初四数学题2篇

初一数学习题(5篇)初一数学习题(5篇)初一数学习题范文第1篇1. 下列各组量中，互为相反意义的量是( )A、收入200元与赢利200元B、上升10米与下降7米C、“黑色”与“白色”D、“你比我高3cm”与“我比你重3kg”2.为迎接即将开幕的广州亚运会，亚组委共投入了2 198 000 000元人民币建筑各项体育设施，用科学记数法表示该数据是( )A 元B 元C 元D 元3. 下列计算中，错误的是( )。

A、 B、 C、 D、4. 对于近似数0.1830，下列说法正确的是( )A、有两个有效数字，精确到千位B、有三个有效数字，精确到千分位C、有四个有效数字，精确到万分位D、有五个有效数字，精确到万分5.下列说法中正确的是 ( )A. 肯定是负数 B 肯定是负数 C 肯定不是负数 D 肯定是负数二、填空题：(每题5分，共25分)6. 若07.若那么2a8. 如图，点在数轴上对应的实数分别为，则间的距离是 .(用含的式子表示)9. 假如且x2=4，y2 =9，那么x+y=10、正整数按下图的规律排列.请写出第6行，第5列的数字 .三、解答题：每题6分，共24分11.① (-5)×6+(-125) ÷(-5) ② 312 +(-12 )-(-13 )+223③(23 -14 -38 +524 )×48 ④-18÷ (-3)2+5×(-12 )3-(-15) ÷5四、解答题：12. (本小题6分) 把下列各数分别填入相应的集合里.(1)正数集合：{ …｝;(2)负数集合：{ …｝;(3)整数集合：{ …｝;(4)分数集合：{ …｝13. (本小题6分)某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃.若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，求此处的高度是多少千米?14. (本小题6分) 已知在纸面上有一数轴(如图)，折叠纸面.(1)若1表示的点与-1表示的点重合，则- 2表示的点与数表示的点重合;(2)若-1表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数表示的点重合;15.(本小题8分) 某班抽查了10名同学的期末成果，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10.(1)这10名同学中分是多少?最低分是多少?(2)10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少?(3)10名同学的平均成果是多少?七班级数学第一单元测试卷参考答案1.B2.C3.D4.C5.C6. 7.≤ 8.n-m 9.±1 10.3211①-5 ②6 ③12 ④12① ②③ ④13.10千米14. ①2 ②-315.①分：92分;最低分70分.初一数学习题范文第2篇（3）右上图是一数值转换机，若输入的x为－5，则输出的结果为。

第10章 四边形§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=︒，3AD =，5BD =，求边CD 的长．DABC DAB CE(a)(b)解析 如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠． 所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =．又因为30ADC ∠=︒，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=︒，从而在Rt ADE △中，4DE =．所以4CD =．10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠．解析 如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ．A FBE DGC易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形． 解析 如图，连结EF ，则EF 是中位线．AGFEB D C由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥，故结论成立． 10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．解析 如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()11112222FG AD BE CE CA BD =+===，于是BF FD ⊥． ADBCADFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积． 解析 如图，易知ABC △与ACD △均为正三角形．设菱形边长为x ，则由120BAD ∠=︒，得BD ，AC x =，所以)12x =x =此菱形面积为212BD AC ⋅=． 10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC解析 设AQ 、DP 延长后交于R ，且R 在BC 上，则由中位线知2AD PQ =，2AD PN =，2BC QN =，故2BCAD=． 10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB =5BC =6CD =，求AD ． 