第三章 标量衍射理论(二)

U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2


2 y
2

2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2

c

U ( p) k U ( p) 0
K
2

亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n


P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j

2
2
z12
= z1
( x x1 ) + ( y y1 ) +
2
2
2 z1
[( x x1 ) + ( y y1 ) ]2 + .... 3 8 z1
2 2
r ≈ z1
(x x1 )2 + ( y y1 )2 +
2 z1
C
y1 x1 Q z1 K r
y P x
近似条件: [( x x1 ) + ( y y1 ) ] z >> 4λ
一,光的衍射现象
'光线'拐弯了! 光线'拐弯了! 光线
S
?
衍射现象:光波偏离直线传播而出 衍射现象: 现光强不均匀分布的现象
E
E
S
S
圆孔衍射
Diffraction pattern of an icosahedral quasicrystal
12
光孔尺寸与衍射
衍射效应很弱,光线几乎直线传播 直线传播. 一,ρ>1000λ时,衍射效应很弱,光线几乎直线传播. λ 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 但在影界边缘,衍射现象仍不可忽略. 二,1000λ >ρ> λ时,衍射现象显著,出现了与光孔 衍射现象显著 现象显著, λ ρ 形状对应的衍射图样. 形状对应的衍射图样. 衍射效应过于强烈,只看到干涉 干涉. 三,ρ ~ λ 衍射效应过于强烈,只看到干涉. 过渡. 四,ρ<λ 向散射过渡. λ 散射过渡 其中:光孔线度ρ,波长λ
π
( n,l ) ( n,r ) ∑
θ
l
r P
K一般在0-1之间,特别地, 光线正入射时:
R

空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y

复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0



A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2


2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x

观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2


传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0

不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t

傅⽴叶光学第三章总结第三章标量衍射理论标量衍射理论是⼀种近似理论，所谓衍射就是指光波在传播的过程中波⾯受到限制时表现出来的现象。

由于我们⼀般遇到的问题都能满⾜标量衍射理论的两个条件（衍射孔径⽐波长⼤得多；不在太靠近孔径的地⽅观察衍射场），标量衍射理论给出的结果与实际⼗分相符。

第三章从基尔霍夫衍射理论和⾓谱理论出发讨论衍射问题，可以分别把它们看作是衍射的球⾯波理论和平⾯波理论。

这两种理论分别从空间域和频率域讨论衍射现象，在本质上是⼀致的。

根据衍射光波传播距离的长短实际衍射现象可分为两种：菲涅⽿衍射与夫琅⽲费衍射。

为了简化这两类衍射现象的计算，通常要做出不同程度的近似。

课本还给出了⼏种常见典型孔径的夫琅⽲费衍射图样。

对于具有周期性重复排列结构的衍射光栅可以利⽤列阵定理分析其衍射现象。

复振幅：定义P 点复振幅()()()j P U P a P e=，()a P 为P 点振幅，()j P e表⽰初相位。

球⾯波：()()00jkrjkr a U P e ra U P e r-== 发散球⾯波会聚球⾯波，2k πλ=在直⾓坐标系中，根据傍轴条件得到光源在()00,x y ，与其相距z 的xy 平⾯上的光场分布为：()()()()()()()()2200022000,exp exp 2,exp exp 2a kU x y jkz j x x y y z z a k U x y jkz j x x y y z z =-+-=---+-发散会聚平⾯波：()(),exp cos cos U x y a jk x y αβ=+平⾯波的空间频率cos cos x y f f αλβλ==基尔霍夫衍射理论：根据惠更斯⼦波原理发展⽽来,从空间域讨论衍射问题。

把孔径平⾯光场看作点光源的集合，观察平⾯上的场分布是它们所发出的带不同权重因⼦的球⾯⼦波的相⼲叠加。

球⾯⼦波在观察平⾯上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。

菲涅⽿-基尔霍夫衍射公式：()()()01d jkre U P U P K S j rθλ∑=??由于这⾥的⼦波都是球⾯波，将光的传播看作⼀个线性系统。