成都七中高2021届高一10月月考数学试题

四川省2021版高一上学期数学10月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）“x＜－1”是“x2－1＞0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）设全集U是实数集R，M={x∈Z|﹣2≤x≤2}，N={x∈N|﹣1＜x≤4}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A . {﹣2，﹣1}B . {0，1，2}C . {﹣2，﹣1，3}D . {﹣2，﹣1，0}3. （2分）下列说法：①整数集可以表示为{x|x为全体整数}或{ }；②方程组，的解集为 {x＝3，y＝1}；③集合{x∈N|x2＝1}用列举法可表示为{−1,1}；④集合是无限集.其中正确的是（）A . ①和③B . ②和④C . ④D . ①③④4. （2分） (2020高一上·运城期中) 若表示实数，…，中的最大者.设,记 .设，若，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2020高一上·上海期中) 集合可用列举法表示为________.6. （1分） (2020高一上·上海考) 方程组的解集为________.7. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．8. （1分） (2019高一上·上海月考) 设，则“ ”是“ 且”的________条件.9. （1分）定义一种集合运算A⊗B={x|x∈（A∪B），且x∉（A∩B）}，设M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|1＜x＜4}，则M⊗N所表示的集合是________10. （1分） (2019高一上·兰州期中) 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集________.11. （1分） (2020高三上·闵行期末) 已知集合，则 ________.12. （1分） (2018高一上·建平期中) 已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为________．13. （1分） (2017高一下·彭州期中) 若关于x的不等式﹣ +2x＞﹣mx的解集为 {x|0＜x＜2}，则m=________．14. （1分） (2019高一上·凤城月考) 若集合A= 中只含有一个元素，则值为________；若A的真子集个数是3个，则的范围是 ________。

2024-2025学年四川省成都七中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={1,2}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1}B. {1,3,4}C. {1,2}D. {1,2,3,4}2.已知0<x <3，0<y <5，则3x−2y 的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−10,9)C. (0,4)D. (0,9)3.对于实数x ，“2+x 2−x ≥0”是“|x|≤2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题中真命题的个数是( )①命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定为“∃x ∈R ，|x|+x 2<0”；②“a 2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充要条件；③集合A ={y|y = x 2+1}，B ={x|y = x 2+1}表示同一集合．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知实数x ，y 满足4x 2+4xy +y +6=0，则y 的取值范围是( )A. {y|−3≤y ≤2}B. {y|−2≤y ≤3}C. {y|y ≤−2}∪{y|y ≥3}D. {y|y ≤−3}∪{y|y ≥2}6.已知正实数a ，b 满足2a +b =1，则5a +b a 2+ab 的最小值为( )A. 3B. 9C. 4D. 87.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−43]∪(43，32]B. (−32,−43]∪[43,32)C. [−32,−43)∪(43,32]D. [−32,−43)∪[43，32)8.已知函数f(x)={4x 2−2x +3,x ≤122x +1x ,x >12，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x−a 2|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−398,478]B. [−4,478]C. [−4,4 3]D. [−398,4 3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

四川省2021版高一上学期数学10月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·漳州模拟) 已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为（）A . （0，1）B . [0，1]C . {0，1}D . ∅2. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）设集合|，|，则=（）A .B .C .D .4. （2分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A . f（x）=x与g（x）=（） 2B . f（x）=x|x|与g（x）=C . f（x）=|x|与g（x）=D . f（x）= 与g（t）=t+1（t≠1）5. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 已知，则集合的元素个数是（）A . 8B . 7C . 6D . 56. （2分）已知集合A={-1,1},B={m|m=x+y,x,y}，则集合B等于（）A . {-2,2}B . {-2,0,2}C . {-2,0}D . ｛0｝7. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 集合的真子集的个数为（）A . 9B . 8C . 7D . 68. （2分） (2019高一上·阜新月考) 下列各式，① ；② ；③ ；④；⑤ .其中错误的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列关于的关系式中，可以表示为的函数关系式的是（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）=在[2，+∞）上有意义，则实数a的取值范围为（）A . a=1B . a＞1C . a≥1D . a≥011. （2分） (2018高一上·林州月考) 已知集合，则满足的集合的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高一上·晋中期中) 函数的定义域为（）A . （﹣2，1]B . [1，2]C . [﹣1，2）D . （﹣1，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019高一上·旅顺口月考) 已知，，且，则 ________， ________.14. （1分） (2019高一上·上海月考) 已知集合，集合，若，则x的值为________.15. （1分）设函数f（x）= ，集合A={x|y=f（x）}，B={y|y=f（x）}，则如图中阴影部分表示的集合为________．16. （1分） (2016高二上·长春期中) 不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2020高一下·杭州月考) 设集合，．（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数a的取值范围．18. （15分） (2019高三上·上海期中) 已知函数，其中 .（1）若，解不等式；（2）求的取值范围，使函数在区间上单调减函数.19. （15分） (2018高一上·江苏月考) 设全集为，，．（1）求；（2）若，，求实数的取值范围．20. （10分） (2018高二下·聊城期中) 已知函数 .（1）解不等式：；（2）设函数，当时，，求的取值范围.21. （10分） (2020高一上·上海月考) 数集M满足条件：若，则 . （1）若，求集合M中一定存在的元素；（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.22. （10分） (2019高一上·内蒙古月考) 将下列各式进行因式分解.（1）；（2）；（3） .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

高2022届高三上期数学（文科）阶段性测试题本卷满分150分 ；考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{||2|3}A x x =-<，则A =RA ．(,1)(5,)-∞-+∞B ．(,1][5,)-∞-+∞C ．[]1,5- D ．(1,5)-2．已知复数43i 1i z =+-，其中i 为虚数单位，则z z += A ．i B ．7i C ．7D ．1 3．已知命题23000:(0,1),p x x x ∃∈≥，则命题p 的否定为A ．23000(0,1),x x x ∃∈≤B ．23000(0,1),x x x ∃∈<C ．23(0,1),x x x ∀∈<D ．23(0,1),x x x ∀∈≤4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，12()4log (1)x f x x -=+-，则(1)f =A ．3B ．3-C ．5D ．5-5．“22m n <”是“ln ln m n <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m = A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.6 7．已知单位向量,a b 满足||20++⋅=a b a b ，则|3|+a b 的值为A B ．7C D ．8.在ABC △中，1AB =，AC =6C =π，则B = A ．4π B ．4π或2πC ．34πD ．4π或34π9．已知4tan 23α=-，02απ<<，则sin 3cos αα+=A B ．2 C D 10.若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a λλ+-+-=∈R ，则67a a λ+的最小值为A ．2-B ．4-C ．2D ．4三、解答题：共70分。