解析 如图所示，作AF BC ⊥，DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ，作FG AD ∥交DE 于G ，则AFB △为等腰直角三角形，90AFB ∠=︒，AB =故FB A F =；90DEC ∠=︒，60DCE ∠=︒，6CD =，故3CE =，DE =．F BCEADG所以EF FB BC CE =++538+=，GE DE DG DE AF =-=-==从而AD FG ==10.1.8★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，D 是BC 上一点，D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ，若BE CF =,12AD BC =．解析 如图，连结AF 、AE 、BF 、CE ．FAEBDC由对称，有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒，故F 、A 、E 共线．又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒，故FB ∥EC ，而BE CF =，所以梯ECBF 为等腰梯形．又AF AD AE ==，于是1122AD EF BC ==．10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'ADBCA'D'O解析 如图，AD BC ∥，A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′． 设AC 、BD 交于O ，连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ，故A ′、O 、C ′共线，且A O AO C O CO '='，同理B ′、O 、D ′共线，B O D O ''BO DO =，所以由1BO CODO AO=≠得1B O C OD O A O''=≠''． 故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上，则A ′D ′∥B ′C ′，即A ′B ′C ′D ′成梯形．10.1.10★已知：直角梯形ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB BC =，E 是AB 上一点，AE AD =，75CEB ∠=︒，求ECD ∠．A DE BC解析 如图，连结AC ，则由AB BC =，AB BC ⊥，得45BAC DAC ∠=︒=∠． 又AE AD =，故AEC △≌ADC ，EC CD =．又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒，故DEC △为正三角形，于是60ECD ∠=︒．10.1.11★★在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 、AD 和BD 的长．ACED解析 如图，延长AD 、BC 至E ，则60DCE ∠=︒，22CE CD ==．又60A ∠=︒，故BE =2BC =，又4AE =，CE，故4AD =．至于求BD ，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质：AC，sin 60BD AC =⋅︒=§10.2 正方形10.2.1★在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且AF BC CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．ADBECFP解析 如图，延长AE 、DC ，设交于P ，则B E C E =得CP AB BC ==，FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠，即2BAF BAE ∠=∠．10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONBCl解析 如图，设O 是正方形ABCD 的中心，l 通过O ，AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ． 由于90MAO AOM DON ∠=︒-∠=∠，AO OD =，故AMO △≌OND △，2222212AM DN AM MO AO +=+==．对B 、C 的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1．10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =． 解析 如图，作OE FC ∥，交AF 于E ，OE 为ACF △中位线，2CF EO =． 问题变为证明EO GO =．因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=︒+∠=∠+︒=∠，于是结论成立．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =． 解析 如图，由MD CN =知BNC △≌CMD △，故90PBC PCB NCM PCB ∠+∠=∠+∠=︒，故C M B N ⊥．