用均值不等式求最值的方法和技巧

- 1 - 用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②

熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。

二、函数()(0)bfxaxabx、图象及性质

(1)函数0)(baxbaxxf、图象：

(2)函数0)(baxbaxxf、性质：

①值域：),2[]2,(abab；

②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。

解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx

3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号xabab2ab2aboy - 2 - 成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

1 利用均值不等式求最值问题方法探讨

南阳一中数学组 苗春章

在高中求二元变量产生的最值问题是重点内容，也是高考重点考察的内容。我结合这几年的教学体会和学生在处理问题时遇到的困惑，谈一下我对利用均值不等式求最值的认识和体会。

在高二必修五第三章3.1是基本不等式；3.2是基本不等式与最大（小）值。我在讲授时，学生普遍感觉在接受上难度比较大，在独立解题时利用它求解更是困难重重。我就针对学生的这些疑虑，思考了这一篇文章，以便对学生有所帮助。

一、明确均值不等式求最值的原则

首先，我明确告诉学生求二元变量产生的最值问题可以有许多工具，高中阶段可供选择的工具有：①构造常见的7个基本函数求值域（常见的7个基本函数是指：一次函数、二次函数、对勾函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数）；②线性规划；③均值不等式；④柯西不等式（两个向量数量积小于等于模的积）。然后再告诉学生均值不等式仅是一个基本不等式：只要,xy为非负数，就有2xyxy成立（当且仅当xy时取等号），不等式本身并不产生最值问题，要产生最值问题就必须已知明确这两个变量,xy的一个定式。只有已知了定式才能够求这两个变量产生的其它代数式的值。

均值不等式也仅能处理这两个变量在和为定值s的情况下，积有最大值24s；在这两个变量在积为定值p的情况下，和有最小值2p；并且在和为定值，积为定值时也不一定就能得到积的最大值、和的最小值，且必须看这时xy是否成立。也就是我们常说的利用均值不等式求二元变量产生的最值时，必须遵循“一正”“二定”“三相等”的原则。

二、利用均值不等式可以处理哪些最值问题

能利用均值不等式求最值的问题，也一定能把该问题转化为求基本函数值域的问题，且它仅与形如12()()()(0)fxaxxxxba的二次函数和()(0)afxxax的对勾函数相联系。看下面两例：

