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第二章 标量衍射理论.

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标量衍射理论习题

标量衍射理论习题

1 a ≤ x12 + y12 ≤ 1,0 < a < 1 其他 0
今采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分 布。 一衍射屏的透过率函数为： t ( x1 , y1 ) =
[2-13]
1 (1 + m cos 2πf 0 x1 ) 2
今用单位振幅的单色平面波垂直照明该衍射屏，求观察平面上的菲涅耳衍射光场复振幅分 布； 并讨论观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时， 屏上光振动的相位不随空间位置而 变，即在空间是纯调幅的。又当观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时，才是近似空间 调相的。
图 X2-3
方形环带
[2-8] 如图 X2-4 所示， 边长为 2a 的正方形孔径内再放置一个边长为 a 的正方形掩模， 其中 心落在 (ξ ,η ) 点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为 z 的观察平面上夫 琅和费衍射图样的光强度分布。
图 X2-4பைடு நூலகம்
[2-8]题图示
[2-9]
波长为 λ 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上， 在孔径平面上有一足够大的模
布的光能流等于 I i (r0 ) ，它占总光能流的百分比为 F (r0 ) .试求出 F (r0 ) 的表达式，并与教材 中表 2-5-1 进行比较。 [2-4] [2-5] [2-6] 试证明关系式（2-5-15） 。 试证明关系式（2-5-28） 。 设用单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2-2 所示的双矩孔，求其夫琅和费衍射图
将它们按条纹方向垂直地密着叠放在一起（见图 X2-5） 。当用单位振幅的单色平面波垂直照 明时，求其夫琅和费衍射斑的方向角。
图 X2-5
两正弦光栅正交密着叠放

第二章 光的标量衍射理论

第二章 光的标量衍射理论

（2-1-15）
（2-1-15）式称为菲涅尔衍射积分公式 式称为菲涅尔衍射积分公式 满足菲涅耳近似条件的衍射称为菲涅耳衍射 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏， 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏，屏上显示的图 形即物体的菲涅耳衍射图形。 形即物体的菲涅耳衍射图形。 辐照度L(x,y) 为： 辐照度
• 2.1.1 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理 • 假设：波前上的每一个面元都可以看做是一个次级扰 假设： 动中心，它们能产生球面子波． 动中心，它们能产生球面子波．后一时刻的波前位置 是所有这些子波波前的包络面。 是所有这些子波波前的包络面。 波前”即是某一时刻光波的波面(等相面 等相面)， “波前”即是某一时刻光波的波面 等相面 ， 次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。 “次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。
该近似称为夫琅和费近似 该近似下 基尔霍夫衍射积分公式化简为： 在该近似下，基尔霍夫衍射积分公式化简为：
x2 + y2 E ( x, y ) = exp j k d + jλ d 2d 1 ∞ k ∫ ∫ A(ξ ,η ) exp − j ( xξ + yη ) d ξ d η d −∞ （2-1-19） ）
（2-1-16） ）
L(x,y)等于菲涅耳衍射复振幅分布 等于菲涅耳衍射复振幅分布E(x,y)的模的平方 等于菲涅耳衍射复振幅分布 的模的平方
二、夫琅和费近似和天琅和费衍射
进一步增大观察平面∏到衍射孔径 的距离 进一步增大观察平面 到衍射孔径∑的距离 ，则衍射 到衍射孔径 的距离d， 图形将随之放大。 图形将随之放大。

第2章 标量衍射理论

第2章 标量衍射理论
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )



在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。

信息光学-第3章 标量衍射理论-1.ppt

信息光学-第3章 标量衍射理论-1.ppt
r
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
a0
表示点光源的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
U P a0 e jkr
r
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
第二章 标量衍射理论
光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇 到障碍物时，光波会发生衍射。
电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场 强度和磁场强度的矢量性。
一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）— — 光波作为标量处理
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。
1、光波的数学描述
✓角谱定义
A
cos
, cos
U x,
yexp
j2
cos
x
cos
y dxdy
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。
引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：
(1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的 单色平面波的叠加;
复振幅分布的分解观点：
平面上的复振幅分布U(x,y)看作空间频率不同的复指数分量的 线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)。
exp j2 fxx fy y
代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的单 色平面波。
因此光场（复振幅）分布也可以看作为不同方向传播的单 色平面波分量的线性叠加，这就是角谱理论。

标量衍射理论

标量衍射理论

x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0

第二章 光的标量衍射理论

第二章 光的标量衍射理论
4.若/a趋于零衍射现象消失—几何光学是/a趋于零 的极限情况
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z

