第一章 勾股定理

第一章 勾股定理

1．1 探索勾股定理

第1课时 探索勾股定理

基础题

知识点1 认识勾股定理

1．下列说法正确的是( D )

A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2

B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2

C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2

D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a2

2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为(A)

A．18 B．9

C．6 D．无法计算

3．若一个直角三角形的两条直角边长都为1，则它的斜边长的平方是(C)

A.12

B．1

C．2 D．4

4．(淮安中考)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为(A)

A．5

B．6

C．7

D．25

5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.

(1)若a＝3，b＝4，则c＝5；

(2)若a＝6，c＝10，则b＝8；

(3)若c＝25，b＝15，则a＝20.

知识点2 勾股定理的简单应用

6．如图，做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点加一根加固木条，则木条的长为(B)

A．90厘米 B．100厘米

C．105厘米 D．110厘米

7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．

8．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．

解：如图，因为AD是BC的中线， 所以BD＝12BC＝3，AD⊥BC.

在Rt△ABD中，由勾股定理，得

AB2＝AD2＋BD2＝42＋32＝25.

所以AB＝5，即腰长为5.

知识点3 利用勾股定理求面积

9．(深圳校级期中)图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为(D)

10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15 cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积为(C)

A．150 cm2

B．200 cm2

C．225 cm2

D．无法计算

中档题

11．(资阳中考)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)

A．48 B．60

C．76 D．80

12．如图，若∠BAD＝∠DBC＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，则CD＝(B)

A．5 B．13 C．17 D．18

13．如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为(A)

A．21

B．15 C．6

D．以上答案都不对

14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a∶b＝3∶4，c＝100，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则b的长为(C)

A．30 B．60 C．80 D．120

15．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为(B)

A．2 B．4 C．8 D．16

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．

17．如图，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸剪去了一角，量得AB＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜边长为20cm.

18．如图所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．

解：因为△ABC是直角三角形，AB＝5 cm，BC＝3 cm，

由勾股定理有

AC2＝AB2－BC2，

所以AC＝52－32＝4(cm)．

又因为S△ABC＝12AB·CD＝12BC·AC，

得CD＝AC·BCAB＝125 cm.

所以CD的长是125 cm.

综合题

19．在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高等于12，求△ABC的周长．

解：①如图1，BD＝202－122＝16，

CD＝152－122＝9，

所以BC＝BD＋CD＝16＋9＝25.

所以周长为AB＋BC＋CA＝20＋25＋15＝60.

图1 图2

②如图2，BD＝202－122＝16，

CD＝152－122＝9，

所以BC＝BD－CD＝16－9＝7.

所以周长为AB＋BC＋CA＝20＋7＋15＝42.

所以△ABC的周长为60或42. 第2课时 验证勾股定理及其计算

基础题

知识点1 验证勾股定理

1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是(D)

A．S△EDA＝S△CEB

B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE

C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB

D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD

2．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼，摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？

解：观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a＋b)，里面小的正方形的边长为c.大正方形面积可以表示为(a＋b)2，也可以表示为12ab×4＋c2.对比这两种表示方法，可得出(a＋b)2＝12ab×4＋c2.整理得c2＝a2＋b2.因此利用这个图形可以验证勾股定理．

知识点2 勾股定理的简单应用

3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5米的木梯，准备把梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A)

A．0.7米 B．0.8米

C．0.9米 D．1.0米

4．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答(A)

A．一定不会 B．可能会

C．一定会 D．以上答案都不对

5．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距50海里．

6．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为100mm.

7．如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为200 m2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积．

解：AD的长为20020＝10(m)．

由勾股定理可得DE＝6 m.

所以半圆形餐饮区的面积S＝12π×(6÷2)2＝92π(m2)．

答：半圆形餐饮区的面积为92π m2.

中档题

8．如图1是边长分别为a，b的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两正方形面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是(B)

A．割⑤补⑥

B．割③补①

C．割①补④

D．割③补②

9．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是(A)

A．4

B．6

C．8 D．10

10．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A)

A．4.1米 B．4.0米

C．3.9米 D．3.8米

11．如图，将一根20 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4 cm、3 cm和12 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是7cm.

12．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30 m处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m．这辆小汽车超速了吗？

解：这辆小汽车超速了．

依题意得AB＝50 m，

AC＝30 m，由勾股定理

得BC＝AB2－AC2＝502－302＝40(m)．

小汽车速度为40÷2＝20(m/s)＝72(km/h)．

因为小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h，

所以这辆小汽车超速了．

13．4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．

解：图形的总面积可以表示为：

c2＋2×12ab＝c2＋ab，

也可以表示为：a2＋b2＋2×12ab＝a2＋b2＋ab，

所以c2＋ab＝a2＋b2＋ab，即a2＋b2＝c2.

综合题

14．为了向建国六十八周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：

①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；

②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．

请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，

所以△ADE≌△AFE.

所以DE＝FE，AD＝AF.

因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，

所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.