例1，求()3(1),(01)fxxxx的最大值。

高　求　最值有较强的技巧性，这类问题应针对题目的特点、问　题采取适应的方法，才能事半功倍，起到良好的效果，本　文介绍几种常用方法。　一、凑配法　例１．设　＞一１，ｘ＋一４求的最小值。　分析：由０：１—１变形则有ｘ＋１＞０，　ｔ＿＞ｏ　Ｘ十ｌ　解：’．’ｘ＋　＝（ｘ＋１）＋　一ｌ≥２　√ｘ＂４－１）×　一１＝３　．＇．Ｘ－Ｉ－ｌ＝　即ｘ＋ｌ＝２，ｘ＝１时，（ｘ＋１）＋　有最小值３　例２．设　＞０求２　＋｛的最小值。　分析：由２　：　＋　变形，则　＞ｏ，　＞０　解：’．’２ｘ＋＿２１＝ｘ＋ｘ＋　≥３√ｘ．ｘ．　Ｘ＝３　Ｘ　Ｘ　Ｖ　．・　：　即　：１时，２　＋　有最小值３　二、间接法　例３．设ｏＥ（ｏ，号）求ｓｉｎＯＣ０Ｓ２０的最大值。　分析：根据ｓｉｎ０ｃｏｓ　０中ｓｉｎ０ｃｏｓ０的次数应先求　ｓｉｎ　Ｏｃｏｓ　０析最大值，再求ｓｉｎ０ｃｏｓ　０的最大值。　解：－．－ｓｉｎ２Ｏｃｏｓ４０＝ｓｉｎ２Ｏｃｏｓ２０ｃ０５２０＝４（ｓｉｎ２０・七ｃｏｓ　０　。ｓ　２０）　．・．ｓｉｎ２０＝　ｃｏｓ　０即０＝ｋ订ａｒｃＩａｒｒ　，（ｋ∈ｚ）时　ｓｉｎｅｃ。ｓ２０看最大值　三、拆项法　例４．设　Ｅ　Ｒ，求　的最小值。　解：粤：　：　＋　≥　Ｘ２　１　Ｘ２　１　Ｘ２　１　２√　‘志　．・．　：　＝　即ｘ＝０时，　ｔ　１　有尝最小值２　、／　十１　四、放缩法　例５．已知ａ＞ｂ＞ｏ，求ａ２＋　的最小值。　．・．ｂ（ａｌｂ）≤（　）ｚ：　ａ２　性状拆分成如下两部分：　Ｐ　红粒ｘ红粒　ｌ　Ｆ１红粒　白粒　Ｐ抗锈病×易感锈病　Ｊ　Ｆ１抗锈病易感锈病　比例３　：１　比例　１　：　１　利用基因的分离定律可知亲代红粒的基因型均为　Ｒｒ，抗锈病的基因型为Ｔｌ，易感锈病的基因型为ｔｔ。利用　“乘积法”可以直接写出该杂交亲本的基因型分别为　ＲｒＴｔ、Ｒｒｔｔ。　【巩固练习１　（２００４年广东）桃的果实成熟时，果肉与果皮粘连的　称为粘皮，不粘连的称为离皮；果肉与果核粘连的称为　粘核，不粘连的称为离核。已知离皮（Ａ）对粘皮（ａ）为显　性，离核（Ｂ）对粘核（ｂ）为显性。现将粘皮、离核的桃（甲）　与离皮、粘核的桃（乙）杂交，所产生的予代出现４种表　现型。由此推断，甲、乙两株桃的基因型分别是（　）　Ａ．ＡＡＢＢ、ａａｂｂ　Ｂ．ａａＢＢ、ＡＡｂｂ　Ｃ．ａａＢＢ、Ａ曲ｂ　Ｄ．ａａＢｂ、Ａａｂｂ　［分析】利用“乘积法”的原理可以将亲本中的两对　性状拆分成：粘皮与离皮杂交、离核与粘核杂交。所产生　的子代出现４种表现型，利用“乘积法”的原理可知：粘　皮与离皮杂交能产生２种表现型、离核与粘核杂交能产　生２种表现型。根据题目提供的信息可知：粘皮的基因　型为ａａ、离皮的基因型为Ａａ、离核的基因型为Ｂｂ、粘核　的基因型为ｂｂ。利用“乘积法”可推断，甲、乙两株桃的基　因型分别是ａａＢｂ、Ａａｂｂ。　参考文献　【１　ｌ王贵余．分枝法在遗传分析中的应用、生物学　通报．２Ｏ０４（３９）３：３９　作者单位：江苏省南通西藏民族中学　责任编辑：启扬　墨ｊＩ｝盔｛５《藿》　

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用基本不等式求最值的技巧

作者：吴雨飞

来源：《中学教学参考·理科版》2019年第12期

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[摘;;;要]文章结合实例分析研究用基本不等式求最值的方法、技巧，以提高学生的解题能力.

[关键词]基本不等式;最值;技巧

[中图分类号];;;;G633.6;;;;;;;;[文献标识码];;;;A;;;;;;;;[文章编号];;;;1674-6058（2019）35-0016-02

基本不等式在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是函数最值问题.利用基本不等式求最值的关键之一是抓住“一正二定三相等”;关键之二就是合理变形，将已知表达式等价转变成含有基本不等式结构的式子.那么，在遇到具体问题时还需用到哪些技巧呢？

技巧一：凑项

函数表达式具备基本不等式的“特征”，是利用基本不等式求函数最值的基本要求.当所求式子不完全符合基本不等式的“特征”时，“凑项”是值得一试的方法.

[例1]当[x<54]时，试问函数[y=4x-2+14x-5]有最大值吗？若有，请求出结果. 龙源期刊网

分析：由于[4x-5<0]，故需“调整”符号，但[（4x-2）·];[14x-5]不是常数，故必须对[4x-2]进行变形.

解：[∵x<54;，∴5-4x>0]，[∴y=4x-2+14x-5=];;;;[-5-4x+15-4x+3][≤-2+3=1].当[5-4x=15-4x]时，即[x=1]时，等号可以取到，所以当[x=1]时，[ymax=1].

技巧二：凑系数

在基本不等式应用中，为了使两式的和为定值，往往需要先凑相关项的系数.

[例2]已知[x∈0，13]，求函数[y=x1-3x]的最大值.

分析：本题是求正数积的最大值，因此其和必须为定值.但是[x+1-3x=1-2x]也含有变量为[x].为了使“和”为定值，必须使[x]的个数增加为三个，通过配凑系数，问题解决自然水到渠成.