第二章标量衍射理论

21
U (P ) A 1
U
r21
e 21 jk cos( n , r21 ) A n r21
图2.2.2 单色点光 源照明孔径 jk ( r01 r21 ) cos(n , r01 ) cos(n , r21 ) e dS (2.2.20） r01r21 2
§ 2. 基尔霍夫衍射理论
a.惠更斯-菲涅耳原理 波传到的任何一点都是子波的波源， 各子波在空间某点的相干叠加，就 决定了该点波的强度。
dU ( p ) U ( p1 ) K ( θ ) r
S *
p
dS
dS
p1 S(波前) 设初相为零
·

n
r
dU(p)
p
·
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 a.惠更斯-菲涅耳原理
§ 2. 基尔霍夫衍射理论
c.衍射公式与叠加积分
将(2.2.20)式写成：

U (P ) 0
U ( P )h( P , P )dxdy
1 1 0
其中
h( P , P ) 1 0
1 e j
jkr01
K ( )
r01
(2.2.25)
则(2.2.24)式具有叠加积分的意义。光波由 P 点传播到 P 点 1 0 的过程实际上是一个衍射过程,该过程将U ( P )变换成 U ( P ) ,这 1 0 等效于一个“系统”的作用，由于满足叠加积分，故此系统还是 线性系统。对于这个系统， h( P , P ) 表征了它的全部特性。 1 0
0

2
2

1

§3.衍射规律的频域表达式
b.传播现象作为一种线性空间滤波器
图2.3.2 传递函数相当于一个低通滤波圆孔 该滤波器的作用是阻止高频信息进入衍射光场。例如在分 析一幅图像结构时，比波长还小的精细结构或者空间频率 大于 1/ 的信息，在单色光照明下不能沿z方向传播。
§3.衍射规律的频域表达式
d d
§3.衍射规律的频域表达式
a.衍射规律的频域描述
利用亥姆霍兹方程得：
即
( k )[GZ ( , )e
2 2
j 2 ( x y )
]0
d
2
dz
GZ ( , ) ( 2
2

) [1 ( ) ( ) ]GZ ( , ) 0
2 2 2
上式为二阶线性齐次常微分方程，其特征根
§4.菲涅耳衍射与夫琅和费衍射
用普遍形式下的标量衍射理论来计算具体衍射问 题时，在数学上是非常困难的。因此有必要讨论某些 近似。按照近似条件的不同，分为菲涅耳近似和夫琅 和费近似两种，从而有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。


由此可见孔径限制入射光场,导致其频谱展宽了。 例如对矩孔
t ( x, y ) rect(
则
x
,
y
)

a b
cos cos acos bcos Gt ( , ) T ( , ) absinc( , )


故当用一定大小的孔径限制入射光场时，其效果是使入射光场 的频谱展宽。孔径越小，频谱展宽越显著。
第二章
Scalar Quantity Diffraction Theory
标量衍射理论
衍射（索末菲）：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。衍射是光传播的普遍属性，是光的波 动性的表现。 衍射问题的解决方式：
1，考虑光波的矢量性，用矢量波方法求解。（数学 上很复杂，但是在某些问题 （如研究高分辨率光栅时） 必须要用这个方法。 2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），把光作 为标量来处理，只考虑电磁场一个分量的复振幅。适用 范围：衍射孔径比波长大的多，观测点离衍射孔径比较 远。
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 b.基尔霍夫衍射公式
3.基尔霍夫积分定理
r01 r0 1 的长度，则必有： ( 2 k 2 )G 0 的矢量 据此首先将格林定理表达式作适当简化，再通过 微分运算，最后可得
选择
G( P ) 1
exp( jkr01 )
r01 1 ， 表示从观察点P0 指向P 点
2 2
u(P,t)满足标量波动方程 由此得
2 2
1 u c
2
t
0
( k )U ( p ) 0
（亥姆霍兹方程)
U n G n
2.格林定理 ：设函数U、G单值连续可导，则有
(G U U G)dV (G
2 2
U
)dS

