八上数学培优经典()

知识导图第一讲：三角形概述教学内容本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用专题2 三角形角平分线基本模型专题3 三角形内、外角度转换专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用专题讲解专题1：角形角度转换基本图形的应用【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．AECFB D（2012，江岸区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． （1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．BC AD P练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．αBCGEAFD练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ 度．A CD EF B PI专题2：三角形角平分线的基本模型【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．AC B PAC BDEP AC B FP图1 图2 图3（1）求∠P 的度数；（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ （4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练2．1：如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的度数．D BA CGEF练2．2：（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ ，∠XBC ＋∠XCB ＝ ．B X ZYAC图1（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．B X ZYAC图2练2．3：（1）如图1，求证：∠CDB ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C ABD图1（2）如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E ．试问∠A ，∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？C ABD E图2（3）如图3，若∠ACE＝13∠ACD，∠ABE＝13∠ABD，猜想∠A，∠CEB和∠CDB之间的数量关系为．（写出结论，不必证明）E CD 图3【变式】已知△ABC中，∠BAC＝100°．B AOBAO1O图1 图2 图3（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2，…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．（2014，光谷实验10月月考）专题3：三角形内、外角度的转换【例3】将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处．（1）如图1，试问∠1，∠2与∠C之间有何关系？为什么？（2）若点C′在△ABC的外部，如图2所示，试问∠1，∠2与∠C之间又有何关系？为什么？21AC FBEC'21ACFBE C'图1 图2（2014，江汉区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．1：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE ＝∠AED ； （1）求证：∠BAD ＝2∠CDE ；BACDE（2）如图，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．BACDE【例4】如图，BP 是∠ABC 的平分线，DP 是∠CDA 的平分线，BP 与DP 交于P ，右∠A ＝40°，∠C ＝76°，求∠P 的大小．ABDCP【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．2：如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．在图中，（1）若∠D ＝40°，∠B ＝36°，试求∠P 的度数；（2）—般性结论：若∠D 的度数为x ，∠B 的度数为y ，则∠P 的度数为 ．ABDCMP N【例5】如图，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求证：∠DAE ＝12(∠B －∠C )．BCAD E【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练3．3：如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）若∠C＝80°，∠B＝50°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE＝12(∠C－∠B)．（3）如图（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？BACD E BACDA'E图1 图2专题4：角度的综合和实际应用【例6】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，则海岛B与灯塔C相距海里．BCAN【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练4．1：（1）如图，B处在A处的南偏西65°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB 的度数是（ ）．ACB北南A ．80°B ．75°C ．85°D ．70° （2）如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？【原题40°，个人认为改为80°更适合．】D ABC E北北（2014，光谷实验10月月考）【例7】如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，BF 交AE ，AD 于点G ，H ，∠C ＞∠ABC ，下列结论：①∠AGB ＝90°＋12∠C ； ②∠C －∠ABC ＝2∠EAD ； ③∠BFC ＋∠AEC ＝180°；④∠AGB ＋∠BHD －∠EAD ＝180°， 其中正确的有（ ）． BACE D GHFA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练4．2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝20°，∠ACB 的平分线与外角∠ABD 的平分线交于点E ，连接AE ，则∠AEC 的度数为（ ）．C DA EA．10°B．30°C．35°D．45°（青山，13－14期中考试）专题5：角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用【例8】如图1，△AOB与△COD是两个可以完全重合的直角三角形，其中A，B，C，D四点均在坐标轴上．（1）如果B（0，一3），S△COD＝9，请写出点A，C，D的坐标；（2）如图2，∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于F，求∠F的度数；（3）如图3，M是线段AD上任意一点（不同于点A，D），作MN⊥x轴交AF于点N，作∠ADE与∠ANM 的平分线交于点P，在（2）的条件下，能否求出∠P的度数？说出你的理由，若能求出，请写出解答过程；若不能，请说明理由．图1 图2 图3（2013，江岸区期末）【解析】（1）∵△COD与△AOB完全重合，∴OB＝OD，OC＝OA；∵B（0，一3），∴OB＝3，则OD＝3，∴D（3，0）；∵S△COD＝9＝12·OD·OC，∴OC＝6，∴C（0，6），A（6，0）．（2）∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB，∴设∠CDE＝∠EDA＝x，∠DAF＝∠BAF＝y；∵x＝y＋∠F，而∠OAB＝∠OCD＝2y，∴2x＝2y＋90°，∴x＝y＋45°，∴∠F＝45°．（3）∵DP平分∠EDA，PN平分∠MNA，∴设∠EDP＝∠PDA＝x，∠MNP＝∠PNA＝y，则∠P＝90°－x－y；而∠F＋180°－2x＋180°－2y＋90°＝360°，∴2x＋2y＝90°＋45°＝135°，∴x＋y＝67.5°，∴∠P＝90°－67.5°＝22.5°．【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练5．1：如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．（1）求证：∠OAC＝∠OCA；图1（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；图2（3）如图3，若射线OP，CP满足∠POC＝1n∠AOC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．图3 （2013，江岸区期末）分级检测 A 级1．画△ABC 的BC 边上的高AD ，下列画法中正确的是（ ）．ACDA BC DD A BCABCDA B C D2．如果在△ABC 中，∠A ＝70°－∠B ，则∠C 等于（ ）． A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°3．多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（ ）． A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的值为（ ）．BD ACEA ．15°B ．30°C ．45°D ．25°5．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边边长为奇数，则三角形的周长是 cm ． 