）＞0．而h（1）=0，故当x＜1时，h（x）＜0．而＞0恒成立．故f（x1）＞f（2-x1），即f（x2）＞f（2-x1），则x2＞2-x1，即x1+x2＞2，成立．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及导数的几何意义，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和C2的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A，B两点，求|AB|的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y2=8x，转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ．曲线C2的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0，转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0．（2）设A（）B（），所以：，，所以：．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知的最小值为．求的值；若实数满足，求的最小值．【答案】（1）2；（2）1【解析】【分析】（1）分类讨论将函数f（x）化为分段函数，进而求出t的值；（2）根据t的值求得a2+b2的值，进而得到a2+1+b2+2的值再根据基本不等式求最小值．【详解】（1）f（x）=|2x+2|+|x-1|=故当x=-1时，函数f（x）有最小值2，所以t=2．（2）由（1）可知2a2+2b2=2，故a2+1+b2+2=4，所以=当且仅当a2+1=b2+2=2，即a2=1，b2=0时等号成立，故的最小值为1．【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．。

衡水中学高考数学全真模拟试卷〔理科〕 第1卷 一、〔本大共12小， 每小5分， 共60分.在每个小出的四此中，只有一是切合目要求的.〕2＜1}，1．〔5分〕〔2021?衡中模〕会合A={x|x B={y|y=|x|}，A∩B=〔A ．?B ．〔0，1〕C ．[0，1〕D ．[0，1]2．〔5分〕〔2021?衡中模〕随机量ξ～N 〔3， 2假定P 〔ξ＞4〕，P 〔3σ〕，＜ξ≤4〕=〔 〕A ．B ．C ．D ．3．〔5分〕〔2021?衡中模〕复数 z=〔i 虚数位〕，3=〔〕A ．1B ．1C ．D ．4．〔5分〕〔2021?衡中模〕双曲=1〔a ＞0， b ＞0〕的一个焦点F 作两近 的垂，垂足分P 、Q ，假定∠PFQ=π，双曲的近方程〔〕A ．y=±xB．y=±xC．y=±x D ．y=±x 5．〔5分〕〔2021?衡中模〕将半径 1的切割成面之比 1：2：3的三个扇形作三个的面， 三个底面半径挨次r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的〔 〕 A ． B ．2 C ． D ．16．〔5分〕〔2021?衡中模〕如是某算法的程序框，程序运转后出的果是〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．57．〔5分〕〔2021?衡中模〕等差数列{a n }中， a 3=7， a 5=11， 假定b n = ，数列{bn}的前8和〔 〕A ．B ．C ．D ．8．〔5分〕〔2021?衡中模〕〔x3〕10=a0+a1〔x+1〕+a2〔x+1〕2+⋯+a10〔x+1〕10，a=〔 〕8A．45B．180C．180D．720第1页〔共22页〕9．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为〔〕A．16B．8+6C．16D．16+610．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F〔﹣3，0〕，P为椭圆上一动点，椭圆内部点M〔﹣1，3〕知足PF+PM的最大值为17，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕f〔x〕=，假定函数y=f〔x〕﹣kx恒有一个零点，那么k的取值范围为〔〕A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥12．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b nn﹣4，设c n n6n*，n≠6〕，那么=2=，假定在数列{c}中c＜c〔n∈Np的取值范围〔〕A．〔11，25〕B．〔12，22〕C．〔12，17〕D．〔14，20〕第2页〔共22页〕第2卷二、填空题〔本大题共 4小题， 每题5分， 共20分．把答案填在题中的横线上．〕13．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定平面向量 、知足||=2| |=2，|﹣|=，那么 在上的投影为．n 12 n+2 ，14〔．5分〕〔2021?衡中模拟〕假定数列{a}知足a=a=1 ，a=那么数列{a n }前2n 项和S 2n =．15．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定直线 ax+〔a ﹣2〕y+4﹣a=0把地区 分红面积相等的两局部，那么的最大值为 ．