A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0

r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )

exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x

标量的衍射理论

标量的衍射理论
基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子2.给出了常数C的具体形式
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
基尔霍夫从ห้องสมุดไป่ตู้量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。
惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。
惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。
惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式---基尔霍夫衍射公式。

2 标量衍射理论

2 标量衍射理论
第二章 标量衍射理论 （Scalar diffraction theory）
衍射
l Sommerfeld定义
标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围
电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.
以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。



r = z x- x y - y

x- x y- y 忽略倾斜因子的变化后，就可以 z z z \把光波过一个线性不变系统。
U ( x, y ) = U ( x0 , y0 )h( x - x0 , y - y0 )dx0 dy0
近似条件 当
j =
2p x - x0 y - y 0 8z 3
2

2 2

x - x0 2 y - y0 2
即
取最大值时，Δj<<2pz3来自1 8x - x
0

2
y - y0
2 2 max

充分但非必要条件 在一般问题中，菲涅尔衍射很容易实现
2 f 2
其
1 λ2 他
等价于低通滤波器，截止频率1/
基尔霍夫理论 空域 角谱理论 频域 平面波 球面子波 系统的脉冲响应：球面子波在观 察平面上的复振幅分布
系统的传递函数：脉冲响应的傅 立叶变换
三、孔径对角谱的影响
入射到孔径平面的光场
U i ( x0 , y0 )
衍射屏的复振幅透过率 t ( x0 , y0 ) 衍射屏后表面光场

第2章 光的标量衍射理论

第2章 光的标量衍射理论

a0 ±jkr U(P) = e 球面波的复振幅表示（三维空间）： 球面波的复振幅表示（三维空间）： r
光强分布: 光强分布
I = UU*
[
]
对给定平面是常 量
z
源点S 源点 z 随x, y变化的二次位相因子 变化的二次位相因子 0 球面波特征位相 x
（续）
U ( x, y, z ) = a exp( jk ⋅ r ) = a exp[ jk ( x cos α + y cos β + z cos γ )]
20
2、菲涅耳—基尔霍夫积分公式 、菲涅耳 基尔霍夫积分公式
通过小孔衍射问题
→ 导出菲涅耳—基尔霍夫积分公式
I） 设点光源S 发出的球面单色波，照射到一个开有小孔A 的 光屏上，求光屏右边某点P 的光场，为了应用亥一基积分公式， 围绕P点作一闭合曲面 Σ ，由图可知 Σ 由三部分组成：
A、开孔A B、不透明部分B C、大球面C A
4
2. 1 基尔霍夫衍射理论
2.1. 1 衍射的概念 2.1. 1.1 衍射概念认识的深化
5
惠更斯-菲涅耳定义：光波在传播过程中波面产 惠更斯-菲涅耳定义： 生破缺的现象，称为衍射 现在一般认为： 现在一般认为：光波在传播的过程中，不论任何原因 导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布） 的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为 衍射。
而（已设辅助函数G由 P点向外发散的光照明）
G (Q ) = 1 jkr e r r r e jkr r r ∂G(Q) e jkr 1 jk cos (n ⋅ r ) = jk − cos(n ⋅ r ′) ≈ r r ∂n r
24
将上述关系代入 U ( p ) 式得：

光学信息第二章4

光学信息第二章4
衍射条件： 衍射公式：
1 2 2 2 z x x 0 y y0 max 8
3
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp( jkz ) U ( x, y ) U 0 ( x0 , y0 ) exp jk dx0 dy0 j z 2z


e
2 x2 x j 2
f(x)dx



1 e j2 1 e j2
j
( -x)2 2
f(x)dx e
x
2
= =

( -x)2 j2
j
f(x)dx, 注 意 lim
=
2
F 是
F
的逆变换
时,分数傅里叶变换为常规傅里叶变换

2
将 =
和=-

2
-j x
分别代入定义式,有
dx
1 F ( )= 2 2

1 F ( )= 2 2



f(x)e



f(x)e j x dx
F ( ) = F
j ( 2 - ) e f ( x ) = 2 s in
脉冲响应：
exp jkz 2 2 k h x x0 , y y0 exp j x - x0 y - y0 j z 2z
传递函数：
2 2 H ( f x , f y ) exp( jkz ) exp j z f f x y
exp jkz x2 y 2 2 U ( x, y) exp jk U ( x , y )exp j x x y y dx0dy0 0 0 0 0 0 j z 2z z exp jkz x2 y 2 exp jk F U0 ( x0 , y0 ) j z 2z