6．（1）在△ABC 中，∠C ＝60°，∠A ＝3∠B ，则∠A ＝ ，∠B ；（2）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1∶7，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ； （3）在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠A ＝ ，∠B ，∠C ．7．一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为 ．8．如图，△ACD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ，△ABD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ．AB CD9．如图，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，BO ，CO 平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过O 点，且DE ∥BC ，则∠BOC ＝ °．BACOD E10．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A BCD EF11．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A B EDF HCG IB 级1．（1）在图1中，猜想∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝ °； （2）试说明你猜想的理由．（3）如果把图1称为二环三角形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1；把图2称为二环四边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1；把图3称为二环五边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠E 1，请你猜一猜，二环n 边形的内角和为 ．（只写结果）BCA 1B 1C 1A AB CDA 1B 1C 1D 1A B DE A 1B 1C 1D 1E 1图1 图2 图32．如图1，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于A 1． （1）分别计算出当∠A 为70°，80°时∠A 1的度数；（2）根据（1）中的计算结果写出∠A 与∠A 1之间的数量关系： （不需证明）； （3）∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于A 2，∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线交于A 3，如此继续下去可得A 4，…，A n ，请写出∠A 6与∠A 之间的数量关系： （不需证明）； （4）如图2，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的平分线交于Q ，求∠Q ＋∠A 1的度数．BC AD A 1B C A DA 1EQ图1 图2课后反馈1．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130°2．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，则∠BDC 的度数为（ ）．21DAB A ．50°B ．80°C ．70°D ．60°3．下列语句中，正确的是（ ）． A ．三角形的外角大于它的内角 B ．三角形的一个外角等于它的两个内角 C ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D ．三角形的外角和为180°4．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝ ．215．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（ ）．40°3421BC EAD A ．100°B ．200°C ．280°D ．300°6．如图，AC ，BD 相交于点O ，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，且交于点P ． （1）若∠A ＝70°，∠D ＝60°，求∠P 的度数； （2）试探索∠P 与∠A ，∠D 间的数量关系； （3）若∠A ∶∠D ∶∠P ＝2∶4∶x ，求x 的值．AD COPE F B7．如图1，已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠C ＞∠B ，F 为AE 上一点．且FD ⊥BC 于D ． （1）试推导∠EFD 与∠B ，∠C 的大小关系；DBCA E F图1（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上时，图1的其余条件都不变，你在（1）中推导的结论是否仍然成立？BCAD FE图2下次课必背1．三角形内角和度数：三角形三个内角的和等于180°．外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 2．基本图形的结论．3．两内角角平分线夹角与顶角的关系、一内角一外角平分线的夹角与顶角的关两外角平分线夹角与顶角的关系．4．三角形中共一个顶点的角平分线与高线夹角、另两个内角的关系． 5．多边形内角和：n 边形内角和＝(n —2)×180°； 外角和：多边形外角和＝360°． 6．从一个顶点引出的对角线条数为n －3，所有对角线条数为(3)2n n ．。

《一次函数》培优资料（1）专题一：一次函数的定义、图像及性质1.对于一次函数y = kx + k -1(k ? 0)，下列叙述正确的是（）A．当0 < k <1 时，函数图象经过第一、二、三象限B．当k > 0 时，y 随x 的增大而减小C．当k <1 时，函数图象一定交于y 轴的负半轴D．函数图象一定经过点(-1, -2)2.对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是．3.直线y=kx+b 经过点（2，﹣4），且当3≤x≤6 时，y 的最大值为8 则k+b 的值为．4.两个一次函数y=ax+b与y=bx+a在同一坐标系中的图象大致是（）5.如图，函数y=mx﹣4m（m 是常数，且m≠0）的图象分别交x 轴y 轴于点M、N，线段MN 上两点A、B（点B 在点A 的右侧），作AA1 ⊥x 轴，BB1⊥x 轴，且垂足分别为A1，B1，若OA1+OB1＞4，则△OA1A 的面积S1 与△OB1B 的面积S2 的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．不确定的6.已知直线y =- n x +n +11n +1（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2018= ．7．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12 的图象分别交x 轴y 轴于A、B 两点，过点A 的直线交y 正半轴于点M，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的函数解析式．（2）试在直线AM 上找一点P，使得S=S△AOM，请直接写出点P△ABP的坐标．8.点C 在直线AM 上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．专题二：重要公式和结论1.直线y=kx+b过点（x1，y1），（x2，y2），若x1﹣x2=1，y1﹣y2=﹣2，则k 的值为．2.含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A（﹣2 0），B（0，1），则直线BC 的解析式为．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，且A（4，0）、B（6，2）、M（4，3）．在平面内有一条过点M 的直线将平行四边形OABC 的面积分成相等的两部分，请写出该直线的函数表达式．4．如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线上运动，当点B 的坐标是时，线段AB 最短，最短距离为.5．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B 关于直线AP 的对称点B′恰好落在x 轴上，则点P 的坐标为．6.对于坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2 两点间的“转角距离”，记作d（P1，P1）．（1）令P0（3，﹣4），O为坐标原点，则d（O，P0）=；（2）已知O 为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中，画出所有符合条件的点P 所组成的图形；7.设P0（x0，y0）是一个定点，Q（x，y）是直线y=ax+b 上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的“转角距离”．若P（a，﹣2）到直线y=x+4 的“转角距离”为10，求a 的值．专题三：直线与x轴正方向夹角和k的关系1.已知：一次函数的图象如图所示，则k= ．2.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=kx+b（b＞0）与y轴交于点B，∠BCA=60°，连接AB，∠α=105°，则直线y=kx+b 的表达式为．3.如图，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 长最短时点B 的坐标为．4.