16．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕函数f 〔x 〕=〔a+1〕lnx+ x 2〔a ＜﹣1〕对任意的x 1、x 2＞0， 恒有|f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕|≥4|x 1﹣x 2|，那么a 的取值范围为． 三、解答题〔本大题共 5小题，共70分.解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 17．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕在△ABC 中， 角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知足c=1，且cosBsinC+〔a ﹣sinB 〕cos 〔A+B 〕=0〔1〕求C 的大小；〔2〕求a 2+b 2的最大值，并求获得最大值时角 A ，B 的值．18．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图， 在四棱锥 P ﹣ABCD 中， 侧棱PA ⊥底面ABCD ， AD ∥BC ， ∠ABC=90°， PA=AB=BC=2， AD=1， M 是棱PB 中点． 〔Ⅰ〕求证：平面 PBC ⊥平面PCD ；〔Ⅱ〕设点N 是线段CD 上一动点， 且 =λ ，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时， 求λ的值．第3页〔共22页〕19．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图是两个独立的转盘〔A〕、〔B〕，在两个图中三个扇形地区的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规那么是：同时转动两个转盘待指针停下〔当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，那么此次转动无效，重新开始〕，记转盘〔A〕指针所对的地区为x，转盘〔B〕指针所对的地区为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．〔Ⅰ〕求x＜2且y＞1的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的散布列与数学希望．20．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕，倾斜角为45°的直线与椭圆订交于M、N两点，且线段MN的中点为〔﹣1，〕．过椭圆E内一点P〔1，〕的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且知足=λ，=λ，此中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕当λ变化时，k AB能否为定值？假定是，恳求出此定值；假定不是，请说明原因．第4页〔共22页〕21．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕函数f〔x〕=，曲线y=f〔x〕在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．〔Ⅰ〕假定函数g〔x〕= f〔x〕﹣ax在〔1，+∞〕上是减函数，务实数a的最小值；〔Ⅱ〕假定函数F〔x〕=f〔x〕﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．〔10分〕〔2021?衡中模拟〕以以下图，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．〔Ⅰ〕求证：DE∥AB；〔Ⅱ〕求证：AC?BC=2AD?CD．第5页〔共22页〕[选修4-4：坐标系与参数方程]23．〔2021?衡中模拟〕在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=〔1〕求曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程；〔2〕假定直线l与曲线C订交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．〔2021?衡中模拟〕函数f〔x〕=|x﹣l|+|x﹣3|．〔I〕解不等式f〔x〕≤6；〔Ⅱ〕假定不等式f〔x〕≥ax﹣1对随意x∈R恒成立，务实数a的取值范围．第6页〔共22页〕参照答案与试题分析一、选择题〔本大题共12小题，每题 5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .〕1．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕会合A={x|x 2＜1}，B={y|y=|x|}，那么A ∩B=〔〕A ．?B ．〔0，1〕C ．[0，1〕D ．[0，1]【解答】解：A={x|x 2＜1}={x|﹣1＜x ＜1}，B={y|y=|x|≥0}， 那么A ∩B=[0，1〕，应选：C ．2．