延长CM 、BA ，设交于Q ，则QA CD AD ==，A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点，于是AP AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK解析 如图，设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．由于DA AB =，AK AM =，90DAM BAM BAK ∠=︒+∠=∠，于是DAM △≌BAK △，由此得KB 与DM 垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥，12SP KB RQ ∥∥，故四边形PQRS 为正方形．10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．解析 如图，作MN AB ⊥于N ，则22222,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ⎧-=-=⎪⎨⎪+=⎩ADBLCMN解得34AN AB =，14BN AB =． 不妨设3AN =，3BN =，MN x =，则 ()22229(4)DM AN AD MN x =+-=+-， ()2222()14CM BN CM MN x =+-=+-，由条件90CMD ∠=︒，知222DM CM CD +=，即()2102416x +-=，解得4x = 又作ML BC ⊥于L，于是4LC x =-1ML NB ==，故60MCD LMC ∠=∠=︒．10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDEA解析 如图，易知AF EP ED ==，AO DO =，45FAO EDO ∠=︒=∠，于是AFO △≌DEO △≌BGO △，于是OF OG =，90AOB FOG ∠=︒-∠，故OFG △为等腰直角三角形，45OFG ∠=︒．10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析 连结BL ，由正方形关于AC 对称，知BL DL =． 又作LJ AB ⊥于J ，由3AL LC =，易知1142JB AB KB ==，故J 为KB 中点，JL 垂直平分KB ，于是LK LB =，LKB LBK ADL ∠=∠=∠，或180AKL ADL ∠+∠=︒,故90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．解析 如图，作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直，垂足为Q 、P ．P HMFQ AEBKC G易见，90QFA QAF BAK ∠=︒-∠=∠，又90FQA AKB ∠=︒=∠，FA AB =，故有AQF △≌BKA △，FQ AK =，同理PH AK =，于是FQ PH =，FM MH =．10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证：AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．解析 如图，延长CB 至H ，使BH DF =，连结AH ，则AHB △≌AFD △，90HAF BAD ∠=∠=︒，904545HAE EAF ∠=︒-︒=︒=∠，又AH AF =，AE AE =，故AHE △≌AFE △，AB 、AG 为其对应 边上的高，于是AG AB =．A D F GH B E C反之，若AG AB =，则Rt ABE △≌Rt AGE △，EAG BAE ∠=∠，同理，FAG DAF ∠=∠，于是1452EAF BAD ∠=∠=︒．10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．解析 延长DA 至M ，使BM BE ⊥过B 作BG AM ⊥，G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形，所以BC BG =．又CBE GBM ∠=∠，Rt BEC △≌Rt BMG △，故BM BE =． 又45ABE ABM ∠=∠=︒，故ABE △≌ABM △，10AM AE ==． 设CE x =，则10AG x =-，()12102AD x x =--=+，12DE x =-．在Rt ADE △中，222AE AD DE =+，故()()22100212x x =++-，即210240x x -+=，解之，得14x =，26x =．故CE 的长为4或6．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．解析 如图，易知MDC NCB ∠=∠，故DMC △≌CNB △，故NB MC =，又45NBO OCM ∠=︒=∠，BO CO =，于是ONB △≌OMC △，90NOM BOC ∠=∠=︒．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．解析 如图，作BM 、FN 与AC 垂直，垂足为M 、N ，于是由AB BF ∥知1122FN BM AC AF ===，于是30FAC ∠=︒．又45CAB ∠=︒，于是15BAF ∠=︒，15FAE CAE ∠=∠=︒，AE 、AF 三等分CAB ∠． ADBCMNFE。