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y = 3 x ，直线l2：y =3x ，在3直线l1 上取一点B，使OB=1，以点B 为对称中心，作点O 的对称点B1，过点B1 作B1A1∥l2，交x 轴于点A1，作B1C1∥x 轴，交直线l2 于点C1，得到四边形OA1B1C1；再以点B1 为对称中心，作O 点的对称点B2，过点B2 作B2A2∥l2，交x 轴于点A2，作B2C2∥x 轴，交直线l2 于点C2，得到四边形OA2B2C2；…；按此规律作下去，则四边形OA n B n C n的面积是．5.已知，直线x +与x 轴，y 轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a 为坐标系中的一个动点．= ；（1）则三角形ABC 的面积S△ABC点C 的坐标为；（2）证明不论 a 取任何实数，△BOP 的面积是一个常数；（3）要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．6.如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，点A 的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B 的直线y= x+m 与x 轴交于点C．（1）求直线l 的解析式及点C 的坐标．7.点D 在x 轴上从点C 向点A 以每秒1 个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D 分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB 于点E、F，连接EF，点G 为EF 的中点．①判断四边形DEBF 的形状并证明；②求出t 为何值时线段DG 的长最短．8.点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．《一次函数》培优资料（2）专题四：一次函数与几何变换1. （ 1 ）直线y = 2x +1 向下平移 3 个单位后的解析式是.（ 2 ）直线y = 2x +1 向右平移 3 个单位后的解析式是.2.如图，已知点 C 为直线y =x 上在第一象限内一点，直线y = 2x +1 交y轴于点A，交x 轴于B，将直线AB 沿射线OC 方向平移3 2 个单位，则平移后的直线的解析式为．yACBO x3.如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1，1），B （3，1），C（2，2），当直线与△ABC 有交点时，b 的取值范围是．4.在平面直角坐标中，已知点A（-2，3）、B（4，5），直线y=kx+1（k≠0 与线段AB 有交点，则k 的取值范围为.5.将函数y=2x+b（b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=﹣|2x+b|（b 为常数）的图象．若该图象在直线y=2 下方的点的横坐标x 满足0＜x＜3，则b 的取值范围为．6.如图，函数y=﹣2x+2 的图象分别与x 轴、y 轴交于A，B 两点，线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则直线AC的函数解析式是．7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴y 轴上，点B 在第一象限，直线y=x+1 交y 轴于点D，且点D 为CO 中点，将直线绕点D 顺时针旋转15°经过点B ，则点B 的坐标为．8.如图1，已知平行四边形ABCD，AB∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD 边上的一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD=CD，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x﹣1 上，求点P 的坐标．解：（1）∵CD=6，∴点P 与点C 重合，∴点P 坐标为（3，4）．（2）①当点P 在边AD 上时，∵直线AD 的解析式为y=﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P 关于x 轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1 上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P 关于y 轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1 上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P 在边AB 上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P 关于x 轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1 上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P 关于y 轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1 上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．9.若点P 在边AB，AD，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM，过点G 作x 轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）（3）①如图1 中，当点P 在线段CD 上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，∴NM′==2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，∴22+（2+m）2=m2，解得，∴P （﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2 中，当点P 在AB 上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，解得x=，∴P（﹣，3）．点P 坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）10.如图，直线l1 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，直线l2 与直线l1 关于x 轴对称，已知直线l1 的解析式为y=x+3，（1）求直线l2 的解析式；y=﹣x﹣3（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线l3，过点B 作BE⊥l3 于E，过点C 作CF⊥l3 于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；（2）如图．BE+CF=EF．∵直线l2 与直线l1 关于x 轴对称，∴AB=AC，∵l1 与l2 为象限平分线的平行线，∴△OAC 与△OAB 为等腰直角三角形，∴∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q，与y 轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．（3）①对，OM=3过Q 点作QH⊥y 轴于H，直线l2 与直线l1 关于x 轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又∵AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM ∴HM=OM∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM∴OM= BC=3．例1对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1 次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A 的坐标为(1,0).(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标.(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C.①若A. B. C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形?请说明理由.②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C 的坐标为(7,6)，求出点B的坐标及n的值.例2 已知，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的顶点在原点.（1）如图，若点C 的坐标为（-1,3），求A点坐标;（2）如图，点F 在AC 上，AB 交x 轴于点E。