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕设随机变量ξ～N 〔3， 2σ〕，假定P 〔ξ＞4〕，那么P 〔3＜ξ≤4〕=〔 〕A ．B ．C ．D ．2【解答】解：∵随机变量 X 听从正态散布 N 〔3，σ〕，∴μ=3， 得对称轴是x=3．∵P 〔ξ＞4〕∴P 〔3＜ξ≤4〕﹣． 应选：C3．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕复数 z= 〔i 为虚数单位〕，那么3〕=〔A ．1B ．﹣1C ．D ．【解答】解：复数 z= ，可得=﹣=cos+isin ．3那么=cos4π+isin4π=1． 应选：A ．4．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕过双曲线 ﹣ =1〔a ＞0， b ＞0〕的一个焦点 F 作两渐近线的垂线，垂足分别为 P 、Q ， 假定∠PFQ= π， 那么双曲线的渐近线方程为〔〕A ．y=± xB ．y=± xC ．y=±xD ．y=± x【解答】解：如图假定∠PFQ=π，那么由对称性得∠QFO= ，那么∠QOx= ，第7页〔共22页〕即OQ的斜率k= =tan=，那么双曲线渐近线的方程为y=±x，应选：B5．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕将半径为1的圆切割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径挨次为r 1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为〔〕A．B．2C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，应选：D．6．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕如图是某算法的程序框图，那么程序运转后输出的结果是〔〕A．2B．3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不可立，a=0，T=1，k=3，k ＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不可立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第8页〔共22页〕第四次循， sin2π＞sin， 即0＞1成立， a=1， T =1+1=2， k=5， k ＜6成立，第五次循， sin ＞sin2π， 即1＞0成立， a=1， T =2+1=3， k=6， k ＜6不可立， 出T=3， 故：B7．〔5分〕〔2021?衡中模〕等差数列{a n }中， a 3=7， a 5=11， 假定b n = ，数列{b n }的前8 和〔 〕 A ．B ．C ．D ．【解答】解：等差数列{a n }的公差d ， a 3=7，a 5=11，∴，解得a 1=3， d=2， a n =3+2〔n1〕=2n+1， ∴ ，∴b 8= 〔1 + +⋯+ 〕= 〔1 〕=故B ．8．〔5分〕〔2021?衡中模〕〔x 3〕10=a 0+a 1〔x+1〕+a 2〔x+1〕2+⋯+a 10〔x+1〕10，a 8=〔 〕A ．45B ．180C ．180D ．720 【解答】解：〔x 3〕10=[〔x+1〕4]10， ∴ ，故：D ．9．〔5分〕〔2021?衡中模〕如三棱 SABC 的三， 其表面〔 〕A ．16B ．8 +6C ．16D ．16+6第9页〔共22页〕【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥获得的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．应选：C．10．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F〔﹣3，0〕，P为椭圆上一动点，椭圆内部点M〔﹣1，3〕知足PF+PM的最大值为17，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F〔﹣3，0〕，可得Q〔3，0〕，由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，那么|PM|+|PF|=2a+〔|PM|﹣|PQ|〕≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，获得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，那么e===，应选：A．11．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕f〔x〕=，假定函数y=f〔x〕﹣kx恒有一个零点，那么k的取值范围为〔〕A．k≤0B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f〔x〕﹣kx=0得f〔x〕=kx，作出函数f〔x〕和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f〔x〕和y=kx恒有一个交点，第10页〔共22页〕当x ≥0时， 函数f 〔x 〕=ln 〔x+1〕的导数f ′〔x 〕= ，那么f ′〔0〕=1，当x ＜0时， 函数f 〔x 〕=e x ﹣1的导数f ′〔x 〕=e x， 那么f ′〔0〕=e 0=1，即当k=1时， y=x 是函数f 〔x 〕的切线，那么当0＜k ＜1时，函数f 〔x 〕和y=kx 有3个交点， 不知足条件．