利用均值不等式求最值的方法

- 1 - 用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②

熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。

二、函数()(0)bfxaxabx、图象及性质

(1)函数0)(baxbaxxf、图象：

(2)函数0)(baxbaxxf、性质：

①值域：),2[]2,(abab；

②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。

解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx

3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号xabab2ab2aboy - 2 - 成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

鬻　馕　舔等　黧　◇山东万兆美　均值不等式是高考重要考查点之一，其主要形式　是ａ＋６≥２＾／／口６（口，６＞Ｏ）及ａ。＋ｂ　≥２ａｂ（ｎ，ｂ∈Ｒ），　某些问题求解中需要运用其“三元”的形式．应用过程　中要注意定理的适用条件，即“正”“定”“等”的判断．　本文以一道课本练习题为例，就其相关应用，进而拓　展探究．　题根　（人教Ａ版必修５练习题）如图１所示，　树顶Ａ离地面ａ　ｒｎ，树上另一点Ｂ离地面ｂ　ＩＴＩ，在离　地面ｃ　ｍ的Ｃ处看此树，离此树多远时看Ａ、Ｂ的视　角最大？　Ｑ　如图２所示，过点Ｃ作ｃＤ垂直ＡＢ所在直　解析线于点Ｄ，所求视角为　ＡｃＢ．由图知　ＡＣＢ一　ＡＣＤ一　ＢＣＤ，则　ｔａｎＬＡＣＢ—ｔａｎ（　ＡＣＤ一　ＢＣＤ）一　！垒　里二！　里　旦　１＋ｔａｎ　ＡＣＤ・ｔａｎ　ＢＣＤ‘　图１　Ｄ　图２　Ｃ　在Ｒｔ／ｘＡＣＤ中，ｔａｎ　ＡＣＤ一　，在Ｒｔ／ｋＢＣＤ　Ｌ，　，ｔａｎＺＢＣＤ＝　，所以　．ａ．．．．－．．．．—ｃ—．——．ｂ．．．．．．．——ｃ　ｔ　ｎＺＡＣＢ一　Ｄ＿　一　１＋　。　ｎ—ｂ　∞＋　≤　砉　，　当且仅　当　ＣＤ　一　，　即　ＣＤ　一　、／，　＝　时，取得最值．　点　求ＬＡＣＢ的最值，可转化为求ｔａｎＬＡＣＢ的　评　最值．将所求角用已知角来表示，是问题得　解的关键，进而构造出均值不等式的基本形式．　１改变已知条件。求角的最值　—一　例１设ＡＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，ｃ所对的边长分别　为ａ、６、Ｃ，且ａＣＯＳ　Ｂ－－ｂｃｏｓ　Ａ一３ｃ／５．　（１）求　的值；　（２）求ｔａｎ（Ａ－－Ｂ）的最大值．　（１）由已知及正弦定理得　析　Ａｃｏｓ　Ｂ－－ｓｉｎ　Ｂｃｏｓ　…３ｓｉｎ　ＡＣＯＳ　Ｂ　ｓｉｎ　ＢＣＯＳ　Ａ　ｔ－ｓｉｎ　Ｃ　＝　０　ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）一　３　ｓｉｎ　Ａｃｏｓ　Ｂ＋善ｃｏｓ　Ａｓｉｎ　Ｂ．　即ｓｉｎ　Ａｃ。ｓ　Ｂ一４ｃ。ｓ　Ａｓｉｎ　Ｂ，￣ｌＪｔｔａａｎｎＡ。一４．　（２）由（１）得ｔａｎ　Ａ一４ｔａｎ　Ｂ＞０，ｔａｎ（Ａ—Ｂ）一　一　一　１　’　当且仅当　ｔａｍ　Ｂ一４ｔａｎ　Ｂ，ｔａｎ　Ｂ一专时，等号成立・故　当ｔａｎ　Ａ＝２，ｔａｎ　Ｂ一丢时，ｔａｎ（Ａ—Ｂ）的最大值为导．　毒森　等　娄　２　２联想形的相似，求面积最值　＊　例２（２０１５年山东卷）设，（ｚ）一ｓｉｎ　ｚｃｏｓ　—　ＣＯＳ　（　＋７ｃ／４）．　（１）求厂（ｚ）的单调区间；　（２）在锐角／ｋＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为　ｎ、６、Ｃ．若ｆ（Ａ／２）一０，口一１，求△ＡＢＣ面积的最大值．　Ｑ　（１）略．　解析　（２）化简得厂（　）一　一百１，故，（Ａｓｉｎ　２ｘ　－６－）一　（２）化简得．厂（　）一　一百，故．厂（　）一　ｓｉｎ　Ａ一专一ｏ，ｓｉｎ　Ａ一专，Ａ一詈．又口一１，所以由余　弦定理可得１一ｂ。＋ｃｚ－２ｂｃｃ。ｓ詈≥２６ｃ一√　６ｃ：＝＝（２一　）　，当且仅当ｂ—ｃ时等号成立，即６ｃ≤—　＝　２－４３　２＋，／ｇ．又因为ｓ△＾Ｂ　一　１　ｓｉｎ百ｎ—　１　≤　，故　△ＡＢｃ面积的最大值为　．　萎萎　雾嚣　６ｆｓｉｎ　Ａ，问题转化为求６ｆ的最大值，从而　青皇风暖催芳草，白帝城高急暮砧　