人教版八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD CDMBD ECD BM CE，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，∵MD DEMDN EDN DN DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM= DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°∴CN=AN=12AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ，∴四边形MFNA 为平行四边形， ∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ，∴∠EMF ＝∠FNC ，∴△EMF ≌△FNC ，∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°，∴∠FCN+∠PFC ＝90°，∴∠EFM+∠PFC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF ＝45°，∴CE ＝2FE ．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__________；②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．【详解】（1）①正方形ADEF 中，AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC （SAS ）∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°∴∠ABD ＝180°－45°＝135°∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF∴DC ＝CF ＋BC（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，∵90BAC ∠=︒，AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒，∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==，∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====，∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．4．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

精品文档第1讲 认识三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x ＜13，18＜l ＜26；周长为19时，x ＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，【变式题组】01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是_________，周长l 的取值范围是__________. 02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ).A ．1B ．2C ．3D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm 为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm 为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm ，18cm ，22cm 或18cm ， 20，20cm . 【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG 为△EFC 的中线，知S △EFC ＝2S △GFC ＝2.又由EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC ＝4.同理S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.【变式题组】01．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.(第1题图)CC【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝_______.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝____________.【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝12∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝90°+12∠A．所以∠BOC＝125°.【变式题组】01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.(第1题图)B C02. 点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝_________.03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－12(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+12∠B+12∠C＝12(∠C－∠B) ，故∠EAD＝6°.【变式题组】01.（改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，则∠BFE＝__________.(说明:原题题、图不符.由已知得∠A＝98°, BD⊥AC，则点D在CA的延长线上.)02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线(第2题图)(第1题图)(第2题图)B C(第3题图)C(例6题图)E D(例4题图)(第3题图)EC于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由. 【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】 01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)M02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝___________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)03．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角 05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是________. 09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第9题图)10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________. 11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝__________.12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝____________.(第2题图)(第3题图)(第10题图)(第11题图)(第12题图)13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝13∠BAC，求∠BAC的度数培优升级·奥赛检测01．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有() A．21个B．28个C．49个D．54个03．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______.05．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠C＝38°，则∠P＝______________.06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b－c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若∠A＝30°，∠DFE＝75°.(1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E；(2)求∠E的度数；(3)若在上图中∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线E3，依次类推，∠CBE n与∠GCE n的平分线交于E n+1，请用含有n的式子表示∠E n+1的度数.11．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在AB上，且AE＝13AB．点F在OC上，且OF＝13OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为16，试求α的值.12．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.第2讲认识多边形考点·方法·破译1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.经典·考题·赏析【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有(3)2n n条对角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．下列图形中，凸多边形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个02．过m边形一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m＝_，n＝_，k＝_. 03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n－3)条对角线，并且将n 边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，则有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度数为（）A．1100B．1080C．1050D．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A．都不变B ．内角和增加1800，外角和不变C ．内角和增加1800，外角和减少1800D ．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A 出发，每爬行5cm 便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A ？