当前位置：文档之家 › 均值不等式求最值的方法

均值不等式求最值的方法

  • 格式：doc
  • 大小：657.00 KB
  • 文档页数：10

均值不等式求最值的方法

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 2 均值不等式求最值的方法

均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②

熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧

1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。

解析：

21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx

3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

①23(32)(0)2yxxx ②2sincos(0)2yxxx

解析：

①30,3202xx∴，∴23(32)(0)(32)2yxxxxxx 3 3(32)[]13xxx，当且仅当32xx即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin0,cos02xxx∴，则0y，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。

242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos)2xxx

22231sinsin2cos4()2327xxx,当且仅当22sin2cosxx(0)2xtan2x，即tan2xarc时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是239。

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

3、用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x、yR，求4()fxxx)10(x的最小值。

解法一：（单调性法）由函数()(0)bfxaxabx、图象及性质知，当(0,1]x时，函数4()fxxx是减函数。

证明：

任取12,(0,1]xx且1201xx，则12121244()()()()fxfxxxxx

211212()4xxxxxx1212124()xxxxxx，

∵1201xx，∴12121240,0xxxxxx，

则1212()()0()()fxfxfxfx，即4()fxxx在(0,1]上是减函数。

故当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x，则有4()fxxx22()4xx，易知当01x时， 20xx且单调递减，则22()()4fxxx在(0,1]上也是减函数，即4()fxxx在(0,1]上是减函数，当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。

解法三：（导数法）由4()fxxx得24()1fxx，当(0,1]x时，24()10fxx，则函数4()fxxx在(0,1]上是减函数。故当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。 解法四：（拆分法）4()fxxx)10(x13()xxx1321xx5，当且仅当1x时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

4、条件最值问题。

例4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。

解法一：（利用均值不等式）

2xy8116()(2)10xyxyxyyx1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）

由811xy得8xyx，由00088xyxxx又则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx162(8)10188xx。当且仅当1688xx即12,3xy此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法三：（三角换元法）

令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx

则22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx

22102(8cot)(2tan)xx18，易求得12,3xy此时时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 81812()(2)228xyxyxyxyxy。原因就是等号成立的条件不一致。

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。

解法一：

由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。 又23()2xyxyxy2()4()120xyxy2()6xyxy舍或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[6,)

解法二：

由0,0xy，3(1)3xyxyxyx知1x，

则31xyx，由30011xyxx，则：

2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx42(1)591xx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。

3144441(1)22(1)2611111xxxyxxxxxxxxxx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧

1、 添、减项（配常数项）

例1 求函数221632yxx的最小值.

分析：221632xx是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而212x可与22x相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即22163662yxx，再用均值不等式.

22222221620,32163(2)621623(2)62836xyxxxxxx解： 当且仅当22163(2)2xx，即24323x时,等号成立. 所以y的最小值是836.

评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.

2、 配系数（乘、除项）

例2 已知0,0xy，且满足3212xy，求lglgxy的最大值.

分析 lglglg()xyxy, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式xy是否定值，

而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326xy，再用均值不等式.

220,032lglglg()lg6132112lglg6262lg6xyxyxyxyxy解：

当且仅当32xy，即2,3xy时，等号成立. 所以lglgxy的最大值是lg6.

评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用22abab来解决.

3、 裂项

例3 已知1x，求函数521xxyx的最小值.

分析 在分子的各因式中分别凑出1x，借助于裂项解决问题. 141110,144(1)52(1)5119xxxyxxxxx解：

当且仅当411xx，即1x时，取等号. 所以min9y.

4、 取倒数

例4 已知102x，求函数2(1)(12)xyxx的最小值.

分析 分母是x与(12)x的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.

解 由102x，得10x，120x.

取倒数，得 221(12)1312(1)31131211113212xxxxyxxxxxxx

当且仅当31211xxxx，即15x时，取等号.

故y的最小值是12.