小学四年级数学练习题小学四年级数学练习题第1篇92÷30= 30÷10= 64÷30=85÷40= 93÷30= 620÷20=140÷30= 150÷20= 565÷80=312÷60= 364÷70= 352÷50=84÷21= 69÷23= 324÷81=245÷71= 64÷22= 350÷51=196÷39= 185÷37= 272÷69=90÷29= 402÷79= 203÷49=140÷26= 96÷16= 305÷56=108÷26= 276÷36= 308÷46=576÷18= 312÷24= 414÷23=288÷18= 665÷25= 816÷51=930÷31= 720÷24= 640÷16=860÷43= 720÷18= 840÷21=88÷14= 119÷15= 2134÷24=396÷12= 952÷28= 3276÷84=小学四年级数学练习题第2篇一、填空：1、小数点左边第一位是()位，第二位是()位;小数点右边第一位是()位，第二位是()位。

2、小数的计数单位有()、()、()、、、、，分别写作()、()、()，其中最大的计数单位是()。

3、整数部分的计数单位有()、()、( )、、、、，其中最小的计数单位是( )。

4、7/10用小数表示是( )，25/100用小数表示是( )，8/100用小数表示是( )，3/1000用小数表示是( )，25/1000用小数表示是( )，375/1000用小数表示是( )。

第18章 整数几何18.1.1★已知ABC △的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值．解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h ，则111,155111.515h h⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩ 解得151545h <<，h 可取4、5、6、7这四个值． 18.1.2★已知ABC △的三边长分别为3AB n x =+，2BC n x =+，CA n x =+，且BC 边上的高AD 的长为n ，其中n 为正整数，且01x <≤，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB 为ABC △之最长边，故90B ∠<︒，设BD y =，CD z =，则0y >，而z 可正可负．AB D C由2y z n x +=+，及()()()22223242y z n x n x n x x -=+-+=+⋅，得4y z x -=，32ny x =+，由勾股定理，知()222332n x n n x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，展开得12n x =，由01x <≤及n 为正整数，知1n =，2，…，12，这样的三角形有12个．18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为52∶，求此三角形周长的最大值．解析设该直角三角形直角边长为a 、b ，斜边为c ，则外接圆半径2cR =，内切圆半径2a b cr +-=，不妨设20a ≤． 由条件知52c a b c =+-，557a b c +=，平方，得()()222225249a b ab a b ++=+，即()2212250a b ab +-=，()()34430a b a b --=，于是3a k =，4b k =，5c k =，或4a k =，3b k =，5c k =，周长为12k ，k 为正整数．k 的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72．18.1.4★ABC △为不等边三角形，60A ∠=︒，7BC =，其他两边长均为整数，求ABC △的面积．A BCx y60°解析设AB x =，AC y =，则由余弦定理，有2249x y xy +-=．由条件x y ≠，不妨设x y <，则AB 为ABC △之最小边，x 只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当3x =或5时，8y =，其余情形均无整数解．于是1sin 602ABC S xy =︒=△． 18.1.5★★一点P 与半径为15的圆的圆心距离是9，求经过P 且长为整数的弦的条数． 解析 如图，O e 半径为15，9OP =，过P 的弦ST 长为整数，APB 为直径，6AP =，24PB =，则144SP TP PA PB ⋅=⋅=，因此24ST SP TP =+≥．又30ST AB =≤，故这样的弦共有()302412212-+⨯-=条，其中与AB 垂直的弦及AB 各一条，其余的弦每种长度有两条（关于AB 对称）．18.1.6★★在直角三角形ABC 中，各边长都是整数，90C ∠=︒，CD 为边AB 上的高，D 为垂足，且3BD p =（p 奇素数），求ACAB的值（用p 表示）． C解析由2BC BD AB =⋅知2BD BC ，故设2BC p t =（t 为正整数），则2BA pt =，又由勾股定理，知22442AC p t p t =-，故tp AC ．设AC kpt =，代入得()()222p t k t k t k =-=+-，易知只能有2t k p +=，1t k -=，解得212p t +=，212p k -=，于是2211AC p AB p -=+． 