2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1. 设集合A ={2, 3, 5, 8}，B ={3, 5, 7, 9}，则集合A ∩B =( ) A.{2, 3, 5, 7, 8} B.{5} C.{3, 5} D.{2, 8, 7, 9}2. 已知a ，b 为实数，集合M ={ba , 1}，N ={a, 0}，若M =N ，则a +b 等于( )A.−1B.0C.1D.±13. 已知集合P ={x|x 2=1}，集合Q ={x|ax =1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是( ) A.1 B.−1 C.1或−1 D.0，1或−14. 函数y =x 2+2x +3(x ≥0)的值域为( ) A.R B.[0, +∞) C.[2, +∞) D.[3, +∞)5. 在区间(0, +∞)上不是增函数的是( ) A.y =2x +1 B.y =3x 2+1C.y =2xD.y =2x 2+x +16. 设集合U ={(x, y)|x ∈R , y ∈R }，若集合A ={(x,y)|2x −y +m >0,m ∈R}，B ={(x, y)|x +y −n ≤0，n ∈R}，则点P(2, 3)∈A ∩(∁U B)的充要条件是（ ） A.m >−1，n <5 B.m <−1，n <5 C.m >−1，n >5 D.m <−1，n >57. 下列说法中错误的是( )A.若f(x)=x 2−3，g(x)=√f(x)，则g(x)定义域为{x|x ≥√3或x ≤−√3}B.若函数的定义域只含有一个元素，则该函数的值域也只含有一个元素C.函数y =2x(x ∈N )的图象是一条直线D.y =√−x 2−2x +1的值域为[0, √2]8. 已知f(x)={x 2−2tx +t 2,x ≤0,x +1x +t,x >0,若f(0)是f(x)的最小值，则t 的取值范围为( ) A.[−1, 2] B.[−1, 0] C.[1, 2] D.[0, 2]9. 对于任意实数x 满足条件f(x +2)=1f(x)，若f(1)=−5，则f(f(5))=( )A.−5B.−15C.15D.510. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n都满足f(m+n)=f(m)+f(n)−1，当x>0时，f(x)>1，则不等式f(2x−1)+f(1x)<2的解集是()A.(−∞, −12)∪(0, 1) B.(−∞, 0)C.(0, +∞)D.(−∞, −12)二、填空题（每小题5分，共25分）函数f(x)=√2x−x2的定义域是________．已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0, a∈R}只有一个元素，则a的值为________．函数y=|x|(1−x)的单调递减区间为________．若方程x2−x+a−1=0在[−1, 1]上有2个不相等的实数根，则a的取值范围是________．如图展示了一个由区间(0, 1)到实数集R的对应过程：区间(0, 1)中的实数m对应数轴上的点，如图①；将线段围成一个圆，使两端点A,B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0, 1)，如图③．图③中直线AM与x轴交于点N(n, 0)，则m对应n，记作f(m)=n．给出下列结论：(1)方程f(x)=0的解是x=12；(2)f(14)=1；(3)f(x)是奇函数；(4)f(x)在定义域上单调递增；(5)f(x)的图象关于点(12，0)对称．上述说法中正确命题的序号是________（填出所有正确命题的序号）.三、解答题（共75分）求下列不等式的解集：(1)x2−3x−10>0；(2)x−6x+1≥2．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1=m√x+1+a，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示．(1)求函数y1，y2的解析式；(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．已知集合A={x|x2−ax≤x−a}，B={x|1≤log2(x+1)≤2}，C={x|x2+bx+c>0}，(1)若A∩B=A，求a的取值范围．(2)若B∩C=⌀，且B∪C=R，求b，c的值．已知函数f(x)=xax+b(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)=1，方程f(x)=x有唯一实数解.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(1, 3)上的单调性，并证明；(3)若f(x)−3a+1>0在(1, 3)上恒成立，求a的取值范围．定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)是R上的凹函数．已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R, a>0)．(1)求证：函数f(x)是凹函数．(2)求f(x)在[−1, 1]上的最小值g(a)，并求出g(a)的值域．)是偶函已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1, 13)，且函数y=f(x−12数．(1)求f(x)的解析式；(2)已知t<2，g(x)=[f(x)−x2−13]⋅|x|，求函数g(x)在[t, 2]上的最大值和最小值；(3)函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据题意和交集的运算求出即可．【解答】解：由集合A={2, 3, 5, 8}，B={3, 5, 7, 9}，得A∩B={3, 5}.故选C．2.【答案】C【考点】集合的相等【解析】=0，解出即可．M=N，可得a=1，ba【解答】解：∵M=N，∴a=1，b=0，a解得a=1，b=0．∴a+b=1．故选C．3.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】先化简P，再根据Q⊆P分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数a的取值集合．【解答】解：∵P={x|x2=1}={1, −1}，Q={x|ax=1}，Q⊆P，∴当Q是空集时，有a=0，显然成立；当Q={1}时，有a=1，符合题意；当Q={−1}时，有a=−1，符合题意.故满足条件的a的值为1，−1，0．故选D．4.【考点】函数的值域及其求法 【解析】根据函数y =x 2+2x +3=(x +1)2+2 (x ≥0)，再利用二次函数的性质求得函数的值域． 【解答】解：∵ 函数y =x 2+2x +3=(x +1)2+2 (x ≥0)， ∴ 函数单调递增，故当x =0时，函数取得最小值为3，而且函数没有最大值， 故函数的值域为[3, +∞)， 故选D ． 5.【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质，判断各个选项中的函数是否满足在区间(0, +∞)上不是增函数，从而得出结论． 【解答】解：根据一次函数的性质可得y =2x +1在区间上是增函数，故排除A ；根据二次函数的性质可得函数y =3x 2+1 在区间(0, +∞)上是增函数，故排除B ； 根据反比例函数的性质可得 y =2x 在区间(0, +∞)上是减函数，故满足条件； 根据二次函数的性质可得函数y =2x 2+x +1 在区间(0, +∞)上是增函数，故排除D . 故选C ． 6. 【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 补集及其运算 元素与集合关系的判断【解析】本题主要考查元素与集合的关系． 【解答】解：由题意，知A ∩(∁U B )={(x,y)|{2x −y +m >0，x +y −n >0}， 则P(2,3)∈A ∩(∁U B )等价于{2×2−3+m >0，2+3−n >0，可得{m >−1，n <5即P(2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是m >−1，n <5.故选A . 7.【考点】 函数的图象函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法【解析】根据函数的定义、以及求函数定义域的方法进行判断． 【解答】解：A ，g(x)定义域满足f(x)≥0，∴ x 2−3≥0，解得x ≥√3或x ≤−√3，故A 正确；B ，根据函数的定义，定义域只含有一个元素，则该函数的值域也只含有一个元素，故B 正确；C ，函数y =2x ，x ∈N ，x =0，1，2，3，…，图象是一个一个的点组成的，不是连续的，故C 错误；D ，函数f(x)=−x 2−2x +1的对称轴为x =−1，开口向下，最大值为2, 而y =√−x 2+2x +1的最小值为0，故值域为[0, √2]，故D 正确. 故选C ． 8. 【答案】 D【考点】分段函数的应用 【解析】法1：利用排除法进行判断，法2：根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：由于当x >0时，f(x)=x +1x +t 在x =1时取得最小值为2+t ， 由题意当x ≤0时，f(x)=(x −t)2，若t ≥0，此时最小值为f(0)=t 2，故t 2≤t +2， 即t 2−t −2≤0，解得−1≤t ≤2，此时0≤t ≤2， 若t <0，则f(t)<f(0)，条件不成立. 故选D ． 9.【答案】 B【考点】 函数的周期性 函数的求值 【解析】先通过f(x +2)=1f(x)可推断函数f(x)是以4为周期的函数．进而可求得f(5)=f(1)，f(−5)=f(−1)；根据f(x +2)=1f(x)可求得f(−1)=1f(1)，进而可求得f （f(5)）．解：∵f(x+2)=1f(x),∴f(x+2+2)=1f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的函数,∴f(5)=f(1+4)=f(1)=−5.f(f(5))=f(−5)=f(−5+4)=f(−1),又∵f(−1)=1f(−1+2)=1f(1)=−15,∴f(f(5))=−15.故选B.10.【答案】B【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】令x=y=0，求出f(0)=1，令y=−x得到f(x)+f(−x)=2，令x1<x2，由条件推出f(x1)<f(x2)，即可判断f(x)的单调性；【解答】解：由于对于任意实数m,n，有f(m+n)=f(m)+f(n)−1,令x=y=0,即m=n=0则f(0)=2f(0)−1，即f(0)=1，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)−1=1，f(x)+f(−x)=2.令x1<x2，则x2−x1>0，∵x>0时f(x)>1,∴f(x2−x1)>1,即f(x2)+f(−x1)−1>1.∵f(−x1)+f(x1)=2,∴f(x2)−f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上是增函数；f(2x−1)+f(1x )=f(2x−1+1x)+1，不等式f(2x−1)+f(1x )<2等价于f(2x−1+1x)+1<2，即f(2x−1+1x)<1，∴f(2x−1+1x)<f(0)，∵f(x)在R上是增函数，∴2x−1+1x<0，解得x<0.故选B．二、填空题（每小题5分，共25分）【答案】[0, 2]函数的定义域及其求法 【解析】根据根号的部分大于等于0，得二次不等式，分解因式不等式的解集． 