5、 平方

例5 已知0,0xy且22283yx求262xy的最大值.

分析 条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式262xy平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.

合集下载

利用均值不等式求最值的方法

利用均值不等式求最值的方法

- 1 - 利用均值不等式求最值的方法

均值不等式，又称数学期望不等式，它的应用非常的广泛，可以帮助人们处理各种计算问题。当我们对一组数据或一组变量进行统计分析时，常常要求知道它们出现的最小值及最大值。而利用均值不等式求最值的方法，可以满足这一要求。

均值不等式是数学期望不等式的一种，它表达的是某一随机变量的数学期望，英文名叫Markov inequality，它的概念很简单。均值不等式可以描述为：若X是随机变量，E（X）是其期望，那么X≥E（X）/a，a为任意正数。

均值不等式求最值的方法可以0简单分为三个步骤：

（1）首先确定X是一个随机变量，并计算出它的期望值E（X）。如果X是一组数据，那么E（X）可以使用求平均值的方法计算出来；

（2）在均值不等式中，把任意正数a定为2；

（3）用E（X）/a的结果做X的上界，那么小于等于这一上界的X的最大值就可以确定有效而且较为优良的最大值了。

因此，利用均值不等式求最值的方法，可以有效地快速得到一组数据或变量的最值。它的使用可以节省人们的精力，提高效率。

当然，均值不等式求最值的方法也存在着局限性。它仅适用于求数学期望，对于其他类型的变量，则无法使用。此外，均值不等式求最值的方法只能提供一个估计值，并不能保证得到的结果恰好是最值。

以上就是均值不等式求最值的方法的相关介绍，它是一种简单又实用的方法，可以有效地求出一组数据或变量的最值，在许多计算问 - 2 - 题中都有着重要的作用。

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：

使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a

f(a)≤f(c)≤f(b)

然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：

对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：

通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：

利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：

均值不等式也可以应用于多元函数的情况。在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

利用均值不等式求最值的方法 2

利用均值不等式求最值的方法 2

利用均值不等式求最值的方法

均值不等式是数学中常见的一种不等式形式，可以用于求解各种最值问题。该不等式提供了一种有效的方法来估算函数的最大值和最小值。

均值不等式最常见的形式是算术平均数和几何平均数之间的关系，即对于任意一组非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：

$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

其中，算术平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的和除以$n$，而几何平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的乘积开$n$次方。

均值不等式的证明可以通过数学归纳法和对数函数的单调性来完成，具体证明过程超出本文篇幅，不过可以查阅相关数学教材进行学习。

步骤1：确定题目要求求解的最值问题，明确自变量和因变量。一般来说，最值问题都是求解一些函数的最大值或最小值。

步骤2：将问题转化为均值不等式的形式。利用均值不等式，可以将函数中的一些项转化为均值的形式，进而简化问题求解过程。

步骤3：确定均值的形式。根据函数中的项，可以选择合适的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。

步骤4：利用均值不等式进行变换。将问题中的需要求解的部分，利用均值不等式进行变换，得到简化后的表达式。

步骤5：求解均值不等式中的最值问题。根据均值不等式，可以得到简化后的表达式的最值。具体求解方法，根据实际问题采取不同的手段，如求导法、取等法等。 步骤6：将最值结果回代到原始问题中。将得到的最值结果回代到原始问题中，得到最终的结果。

下面通过一个简单的例子来说明利用均值不等式求最值的方法。

例题：已知$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$，求$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。

解答：

步骤1：确定题目要求求解的最值问题。题目要求求解函数$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。

用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧

均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②

熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧

1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。

解析：

21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx

3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

①23(32)(0)2yxxx ②2sincos(0)2yxxx

解析：

①30,3202xx∴，∴23(32)(0)(32)2yxxxxxx 2 3(32)[]13xxx，当且仅当32xx即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin0,cos02xxx∴，则0y，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。