18.1.7★★设正三角形ABC ，M 、N 分别在AB 、AC 上，MN BC ∥，两端延长MN ，交ABC △外接圆于P 、Q ，若PM 、MN 、AB 长均为正整数，求AB 的最小值． 解析 如图， 易知NQ PM =也是整数．设AM x =，BM y =，PM NQ z ==，则MN x =，于是由相交弦定理，得()xy z x z =+，2z x y z=-．APQM NB C设y ks =，z kt =，(),k y z =，s t >，(),1s t =，则2kt x s t=-，由于()2,1s t t -=，故s t k -，要使2t AB x y k ks s t=+=+-达到最小，k 得取s t -，于是()2AB t s t s =+-．由于s t >，2s ≥，1t ≥，知()223t s t s t s +-+≥≥．当1AM =，2BM =时AB 取到最小值3，此时1PM =．18.1.8★★已知凸四边形ABCD 的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面积的两倍，且22250AD BC +=，求该四边形面积、对角线长度．解析 不妨设AB α=，BC b =，CD c =，DA d =，AC 与BD 交于O ，则sin 2ABCD AC BD AOB S ac bd AC BD ⋅⋅∠==+⋅≥，于是由托勒密定理，知A 、B 、C 、D 必共圆，且满足AC BD ⊥．又由已知条件，22250b d +=，22250a c +=．经搜索知250表为平方和只有两组：22515+和22913+．由对称性，不妨设5a =，13b =，15c =，9d =，则19622ABCD ac bdS AC BD +=⋅==．由余弦定理，因cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，得222222591315045195BD BD +-+-+=，得BD =AC18.1.9★★是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC △？证明你的结论． 解析 存在满足条件的三角形．当ABC △的三边长分别为6a =，4b =，5c =时，2A B ∠=∠．如图，当2A B ∠=∠时，延长BA 至点D ，使AD AC b ==．连结CD ，ACD △为等腰三角形．CD A因为BAC ∠为ACD △的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以B D ∠=∠．所以CBD △为等腰三角形．又D ∠为ACD △与CBD △的一个公共角，有~ACD CBD △△，于是AD CD CD BD =，即b aa b c=+，所以()2a b b c =+．而()26445=⨯+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形． 评注满足条件的三角形是唯一的．若2A B ∠=∠，可得()2a b b c =+．有如下三种情形：（ⅰ）当a c b >>时，设1a n =+，c n =，1b n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b bc =+，得()()()21121n n n +=--，解得5n =，有6a =，4b =，5c =；（ⅱ）当c a b >>时，设1c n =+，c n =，1b n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b bc =+，得()212n n n =-⋅．解得2n =，有2a =，1b =，3c =，此时不能构成三角形；（ⅲ）当a b c >>时，设1a n =+，b n =，1c n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b b c =+，得()()2121n n n +=-，即2310n n --=，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件．18.1.10★★三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？ 解析 设三角形三边依次为1n -、n 、1n +，则333n ≤≤，()131122p n n n n =-+++=，S △==于是()234n -是平方数，令()()22343n k -=，得2243n k -=，则32n ≤，224102034033n k -==≤，18k ≤．又k 不可能是奇数，否则()222343n k k =+≡，得2243n k -=，则32n ≤，224102034033n k -==≤，18k ≤．又k 不可能是奇数，否则()22343mod 4n k =+≡，将2k =，4，6，8，10，12，14，16，18代入，发现仅当2k =，8时满足要求．因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与13、14、15．18.1.11★★某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575，求其周长的最小值． 解析 设直角三角形直角边长a 、b ，斜边为1575a +，则 ()2221575a b a +=+，()2157521575b a =+．