第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播

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cos cos A( , , z)
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称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(

cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
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普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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代入亥姆霍兹方程 (2+k2)U(x,y,z)=0, 并交换积分和微分的顺序
cos cos cos cos cos cos ( k ) A l , l , z exp j 2 l x l y d l d l 0
2、平面波角谱的传播
角谱沿 z 传播遵循的规律
2 cos cos 4 A , , z 2 cos2 cos2 l l l


d 2 cos cos 2 cos cos , , z k A , , z 0 2 A l l l dz l
U ( x, y) A cos(2f 0 x)
A U ( x, y ) U ( x) [exp( j 2f 0 x) exp( j 2f 0 x)] 2
U(x,y)的空间频谱函数:
A A( f x , f y ) { A cos( 2f 0 x)} [ ( f x f 0 ) ( f x f 0 )] 2 U(x,y)的空间角谱函数: cos cos A( , ) A( f x , f y ) cos cos fx , fy l l l l
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传播距离z后到达z=z平面, 光场变化为U(x,y,z),
U ( x, y, z) A(

cos cos cos cos cos cos , , z) exp[ j ( x y)]d ( )d ( )
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cos cos cos cos A( , ,0) 变化为 A( 传播的效应体现为角谱由 . l , l , z) l l
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z l fx l f y )



在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱


Hfx, fy
系统的
exp jkz lf x lf y A ( f x , f y )
A( f x , f y )
2 2 exp jkz 1 λf x λf y H fx, f y 传递函数: 0
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
光场分布 U0(x,y,0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z) 光场分布 U (x,y,z)
z
U0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？——传播的问题 先找到相应的角谱A(fx, fy,0)和A(fx, fy,z)之间的关系——角谱的传播
角谱是xy平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱, 其空间 频率宗量用传播矢量的方向余弦表示 按角谱的观点: 孔径平面和观察平面上的光场, 均看成许多不同方 向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位 相取决于相应的角谱
1 f f < 2 λ 其 他
2 x 2 y
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
2 2 exp jkz 1 λf x λf y H fx, f y 传递函数: 0
系统的
1 f f < 2 λ 其 他
2 x 2 y
fy 1/l fx
cos cos A cos cos A( , ) f0 f 0 l l 2 l l
复振幅分布的角谱
第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y): 第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0)
单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1 第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
fz ( 1 l fx l f y ) l
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 : U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y )]exp( j z l f x l f y )
U ( x, y,) exp( j


U ( x, y, z )


A( f
x
, f y , z ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数exp[j2(fxx+fyy)] 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). 物理上, exp[j2(fxx+fyy)] 代表传播方向余弦为cos=lfx, cos=lfy 的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分 布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
cos cos cos cos A , , z A , ,0 exp( jkz 1 cos2 cos2 ) l l l l cos α cos β fx , fy A f x , f y A0 f x , f y λ λ 系统的输出 系统的输入 表征系统频谱特性的传递函数 ：
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
l l 可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：

fx
cos
;
fy
cos
cos cos cos cos A( , , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开 空间是有形的, 比时间更具体,更直观. 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向. 反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能 确定其传播方向cos =l fx cos =lfy 二维F.T.在光学上的意义: 在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期 分布,即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
0
把光波的传播现象看作一个带宽有限 的空间滤波器。在频率平面上的半径 为1/l的圆形区域内，传递函数的模为 1，对各频率分量的振幅没有影响。但 要引入与频率有关的相移。在这一圆 形区域外，传递函数为零。
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y


光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
2
2 2
z 2
2
2 2 2 2 x y
对任何 x,y,z 均应成立, 故
2 cos cos 4 A , , z 2 cos2 cos2 l l l


d2 2 dz
cos cos 2 cos cos A , , z k A , , z 0 l l l l
d2 dz2
cos cos 2 cos cos A , , z k (1 cos2 cos2 ) A , , z 0 l l l l