第一章 §1 1.1 第1课时 集合的概念

§1 集 合

1．1 集合的概念与表示

第1课时 集合的概念

学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”与“不属于”关系.4.记住常用数集的表示符号并会应用．

知识点一 元素与集合的概念

1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．

2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．

3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的、顺序任意的．

思考 某班所有的“追梦人”能否构成一个集合？

答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．

知识点二 元素与集合的关系

关系 说法 记法

属于 a属于集合A a∈A

不属于 a不属于集合A a∉A

思考 符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？

答案 不能，符号“∈”和“∉”具有方向性，必须左边是元素，右边是集合．

知识点三 常见的数集及表示符号

数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集

符号 N N＋或N* Z Q R R＋

1．组成集合的元素一定是数．( × )

2．接近于0的数可以组成集合．( × )

3．元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相同的．( × )

4．一个集合中可以找到两个相同的元素．( ×

)

一、对集合的理解

例1 (多选)考察下列每组对象，能构成集合的是( )

A．2 020年全国高考数学试卷中的所有难题

B．中国各地美丽的乡村

C．参加我市新冠防治的志愿者

D．不小于3的自然数

答案 CD

解析 A中“难题”，B中“美丽的”标准不明确，不符合确定性；CD中的元素标准明确，均可构成集合，故选CD.

反思感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1 下列说法中，正确的是( )

A．“不超过20的非负数”构成一个集合

B．用实数2,0,2,0组成的集合有4个元素

C．“3的近似值的全体”构成一个集合

D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同

答案 A

二、元素与集合的关系

例2 (1)下列关系式中正确的个数为( )

①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z；⑤0∈N.

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C 解析 ①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确；⑤0是自然数，故⑤正确．

(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为__________．

答案 2,1,0

解析 由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0，因此A中元素有2,1,0.

反思感悟 判断元素与集合关系的两种方法

(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

跟踪训练2 给出下列说法：

①R中最小的元素是0；

②若a∈Z，则－a∉Z；

③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.

其中正确的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 B

解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．

三、集合中元素特性的简单应用

例3 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

解 ∵－3∈A，

∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，

则a＝0，

此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，a＝0或a＝－1.

(学生)

反思感悟 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

跟踪训练3 已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为( )

A．2 B．3

C．0或3 D．0,2,3均可

答案 B

解析 由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，

这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.

1．现有下列各组对象：

①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点．其中能构成集合的是( )

A．①③ B．②③

C．③④ D．③④⑤

答案 D

解析 ①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合． 2．(多选)下列结论正确的是( )

A．0∈N＋ B.2－7∉Q

C．0∉Q D．8∈Z

答案 BD

3．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形

答案 D

解析 因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.

4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．

答案 10

解析 由集合元素的互异性知，集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．

5．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．

答案 ②④

解析 因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．

1．知识清单：

(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．

(2)常用数集的表示．

(3)集合中元素的特性及应用．

2．方法归纳：分类讨论．

3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．

1．下列各组对象能构成集合的有( )

①接近于1的所有正整数；

②小于0的实数；

③(2 020,1)与(1,2 020)．

A．1组 B．2组

C．3组 D．0组

答案 B

解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合．

2．(多选)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )

A．3.14 B.5

C.34 D．－7

答案 BD

解析 由题意知a应为无理数．

3．给出下列关系：①13∈R；②7∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 B

解析 13是实数，①正确；7是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，

④正确．故选B.

4．已知集合A中的元素x满足x－1<3，则下列各式正确的是( )

A．3∈A且－3∉A B．－3∈A且3∈A

C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A

答案 D

解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A，

又－3－1＝－4<3，∴－3∈A.

5．已知集合M是由满足y＝12x其中x∈N＋，12x∈Z的实数y组成的，则M中含有的元素个数为( )

A．4 B．6 C．8 D．12

答案 B

解析 由题意，可知y可取的值为1,2,3,4,6,12，共6个，故选B.

6．用符号“∈”或“∉”填空：

设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.

答案 ∈ ∉

解析 矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.

7．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．

答案 －1

解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合中元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.

8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2

答案 6

解析 ∵x∈N,2

∴结合数轴知a＝6.

9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.

(1)求元素x应满足的条件；

(2)若－2∈A，求实数x的值．

解 (1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.

(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.

由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.

经检验，知x＝－2符合题意．故x＝－2.

10．若集合A中含有a－2，a2＋4a,10三个元素，若－3∈A，求实数a的值．

解 由－3∈A得，a－2＝－3或a2＋4a＝－3.若a－2＝－3，解得a＝－1，此时a2＋4a＝1－4＝－3，

集合A中的元素为－3，－3,10，不满足元素的互异性，

所以a＝－1，舍去．

若a2＋4a＝－3，解得a＝－3或a＝－1(舍去)．