第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播

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第三章标量衍射理论

U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2

2 y
2

2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2

c

U ( p) k U ( p) 0
K
2

亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理格林定理若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级扰动中心，它们产生球面子波，后一时刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都可以看作一个次级波波源，其后空间任一观察点的光振动是这些子波传播到该点后叠加的结果。菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。推导
r' • P'
n

P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j

信息光学-第3章标量衍射理论

rz2 x x 0 2 y y 0 2 z1 x x 0 2z 2 y y 0 2
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似条件为何位相里面不考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02

傅立叶光学

则，叠加积分式可表示为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
−∞
§3.2 基尔霍夫衍射公式
5 光线传播的线性性质
则，叠加积分式可表示为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
U ( P0 ) = 1 4π
∫∫ (G
S∑
∂U ∂G −U )dS ∂n ∂n
成立条件: 成立条件:孔径的线度比光波长大很多, 孔径的线度比光波长大很多,观察点离孔径较远
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.2 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
应用基尔霍夫条件有：
1 U ( P0 ) = 4π ∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S∑
∂G ( p1 ) 1 eikR 当R很大时， = cos(n , R )(ik − ) =ikG R R ∂n
∫∫ (G
S2
∂U ∂G ∂U −U )ds = ∫∫ G ( − Uik ) R 2 d ω ∂n ∂n ∂n Ω
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.1 平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式
若满足两个条件 1 索末菲辐射条件： R →∞ 满足索末菲辐射条件，则S2上积分为0，则
§3.2 基尔霍夫衍射理论
3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理
基尔霍夫积分定理是解决衍射问题的重要公式。
1 U ( P0 ) = 4π
∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S
eikr01 ∂U ∂ eikr01 [ −U ( )]ds ∫∫ r01 ∂n ∂n r01 S

第三章标量衍射理论(二)

空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y

复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0

A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2

2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系，确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x

观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2

传播效应为相移倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0

不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t

标量衍射理论

x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克斯
H 0
韦方程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0

傅立叶光学第三章总结

傅⽴叶光学第三章总结第三章标量衍射理论标量衍射理论是⼀种近似理论，所谓衍射就是指光波在传播的过程中波⾯受到限制时表现出来的现象。

由于我们⼀般遇到的问题都能满⾜标量衍射理论的两个条件（衍射孔径⽐波长⼤得多；不在太靠近孔径的地⽅观察衍射场），标量衍射理论给出的结果与实际⼗分相符。

第三章从基尔霍夫衍射理论和⾓谱理论出发讨论衍射问题，可以分别把它们看作是衍射的球⾯波理论和平⾯波理论。

这两种理论分别从空间域和频率域讨论衍射现象，在本质上是⼀致的。

根据衍射光波传播距离的长短实际衍射现象可分为两种：菲涅⽿衍射与夫琅⽲费衍射。

为了简化这两类衍射现象的计算，通常要做出不同程度的近似。

课本还给出了⼏种常见典型孔径的夫琅⽲费衍射图样。

对于具有周期性重复排列结构的衍射光栅可以利⽤列阵定理分析其衍射现象。

复振幅：定义P 点复振幅()()()j P U P a P e=，()a P 为P 点振幅，()j P e表⽰初相位。

球⾯波：()()00jkrjkr a U P e ra U P e r-== 发散球⾯波会聚球⾯波，2k πλ=在直⾓坐标系中，根据傍轴条件得到光源在()00,x y ，与其相距z 的xy 平⾯上的光场分布为：()()()()()()()()2200022000,exp exp 2,exp exp 2a kU x y jkz j x x y y z z a k U x y jkz j x x y y z z =-+-=---+-发散会聚平⾯波：()(),exp cos cos U x y a jk x y αβ=+平⾯波的空间频率cos cos x y f f αλβλ==基尔霍夫衍射理论：根据惠更斯⼦波原理发展⽽来,从空间域讨论衍射问题。

把孔径平⾯光场看作点光源的集合，观察平⾯上的场分布是它们所发出的带不同权重因⼦的球⾯⼦波的相⼲叠加。

球⾯⼦波在观察平⾯上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。

菲涅⽿-基尔霍夫衍射公式：()()()01d jkre U P U P K S j rθλ∑=??由于这⾥的⼦波都是球⾯波，将光的传播看作⼀个线性系统。

3.3 标量衍射的角谱理论

后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源（频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)

2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =

exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z

jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )

夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =

标量衍射理论

其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。其含义是单位时间内信号重复的次数。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念空间周期:相邻两条纹之间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]

2.2 角谱传播2010

d sinθ = nλ for d > λ
No diffraction when d < λ. Information not transferred to plane P1.
2.2.3
衍射孔径对角谱的作用（影响）衍射孔径对角谱的作用（影响）
衍射屏、衍射屏的复振幅透过率(或反射率）衍射屏、衍射屏的复振幅透过率(或反射率）
λ
z0 )
2.2.2 角谱的传播
x0 y0
U 0 ( x0 , y0 ;0)
xy
U z ( x , y; z )
Az ( cos α cos β , ; z)
平面波角谱的传播
A0 ( cos α cos β , ;0)
z
λ
λ
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) =
z=z
λλLeabharlann −∞ −∞∫∫∞ ∞
2 衍射屏对角谱传播的影响
Ui ( x, y)
Ai ( cos α cos β , )
UO ( x, y)
AO ( cos α cos β , )
λ
λ
λ
λ
U O ( x , y ) = U i ( x , y )i t ( x , y ) ⇓ FT AO ( u, v ) = Ai ( u, v ) ∗ T ( u, v )
常数, 常数时当φ(x,y)= 常数但A(x,y) ≠ 常数时, 只对入射光波的振幅进行调制，称之为振幅型的。振幅进行调制，称之为振幅型的。常数, 常数时当A(x,y) = 常数但φ(x,y) ≠ 常数时, 只对入射光波的相位进行调制，称之为相位型的。的相位进行调制，称之为相位型的。常数, 常数时当A(x,y) ≠ 常数且φ(x,y) ≠ 常数时, 对入射光波的振幅和相位都进行调制，称之为复合型的。振幅和相位都进行调制，称之为复合型的。

标量衍射理论-2

U0 (x0 , y0 ,0)
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数单色平面波与线性平移不变系统的本征函数在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射衍射过程衍射矢量波衍射理论假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标量波衍射理论
波动光学
信息光学（基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −

第3章标量衍射理论

信息光学 (基础)
引言

经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。
引言
本章主要内容
1、光波的数学描述
2、基尔霍夫衍射理论
3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理
1、光波的数学描述点光源位于x0y0 平面，求与其相距 z (z>0) 的 xy 平面上的光场分布.
r z x x y y

z0=0

并考虑徬轴近似
x x y y
z

x x y y z z
常量位相因子

二次位相因子
1、光波的数学描述

exp jkz
发散球面波在平面上产生的复振幅分布的位相因子中包括两项 (1) 常量位相因子 exp(jkz) 与传播距离有关. (2) 随平面坐标变化的第二项称作二次（球面波的）位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有下述因子，就可以认为距离该平面 z 处有一个点光源发出的球面波经过这个平面。

则xy平面上的复振幅分布可表示为
U x, y A exp jk x cos y cos (用方向余弦表示)
U x, y A exp j 2 f x x f y y
(用空间频率表示)
1、光波的数学描述
前面，分析了平面波在某一平面(xy平面)上的情况, 现在分析平面波在空间(3D)中的情况平面波的位相差为2的等位相面的间距，在三个方向上分别为X、Y 和 Z——(振荡)周期三个方向上平面波的空间频率分别定义为

3.2标量衍射理论

2015/3/27
第三章标量衍射理论
15
三、衍射理论五：简化为傅里叶变换
– 3. 6、二次位相因子的消除1：远场与富里叶变换
1 k U ( x, y ) exp( jkz) U ( x0 , y0 ) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
U ( x, y ) U ( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0 dy0 h( x x0 , y y0 )

1 j r
e jkr
1 x x0 2 1 y y0 2 r z 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 1 ( ) ( ) 2 z 2 z h( x x0 , y y0 ) 1 k exp( jkz) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
– 3.4、菲涅耳衍射公式二次曲面近似的三种表示
（卷积、脉冲响应，FT）及其Matlab两种实现
– 3.5、菲涅耳变换：衍射可看做是输入受二次位相因子调制的FT – 3.6、二次位相因子的消除1：远场衍射或衍射的富里叶变换及其Matlab实现 – 3.7、二次位相因子的消除2：光源作用的结果 – 3.8、二次位相因子的消除3：物体的自我调制成像

dx dy

0
0
1 k U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x 2 y 2 ) U ( x0 , y0 ) jz 2z k 2 exp j x0 y0 2z