由于221575357=⨯⨯，设105b k =，则2721575k a =+，设7a s =，则22225k s =+，于是k 的最小值为17，此时32s =，224a =，1785b =，1799c =．此时的最小周长为3808． 18.1.12★★已知ABC △，AD 是角平分线，14AB =，24AC =，AD 也是整数，求AD 所有可取的值．AEB DC解析 如图，作DE AB ∥，E 在AC 上，则易知AE ED =． 又ED CD AC AB BC AB AC==+，故 22AB ACAD AE DE ED AB AC⋅<+==+33617.6819==…， 故17AD ≤．又当17AD ≤时，不难通过AED △构造出ABC △，故AD 所有可取的值为1，2， (17)18.1.13★面积为c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质娄的平方整除，求a cb-的值．ADGB E F C解析设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则2m ，由ADG ABC △∽△，可得xx m -=．解得()3x m =．于是()222348x m ==．由题意得28a =，3b =，48c =，所以203a cb -=-． 17.1.14★★如图，AD 是ABC △的高，四边形PQRS 是ABC △的内接正方形，若BC ab =（即两位数），SRc =，ADd =，且a 、b 、c 、d 恰为从小到大的4个连续正整数，求ABC S △的所有可能值．AS RP D Q解析易知11SR AR CR SR BC AC AC AD ==-=-，于是有110c c a b d +=+，或11111132a a a +=+++，移项，得()()1111123a a a =+++，或2650a a -+=，解得1a =或5．于是有两解： 12,3,4;BC SR AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩56,7,8.BC SR AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩易知这两组数据都符合要求，故24ABC S =△或224．18.1.15★★已知ABC △中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当2BD BC 和2BEAB均为正整数时，ABC △是什么三角形？并证明你的结论． 解析设2BD m BC =，2BEn AB=，m 、n 均为正整数，则 244cos 4BD BE mn B AB BC=⋅⋅=<， 所以，1mn =，2，3． （1）当1mn =时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1m n ==．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是ABC △是等边三角形．（2）当2mn =时，cos B =45B ∠=︒，此时1m =，2n =，或2m =1n =，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90BAC ∠=︒，或90BCA ∠=︒，于是ABC △是等腰直角三角形．（3）3mn =时，cos B =，30B ∠=︒，此时1m =，3n =，或3m =，1n =．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30ACB ∠=︒，或30BAC ∠=︒，于是ABC △是顶角为120︒的等腰三角形．18.1.6★★某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍（就数字上讲），问问这样的直角三角形有多少个？解析 设直角边分别为a 、b ，则斜边c =，由条件知它是有理数，故必定是整数．设2ka b ab +=，k 为正整数，于是k =．由于a b +1、2或4，记作k '．由a b k +-'=()2220ab k a b k -'++'=，()()22a k b k k -'-'='，1k '=时无解；2k '=时，有()()222a b --=，{a ，b }={3，4}；4k '=时，()()448a b --=，{a ，b }={5，12}或{6，8}，所以这样的直角三角形共有3个．18.1.17★★在等腰ABC △中，已知AB AC kBC ==，这里k 为大于1的自然数，点D 、E 依次在AB 、AC 上，且DB BC CE ==，CD 与BE 相交于O ，求使OCBC为有理数的最小自然数k ．ADEBCO解析如图，连结DE ，则DE BC ∥，11DE AD AB BC BC AB AB k -===-，1k DE BC k-=． 由于四边形DBCE 为等腰梯形，则由托勒密定理（或过D 、E 作BC 垂线亦可），2222121k k CD CD BE DE BC DB CE BC BC BCk k --=⋅=⋅+⋅=+=，又21CO BC kCD DE BC k ==+-，于是CO BC =k 与21k -互质，由题设知其必须均为平方数，1k >，25k =适合，这是满足要求的最小自然数．18.1.18★★★对于某些正整数n 来说，只有一组解xyz n =（不计顺序），这里，x 、y 、z是正整数且可构成三角形的三边长，这样的()100n ≤共有多少个？ 