关于Bernstein多项式的一个注记

伯恩斯坦多项式的性质及其应用(总16页)

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- Bernstein多项式的性质及其应用

作者：张* 指导教师：汪**

摘要 Bernstein多项式的性质在Bézier曲线上的应用更加的广泛，鉴于此，必须先给出Bernstein多项式的性质，然后再得出Bézier曲线的性质和应用。在工程应用领域，从设计要求出发，人们希望使用某种逼近方法，而非传统的插值方法，该法能模仿曲线、曲面的设计过程，又便于设计者使用。Bézier于1962年提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统，名为UNISURF,随后，Forrest,Gordon和Riesenfeld等对Bézier方法作了深入研究，揭示了Bézier方法与Bernstein多项式的联系，从而使其具有更坚实的理论基础。本文旨在介绍Bernstein多项式，给出其性质，结合Bézier曲线的性质，得出Bernstein多项式在Bézier曲线上的应用。

关键词 Bernstein多项式 Bézier曲线 逼近

1 引言

用多项式一致逼近连续函数是函数逼近论中的重要结果，在科学与工程中有广泛的应用。而Bernstein多项式是不可缺少的重要工具。

Bernstein多项式

定义：设f是[0,1]上的函数,n,约定001.称[0,1]上的多项式函数

0()()()()(1)nnkknnknkBfxBfxfxxkn；

为f的第n个Bernstein多项式.应当将nB视为一个映射,它把[0,1]上的函数映为[0,1]上的多项式函数.称nB为第n个Bernstein算子.

命题 若,fg是[0,1]上的函数,,是常数,I是[0,1]上的恒等映射,则

(1) ()nBf的次数n；

(2) ()()()nnnBfgBfBg；(线性性质)

Ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　

Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式的移位一加算法　

谷　峰　（浙江经济职业技术学院，浙江杭州３１００１８）　摘　要：提出了一个基于ＣＯＤＩＣ的计算Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式的移位一加算法。该算法可以在存在于　许多领域的基本计算系统中　实现。证明了算法的收敛性，给出了误差分析，做了数值实验，验证了算　法的有效性和效率。　关键词：Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式；ＣＯＲＤＩＣ；移位一加算法；基本计算系统　中图分类号：ＴＰ３１９　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—７７２０（２０１Ｏ）１７－０００７—０３　

Ａ　ｓｈｉｆｔ——ａｄｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　

ＧＵ　Ｆｅｎｇ　（Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｃｏｎｏｍｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ　３１００１８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｓｈｉｆｔ－ａｄｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｒｏｔａｔｉｏｎ　ｄｉｇｉｔａｌ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　Ｂｅｍｓｔｅｉｎ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｔｈｉｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｂａｓｉｃ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｈｉｃｈ　ｅｘｉｓｔｓ　ｉｎ　ｍａｎｙ　ａｒｅａｓ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｗａｓ　ｐｒｏｖｅｄ．Ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｗａｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ．Ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｗａｓ　ｃａｒｒｉｅｄ　ｏｕｔ　ｔｏ　ｖａｌｉｄａｔｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ’Ｓ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ＣＯＲＤＩＣ；ｓｈｉｆｔ－ａｄｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｂａｓｉｃ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　

bernstein定理证明

贝恩斯坦定理（Bernstein's Theorem）是一个关于多项式的定理，它指出，任何多项式都可以用一组有限的常数系数来表示。

证明：

假设有一个多项式P(x)，它可以用如下形式表示：

P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n

其中a_0,a_1,a_2,...,a_n是多项式的系数。

我们假设P(x)可以用一组有限的常数系数来表示，即：

P(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_mx^m

其中b_0,b_1,b_2,...,b_m是多项式的系数。

我们将P(x)的两边同时乘以x^m，得到：

P(x)x^m=b_0x^m+b_1x^{m+1}+b_2x^{m+2}+...+b_mx^{2m}

将P(x)的两边同时减去P(x)x^m，得到：

P(x)(1-x^m)=a_0-b_0x^m+a_1x-b_1x^{m+1}+a_2x^2-b_2x^{m+2}+...+a_nx^n-b_mx^{2m}

由于1-x^m是一个非零多项式，因此，我们可以将它的系数分别乘以a_0,a_1,a_2,...,a_n，得到：

a_0(1-x^m)+a_1x(1-x^m)+a_2x^2(1-x^m)+...+a_nx^n(1-x^m)=a_0-b_0x^m+a_1x-b_1x^{m+1}+a_2x^2-b_2x^{m+2}+...+a_nx^n-b_mx^{2m}

由于左边的多项式是一个完全多项式，因此，它的系数必须满足：

a_0(1-x^m)+a_1x(1-x^m)+a_2x^2(1-x^m)+...+a_nx^n(1-x^m)=0

将上式中的系数分别置于左右两边，得到：

a_0=b_0x^m a_1=b_1x^{m+1}

a_2=b_2x^{m+2}

...

a_n=b_mx^{2m}

由此可知，多项式P(x)可以用一组有限的常数系数来表示，即：

P(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_mx^m

附录一 Bernstein多项式：连续函数的多项式逼近

连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass第一逼近定理 设是闭区间[a, b]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a, b] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(xf})(xPn)(xf0>ε，存在多项式，使得 )(xPε<−)()(xfxP 对一切∈x[a, b]成立。 Weierstrass第一逼近定理的证明 证 不失一般性，设[a, b]为[0, 1]。 设X是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，定义映射 )(tf

nB: X Y →

)(tf6knkknnknxxCnkfxfB−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑)1(),(0，

得到{}，表示),(xfBn),(xfBnXf∈在映射作用下的像，它是以nBx为变量的次多项式，称为的n次Bernstein多项式。 nf 关于映射，有下述基本性质与基本关系式： nB (1)线性性：对于任意及Xgf∈,∈βα,R，成立 ),(),(),(xgBxfBxgfBnnnβαβα+=+； (2)单调性：若（)()(tgtf≥∈t[a, b]），则 ),(),(xgBxfBnn≥ （∈x[a, b]）；

(3)； 1)1(),1(0=−=−=∑knkknnknxxCxB

xxxCnkxtBknkknnkn=−=−=∑)1(),(0；

=−=−=∑knkknnknxxCnkxtB)1(),(0222nxxx22−+。

函数在2)(st−nB 映射下的像（视为常数）： s

.)(2),1(),(2),(),)((

22222222

stnxxssxnxxxxBsxtsBxtBxstBnnnn−+−=+−−+=+−=−