2 exp j ( xx yy ) dx dy z

傅里叶光学第3章标量衍射理论

标量衍射理论
衍射现象光波传播的规律标量理论的条件空间域和频率域两种分析方法最基本的光波形式
本章主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
1、光波的数学描述
其中，
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
（1）a 是常量振幅；
（2）cos、cos、cos 为传播方向的方向余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
对于如右图所示的沿某一确定方向传播的平面波，在xy平面上的复振幅为：
1.1 单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u x, y, z,t a x, y, z cos 2 t x, y, z
其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
u x, y, z, t Re a x, y, z e j2tx,y,z
Re a x, y, z e e jx,y,z j2t
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos

a
exp

jkz
1
cos2

10-标量衍射理论2-角谱及其传播

§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
2、平面波角谱的传播
Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
观察平面（ z =z） P(x,y,z)
光场分布 U0(x,y,0)
光场分布
z
U (x,y,z)
U0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？——传播的问题
的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分
布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
fx
cos l
;
fy
cos l
可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换:
称为x-y平面
A( fx , f y , z) U (x, y, z) exp[ j2 ( fx x f y y)]dxdy 上复振幅分
第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0)
U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
第四步: 求出U(x,y,0)的频谱A(fx, fy,0)
第五步: 利用fxcos l;fy
c os l
将
A(fx,
fy, 0)改写成角谱

衍射的角谱理论

§2.3 衍射的角谱理论
• 由标量衍射理论知，相干光场在给定二平面间的传播过程就是通过一个二维线性系统（除夫琅和费衍射外）；一定条件下为线性空不变系统。 j2 (f x x+f y y) 是二维线性空不变系统的本 • 函数 exp 征函数 • 函数 exp j 2 ( f x f y ) 表示振幅为1的平面波在xy 平面上形成的复振幅分布 f y cos / 与平面波的传播方向相 • f x cos / 联系 ,表示了单色平面波的传播方向
jkz exp H ( fx , f y ) 0 1 1 ( f x ) 2 ( f y ) 2 f x 2 f y 2 2 其他
• 这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器， 1/ 截止频率为．在频率平面上，这个滤波器的半径为的圆孔. • 对于孔径比波长还小的精细结构，或者说空间频率高于 1/ 的信息，在单色平面波照明下不能沿 z方向向前传播
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
A(

几种情况讨论（2）
•
cos2 cos2 1
A(
公式中的平方根是虚数

2
cos cos cos cos , ) A0 ( , ) exp( z )
x y
傅里叶反变换的物理意义

f ( x, y )

F( f
x
, f y )exp[ j2 ( f x x f y y )]df xdf y
• F( f x , f y ) 被称为 f ( x, y ) 光场分布的角谱。

3标量衍射理论

n
r P’ r’ ∑ p
z
说明： k ( ) 1 ⑴若p, p’距离孔径∑足够远，则有 ⑵ 有值内
U( p )
0
0
外
1
⑶积分限∑ （-∞，+∞）透过率函数 t ( x, y )
0
内外
基于以上假设： Huggens——Fresnel原理公式可变为：
1 e U ( x, y) u t ( x 0, y ) ds 0 i r
cos cos A( , )

A0 z
2 对该频率的光波，透过孔径后，波沿垂直Z向传播，而不沿Z传播
2、当(cos cos )＝1时，u cos 0,
2 2

3、当(cos 2 cos 2 ) 1时 E合理存在于是有： H ( fx , f y ) exp(ikz 1 cos 2 cos 2 ) exp(ikz 1 cos cos )
球面波场中等位相线
二、单色平面波光场中任意平面上的振幅分布 1、平面波函数
E A cos(kr t ) A exp(ikr )exp(it )
复振幅： U ( x, y, z) A exp[ik ( x cos y cos z cos )]
二、孔径对角谱的影响
1、当(cos 2 cos 2 ) 1时，u i cos 2 cos 2 1 cos cos cos cos A( , ) A0 ( , ) exp(ikz cos 2 cos 2 1)