解析显然，当n p =（素数）时无解；当2n p =或1时只有一组解（1，p ，p ）或（1，1，1）；当n pq =（p 、q 为不同素数）时无解；当4n p =（p 为大于3的素数）时也无解．剩下的数为8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100． 易验证，无解的n 有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99；唯一解的n 有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98；不止一组解的n 有：36，60，64，72，100．注意：判定无解的主要依据是，abc n =，c ab >时无解，困为1c ab a b ++≥≥． 因此，有解的n 共有23个．18.1.19★★面积为整数的直角三角形周长为正整数k ，求k 的最小值，并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可）．解析设该直角三角形的直角三角形周长分别为a 、b ，则112ab ≥，a b +≥2，2k a b =+，故5k ≥．下令5k =，2ab =，如有解，则可．()5a b -+，平方得()222225102a b a b a b ab +=-++++．取2ab =，得29,102.a b ab ⎧+=⎪⎨⎪=⎩因此a 、b 为方程21029200x x -+=的根，解得a 、bk 的最小值是5．18.1.20★★若ABC △的三边长a 、b 、c 均为整数，且140abc =，求ABC △内切圆半径． 解析 不妨设a b c ≤≤，于是7c ≥．又14011c a b ab c<++=+≤，故140c c ≤，得10c ≤．于是c 只可能为7或10． 7c =时，20ab =，只可能4a =，5b =，()182p a b c =++=，内切圆半径r =． 10c =时，14ab =，没有满足要求的解．18.1.21★★证明：若a 、b 、c 是一组勾股数()222a b c +=，则存在正整数k 、u 、v 、u v >，(),1u v =使得()22c k u v =+，而()22a k u v =-，2b kuv =；或2a kuv =，()22b k u v =-．解析222a b c +=，设（a ，b ，c ）k =，则1a ka =，1b kb =，1c kc =，222111a b c +=．易知1a 、1b 、1c 两两互质；1a 与1b 不可能同偶，否则12a ，1b ，1c ；1a 与1b 也不会同奇，否则()212mod 4c =，矛盾．于是1a 与1b 必一奇一偶，不妨设1a 奇而1b 偶，于是1c 为奇数．从而()()211111a c b c b =+-，11c b +与11c b -必互质，否则有一奇素数11|p c b +，11c b -，得|2p c ，12b ，故|p （1c ，1b ），与（1c ，1b ）=1矛盾． 于是可设2111c b u +=，2111c b v -=，（1u ，1v ）=1，且1u 、1v 均为奇数，解得221111122u v u v c +-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111222u v u v b +-=⋅⋅，221111122u v u v a +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令112u v u +=，112u v v -=，即得结论． 18.1.22★★★如图，F 、E 在ABC △的边AB 、AC 上，FE 的延长线与BC 的延长线交于D ，求证：AF 、BF 、CB 、CD 、AE 、EC 、FE 、ED 的长度不可能是1～8的排列． 解析 如果1EF =，则1AE AF EF -<=，得AE AF =，矛盾，故1EF ≠，同理AF 、AE 、ED 、CD 、EC 都不等于1．AFE GDCB因此1只可能等于FB 或BC 之长，不失对称性，设1BF =，则1FD BD BF -<=，FD BD =，作CG AB ∥，G 在ED 上，四边形FBCG 乃一等腰梯形，于是EG FG EF BC EF =-=-为正整数．又1EG EC CG BF -<<=，故EG EC =，但BFD ∠为等腰三角形DFB 的底角，90BFD <︒∠，18090EGC BFD =︒->︒∠∠，为EGC △的最大内角，EC EG >，矛盾，因此结论证毕．18.1.23★★★已知梯形ABCD 中，AD BC <，E 、F 分别在AB 、CD 上，EF AD BC ∥∥，ED BF ∥，如果AD 、EF 、BC 均为正整数，称该梯形为“整数梯形”．现对于正整数n ，有正整数x x <′<y ′<y ，x y x +=′+y ′=n ，且x 、y 为一“整数梯形”的上、下底， x ′、y ′为另一“整数梯形”的上、下底，求n 的最小值．解析 如图，由AED EFD △∽△,DEF FBC △∽△,得AD AE DF EFEF BE FC BC===，得EF =，于是问题变为求最小的n ，使xy 与x ′y ′均为平方数．A DEFB Cxy 、x ′y ′不可能都为4，故至少有一组≥9，显然另一组也不可能为4，于是xy ，x ′y ′≥9．如果xy 或x ′y ′25≥，则10n =≥．若xy 或x ′y ′=9或16，则19n =+或2810+=．