标量衍射理论-2

标量衍射理论-2
U0 (x0 , y0 ,0)
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −

标量衍射理论课件

标量衍射理论课件
02
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。

标量衍射理论

标量衍射理论
2 2
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由于 波长λ 极小， 2 很大，上式中第二项不能省 k 略
点光源光波场相位因子和复振幅
• X-y 平面上相位 2z 称为球面波的二次相位因子 2 2 ( x x0 ) ( y y 0 ) C • 其相位轨迹方程： 为同心圆环簇。 • 光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面 波复振幅为
，其球面
( x x0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
2
坐标系几何示意图
( x, y,z )
( x0 , y 0 , z 0 )
• 光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布， 如衍射物平面和观察平面的光场分布。
点光源光波场近似
设光源位于
z0 0
平面， 观察面位于
球面波的复振幅
• 对于单色发散球面波 U(P ) 当点光源位于坐标原点时： r为观察点到原点的距离： r x 2 a 0 jkr • 会聚球面波：
U(P ) e r
a0 r
e
jkr
y z
2
2
• 若点光源位于空间任意一点 波复振幅形式不变，此时有
r
2 2
S ( x0 , y 0 , z 0 )
z

x
y
z

• 由
cos cos cos
2 2
2
1
有
fx
2
fy
2
fz
2

1

2
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f 不再和单色平面波 , f ) 述。但空间频率 e x p j2 ( f x 也就不再对应沿某 f y) 有关， 一方向传播的平面波

标量衍射理论

标量衍射理论

x0
基尔霍夫衍射公式
n
光源 P0
θ
θ
1
2
P r0 r z
Q(x,y)
1 a0 exp( jkr0 ) cos(n, r ) cos(n, r0 ) exp( jkr) U (Q) [ ] ds j r0 2 2 r 1 exp( jkr) U 0 P K r ds U 0 PhP, Qds j
平面x y的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波 每一平面波成份与一组空间频率值（ξ, η）对应： 传播方向为cosα =λ ξ, cosβ =λ η ，振幅为G(ξ, η)
G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy


亦可写成：
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
传播方向余弦为（ cosα ,cosβ ）的一般情形
u u0 exp[ jk ( x cos y cos )]
(x,y)平面等相位线
x cos y cos 常数
空间周期 d x cos cos 空间频率
dy cos

cos

Cl xl y sin c(lx ) sin c(l y )
ly y lx x sin( ) sin( ) z z Cl l sin cl , l Cl xl y x y x x lx x ly y z z
x z
y z
光强
I I 0 sin c (lx , l y)
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ]} 2 z z

标量衍射理论

标量衍射理论

∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
dS r
nP
∫∫ U(Q)
1
e j kr
cos(n, r ) +1
jλ
U0 ∑
(P)
r
dS 2


r
Q
比较两式可得常数和倾斜因子分别为
C 1
j

1+ cos(n, r) 1+ cosθ
K(θ) =
=
2
2
由基尔霍夫边界条件的两个假设可知，屏外的光场U0（P）
该原理指出：光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上 的各面元可以看做是子波源，如果这些子波是相干的，则在波 传播的空间上的任一点处的光振动，都可以看做是这些子波源 各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
其复振幅的数学表达式为
P0
∫∫ e jkr
U(Q) = C
U0 (P)k(θ) ∑
r
dS
U0(P) 波面上任一点的复振幅
cosα cosβ
cosα cosβ
A( λ , λ ) = A0 ( λ , λ ) exp(jkz 1
cos2 α
cos2 β )
讨论：（1）当方向余弦满足下面关系式时 cos2 α + cos2 β < 1
各平面波传播一定距离z仅是引入一定的相移，而振幅不变。由 于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时走过的距离 各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。
者说空间频率大于 1/ λ 的信息，在单色光波照明下不能沿z
方向传递。
H(ξ, η) =
exp(jkz 1 (λξ)2 (λη)2 0
ξ2

第2章 光的标量衍射理论(二)

第2章 光的标量衍射理论(二)

对于单位振幅平面波垂直照射衍射屏这种特殊情况
即 因而
cos cos cos cos cos cos cos cos Ao , , T , T ,
Chapter 2
第二章
Scalar diffraction theory
标量的衍射理论
2.2 衍射的角谱理论
预备知识；
Plane wave k (波矢量)
x
k x轴, y轴
(wavefront 为一个与前
进方向垂直的等相平面）

