第三讲 古希腊数学
《周髀算经》与赵爽弦图 同步练习
1、《周髀算经》的主要内容有哪些？
答：①盖天说②用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等，如日照术③学习数学的方法。
2、在现存的中国古代数学著作中最早的一部是： 。
【答案】，《周髀算经》
3、从数学上看，《周髀算经》主要的成就有哪些？
【答案】分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。
3、商高定理其实是指 定理？
【答案】勾股
4、赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的 证明了勾股定理。
【答案】出入相补
勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有若勾三股四则
勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决集几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
勾股定理指出：
直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，
设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么
a的平方+b的平方=c的平方 a^2＋b^2＝c^2
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
·４８· 中学教研（数学） ２００６年第７期
教学史话··教学业话－·数学史话··数学史话··数学生话－·散举史话··数学生话’一数学生话－ 数学史话‘－散掌史话‘·越学业话
中国古代数学家对勾股定理的证明
●朱 哲 （浙江师范大学数理与信息工程学院 ３２１００４）
数学史话－－数学生话－·数学业话··数学业话·－数学业ｌ舌－·鼓学史话··啦学业话·－教学生话·－鼓掌史话··数学业话·－教学史话
勾股定理是我国古代数学的重要源泉．当西方
数学家沉醉于研究欧几里得第五公设独立性的时 候，中国古代数学家却以勾股形代替一般三角形进
行研究，从而避开角的性质的研讨和不触及平行的
烦琐理论，使几何体系简洁明了，问题的解法更加精
致．而且，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天
元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理
有着密切关系．勾股定理的证明方法，至今已有４Ｏ０ 余种，而中国古代数学家们的证明则建立在一种不
证自明、形象直观的原理——出入相补原理之上．一 般认为，中国数学史上最先完成勾股定理证明的数
学家，是公元３世纪三国时期的赵爽．赵爽为《周髀
算经》作注，给出一幅弦图．弦图是我国古代数学家
们用来证明勾股定理及其相关命题时必备的平面几
何模型．
１《周髀算经》中商高的证明
成书年代约在公元前２世纪西汉时期的《周髀
算经》被认定为现存最早的中国古代数学著作，书中
涉及的数学、天文知识，可以远溯至公元前１１世纪 的西周年间．它从数学上讨论了宇宙的“盖天”模型， 反映了我国古代数学与天文学的密切联系．它的数
学成就主要在于分数运算、勾股定理及其在天文测
量中的应用等，其中尤以勾股定理的论述最为突出．
弦图最早出现在《周髀 算经》中，可惜其原图已不复
存在．《周髀算经》中记载西
周开国时期周公与大夫商高
的一段对话，商高答周公问 题时提到：“故折矩以为勾广
三，股修四，径隅五．既方其
外，半之一矩，环而共盘．得 成三四五，两矩共长二十有 图１