【解答】解：∵ 2x −x 2≥0， ∴ x(2−x)≥0， ∴ 0≤x ≤2． 故答案为：[0, 2]． 【答案】 0或1 【考点】集合中元素个数的最值 【解析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零． 【解答】解：当a =0时，A ={−12}；当a ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式 Δ=4−4a =0得a =1．综上，当a =0或a =1时，集合A 只有一个元素． 故答案为：0或1． 【答案】(−∞, 0)，(12, +∞)【考点】带绝对值的函数函数的单调性及单调区间 【解析】化简y =|x|(1−x)={−x(1−x),x ≤0x(1−x),x >0，由二次函数作出其简图，从而写出单调区间．【解答】解：y =|x|(1−x)={−x(1−x),x ≤0,x(1−x),x >0,结合二次函数作出其简图如下：由图象可知，函数y =|x|(1−x)的单调递减区间为(−∞, 0)，(12, +∞)．故答案为：(−∞, 0)，(12, +∞)．【答案】[1,54) 【考点】二次函数的图象一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】构造f(x)=x 2−x +a −1=(x −12)2−54+a ，根据关于x 的方程x 2−x +a −1=0在[−1, 1]上有2个不相等的实数根，得到不等式组{f(12)=a −54<0f(−1)=1+a >0f(1)=a −1≥0，然后解不等式组即可． 【解答】解：设函数f(x)=x 2−x +a −1=(x −12)2−54+a ，根据关于x 的方程x 2−x +a −1=0在[−1, 1]上有2个不相等的实数根， 得到不等式组{f(12)=a −54<0,f(−1)=1+a ≥0,f(1)=a −1≥0,解得1≤a <54.故答案为：[1,54)． 【答案】 (1)(4)(5) 【考点】 函数的对称性 抽象函数及其应用 函数奇偶性的判断 【解析】由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，（1）m =12此时M 恰好处在与A 相对的y 轴上，易得N 与O 重合， 【解答】解：由题意(1)，因为当m =12，此时M 恰好处在与A 相对的y 轴上，此时N 与O 重合，故有f(m)=0，即f(12)=0，故(1)正确； (2)如图，因为在以(0,1−12π)为圆心，以1−12π为半径的圆上运动，当m=14时，M坐标为(−12π, 1−12π)，直线AM的方程为y=x+1,所以点N的坐标为(−1, 0)，故f(14)=−1，故(2)错误；(3)因为实数m所在区间(0, 1)不关于原点对称，所以f(x)不存在奇偶性，故(3)错误；(4)由图③可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x轴的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f(x)在定义域上单调递增，故(4)正确；(5)由图③可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f(x)的图象关于点(12,0)对称，故(5)正确.综上知，(1)(4)(5)是正确命题.故答案为：(1)(4)(5).三、解答题（共75分）【答案】解：(1)x2−3x−10>0化为(x−5)(x+2)>0，解得x>5或x<−2．∴不等式的解集为(−∞, −2)∪(5, +∞)．(2)x−6x+1≥2化为x+8x+1≤0，(x+8)(x+1)≤0，x+1≠0．解得−8≤x<−1．∴原不等式的解集为[−8, −1)．【考点】分式不等式的解法一元二次不等式的解法【解析】（1）x2−3x−10>0化为(x−5)(x+2)>0，解出即可．（2）x−6x+1≥2化为x+8x+1≤0，⇔(x+8)(x+1)≤0，x+1≠0．解出即可．【解答】解：(1)x2−3x−10>0化为(x−5)(x+2)>0，解得x>5或x<−2．∴ 不等式的解集为(−∞, −2)∪(5, +∞)．(2)x−6x+1≥2化为x+8x+1≤0，(x +8)(x +1)≤0，x +1≠0．解得−8≤x <−1．∴ 原不等式的解集为[−8, −1)．【答案】解：(1)由题意{m +a =0,3m +a =85,解得m =45，a =−45， ∴ y 1=45√x +1−45，(x ≥0) 又由题意8b =85得b =15，∴ y 2=15x(x ≥0).(2)设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入(4−x)万元，由(1)得y =45√x +1−45+15(4−x)，(0≤x ≤4)，令√x +1=t ，(1≤t ≤√5)，x =t 2−1,则有y =−15t 2+45t +15=−15(t −2)2+1，(1≤t ≤√5)， 当t =2即x =3时，y 取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元．【考点】函数最值的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为(8,58)，由此列出关于m ，a 的方程组，解出m ，a 的值，即可得到函数y 1、y 2的解析式；（2）对甲种商品投资x （万元），对乙种商品投资(4−x)（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y （万元）关于x 的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y 的最大值．【解答】解：(1)由题意{m +a =0,3m +a =85,解得m =45，a =−45， ∴ y 1=45√x +1−45，(x ≥0) 又由题意8b =85得b =15，∴ y 2=15x(x ≥0).(2)设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入(4−x)万元，由(1)得y =45√x +1−45+15(4−x)，(0≤x ≤4)，令√x +1=t ，(1≤t ≤√5)，x =t 2−1,则有y=−15t2+45t+15=−15(t−2)2+1，(1≤t≤√5)，当t=2即x=3时，y取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元．【答案】解：(1)∵A={x|(x−a)(x−1)≤0},∴B={x|1≤x≤3},∵A∩B=A,∴A⊆B,∴1≤a≤3.(2)∵B∩C=⌀，且B∪C=R，∴集合C为集合B的补集,即C={x|x<1或x>3},∴−b=1+3，c=1×3,即b=−4，c=3.【考点】一元二次不等式的解法集合关系中的参数取值问题指、对数不等式的解法【解析】(1)先由题中条件：A∩B=A得A⊆B，结合化简后的集合A、B，考虑它们端点间的大小关系即可；(2)由B∩C=⌀，且B∪C=R，得集合C，再利用方程x2+bx+c=0的根与集合C端点间的关系即可求得b、c的值．【解答】解：(1)∵A={x|(x−a)(x−1)≤0},∴B={x|1≤x≤3},∵A∩B=A,∴A⊆B,∴1≤a≤3.(2)∵B∩C=⌀，且B∪C=R，∴集合C为集合B的补集,即C={x|x<1或x>3},∴−b=1+3，c=1×3,即b=−4，c=3.【答案】解：(1)∵f(x)=xax+b且f(2)=1，∴2=2a+b．又∵方程f(x)=x有唯一实数解．∴ax2+(b−1)x=0(a≠0)有唯一实数解．故(b−1)2−4a×0=0，即b=1，又由2a+b=2，可得：a=12，从而f(x)=x 12x+1=2x x+2； (2)f(x)在(1, 3)上单调递增，下面进行证明：设任意1<x 1<x 2<3，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x1+2−2x 2x 2+2 =2x 1x 2+4x 1−2x 1x 2−4x 2(x 1+2)(x 2+2)=4(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)，∵ 1<x 1<x 2<3，∴ x 1−x 2<0，(x 1+2)>0，(x 2+2)>0,即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在(1, 3)上单调递增．(3)由(2)知，f(1)<f(x)<f(3)，又f(x)−3a +1>0在(1, 3)上恒成立，∴ 3a −1≤f(1)=23，解得a ≤59．【考点】函数恒成立问题函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据条件求出a ，b 的值即可求函数f(x)的解析式（2）根据函数单调性的定义即可证明f(x)在(1, 3)上的单调性．（3）根据f(x)−3a +1>0在(1, 3)上恒成立，进行转化即可求a 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=x ax+b 且f(2)=1，∴ 2=2a +b ．又∵ 方程f(x)=x 有唯一实数解．∴ ax 2+(b −1)x =0(a ≠0)有唯一实数解．故(b −1)2−4a ×0=0，即b =1，又由2a +b =2，可得：a =12， 从而f(x)=x 12x+1=2x x+2；(2)f(x)在(1, 3)上单调递增，下面进行证明：设任意1<x 1<x 2<3，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x1+2−2x 2x 2+2 =2x 1x 2+4x 1−2x 1x 2−4x 2(x 1+2)(x 2+2)=4(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)，∵ 1<x 1<x 2<3，∴ x 1−x 2<0，(x 1+2)>0，(x 2+2)>0,即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在(1, 3)上单调递增．(3)由(2)知，f(1)<f(x)<f(3)，又f(x)−3a +1>0在(1, 3)上恒成立，∴ 3a −1≤f(1)=23，解得a ≤59．【答案】(1)证明：∵ f(x 1+x 22)=a(x 1+x 22)2+x 1+x 22， 12[f(x 1)+f(x 2)]=12(ax 12+x 1+ax 22+x 2)， ∴ f(x 1+x 22)−12(f(x 1)+f(x 2)) =a(x 1+x 22)2+x 1+x 22−12(ax 12+x 1+ax 22+x 2) =−a(x 1−x 22)2， ∵ a >0，∴ −a(x 1−x 22)2≤0， 即f(x 1+x 22)≤12[f(x 1)+f(x 2)].∴ 函数f(x)是凹函数． (2)解：对于函数y =ax 2+x ，其对称轴为x =−12a <0，①当−12a ≤−1，即0<a ≤12，此时f(x)min =f(−1)=a −1，②当−1<−12a <0，即a >12，此时f(x)min =f(−12a )=−14a ，综上，g(a)={a −1,0<a ≤12，−14a ，a >12.由分段函数的图象可知，g(a)的值域为(−1, 0)．【考点】二次函数在闭区间上的最值抽象函数及其应用【解析】（1）运用作差法，化简整理，再由新定义，即可得证；（2）求出对称轴，讨论与区间的关系，运用单调性，即可得到最小值g(a)，再由分段函数的值域可得．