当k ≥1时， 函数f 〔x 〕和y=kx 有1个交点，知足条件．综上k 的取值范围为k ≤0或k ≥1，应选：B ．12．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕数列{a n }的通项公式为 a n =﹣2n+p ，数列{b n }的通项公式为b n=2n ﹣4，设c n，n6n〔n ∈N *，n ≠6〕，那么=假定在数列{c} 中c ＜cp 的取值范围〔〕A ．〔11， 25〕B ．〔12， 22〕C ．〔12， 17〕D ．〔14，20〕【解答】解：∵a n nn ﹣4，﹣b=﹣2n+p ﹣2∴a n ﹣b n 跟着n 变大而变小，又∵a n =﹣2n+p 跟着n 变大而变小，nn ﹣4跟着n 变大而变大， b=2 ∴，〔1〕当〔2〕当 ，综上p ∈〔14， 20〕， 应选D ．二、填空题〔本大题共4小题， 每题5分， 共20分．把答案填在题中的横线上． 〕13．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定平面向量 、知足| |=2| |=2，|﹣|=， 那么 在上的投影为﹣1．第11页〔共22页〕【解答】解：依据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定数列{a n}知足a1=a2=1，a n+2=，那么数列{a n}前2n项和S2n= 2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}知足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a 2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕假定直线ax+〔a﹣2〕y+4﹣a=0把地区分红面积相等的两局部，那么的最大值为2．【解答】解：由ax+〔a﹣2〕y+4﹣a=0得a〔x+y﹣1〕+4﹣2y=0，那么得，即直线恒过C〔﹣1，2〕，假定将地区分红面积相等的两局部，那么直线过AB的中点D，由得，即A〔1，6〕，∵B〔3，0〕，∴中点D〔2，3〕，代入a〔x+y﹣1〕+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，那么，那么的几何意义是地区内的点到点〔﹣2，0〕的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．第12页〔共22页〕故答案为：2．16．〔5分〕〔2021?衡中模拟〕函数 f 〔x 〕=〔a+1〕lnx+x 2〔a ＜﹣1〕对任意的x 12＞0， 12 1 2 那么a 的取值范围为〔﹣∞，﹣、x 恒有|f 〔x 〕﹣f 〔x〕|≥4|x ﹣x|，2]．【解答】解：由f ′〔x 〕= +x ，得f ′〔1〕=3a+1，所以f 〔x 〕=〔a+1〕lnx+ax 2， 〔a ＜﹣1〕在〔0，+∞〕单一递减， 不如设0＜x 1＜x 2，那么f 〔x 1 2 2 4x 1 1 1 2 2〕﹣f 〔x 〕≥4x ﹣ ，即f 〔x 〕+4x ≥f 〔x 〕+4x ， 令F 〔x 〕=f 〔x 〕+4x ， F ′〔x 〕=f ′〔x 〕+4= +2ax+4，等价于F 〔x 〕在〔0， +∞〕上单一递减，故F'〔x 〕≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以 恒成立，得a ≤﹣2．故答案为：〔﹣∞，﹣2]．三、解答题〔本大题共 5小题， 共70分.解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤 .〕 17．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕在△ ABC 中， 角A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 知足c=1， 且cosBsinC+〔a ﹣sinB 〕cos 〔A+B 〕=0 〔1〕求C 的大小；〔2〕求a 2+b 2的最大值， 并求获得最大值时角 A ， B 的值． 【解答】解：〔1〕cosBsinC+〔a ﹣sinB 〕cos 〔A+B 〕=0 可得：cosBsinC ﹣〔a ﹣sinB 〕cosC=0 即：sinA ﹣acosC=0． 由正弦定理可知： ，第13页〔共22页〕∴，c=1，asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin〔C﹣〕=0，C是三角形内角，∴C=．〔2〕由余弦定理可知：222c=a+b﹣2abcosC，得1=a 2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a 2+b2取到最大值为2+．18．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PCD；〔Ⅱ〕设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：〔1〕取PC的中点E，那么连结DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM?平面PAB，∴BC⊥AM，第14页〔共22页〕又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．〔2〕以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴成立空间直角坐标系，以以下图：那么A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，M〔0，1，1〕，P〔0，0，2〕，C〔2，2，0〕，D〔1，0，0〕．∴=〔1，2，0〕，=〔0，1，1〕，=〔1，0，0〕，∴=λ=〔λ，2λ，0〕，=〔λ+1，2λ，0〕，==〔λ+1，2λ﹣1，﹣1〕．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，那么sinθ=．∴当即时，sinθ获得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．〔12分〕〔2021?衡中模拟〕如图是两个独立的转盘〔A〕、〔B〕，在两个图中三个扇形地区的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规那么是：同时转动两个转盘待指针停下〔当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，那么此次转动无效，重第15页〔共22页〕新开始〕， 〔A 〕指所的地区 x ， 〔B 〕指所的地区 y ， x 、y ∈{1， 2， 3}， x+y 的ξ． 〔Ⅰ〕求x ＜2且y ＞1的概率；〔Ⅱ〕求随机量 ξ的散布列与数学希望．【解答】解：〔1〕A 指指向1， 2， 3地区的事件 A 1， A 2，A 3，同理B 指指向1，2，3地区的事件 B 1，B 2，B 3，∴P 〔A 1〕=，P 〔A 2〕=，P 〔A 3〕=，P 〔B 1〕=，P 〔B 2〕=，P 〔B 3〕=，P=P 〔A 1〕P 〔1P 〔B 1〕〕=×〔1〕==．⋯〔5分〕〔2〕由得ξ的可能取 2，3，4， 5，6，P 〔ξ=2〕=P 〔A 〕P 〔B 〕===，11P 〔ξ=3〕=P 〔A 1〕P 〔B 2〕+P 〔A 2〕P 〔B 1〕== ，P 〔ξ=4〕=P 〔A 1〕P 〔B 3〕+P 〔A 2〕P 〔B 2〕+P 〔A 3〕P 〔B 1〕==，P 〔ξ=5〕=P 〔A 2〕P 〔B 3〕+P 〔A 3〕P 〔B 2〕=+=，P 〔ξ=6〕=P 〔A3〕P 〔B 〕==，3 ∴ξ的散布列：ξ 2345 6PE ξ==．⋯〔12分〕20．〔12分〕〔2021?衡中模〕 E ：+=1〔a ＞b ＞0〕， 斜角 45°的直与订交于M 、N 两点， 且段MN 的中点〔1，〕．E 内一点P 〔1，第16页〔共22页〕〕的两条直分与交于点 A 、C 和B 、D ， 且足 =λ ，=λ ， 此中λ数．当直AP 平行于x ， 的λ=．〔Ⅰ〕求E 的方程；〔Ⅱ〕当λ化，k AB 能否定？假定是， 求出此定；假定不是， 明原因．【解答】解：〔Ⅰ〕M 〔m 1，n 1〕、N 〔m 2， n 2〕， ，两式相减 ，故a 2=3b 2⋯〔2分〕 当直AP 平行于x ，|AC|=2d ，∵， ， ，解得 ， 故点A 〔或C 〕的坐．代入方程 ， 得 ⋯4分 a 2=3， b 2=1， 所以方程 ⋯〔6分〕〔Ⅱ〕A 〔x 1， y 1〕、B 〔x 2， y 2〕、C 〔x 3，y 3〕、D 〔x 4， y 4〕因为，可得A 〔x 1， y 1〕、B 〔x 2，y 2〕、C 〔x 3，y 3〕、D 〔x 4，y 4〕，⋯①同理 可得 ⋯②⋯〔8分〕第17页〔共22页〕由①②得：⋯③将点A、B的坐代入方程得，两式相减得〔x1+x2〕〔x1x2〕+3〔y1+y2〕〔y1y2〕=0，于是3〔y1+y2〕k AB=〔x1+x2〕⋯④同理可得：3〔y3+y4〕k CD=〔x3+x4〕，⋯〔10分〕于是3〔y3+y4〕k AB=〔x3+x4〕〔∵AB∥CD，∴k AB=k CD〕所以3λ〔y3+y4〕k AB=λ〔x3+x4〕⋯⑤由④⑤两式相加获得：3[y1+y2+λ〔y3+y4〕]k AB=[〔x1+x2〕+λ〔x3+x4〕]把③代入上式得3〔1+λ〕k AB=2〔1+λ〕，解得：，当λ化，k AB定，．⋯〔12分〕21．〔12分〕〔2021?衡中模〕函数f〔x〕=，曲y=f〔x〕在点x=e 2的切与直x2y+e=0平行．〔Ⅰ〕假定函数g〔x〕=f〔x〕ax在〔1，+∞〕上是减函数，求数a的最小；〔Ⅱ〕假定函数F〔x〕=f〔x〕无零点，求k的取范．【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，解得m=2，故，，函数g〔x〕的定域〔0，1〕∪〔1，+∞〕，而，又函数g〔x〕在〔1，+∞〕上是减函数，∴在〔1，+∞〕上恒成立，∴当x∈〔1，+∞〕，的最大．而，即右的最大，第18页〔共22页〕∴， 故实数a 的最小值 ；〔Ⅱ〕由题可得，且定义域为〔0， 1〕∪〔1，+∞〕，要使函数F 〔x 〕无零点，即 在〔0， 1〕∪〔1，+∞〕内无解，亦即 在〔0， 1〕∪〔1，+∞〕内无解．