bernstein定理

伯恩斯坦多项式的性质及其应用(总16页)

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- Bernstein多项式的性质及其应用

作者：张* 指导教师：汪**

摘要 Bernstein多项式的性质在Bézier曲线上的应用更加的广泛，鉴于此，必须先给出Bernstein多项式的性质，然后再得出Bézier曲线的性质和应用。在工程应用领域，从设计要求出发，人们希望使用某种逼近方法，而非传统的插值方法，该法能模仿曲线、曲面的设计过程，又便于设计者使用。Bézier于1962年提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统，名为UNISURF,随后，Forrest,Gordon和Riesenfeld等对Bézier方法作了深入研究，揭示了Bézier方法与Bernstein多项式的联系，从而使其具有更坚实的理论基础。本文旨在介绍Bernstein多项式，给出其性质，结合Bézier曲线的性质，得出Bernstein多项式在Bézier曲线上的应用。

关键词 Bernstein多项式 Bézier曲线 逼近

1 引言

用多项式一致逼近连续函数是函数逼近论中的重要结果，在科学与工程中有广泛的应用。而Bernstein多项式是不可缺少的重要工具。

Bernstein多项式

定义：设f是[0,1]上的函数,n,约定001.称[0,1]上的多项式函数

0()()()()(1)nnkknnknkBfxBfxfxxkn；

为f的第n个Bernstein多项式.应当将nB视为一个映射,它把[0,1]上的函数映为[0,1]上的多项式函数.称nB为第n个Bernstein算子.

命题 若,fg是[0,1]上的函数,,是常数,I是[0,1]上的恒等映射,则

(1) ()nBf的次数n；

(2) ()()()nnnBfgBfBg；(线性性质)

1 极小曲面

设 2DR是有界开区域，

边界为D。

函数(,)xy在D上有定义。

设2(,)()uuxyCD，

则曲面(,)zuxy的面积为

22()1xyDIuuudxdy。

设2{(,):(,)(),|}DWuxyuxyCDu，

考虑泛函I在W上的极小值是否存在的问题。

几何意义，以空间封闭曲线为边界的曲面中，寻找其面积最小者。

这里{(,,):(,),(,)}xyzxyDzxy 。

这样的问题称为极小曲面问题。

2 假若泛函I在uW处达到最小值，我们考查其必要条件。

记20{(,):(,)(),|0}DWvxyvxyCDv，

显然，若I在uW处达到最小值，

则对任意0vW，

()Iutv在0t处达到最小值，

所以0()|0tdIutvdt，

而

22()1()()xxyyDIutvutvutvdxdy，

()dIutvdt

22221()()xxxyyyDxxyyuvtvuvtvdxdyutvutv，

于是有

2201xxyyDxyuvuvdxdyuu， 3 2222011yxxyDxyxyuuvvdxdyuuuu，

利用格林公式，得

222211yxxyDxyxyuuvvdxdyuuuu

2222[()()]11yxDxyxyuuvdxdyxyuuuu，

从而，uW满足

2222[()()]011yxDxyxyuuvdxdyxyuuuu，

对任意0vW。

由0vW的任意性，可知

2222()()011yxxyxyuuxyuuuu，uW， 4 这就是 I在uW处达到最小值的必要条件。

由于2222()()11yxxyxyuuxyuuuu

附录一 Bernstein多项式：连续函数的多项式逼近

连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass第一逼近定理 设是闭区间[a, b]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a, b] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(xf})(xPn)(xf0>ε，存在多项式，使得 )(xPε<−)()(xfxP 对一切∈x[a, b]成立。 Weierstrass第一逼近定理的证明 证 不失一般性，设[a, b]为[0, 1]。 设X是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，定义映射 )(tf

nB: X Y →

)(tf6knkknnknxxCnkfxfB−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑)1(),(0，

得到{}，表示),(xfBn),(xfBnXf∈在映射作用下的像，它是以nBx为变量的次多项式，称为的n次Bernstein多项式。 nf 关于映射，有下述基本性质与基本关系式： nB (1)线性性：对于任意及Xgf∈,∈βα,R，成立 ),(),(),(xgBxfBxgfBnnnβαβα+=+； (2)单调性：若（)()(tgtf≥∈t[a, b]），则 ),(),(xgBxfBnn≥ （∈x[a, b]）；

(3)； 1)1(),1(0=−=−=∑knkknnknxxCxB

xxxCnkxtBknkknnkn=−=−=∑)1(),(0；

=−=−=∑knkknnknxxCnkxtB)1(),(0222nxxx22−+。

函数在2)(st−nB 映射下的像（视为常数）： s

.)(2),1(),(2),(),)((

22222222

stnxxssxnxxxxBsxtsBxtBxstBnnnn−+−=+−−+=+−=−

本科毕业论文

题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用

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Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用

摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了baC,中的函数xf可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用.

关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式；

测度收敛

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目录

1 Weierstrass逼近定理及其证明 ……………………………………………………(3)

1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 …………………………………………(3)

1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明…………………………………(3)

1.1.2 闭区间ba,上的weierstrass逼近定理…………………………………(5)

1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 …………………………………………(6)

2 Weierstrass逼近定理的推广 ………………………………………………………(8)