【解答】(1)证明：∵ f(x 1+x 22)=a(x 1+x 22)2+x 1+x 22， 12[f(x 1)+f(x 2)]=12(ax 12+x 1+ax 22+x 2)，∴ f(x 1+x 22)−12(f(x 1)+f(x 2)) =a(x 1+x 22)2+x 1+x 22−12(ax 12+x 1+ax 22+x 2) =−a(x 1−x 22)2， ∵ a >0，∴ −a(x 1−x 22)2≤0， 即f(x 1+x 22)≤12[f(x 1)+f(x 2)].∴ 函数f(x)是凹函数． (2)解：对于函数y =ax 2+x ，其对称轴为x =−12a <0， ①当−12a ≤−1，即0<a ≤12，此时f(x)min =f(−1)=a −1，②当−1<−12a <0，即a >12，此时f(x)min =f(−12a )=−14a ，综上，g(a)={a −1,0<a ≤12，−14a ，a >12. 由分段函数的图象可知，g(a)的值域为(−1, 0)．【答案】解：(1)因为函数y =f(x −12)是偶函数，所以二次函数f(x)=x 2+bx +c 的对称轴方程为x =−12，故b =1．又因为二次函数f(x)=x 2+bx +c 的图象过点(1, 13)，所以1+b +c =13，故c =11．因此，f(x)的解析式为f(x)=x 2+x +11．(2)由题意可得g(x)=(x −2)⋅|x|，当x ≤0时，g(x)=−(x −1)2+1；当x >0时，g(x)=(x −1)2−1，由图可知，g(x)在[t, 2]上的最大值 g(x)max =g(2)=0．当1≤t <2时，g(x)min =g(t)=t 2−2t ；当1−√2≤t <1时，g(x)min =g(1)=−1；当t <1−√2时，g(x)min =g(t)=−t 2+2t ．(3)如果函数y =f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m, n 2)，其中m 为正整数，n 为自然数，则m 2+m +11=n 2，从而4n 2−(2m +1)2=43，即[2n +(2m +1)][2n −(2m +1)]=43．注意到43是质数，且2n +(2m +1)>2n −(2m +1)，2n +(2m +1)>0，所以有{2n +(2m +1)=43，2n −(2m +1)=1，解得{m =10，n =11. 因此，函数y =f(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为(10, 121)．【考点】二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质函数的对应法则函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）因为函数y =f(x −12)是偶函数，所以二次函数f(x)=x 2+bx +c 的对称轴方程为x =−12，由此求得b 的值，再由 f(x)=x 2+bx +c 的图象过点(1, 13)，求出c 的值，从而求得f(x)的解析式．（2）由题意可得g(x)=(x −2)⋅|x|，画出它的图象，讨论t 的范围，结合图象求出g(x)在[t, 2]上的最值．（3）如果函数y =f(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m, n 2)，从而4n 2−(2m +1)2=43，由此求得m 、n 的值，从而得出结论．【解答】解：(1)因为函数y =f(x −12)是偶函数，所以二次函数f(x)=x 2+bx +c 的对称轴方程为x =−12，故b =1． 又因为二次函数f(x)=x 2+bx +c 的图象过点(1, 13)，所以1+b +c =13，故c =11．因此，f(x)的解析式为f(x)=x 2+x +11．(2)由题意可得g(x)=(x −2)⋅|x|，当x ≤0时，g(x)=−(x −1)2+1；当x >0时，g(x)=(x −1)2−1，由图可知，g(x)在[t, 2]上的最大值 g(x)max =g(2)=0．当1≤t <2时，g(x)min =g(t)=t 2−2t ；当1−√2≤t <1时，g(x)min =g(1)=−1；当t <1−√2时，g(x)min =g(t)=−t 2+2t ．(3)如果函数y =f(x)的图象上存在符合要求的点， 设为P(m, n 2)，其中m 为正整数，n 为自然数，则m 2+m +11=n 2， 从而4n 2−(2m +1)2=43，即[2n +(2m +1)][2n −(2m +1)]=43．注意到43是质数，且2n +(2m +1)>2n −(2m +1)，2n +(2m +1)>0，所以有{2n +(2m +1)=43，2n −(2m +1)=1，解得{m =10，n =11. 因此，函数y =f(x)的图象上存在符合要求的点， 它的坐标为(10, 121)．。

2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1. 设A={−1, 1, 2}，B={1, 3}，则A∪B=()A.{1}B.{−1, 1, 1, 2, 3}C.{−1, 1, 2, 3}D.⌀2. 下列关系式正确的是（）A.√2∈QB.{a, b}={b, a}C.{2}={x|x2=2x}D.⌀∈{2014}3. 已知集合A={x|y=x}，B={y|y=x2}，则A∩B=()A.{x|x≥0}B.{0, 1}C.{(0, 1)}D.{(0, 0), (1, 1)}4. 下列四个图象中，是函数图象的是（）A.(1)B.(1)、(3)、(4)C.(1)、(2)、(3)D.(3)、(4)5. 在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（）A.y=1,y=xxB.y=√x−1⋅√x+1，y=√x2−1C.y=x,y=√x33 D.y=|x|,y=(√x)26. 如果f:a→b，称b是a的象，a是b的原象．给定映射f：(x, y)→(√1xy+6y2, x2+y3)，则点(6, −3)的象为（）A.(16, 9) B.(−16, 9) C.(−16, 9)或(16, 9) D.(6, −3)或(3, 1)7. 若f(x+2)=x−3x2−3，则f(−1)=()A.0B.1C.−1D.−128. 等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于（）A.20−2x(0<x≤10)B.20−2x(0<x<10)C.20−2x(5≤x≤10)D.20−2x(5<x<10)9. 若一个函数y=f(x)的图象关于y轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y=f(x)的定义域为[−5, 5]，若当x∈[0, 5]时，函数y=f(x)的图象如下图，则f(x)<0解集是（）A.(−2, 0)∪(2, 5]B.(−5, −2)∪(2, 5)C.[−2, 0]∪(2, 5]D.[−5, −2)∪(2, 5]10. 集合S={0, 1, 2, 3, 4, 5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x−1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤独元素”．集合B是S的一个子集，B中含4个元素且B中无“孤独元素”，这样的集合B共有()个．A.6B.7C.5D.4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应题号后横线上）设全集U={1, 2, 3}，A={1, 2}，则∁U A=________．函数f(x)=√x−4的定义域是________．|x|−5设集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为________．设集合A={1, 3}，B={x|x⊆A}，则A________B（选符号“∈、⊆、⊇”中的一个填空）给出下列说法：①函数y=√−2x3与y=x√−2x是同一函数；②空集是任何集合的真子集；③集合{y|y=x2+1}与集合{(x, y)|y=x2+1}不相等；, a∈N∗}中只有四个元素；④集合{x∈N|x=6a其中正确答案的序号是________．三、解答题（共6小题，满分75分）所组成的集合．的定义域为B，求A∩B，设函数f(x)=√−x2−4x+5的定义域为A，函数g(x)=√4−x2x−1A∪B，∁R B．设集合A={x|(x−3)(x−a)=0, a∈R}，B={x|(x−4)(x−1)=0}，求A∪B，A∩B．已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)−f(x)=2x．(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[−1, 1]上的最大值和最小值．已知集合A={x|ax2+bx+1=0, a∈R, b∈R}，求：（1）当b=2时，A中至多只有一个元素，求a的取值范围；（2）当b=−2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围；（3）当a、b满足什么条件时，集合A为非空集合．已知抛物线y=x2−2mx−(m2+2m+1)（1）求证：不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；（2）若函数的定义域为{x|−1≤x≤1}，求函数的值域．参考答案与试题解析2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵A={−1, 1, 2}，B={1, 3}，∴A∪B={−1, 1, 2, 3}．故选：C．2.【答案】B【考点】集合的相等【解析】分别利用集合的定义以及集合元素之间的关系进行判断．【解答】解：A．√2是无理数，Q表示有理数，所以A错误．B．两个集合的元素都是a，b，根据元素的无序性和集合相等的定义可知，B正确．C．{x|x2=2x}={0, 2}≠{2}，C错误；D．集合和集合之间的关系不能用“属于”号，所以D错误．故选B．3.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】由集合A={x|y=x}=R，B={y|y=x2}={y|y≥0}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|y=x}=R，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B={x|x≥0}．故选：A．4.【答案】B【考点】【解析】根据函数的定义可知函数须满足“自变量x的任意性”，“函数值y的唯一性”，据此可得函数图象的特征，由此可得答案．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x=a至多有一个交点，图(2)中，当a>0时，x=a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故(2)不是函数的图象，故选：B．5.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系．考查各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域和对应关系，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=1的定义域为R，而函数y=x的定义域为{x|x≠0}，这2个函数的定x义域不同，故不是同一个函数，故排除A．