2 k （波数）
y
0
U Ae j
2.3.4 . 角谱的衍射 (Diffraction of Angular Spectrum)
引入光瞳函数 p(x,y)
Ui ( x, y)
Ut ( x, y)
At (
Aperture
Ut ( x, y) Ui ( x, y) p( x, y)

(2.3-1)
cos cos cos cos cos cos , ) Ai ( , ) P( , )
x
．
(X,y) 0
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，
U ( x, y) exp j (kx cos ky cos )
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
k
(X,y,z) ．
z
y
U ( x, y, z ) exp j (kx cos ky cos kz cos )
c(
cos cos , )

第二章 标量衍射理论

第二章 标量衍射理论
仅由惠更斯—菲涅耳原理无法解释子波 源这一特殊性质。
倾斜因子K()的具体函数形式也难以确定。
基尔霍夫利用格林函数，通过求解波动方 程，导出了严格的衍射积分公式，解决了上 述问题， 从而把惠更斯—菲涅耳原理置于更 为可靠的波动理论基础上。
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
单色光场中任意一点Q的光振动M应满足 标量波动方程
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
一般地说，不论以什么方式改变光波波面， 或是以一定形式限制波面范围 或使振幅以一定分布衰减， 或是以一定的空间分布使相位延迟， 或是兼而有之， 都会引起衍射．所以障碍物的概念除去不
透明屏上有开孔这种情况以外，还包含具有 一定复振幅的透明片．
论其脉冲响应和传递函数．
2.1 基尔霍夫衍射理论
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射 公式
惠更斯—菲涅耳原理是在惠更斯子波假设 与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述 光传播过程的基本原理．
该原理指出：光场中任一给定曲面上的 诸面元可以看做是子波源，如果这些子波源 是相干的，则在波继续传播的空间上任一点 处的光振动，都可看做是这些子波源各自发 出的子波在该点相干叠加的结果．
因为总可以把任意复杂的光波分解成简 单的球面波的线性组合．波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理， 再把它们在Q点的贡献更加起来．
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条 件，孔径外的阴影区内U0(P)=0, 基尔霍夫衍 射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
当然，这里所说的光场中任一给定曲面 无须是等位相面，即不是原始惠更斯—菲涅 耳原理中所说的波面．

角谱

角谱

0 x 点源在坐标原点
0
| r |=
x2 + y2 + z2
点源不在坐标原点 | r |=
( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z 0 ) 2
7
(x0，y0，z0)为点源坐标 为点源坐标
end
第二章 §2.1 数学公式 一、光场的数学描述
4、光场中任一平面上的复振幅表示1 、光场中任一平面上的复振幅表示 任一平面 1）单色平面波光场中某一平面的复振幅表示 ）
0
{ = Re{U (P)e
j ( P )
j[ 2πνt ( P )] j ( P ) j2πνt
e
} }
令
U ( P ) = U 0 ( P )e
复振幅
3
第二章 §2.1 数学公式 一、光场的数学描述
2、单色平面波的复振幅表示1 、单色平面波的复振幅表示 平面波
U ( x , y , z ) = U 0 exp( j k r ) = U 0 exp[ jk ( x cos α + y cos β + z cos γ )]
等位相线方程 会聚球面波情况
( x x0 )2 + ( y y0 )2 = C
z
＜0
U0 k 2 2 U ( x, y ) = exp( jk | z1 |) exp j ( x x0 ) + ( y y0 ) | z1 | 2 | z1 | 11
end
[
]
一、光波的数学描述 一般描述 U(P) = U0 (P ) exp[ j (P )] 单色平面波
对给定平面 是常量 随x, y变化的二次位相因子 变化的二次位相因子 球面波特征位相9
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jkr0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos(n, r ) - cos(n, r0 ) e jkr ds 2 r
基尔霍夫衍射公式
孔径平面上的复振幅分布是球面波，有 代入基尔霍夫衍射公式，有
c.惠更斯(F.M.Huygens)子波源假设理论 -----波动说的第一位倡导者 波前上每一点起着一个次级波源(子波源)的 作用，每一个次级波源发出次级球面波(子 波)，它向着四面八方扩展，所有这些次级波 的包络面便是新的波前。 可解释”衍射”现象，但无法定量分析
d.18世纪牛顿在科学领域处于权威地位，由 于他摒弃了光的波动理论，使得这一理论停 滞了近一个世纪。
U (Q) C U 0 ( P) K ( )