故该情况下为一倏逝波
2 2
当f x f y

第三章标量衍射的角谱理论

2 2 z x0 max + y 0 max
及
2 2 z xmax + y max
因而
x x0 y y0 λf x = cosα ≈ 1, λf y = cos β ≈ 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则 1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2 这样四重积分式变为。
1 k ( x x 0 )2 + ( y y 0 )2 U ( x, y ) = exp( jkz )∫ ∫ U 0 ( x0 , y 0 ) exp j jλ z 2z ∞
∞
[
]dx dy
0
0
平面波角谱的衍射理论
本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布 U 0 ( x, y,0) 可通过傅里叶变换得到其角谱
∞ ∞
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱 ∞ 同时有逆变换为
U ( x, y , z ) = ∫ ∫ A( f x , f y , z ) exp[ j 2π ( xf x + yf y )]df x df y
∞
上式说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看作是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相，它们的值分别为角谱的模和幅角。
复振幅分布的角谱
对任一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换，可求得其频谱分布设有一单色光波沿 z 方向投射到 x, y 平面上，在 z 处光场分布为 U ( x, y, z ) 其频谱分布可由二维傅里叶变换计算得到为

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cos cos A( , , z)
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称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱：例
在x-y平面上, 光场复振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分布的频谱其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(

cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
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普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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代入亥姆霍兹方程 (2+k2)U(x,y,z)=0, 并交换积分和微分的顺序
cos cos cos cos cos cos ( k ) A l , l , z exp j 2 l x l y d l d l 0
2、平面波角谱的传播
角谱沿 z 传播遵循的规律
2 cos cos 4 A , , z 2 cos2 cos2 l l l

d 2 cos cos 2 cos cos , , z k A , , z 0 2 A l l l dz l
U ( x, y) A cos(2f 0 x)
A U ( x, y ) U ( x) [exp( j 2f 0 x) exp( j 2f 0 x)] 2
U(x,y)的空间频谱函数:
A A( f x , f y ) { A cos( 2f 0 x)} [ ( f x f 0 ) ( f x f 0 )] 2 U(x,y)的空间角谱函数: cos cos A( , ) A( f x , f y ) cos cos fx , fy l l l l
l
l
l
传播距离z后到达z=z平面, 光场变化为U(x,y,z),
U ( x, y, z) A(

cos cos cos cos cos cos , , z) exp[ j ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
l
l
l
cos cos cos cos A( , ,0) 变化为 A( 传播的效应体现为角谱由 . l , l , z) l l
l
l
z l fx l f y )

在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱

Hfx, fy
系统的
exp jkz lf x lf y A ( f x , f y )
A( f x , f y )
2 2 exp jkz 1 λf x λf y H fx, f y 传递函数: 0
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
光场分布 U0(x,y,0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z) 光场分布 U (x,y,z)
z
U0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？——传播的问题先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和A(fx, fy,z)之间的关系——角谱的传播
角谱是xy平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱, 其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位相取决于相应的角谱
1 f f < 2 λ 其他
2 x 2 y
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
2 2 exp jkz 1 λf x λf y H fx, f y 传递函数: 0
系统的
1 f f < 2 λ 其他
2 x 2 y
fy 1/l fx
cos cos A cos cos A( , ) f0 f 0 l l 2 l l
复振幅分布的角谱
第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y): 第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0)
单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1 第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
fz ( 1 l fx l f y ) l
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 : U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y )]exp( j z l f x l f y )
U ( x, y,) exp( j

U ( x, y, z )

A( f
x
, f y , z ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数exp[j2(fxx+fyy)] 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). 物理上, exp[j2(fxx+fyy)] 代表传播方向余弦为cos=lfx, cos=lfy 的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
cos cos cos cos A , , z A , ,0 exp( jkz 1 cos2 cos2 ) l l l l cos α cos β fx , fy A f x , f y A0 f x , f y λ λ 系统的输出系统的输入表征系统频谱特性的传递函数：
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
l l 可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：

fx
cos
;
fy
cos
cos cos cos cos A( , , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开空间是有形的, 比时间更具体,更直观. 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向. 反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向cos =l fx cos =lfy 二维F.T.在光学上的意义: 在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布,即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
0
把光波的传播现象看作一个带宽有限的空间滤波器。在频率平面上的半径为1/l的圆形区域内，传递函数的模为 1，对各频率分量的振幅没有影响。但要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y

光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
2
2 2
z 2
2
2 2 2 2 x y
对任何 x,y,z 均应成立, 故
2 cos cos 4 A , , z 2 cos2 cos2 l l l

d2 2 dz
cos cos 2 cos cos A , , z k A , , z 0 l l l l
d2 dz2
cos cos 2 cos cos A , , z k (1 cos2 cos2 ) A , , z 0 l l l l

第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播

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