由于函数y=√x−1⋅√x+1的定义域为{x|x>1}，而y=√x2−1的定义域为{x|1< x或x<−1}，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B．3具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．由于函数y=x与函数y=√x由于函数y=|x|的定义域为R，而函数y=(√x)2的定义域为{x|x≥0}，这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除D．故选C．6.【答案】A【考点】映射【解析】利用f:a→b，称b是a的象，a是b的原象，即可得出结论．【解答】, x2+y3)，解：∵映射f：(x, y)→(√1xy+6y2∴点(6, −3)代入可得(1, 9)，6故选：B．7.函数的求值【解析】=−1．由已知得f(−1)=f(−3+2)=−3−3(−3)2−3【解答】解：∵f(x+2)=x−3，x2−3∴f(−1)=f(−3+2)=−3−3=−1．(−3)2−3故答案为：−1．8.【答案】D【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据条件建立方程关系，然后表示成函数关系即可．【解答】∵等腰三角形的周长是20，∴y+2x＝20，即y＝−2x+20，由y＝−2x+20>0得，0<x<10，又y<2x，即−2x+20<2x，解得x>5，即5<x<10即y＝−2x+20>0，(5<x<10)，9.【答案】D【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】由当x∈[0, 5]时，函数y=f(x)的图象，先求出当x∈[0, 5]时，f(x)<0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈[−5, 0]时，f(x)<0的解集，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[0, 5]时，若函数y=f(x)<0，则x∈(2, 5]，故当x∈[−5, 0]时，若函数y=f(x)<0，则x∈[−5, −2)，综上f(x)<0的解集是[−5, −2)∪(2, 5]，故选：D10.子集与真子集集合的含义与表示【解析】由S={0, 1, 2, 3, 4, 5}，结合x∈A时，若有x−1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．【解答】解：∵S={0, 1, 2, 3, 4, 5}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{0, 1, 2, 3}，{0, 1, 3, 4}，{0, 1, 4, 5}，{1, 2, 3, 4}，{1, 2, 4, 5}，{2, 3, 4, 5}共6个，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故选A．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应题号后横线上）【答案】{3}【考点】补集及其运算【解析】直接利用补集的定义写出结果即可．【解答】解：全集U={1, 2, 3}，A={1, 2}，则∁U A={3}．故答案为：{3}.【答案】[4, 5)∪(5, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，解方程组求得自变量的取值范围．【解答】由{x−4≥0|x|−5≠0，解可得x≥4且，x≠±5，故函数的定义域为[4, 5)∪(5, +∞)，【答案】(−∞, 1]【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由A＝{x|x>1}，B＝(a, +∞)，且A⊆B，知a≤1．【解答】且A⊆B，∴a≤1，【答案】∈【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】求出集合B，然后判断两个集合的关系．【解答】解：集合A={1, 3}，B={x|x⊆A}={⌀, {1}, {3}{1, 3}}，显然集合A={1, 3}是集合B的一个元素，即A∈B．故答案为：∈．【答案】④【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用函数的定义域与对应法则是否相同判断①的正误；空集的性质判断②的正误；集合的属性判断③的正误；求解集合看元素的多少判断④的正误．【解答】解：对于①，函数y=√−2x3与y=x√−2x，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数，所以①不正确；对于②，空集是任何非空集合的真子集，所以②不正确；对于③，集合{y|y=x2+1}与集合{(x, y)|y=x2+1}不相等显然不正确，第一个集合是函数的值域是数集，第二个集合是点的坐标，是点的集合，两个集合元素属性不相同，不是相同的集合，所以③不正确；对于④，集合{x∈N|x=6a, a∈N∗}={1, 2, 3, 6}中只有四个元素，所以④正确；正确答案的序号是：④．三、解答题（共6小题，满分75分）【答案】解：A={1, 2}，由A∪B=A得：B⊆A．①若a=0，则B=⌀，满足题意．②若a≠0，则B={2a}，由B⊆A得：2a =1或2a=2，∴a=1或a=2，∴a的值所组成的集合为{0, 1, 2}．【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】由条件可得B⊆A，分a=0和a≠0，分别求出B，再由B⊆A，求得a的值，即可得到实数a的值所组成的集合．【解答】①若a=0，则B=⌀，满足题意．②若a≠0，则B={2a}，由B⊆A得：2a =1或2a=2，∴a=1或a=2，∴a的值所组成的集合为{0, 1, 2}．【答案】解：由f(x)=√−x2−4x+5，得到−x2−4x+5≥0，即x2+4x−5≤0，解得：−5≤x≤1，即A=[−5, 1]，由g(x)=√4−x2x−1，得到4−x2≥0，且x−1≠0，解得：−2≤x≤2，且x≠1，即B=[−2, 1)∪(1, 2]，则A∩B=[−2, 1),A∪B=[−5, 2]，∁R B=(−∞, −2)∪(2, +∞)∪{1}．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出f(x)与g(x)的定义域确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出B的补集即可．【解答】解：由f(x)=√−x2−4x+5，得到−x2−4x+5≥0，即x2+4x−5≤0，解得：−5≤x≤1，即A=[−5, 1]，由g(x)=√4−x2x−1，得到4−x2≥0，且x−1≠0，解得：−2≤x≤2，且x≠1，即B=[−2, 1)∪(1, 2]，则A∩B=[−2, 1),A∪B=[−5, 2]，∁R B=(−∞, −2)∪(2, +∞)∪{1}．【答案】解：由B={x|(x−4)(x−1)=0}，得B={4, 1}当a=3时，A∪B={1, 3, 4}，A∩B=⌀；当a=1时，A∪B={1, 3, 4}，A∩B={1}；当a=4时，A∪B={1, 3, 4}，A∩B={4}；当a≠1，且a≠3，且a≠4时，A∪B={1, 3, 4, a}，A∩B=⌀.【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算并集及其运算【解析】首先化简集合B，然后根据集合B分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案．【解答】解：由B={x|(x−4)(x−1)=0}，得B={4, 1}当a=3时，A∪B={1, 3, 4}，A∩B=⌀；当a=1时，A∪B={1, 3, 4}，A∩B={1}；当a=4时，A∪B={1, 3, 4}，A∩B={4}；当a≠1，且a≠3，且a≠4时，A∪B={1, 3, 4, a}，A∩B=⌀；【答案】=a(x +1)2+b(x +1)+c −(ax 2+bx +c)=2ax +a +b ，∴ 由题知{c =1，2ax +a +b =2x恒成立， ∴ {2a =2，a +b =0，c =1，得{a =1，b =−1，c =1，∴ f(x)=x 2−x +1.(2)f(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34在[−1, 12]单调递减，在[12, 1]单调递增，∴ f(x)min =f(12)=34，f(x)max =f(−1)=3. 【考点】二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质【解析】（1）设f(x)=ax 2+bx +c ，则f(x +1)−f(x)=a(x +1)2+b(x +1)+c −(ax 2+bx +c)=2ax +a +b ，根据对应项的系数相等可分别求a ，b ，c ．（2）对函数进行配方，结合二次函数在[−1, 1]上的单调性可分别求解函数的最值．【解答】解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，则f(x +1)−f(x)=a(x +1)2+b(x +1)+c −(ax 2+bx +c)=2ax +a +b ，∴ 由题知{c =1，2ax +a +b =2x恒成立, ∴ {2a =2，a +b =0，c =1，得{a =1，b =−1，c =1，∴ f(x)=x 2−x +1.(2)f(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34在[−1, 12]单调递减，在[12, 1]单调递增， ∴ f(x)min =f(12)=34，f(x)max =f(−1)=3.【答案】解：（1）若A 是空集，则方程ax 2+2x +1=0无解，此时△=4−4a <0即a >1，当a=0时方程为一元一次方程，满足条件，当a≠0，此时△=4−4a=0，解得：a=1．∴a=0或a=1．则a的取值范围是：a=0或a≥1；（2）当b=−2时，A中至少有一个元素，即ax2−2x+1=0有且只有一个实根和两个不同的实根，则有a=0或a≠0，△=0或a≠0，△>0，即有a=0，或a=1或a≠0且a<1．则a的取值范围是：a=0或a≤1；（3）若集合A为空集合，则ax2+bx+1=0无实数解，即有a=0，b=0，或a≠0，△<0．即有a=0，且b=0，或b2<4a，故当a、b满足a≠0或b≠0或a≠0时，b2≥4a，时，集合A为非空集合．【考点】函数的零点元素与集合关系的判断【解析】（1）A为空集，表示方程无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，以及两个不同的实根，利用判别式大于0，即可得到．（3）若集合A为空集，求出a的范围，再求补集即可得到答案．【解答】解：（1）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4−4a<0即a>1，若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时方程为一元一次方程，满足条件，当a≠0，此时△=4−4a=0，解得：a=1．∴a=0或a=1．则a的取值范围是：a=0或a≥1；（2）当b=−2时，A中至少有一个元素，即ax2−2x+1=0有且只有一个实根和两个不同的实根，则有a=0或a≠0，△=0或a≠0，△>0，即有a=0，或a=1或a≠0且a<1．