S
其中G是一个辅助函数,称为格林函数。必须慎重选择格林函 数和封闭面S。
U (P ) 0 1 4 U n G n
S1 S2

(G
U)Βιβλιοθήκη S在S2面上，G e jkR R G 1 jkR ( jk )e R jkG R n

S2
(G
U n
U
G n
)dS G (

U n
图2.2.1
§3.衍射规律的频域表达式
a.衍射规律的频域描述
图2.3.1 计算角谱用的坐标系 令 则由
G0 ( , ) F{U ( x, y,0)}, GZ ( , ) F{U ( x, y, z)}

U ( x, y , z )
G

Z
( , )e
j 2 ( x y )
这对应于沿某一确定方向传播的平面波。
⑵. ( )2 ( ) 2 1 按指数 e z 急速衰减，称为 隐失波。 ⑶. ( ) 2 ( ) 2 1 cos 0, 900
表示在 z 轴的方向上净能流为零。
§3.衍射规律的频域表达式
b.传播现象作为一种线性空间滤波器
K( ):倾斜因子
0 , K K max K ( ) 2 , K 0
dU ( p )
U ( p1 ) K ( θ )
U( p)

r U ( p1 ) K ( θ )
s
exp( jkr )dS
分析：1.从定性到定量，但仍然基于子波假设。 2.倾斜因子实际上是未知量。
c.衍射孔径对角谱的效应
首先引入衍射屏的屏函数 或透过率函数(图2.3.3)：
x, y t x, y U i x, y
Ut
则有 图2.3.3 衍射屏的屏函数
cos cos Gi ( , ) ( , ) ( , )
Ut ( x, y) U i ( x, y)t ( x, y) Gt ( , ) Gi ( , )* T ( , )
2
jkU ) R d
显然有
| RG || e
jkR
| 1
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 b.基尔霍夫衍射公式
再由索莫菲辐射条件
R
lim R(
U n
jkU ) 0
(2.2.14)
故S 2 面上的整个积分随 R 趋于无穷大而消失。 在 S1 面上的积分,应用基尔霍夫边界条件: ⑴在孔径上,光场分布U及其导数 U 与没有屏幕时 n 完全相同。 ⑵在孔径阴影区内的那部分,光场分布及其导数恒 等于零。
e
jkr 01
其中
则可把(2.2.21)式解释为惠更斯-菲涅耳原理。其中
K ( ) cos( n , r01 ) cos( n , r21 ) 2
称为倾斜因子。若 P0 点在与入射方向相同一侧 ，则在近轴条件 下 cos(n, r01 ) cos(n, r21 ) 1 K ( ) 0 ,无倒退波。
本章将以基尔霍夫衍射公式讨论衍射问题，并利用线 性系统理论赋新的解释，我们把衍射过程看做是一个线 性不变系统，讨论其脉冲响应和传递函数。
§ 1. 衍射现象概述
a.”衍射”现象 最早研究衍射现象的是格里马第 (F.H.Grimaldi) ——1655年发表论文 b.”衍射”的最初定义（索莫菲A.Sommerfeld)
jkr
最后得
U (P ) 0 A j


上式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 b.基尔霍夫衍射公式
讨论:1).光源位置与观察点位置是对称的。(亥姆霍兹互易定理) 2).说明倒退波是不可能的。 如果把菲涅耳衍射公式改写成
U (P ) 0
' 1 U ( P )( r )dS (2.2.21) 01 jkr21 cos(n , r01 ) cos( n , r21 ) (2.2.22) A e ' U (P ) ( ) 1 j r21 2
由 得
GZ ( , ) G0 ( , ) H ( , )
2 2 2 exp j z 1( ) ( ) H , 0

其 他
2
2
1

2
能求出传递函数这个事实表明，与自由传播等效的系统是 一个线性空间不变系统，并且该系统的传递函数相当于一 个低通滤波器。其截止空间频率为
最后得:
U (P ) 0
1 4

(G
U n
U
G n
)dS
(2.2.16)
说明：基尔霍夫边界条件具有不自洽性,可通过选择别的 格林函数予以改善。
§ 2. 基尔霍夫衍射理论 b.基尔霍夫衍射公式
5.菲涅耳—基尔霍夫衍射公式 对孔径采取具体的照明方式后, 基尔霍夫衍射公式会有 更具体的形式。 设孔径由 P 点处的单色点光源照明 2 jkr 则有 e
2 2
或 讨论: ⑴.
cos cos cos cos 2 2 2 Gz , G0 , exp j z 1 cos cos