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为036060＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm )才能回到点A ．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于1800·n ，外角和等于n ·1800－(n －2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A ，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】 01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.02．如图所示，已知△ABC 中，∠A ＝400，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2＝___ 03．（资阳）n (n 为整数，且n ≥3)边形的内角和比（n +1）边形的内角和少____度. 04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A 出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了_____米.【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x 和5x ，利用多边形的内角可列方程. 解：设这两个多边形的边数分别是2x 和5x ，则由多边形内角和定理可得： (2x －2)·1800+(5x －2)·1800＝18000，解得x ＝2，∴2x ＝4，5x ＝10， 故这两个多边形的边数分别为4和10. 【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________ 02．若一个多边形的外角和是其内角和的25，则此多边形的边数为_____ 03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的23，则这个多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 04．内角和与其外角和相等的多边形是___________【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（ ） A ．正三角形 B ．长方形 C ．正八边形 D ．正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌. 解：选C ．【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．长方形D ．正五边形 02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）A ．正三角形、正方形、正六边形B ．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形 03．只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是（ ）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）A ．669B ．670C ．671D ．672【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n －2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m 个，1500的角有n 个，则有1200m +1500n ＝16200，即4m +5n ＝54 此方程有唯一正整数解110m n =⎧⎨=⎩，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.【变式题组】01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m ，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．小明的书房地面为210cm ×300cm 的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（ ）A ．30cm ×30cm 的正方形，B ．50cm ×50cm 的正方形，C ．60cm ×60cm 的正方形，D ．120cm ×120cm 的正方形， 03．正m 边形、正n 边形及正p 边形各取一个内角，其和为3600，求111m n p++的值. 演练巩固·反馈提高01．在一个顶点处，若正n 边形的几个内角的和为______，则此正n 边形可铺满地面，没有空隙. 02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n 2（n 为正整数）块时，黑色瓷砖为______块. 03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：则第n 个图案中白色的地板砖有______块.04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n 层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ ）A ．3 B ． 4 C ．5 D ．6 06．下列不能镶嵌的正多边组合是（ ）A ．正三角形与正六边形B ．正方形与正六边形C ．正三角形与正方形D ．正五边形与正十边形 07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（ ）A ．边长相同B ．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C ．边长之间互为整数倍D ．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等 08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1培优升级·奥赛检测01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，则这个多边形的边数为（）A．12 B．12或13 C．14 D．14或1502．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A．216块B．288块C．384块D．512块03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于（）A．3600 B．4500C．5400D．720004．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n边形的内角和为___________.05．如图，已知DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______米.07．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（）A．6300B．7200C．8000D．900008．将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_______.09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，则m+n的值为（）A．120 B．128 C．136 D．14410．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”(1)如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝___；各内角中最小内角是___度，最大内角是___度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是__.(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1).(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？请说明B ACDEF 理由.11．(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图； (2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.12．(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知∠A +∠B +∠C ＝∠D +∠E +∠F 成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.第3讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中A FC ED B BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）. ⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是____命题，命题2是_____命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DCB C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFEC BDA B C D OFE A CEFBD交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是__________; ⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA ，∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．梯子的倾斜角为75°梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABCP QE F D。