则a的取值范围是：a=0或a≤1；（3）若集合A为空集合，则ax2+bx+1=0无实数解，即有a=0，b=0，或a≠0，△<0．即有a=0，且b=0，或b2<4a，故当a、b满足a≠0或b≠0或a≠0时，b2≥4a，时，集合A为非空集合．【答案】（1）证明：由于y=x2−2mx−(m2+2m+1)，则判别式△=4m2+4(m2+2m+1)=4(2m2+2m+1))2+2>0，=8(m+12则不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；（2）解：函数f(x)的定义域为{x|−1≤x≤1}，对称轴x=m，当m≤−1时，[−1, 1]在对称轴的右边，为增区间，则函数的值域为[f(−1), f(1)]即有[−m2, −m2−4m]；当−1<m<1时，f(m)最小，且为−2m2−2m−1，若m=0则f(−1)=f(1)=0，则值域为[−1, 0]；若0<m<1，则f(−1)>f(1)，则值域为[−2m2−2m−1, −m2]；若−1<m<0时，则f(−1)<f(1)，则值域为[−2m2−2m−1, −m2−4m]；当m≥1时，[−1, 1]在对称轴的左边，为减区间，则函数的值域为[f(1), f(−1)]即有[−m2−4m, −m2]．综上，当m≤−1时，值域为[−m2, −m2−4m]；当0≤m<1，值域为[−2m2−2m−1, −m2]；当−1<m<0时，值域为[−2m2−2m−1, −m2−4m]；当m≥1时值域为[−m2−4m, −m2]．【考点】函数的零点函数的值域及其求法【解析】（1）由判别式化简配方，即可得证；（2）求出对称轴x=m，讨论当m≤−1时，当m≥1时，当−1<m<0时，当0≤m<1，区间和对称轴的关系，即可得到值域．【解答】（1）证明：由于y=x2−2mx−(m2+2m+1)，则判别式△=4m2+4(m2+2m+1)=4(2m2+2m+1))2+2>0，=8(m+12则不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；（2）解：函数f(x)的定义域为{x|−1≤x≤1}，对称轴x=m，当m≤−1时，[−1, 1]在对称轴的右边，为增区间，则函数的值域为[f(−1), f(1)]即有[−m2, −m2−4m]；当−1<m<1时，f(m)最小，且为−2m2−2m−1，若m=0则f(−1)=f(1)=0，则值域为[−1, 0]；若0<m<1，则f(−1)>f(1)，则值域为[−2m2−2m−1, −m2]；若−1<m<0时，则f(−1)<f(1)，则值域为[−2m2−2m−1, −m2−4m]；当m≥1时，[−1, 1]在对称轴的左边，为减区间，则函数的值域为[f(1), f(−1)]即有[−m2−4m, −m2]．综上，当m≤−1时，值域为[−m2, −m2−4m]；当0≤m<1，值域为[−2m2−2m−1, −m2]；当−1<m<0时，值域为[−2m2−2m−1, −m2−4m]；当m≥1时值域为[−m2−4m, −m2]．。

2021届四川省成都七中高三10月阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．复数()21z i =+的虚部为（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，即可得出复数z 的虚部． 【详解】解：因为()221122z i i i i =+=++=，即2z i =，所以复数z 的虚部为2. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．{}2P y y x==，{}222Q x xy =+=，则P Q =（ ）A ．⎡⎣B ．()(){}1,1,1,1- C ．{D ．⎡⎣【答案】D【解析】集合P 表示的是函数的值域，求出二次函数的值域即化简了P ；集合Q 表示的方程中x 的范围，求出x 的范围化简集合Q ；利用交集的定义求出P Q ．【详解】2{|}{|0}P y y x y y ===22{|2}{|22}Q x x y x x =+==∴{|02}x xP Q ⋂=故选：D ． 【点睛】本题考查集合的表示法、考查利用交集的定义求两个集合的交集，属于基础题． 3．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（ ）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤【答案】B【解析】根据框图，模拟程序运行即可求解. 【详解】根据框图，执行程序，12,2S n ==； 1222,3S n =+=；⋯12222,1i S n i =++⋯+=+，令12222126i S =++⋯+=， 解得6i =，即7n =时结束程序， 所以6n ≤， 故选 ：B 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，等比数列求和，属于中档题.genju 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．1C ．13D ．12【答案】C【解析】由三视图还原为原图，由此求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示四棱锥1D EFBC -，故体积为1111133⨯⨯⨯=. 故选：C【点睛】本小题主要考查有三视图还原为原图，考查四棱锥体积的计算，属于基础题. 6．关于函数()()πf x 4sin 2x x R 3⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有如下命题，其中正确的个数有( )()y f x =①的表达式可改写为()()πf x 4cos 2x x R 6⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()y f x =②是以2π为最小正周期的周期函数；()y f x ③=的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；()y f x =④的图象关于直线πx 3=对称． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】利用诱导公式变形判断①；由正弦函数的周期公式判断②；求得πf 6⎛⎫-⎪⎝⎭的值可判断③；求得πf 3⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断④． 【详解】()ππππf x 4sin 2x 4cos 2x 4cos 2x 3236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①正确；()f x 的最小正周期2πT π2==，②错误； πππf 4sin 0633⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，③正确； 由π2ππf 4sin 0333⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不为最值，④错误． 其中正确的个数为2．故选C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查诱导公式，()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质，属基础题．7．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【答案】C【解析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AO AB ⋅=，则k =（ ）A ．B C ．1D 【答案】C【解析】根据直线方程得到l 过定点()4,0P -，过圆心O 作OM l ⊥于M ，由2AO AB ⋅=，得到2AB =，再利用弦长公式，得到k 的值，从而得到答案.【详解】直线40kx y k -+=，即()40k x y ++=， 所以直线l 过定点()4,0P -，曲线y =3r =的上半圆. 过圆心O 作OM l ⊥于M ， 即122AO AB AM AB AB AB ⋅=⋅=⋅=， 所以2AB =，圆心到直线l 的距离()2224411k k d k k ==++-，2222422921k AB r d k ⎛⎫=-=⨯-= ⎪+⎝⎭， 解得1k =±，因为曲线29y x =-是上半圆，结合图像可得0k >， 所以1k =. 故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.9．如图，四棱锥S ABCD -中，底面是边长为2的正方形ABCD ，AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且2SO =，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为( )A ．22B ．23C ．12+D ．13【答案】D【解析】分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连接EF 、FG 和EG ，证明平面EFG ∥平面BDS ，再由题意证明AC ⊥平面EFG ，得出点P 在△EFG 的三条边上，求出△EFG 的周长即可. 【详解】解：分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连接EF 、FG 和EG ，如图所示；则EF ∥BD ，EF ⊄平面BDS ，BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，， ∴平面EFG ∥平面BDS ，由AC ⊥BD ，AC ⊥SO ，且AC ∩SO ＝O ， 则AC ⊥平面BDS ， ∴AC ⊥平面EFG ，∴点P 在△EFG 的三条边上； 又EF ＝12BD ＝12221， FG ＝EG ＝12SB ＝1222(2)1+32∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝3故选：D. 【点睛】本题考查了四棱锥结构特征的应用问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题.10．已知定义域为R 的奇函数()f x 的周期为2，且(]0,1x ∈时，()12log f x x =.若函数()()πsin 2F x f x x =-在区间[]3,m -（m Z ∈且3m >-）上至少有5个零点，则m 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】A【解析】先根据条件分析函数()f x 的性质，然后将问题转化为函数()y f x =和πsin2y x =的图象交点问题，再根据图象求解出m 的最小值. 【详解】因为()y f x =是奇函数，所以()00f =，又因为函数()f x 的周期为2， 所以()()()202f f f -==0=，在同一坐标系中作出函数()y f x =和πsin 2y x =的图象（如图）， 观察图象可知()y f x =和πsin 2y x =的图象在3,2上有五个交点，而函数()()πsin 2F x f x x =-在区间[]3,m -（m Z ∈且3m >-）上有至少有5个零点，所以2m ≥，所以m 的最小值为2. 故选：A.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查函数性质以及数形结合思想，难度较难.