初中数学 第1页
勾股定理
一、探索勾股定理
【知识点1】勾股定理
定理内容：在RT△中，
勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角
典型题型
1、对勾股定理的理解
（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（ ）
A、c²- a²=b² B、c²- b²=a²
C、a²- c²=b² D、 a²+b²= c²
（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm,
求AC的长.
（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足√α2−6α+9+|b−4|=0，则该直角三角形的斜边长为 ．
3、利用勾股定理求面积
（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。
（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为 。
（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。
（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12
（9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。
17.1 利用勾股定理作图或计算教案
一、教学内容
本节课选自教材第七章第17.1节“利用勾股定理作图或计算”。教学内容主要包括以下两部分：
1. 勾股定理的理解与应用：回顾勾股定理的概念，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。通过实际例子，让学生掌握如何运用勾股定理解决实际问题。
2. 利用勾股定理作图：学会使用尺规作图的方法，根据勾股定理作出直角三角形。具体内容包括：
a. 已知直角三角形的两条直角边，作出斜边；
b. 已知直角三角形的一条直角边和斜边，作出另一条直角边；
c. 已知斜边和一个锐角，作出直角三角形。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1. 理解与运用：使学生掌握勾股定理及其在实际问题中的应用，提高数学抽象和逻辑推理能力。
2. 作图与空间观念：培养学生运用尺规作图解决几何问题的能力，发展空间想象力和几何直观。
3. 问题解决：通过勾股定理相关问题的探讨，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养数学建模和数学运算素养。
4. 合作与交流：鼓励学生在小组合作中分享观点，倾听他人意见，培养合作意识和沟通能力。
5. 探索与创新：激发学生探索勾股定理在其他领域中的应用，培养创新意识和实践能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 理解并掌握勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
- 学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长。
- 掌握尺规作图方法，根据勾股定理作出直角三角形。
- 通过勾股定理的探究，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
举例：讲解勾股定理时，可以通过具体的直角三角形图形进行说明，强调a²+b²=c²的关系。在实际问题中，如计算房屋墙壁的斜长、旗杆的高度等，引导学生运用勾股定理。
2. 教学难点
- 理解勾股定理的推导过程和证明方法，特别是对于定理的几何意义和代数表达式的理解。
- 在尺规作图中，如何准确地画出直角和等边，以及如何将勾股定理应用于作图过程。
力邦教育
学员专项辅导
1
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b，
(2)已知a=40，b=9，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12 ∴AC2
=AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2 =52－32
=16
∴AB= 4 ∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，
. 根据勾股定理，在中，
. ∴ .
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 力邦教育
学员专项辅导
2
解析：连结BM，根据勾股定理，在中， .
人教版八年级下册数学第17章 勾股定理
17.1 勾股定理
课时3 利用勾股定理作图或计算教案
【教学目标】
1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；
2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．
【教学重点】
会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.
【教学难点】
灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．
【教学过程设计】
一、情境导入
[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.
我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示 的点吗?表示 的点呢?
[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.
[过渡语] 同学们,我们一起来欣赏一幅图片:
这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?
[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.
二、合作探究
1.利用勾股定理证明HL定理
[过渡语] 让我们一起来探究下面的问题:
在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?
师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.
已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
〔解析〕 要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.