1 利用均值不等式求最值问题方法探讨

南阳一中数学组 苗春章

在高中求二元变量产生的最值问题是重点内容，也是高考重点考察的内容。我结合这几年的教学体会和学生在处理问题时遇到的困惑，谈一下我对利用均值不等式求最值的认识和体会。

在高二必修五第三章3.1是基本不等式；3.2是基本不等式与最大（小）值。我在讲授时，学生普遍感觉在接受上难度比较大，在独立解题时利用它求解更是困难重重。我就针对学生的这些疑虑，思考了这一篇文章，以便对学生有所帮助。

一、明确均值不等式求最值的原则

首先，我明确告诉学生求二元变量产生的最值问题可以有许多工具，高中阶段可供选择的工具有：①构造常见的7个基本函数求值域（常见的7个基本函数是指：一次函数、二次函数、对勾函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数）；②线性规划；③均值不等式；④柯西不等式（两个向量数量积小于等于模的积）。然后再告诉学生均值不等式仅是一个基本不等式：只要,xy为非负数，就有2xyxy成立（当且仅当xy时取等号），不等式本身并不产生最值问题，要产生最值问题就必须已知明确这两个变量,xy的一个定式。只有已知了定式才能够求这两个变量产生的其它代数式的值。

均值不等式也仅能处理这两个变量在和为定值s的情况下，积有最大值24s；在这两个变量在积为定值p的情况下，和有最小值2p；并且在和为定值，积为定值时也不一定就能得到积的最大值、和的最小值，且必须看这时xy是否成立。也就是我们常说的利用均值不等式求二元变量产生的最值时，必须遵循“一正”“二定”“三相等”的原则。

二、利用均值不等式可以处理哪些最值问题

能利用均值不等式求最值的问题，也一定能把该问题转化为求基本函数值域的问题，且它仅与形如12()()()(0)fxaxxxxba的二次函数和()(0)afxxax的对勾函数相联系。看下面两例：

例1，求()3(1),(01)fxxxx的最大值。

1 利用均值不等式求最值的方法

均值不等式ababab200(，，当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。

一、配凑

1. 凑系数

例1. 当04x时，求yxx()82的最大值。

解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值，故只需将yxx()82凑上一个系数即可。

yxxxxxx()[()]()821228212282282·

当且仅当282xx，即x＝2时取等号。

所以当x＝2时，yxx()82的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项

例2. 已知x54，求函数fxxx()42145的最大值。

解析：由题意知450x，首先要调整符号，又()42145xx·不是定值，故需对42x进行凑项才能得到定值。

∵xx54540，

∴fxxxxx()()421455415432541543231()xx·

当且仅当54154xx，即x1时等号成立。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

3. 分离 2 例3. 求yxxxx271011()≠的值域。

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

yxxxxxxxx227101151411415()()()

当x10，即x1时

yxx214159()·（当且仅当x＝1时取“＝”号）。