数形结合思想的用处：（1）解决函数零点与方程根的个数问题；（2）解决函数图象问题；（3）求解参数范围与解不等式.11．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设直线AB 的方程为2py kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k=+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2py kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,eD ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,【答案】B【解析】构造()()2F x f x x =+，易知奇函数，且在R 上为增函数，()00F =，然后将()()()2132ln 312f x xx x -<-+-转化为()()()212132ln 14f x x x x x -+-<-+-，令()()232ln 14g x x x x =-+-，用导数法得到()0,1x ∈时()0g x >，然后利用函数单调性的定义求解. 【详解】因为奇函数()f x 满足()2f x '>-， 所以()20f x '+>，所以()()2F x f x x =+为奇函数，且在R 上为增函数，()00F =， 而()()()2132ln 312f x xx x -<-+-等价于，()()()212132ln 14f x x x x x -+-<-+-，令()()232ln 14g x xx x =-+-，则()()()22232ln 444ln 4,10g x x x x x x x g x ⎛⎫''=⋅-+--=--= ⎪⎝⎭， 而()4ln g x x ''=-，当()0g x ''>时，01x <<，当()0g x ''<时，1x >， 所以()()10g x g ''≤=， 所以()g x 在()0,∞+上递减，而()10g =，所以()0,1x ∈时，()0g x >，()10F x -<，； 所以()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为()0,1，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，函数的单调性的定义的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.二、填空题13．已知2nx⎛- ⎝的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是___．（用数字作答） 【答案】60【解析】因为展开式二项式系数和为64，所以264n =，6n =，展开式的通项为3666622+166=(1)2(1)2r r r rr rr rr r T C xxC x------=- ，令36=02r -，得4r =，所以常数项为第5项，541560T =⨯=，故填60.点睛：涉及二项式展开式的特定项，一般要先写出二项式的展开式的通项公式，根据特定项的特点确定r,从而求出特定项或与题目有关的问题，一般会求常数项. 14．已知2=a ，1b =，a b -与b 垂直，则a 与b 的夹角为______. 【答案】π3【解析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得a 与b 的夹角的余弦值，可得a 与b 的夹角． 【详解】||2a =，||1b =，a b -与b 垂直，故有22()||||cos ,||2cos ,10a b b a b b a b a b b a b -⋅=⋅-=<>-=<>-=， 所以1cos ,2a b <>=， 因为0,a b π≤<>≤ 所以a 与b 的夹角为3π， 故答案为：3π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．15．已知集合{}{}012a b c =,,,,，有下列三个关系①2a ≠；②2b =；③0c ≠，若三个关系中有且只有一个正确的，则23a b c ++=_______________. 【答案】5【解析】依次讨论①②③正确性，确定a b c 、、的值，得到答案. 【详解】若①正确，②③错误，则0c，1b =，2a =，矛盾，不成立；若②正确，①③错误，则2b =，0c，1a =，矛盾，不成立；若③正确，①②错误，则2a =，1c =，0b =，成立，235a b c ++=； 综上所述：235a b c ++=. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了逻辑推理，相等集合，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力.16．已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____【答案】ln 34【解析】由题得222(ln ln )n m a n m -=-，令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)tm a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥），构造函数ln(1)()(2)tm g m t m t +=+，再利用导数求函数的最小值得解. 【详解】由22()()2ln 32ln 3f m f n n an m am =⇒-+=-+，所以222(ln ln )n m a n m -=-，令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)t m a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥）， 显然ln(1)()(2)t m g m t m t +=+，在[1,)m ∈+∞单调递减， ∴ln(1)(1)(2)t a g t t +≤=+（2t ≥）令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+，（2t ≥），22222(1)ln(1)()[(2)](1)t t t t h t t t t +-++'=++，∵2t ≥，∴2ln(1)1t +>，则2222(1)ln(1)t t t t +-++，∴令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+在[2,)+∞单调递减， ∴ln 3(2)4a h ≤=，∴实数a 的最大值为ln 34．故答案为：ln 34【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知向量(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin 2,m A B n B A m n C ==⋅=且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长． 【答案】（1）3C π=；（2）6c =．【解析】【分析】试题分析：（1）先利用数量积公式得：sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+，化简得：sin 2sin C C =，再有二倍角公式化简即可；（2）由（1）可得3C π=，由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列得：2c a b =+，()18CA AB AC ⋅-=得：36ab =，利用余弦定理可得c 的值．【详解】（1）sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+对于,,0sin()sin ABC A B C C A B C ππ∆+=-<<∴+=，且sin 0C ≠，sin 2sin ,2sin cos sin C C C C C ∴=⇒⋅=1cos 23C C π⇒=⇒= （2）由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b=+()18,18CA AB AC CA CB ⋅-=∴⋅=，即cos 18,36ab C ab ==由余弦弦定理22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-，2224336,36c c c ∴=-⨯=，6C ∴=【点睛】本题考查了平面向量数量积坐标表示公式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角正弦公式的应用，考查了特殊角的三角函数值，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.18．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生、设这3人中爱好羽毛球运动的人数为X ，求X 的分布列和期望值：（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）分布列详见解析；期望为98（人）；（2）没有. 【解析】（1）X 的可能取值为0123，，，，随机变量服从二项分布，运用独立重复实验公式求出概率后列出分布列，运用二项分布求出期望；（2）根据列联表，利用公式计算出临界值，与临界值表进行比较，即可得出结论. 【详解】（1）X 的可能取值为0123，，，，随机变量服从二项分布， 任一学生爱好羽毛球运动的概率为38，故3~3,8X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()303512508512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21335225188512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()22335135288512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()33332738512P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X 的分布列为39388EX =⨯=（人）（2）()228020201030800.35560.45530503050225K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联. 【点睛】本题考查二项分布的应用以及独立重复实验解决实际问题，独立性检验计算出临界值与临界值表进行比较解决实际问题.19．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD 224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB的中点.（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为63,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为63建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===,所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ． （Ⅱ）如图，以点C 为原点，,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即0{x y x y az +=-+=，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =--依题意2cos ,m n a m n m na ⋅〈〉===⋅+，则2a =．