e
jkr
r
ds
n p dS S * p
·

dU(Q)
r Q
·
S(波前)
设初相为零
主要问题： 1 该理论缺乏严格的理论依据。 2 常数c中应包含exp(-jπ/2)因子，惠更斯-菲 涅尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
衍射理论所要解决的问题
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
符号 和 代表矢量的叉乘和点乘 = i j k x y z i, j , k为 x, y, z方向的单位矢量
根据矢量理论
( E) ( E) 2 E
若介质是线性、各向同性、均匀、无色散，则
2 2 n E 2 E 2 2 0 c t 2 2 n H 2 H 2 0 2 c t
基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
P0点的单色点光源 P为孔径平面上任一点，Q为孔径 后方的观察点。 r和r0分别是Q和P0到P的距离，二 者均比波长大得多。 n表示衍射屏面法线的正方向。 在单色点光源照明下，平面孔 P0 径后方光场中任一点Q的复振幅为
n
P
r0
Σ
r
Q
1 a0e U (Q) j r0
2 2 2
u
与位置和时间有关
矢量理论到标量理论
前提条件：介质同时具有线性、各向同性、均匀性 且无色散 结论：电场和磁场的所有分量的行为完全相同，可 由单一的一个标量波动方程描述，标量理论可以完 全准确的代替矢量理论 若介质不具备上述前提，则用标量理论来表征矢量 理论就会引入误差
§2.3 基尔霍夫标量衍射理论
其中 n 为介质折射率，c 为真空中的光速
1 n , c 0 0 0
分量Ex , Ey , Ez , Hx , Hy, Hz 的标量波动方程
2 2 Ex n 2 Ex 2 0 2 c t
用一个标量波动方程慨括 E 和 H 的各分量的行为
n u ( x, y , z , t ) u ( x, y , z , t ) 2 0 2 c t
衍射问题的解决方式：
1，电磁波是矢量波，考虑光波的矢量性，严格 电磁场衍射理论必须用矢量波方法求解。数学上很复 杂，但是在某些问题 （如研究高分辨率光栅时）必 须要用这个方法。 2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一 定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）， 把光作为标量来处理，只考虑电磁场一个分量的复振 幅。 标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。
§2.2 从矢量理论到标量理论
光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦 克 斯 韦 方 程 组
E 0 H 0 H E t E H t
符号：
E H
电场强度 直角坐标系分量
( Ex , Ey , Ez )
磁场强度
直角坐标系分量 ( H x , H y , H z )
§2.1 历史引言
a.”衍射”现象
最早研究衍射现象的是格里马第(F.H.Grimaldi) 光是能够作波浪式运动的流体，不同颜色代表不同 频率 ——1655年发表论文
b.”衍射”的最初定义（索莫菲A.Sommerfeld) 不能用反射或折射定律来解释的，光线 对直线光路的任意偏离现象，称为衍射。
第二章
标量衍射理论
• 光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。 当遇到障碍物时，光波会发生衍射。 何为衍射 • 索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直 线光路的任何偏离。衍射是光传播的普遍属性，是 光的波动性的表现。
• 惠更斯—菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到 限制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射 • 现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波 前的复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改 变，使自由传播光场变为衍射光场的现象，都称为 衍射。
光场中任一点Q的复振幅 能否用光场中其它各点的复 振幅表示出来？
例如能否由如图孔径平面 上的场分布计算孔径后面任 一点Q处的复振幅？这是一 入射光 个根据边界值求解波动方程 的问题。
Q
2、 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上 。
2.3.1 惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
1、 惠更斯-菲涅耳原理 1678年，惠更斯为解释波的传播提出子波的假设，认 为波面上每一点都可以作为次级子波的波源，后一时刻的 波阵面（相位相同的点组成的平面）则可看作是这些子波 的包络面 1818年，菲涅耳引入干涉概念对惠更斯原理进行了补 充，认为子波源应当是相干的，后空间光场是子波干涉的 结果。 惠更斯作图法加上干涉原理，就称为惠更斯---菲涅尔 原理
e. 1801年,杨氏干涉原理(T.Young)证实了光 的波动性——振幅叠加
f.1818年，菲涅耳(A.J.Fresnel)提出惠更 斯-菲涅耳原理。 可定性分析衍射现象，提出了定量初步模型。 g.基尔霍夫(G.Kirchhoff)提出了基尔霍夫衍 射理论，完善了惠更斯-菲涅耳理论。
可定性、定量分析衍射现象。 h.索末菲利用格林函数理论修正了基尔霍夫 衍射理论，成为瑞利-索末菲理论