结构函数 ， 那么 ，〔1〕当k ≤0时， h'〔x 〕＜0在〔0， 1〕∪〔1， +∞〕内恒成立， ∴函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内单一递减， 在〔1， +∞〕内也单一递减． 又h 〔1〕=0， ∴当x ∈〔0， 1〕时， h 〔x 〕＞0， 即函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内无 零点， 同理， 当x ∈〔1， +∞〕时， h 〔x 〕＜0， 即函数h 〔x 〕在〔1， +∞〕内无零点， 故k ≤0知足条件；〔2〕当k ＞0时， ．①假定0＜k ＜2， 那么函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内单一递减，在内也单一递减， 在内单一递加．又h 〔1〕=0， ∴h 〔x 〕在〔0，1〕内无零点；又， 而 ， 故在 内有一个零点，∴0＜k ＜2不知足条件；②假定k=2，那么函数h 〔x 〕在〔0， 1〕内单一递减， 在〔1， +∞〕内单一递加．又h 〔1〕=0， ∴当x ∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕时，h 〔x 〕＞0恒成立，故无零点．∴k=2知足条件；③假定k ＞2， 那么函数h 〔x 〕在 内单一递减，在内单一递加，在〔1，+∞〕内也单一递加．又h 〔1〕=0，∴在 及〔1，+∞〕内均无零点．易知﹣kkk2 ﹣2=?〔k 〕，，又h 〔e 〕=k ×〔﹣k 〕﹣2+2e =2e ﹣k那么?'〔k 〕=2〔e k﹣k 〕＞0，那么?〔k 〕在k ＞2为增函数，∴?〔k 〕＞?〔2〕=2e 2﹣6＞0．第19页〔共22页〕故函数h〔x〕在内有一零点，k＞2缺少．上：k≤0或k=2．[修4-1：几何明]22．〔10分〕〔2021?衡中模〕如所示，AC⊙O的直径，D的中点，EBC的中点．〔Ⅰ〕求：DE∥AB；〔Ⅱ〕求：AC?BC=2AD?CD．【解答】明：〔Ⅰ〕接BD，因D的中点，所以BD=DC．因E BC的中点，所以DE⊥BC．因AC的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．⋯〔5分〕〔Ⅱ〕因D的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，∠DAC=∠DCB．又因AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，所以2AD?CD=AC?BC．⋯〔10分〕[修4-4：坐系与参数方程][修4-5：不等式]24．〔2021?衡中模〕函数f〔x〕=|x l|+|x 3|．〔I〕解不等式f〔x〕≤6；〔Ⅱ〕假定不等式 f〔x〕≥ax 1随意x∈R恒成立，求数a的取范．【解答】解：函数f〔x〕=|x l|+|x 3|=的象如所示，第20页〔共22页〕〔I 〕不等式 f 〔x 〕≤6，即 ①或 ②， 或 ③．解①求得x ∈?， 解②求得3＜x ≤5， 解③求得1≤x ≤3． 上可得， 原不等式的解集 [ 1， 5]．〔Ⅱ〕假定不等式 f 〔x 〕≥ax 1随意x ∈R 恒成立， 函数f 〔x 〕的象 不可以在y=ax 1的象的下方． 如所示：因为中两射的斜率分 2， 2， 点B 〔3， 2〕， ∴3a 1≤2， 且a ≥2， 求得2≤a ≤1．23．〔2021?衡中模〕在平面直角坐系中， 直l 的参数方程〔t 参数〕，在以直角坐系的原点 O 极点，x 的正半极的极坐系中，曲C 的极坐方程ρ=〔1〕求曲C 的直角坐方程和直 l 的一般方程；〔2〕假定直l 与曲C 订交于A ，B 两点，求△AOB 的面．【解答】解：〔1〕由曲C 的极坐方程ρ=22θ=2ρcos θ．得ρsin∴由曲C 的直角坐方程是：y 2=2x ．由直l 的参数方程〔t 参数〕，得t=3+y 代入x=1+t 中消去t 得：xy4=0，所以直l 的一般方程：xy4=0⋯〔5分〕〔2〕将直l 的参数方程代入曲 C 的一般方程y 2=2x ，得t 28t+7=0，A ，B 两点的参数分 t 1，t 2，所以|AB|===，第21页〔共22页〕因原点到直x y 4=0的距离d=，所以△AOB的面是|AB|d==12．⋯〔10分〕第22页〔共22页〕。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 2．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．323．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦5．设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭6．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π48．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆9．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B 1 C ．1D ．3210．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．13-B ．13C ．65-D ．6511．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。