于是()()2,2,2,2,2,4n PA =--=-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=〈〉==⋅ 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3． 20．已知椭圆C：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，焦距为直线l ：1y x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，()0,Q m ，若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点），求m 的取值范围. 【答案】（1）2213x y +=；（2）113m <<或113m -<<-. 【解析】（1）31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ，()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解.（2）由M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+，根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=，将直线l 的方程和椭圆C 方程联立，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）∵焦距为c =()11,A x y ，()22,B x y ，∵31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得：1232x x +=，1212y y +=-，又∵将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b+=∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=，所以()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a +-==-==-+， 所以223a b ………①.∵222a c b -=………②由①②得：2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）∵M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ= 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=，∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330k x kmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………③，根据韦达定理：122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，代入122x x =-，可得：22613km x k =+，222233213m x k--=+， ∴()222222363321313k m m kk --⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-.∵2910m -≠，219m ≠， ∴22213091m k m -=≥-………④，代入③式得22211091m m m --+>-，即()22211091m m m -+->-， ∴()()2221910mmm --<，∴2119m <<满足④式，∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.21．已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（1）若1b =，[)0,x ∈+∞，①若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围；②若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. （2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<. 【答案】（1）①102a <≤；②102a <≤；（2）证明见解析. 【解析】（1）①问题等价于()0f x '≥在[)0,+∞上恒成立，即21ax a ≥-对任意[)0,x ∈+∞恒成立，由此得解；②分102a <≤、12a >两种情况讨论，即可得出答案； （2）表示出()()()112111222x x e x e x f x f x --++=，令()()222x x e x e xF x --+=，求导后易证()()1F x F e <=，令()()()2232xx e xG x e x x x e=-+--，()0,1x ∈，利用导数可证()()02G x G >=，进而得证()()12312f x f x e a+<+<. 【详解】[详解]（1）①因为()21xe f x ax x =++单调递增，所以()()222(12)01x e ax a x f x axx ⎡⎤+-⎣⎦'=≥++对任意[)0,x ∈+∞恒成立，即21ax a ≥-对任意[)0,x ∈+∞恒成立， ∴210a -≤，即102a <≤；②由①当102a <≤时，()21xe f x ax x =++单调递增，故()1f x ≥成立，符合题意，当12a >时，令()0f x '=得21a x a -=，∴()f x 在210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上递减，∴()2101a f f a -⎛⎫<= ⎪⎝⎭不合题意；综上，实数a 的取值范围为102a <≤. （2）因为()21xe f x ax =+，x ∈R 存在两个极值点1x ，2x ，所以()()()2222101x e ax ax f x ax-+'==+有两个不同的解，故2440a a ∆=->，又0a >，所以1a >，设两根为1x ，()212x x x <，则122x x +=，121=x x a，故101x <<， ()()()1112121221121122212121221211211xx x x x x x x e x e x e x e x e e e e f x f x x x ax ax x x x x --+++=+=+==+++++令()()222xxe x ex F x --+=，因为()()()21102xx e x e x e F x --+'=>， 所以()F x 在()0,1上递增，所以()()1F x F e <=；又()()()()11211211132232x x e x f x f x e x x x a e +-=-+--⎡⎤⎣⎦ 令()()()2232xx e xG x e x x x e=-+--，()0,1x ∈，则()()216x x e G x x e e ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，令()0G x '=得3x e =()0,1x ∈，则3x e =即(ln 3x =，记为0x ，则()G x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减，又()02G =，()1232G e =->，所以()()02G x G >=，即()()12312f x f x a+>+， 综上：()()12312f x f x e a+<+<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，属于较难题目.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为3sin()42πρθ-=． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(2,3)P -，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为2212x y +=；直线l 的直角坐标方程为10x y ++=；（Ⅱ）403. 【解析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化的方法确定直线l 的直角坐标方程即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点()2,3P -在直线l 上，联立直线的参数方程与C 的直角坐标方程，结合直线的几何意义可得PA PB ⋅的值. 【详解】（Ⅰ）由x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数α可得2212x y +=，故曲线C 的普通方程为2212x y +=．由34sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得222sin cos ρθρθ--=10sin cos ρθρθ++=，将x cos ρθ=，y sin ρθ=代入上式，可得10x y ++=， 故直线l 的直角坐标方程为10x y ++=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点()2,3P -在直线l 上，可设直线l的参数方程为2232x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将2x =，3y =-+代入2212x y +=，化简可得23400t -+=， 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12403t t =， 所以1212403PA PB t t t t ⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程中参数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）求函数()32123x xf x x +--=+的最大值M .（2）若实数a ，b ，c 满足22a b c M +≤≤，证明：()210a b c +++≥，并说明取等条件.【答案】（1）1M =；（2）证明见解析；当12a b ==-，12c =时取等. 【解析】（1）利用绝对值三角不等式可得()f x 的最大值；（2）利用已知条件结合不等式，可证明命题成立．【详解】（1）()32123212133x xx xf x x x +--++-=≤=++，等号成立， 当且仅当23x ≤-或12x ≥，所以1M =. （2）()()222()2121212a b a b c a b a b a b ⎛⎫++++≥++++≥+++ ⎪⎝⎭()210a b =++≥， 当且仅当12a b ==-，12c =时取等，所以存在实数12a b ==-，12c =满足条件. 【点睛】 本题考查绝对值三角不等式的应用，考查重要不等式，属于中档题．。