于是n 的最小值为10，1x =，x ′=2，y ′=8，y =9．18.1.24★★★求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四边形．ABDPC解析 如图，作圆内接四边形ABCD ，AC 与BD 垂直于P ，设a 为一整数，2a >，4AP a =，24BP a =-，241DP a =-，则24AB a =+，241AD a=+，，由此知()()224414aa CP a--=，而由ABP DCP △∽△，BPC APD △∽△知，()224414a BC a a -=+，()224144a CD a a -=+．同时乘以系数4a ，得()244AB a a =+，()2441AD a a =+，()()22441BC a a =-+，()()22414CD a a =-+，4244AC a a =-+，()2201BD a a =-．易知上述6个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个a ，但正整数有无限个，因此有无限个a ，使6个多项式两两不等，又当a →+∞时，0BDAC→，因此有无限个这样的凸四边形两两不相似． 18.1.25★★★已知PA 、PB 为圆的切线，割线过P ，与圆交于M 、N ，与AB 交于S ，若PA 、PM 、MS 、SN 均为正整数，求PA 的最小值． PMABSN解析 如图，易知有PM PNMS SN=(调和点列)． 设PM a =，MS b =，SN c =，则()b a b c ac ++=，()b c b c a b+=-，从而PA == 设a ks =，b kt =，k =（a ，b ），则（s ，t ）=1，s t >，s tc kts t+=-，PA =易见（s t +，s t -）=1，则s 、t 一奇一偶．于是由（()t s t +，s t -）=1，得|s t k -，且由PA 为整数知2s t x +=，2s t y -=，x 、y 为奇数．因为|s t k -，于是k 的最小值为s t -，()c t s t =+，PA sxy ==，当s =1，2，3，4时，t 无解(即PA 不是整数)，故5s ≥，又3x ≥，1y ≥，于是PA ≥15，当a =5，b =4，c =36时取到15PA =．若（s t +，s t -）=2，此时s 、t 同奇，k 的最小值为2s t-，此时()2t s t c +=，PA =22s t x +=，22s t y -=，当1s =，3时，无t 使PA 为整数，于是5s ≥，又x y >，所以1y ≥，2x ≥，5210PA sxy =⨯=≥．当5a =，3b =，12c =时取到PA =10． 综上，PA 的最小值是10．18.1.26★★★一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数，求这类四边形中周长最小者． 解析 显然长与宽为4、3的矩形满足要求，其周长=14．若等腰梯形上、下底分别为3、4，腰为2，则由托勒密定理，对角线长为4，满足要求，此时周长为11．故最小周长≤11． 显然对圆内接凸四边形ABCD ，无边长为1．否则若设1AB =，—1AD BD AB <=，得AD BD =，同理AC CB =，于是C 、D 均在AB 中垂线上，构不成凸四边形．因此最小周长≥2×4=8．四边均为2，得正方形，对角线为2，另一边为3，得等腰梯形，10．当周长为10时，显然至少有两边为2．若是2、2、2、4能为2、2、3、3故最小周长为11．18.1.27★★★在Rt ABC △中，90BCA =︒∠，CD 是高，已知ABC △的三边长都是整数，且311BD =，求BCD △与ACD △的周长之比．CB D解析 设ABC △的三边长分别为a 、b 、c ．由题设知 2BC BD BA =⋅，故2311a c =．于是设211a l =，得211l c =由勾股定理得11b ==2211l -是 完全平方数，设为()20t t >，则22211l t -=，()()211l t l t -+=．由于0l t l t <-<+，所以21,11.l t l t -=⎧⎨+=⎩解得61,60.l t =⎧⎨=⎩于是21161a =⨯，116160b =⨯⨯． 因为BCD CAD △∽△，所以它们的周长比等于它们的相似比，即1160a b =．18.1.28★★★已知锐角三角形ABC 中，AD 是高，矩形SPQR 的面积是ABC △的1／3，其顶点S 、P 在BC 上，Q 、R 分别在AC 、AB 上，且BC 、AD 及矩形SPQR 的周长均为有理数，求AB ACBC+的最小值． 解析 如图，设ABC △的三边长依次为a 、b 、c ，AD h =，PQ x =，RS y =，则16xy ah =，及1x y AQ CQ a h AC AC+=+=．由条件，知a 、h 、x y +均为有理数． AR QB S D P C由16x aa x+=，得x a =y h =)2a h x y a h ++=-，因此只能有a h =．若过A 作BC 的平行线l ，再作C 关于l 的对称点C '，则AB AC AB AC +=+′≥BC ′=，于是AB ACBC+，仅当AB AC =时取到． 18.1.29★★★★整数边三角形ABC 中，90BAC =︒∠，AD 是斜边上的高，BD 也是整数．若对同一个BD 能长度，有两个不全等的直角整数边三角形ABC 满足要求，求BD 的最小值． 解析 不妨设ABC △的三边长为a 、b 、c ，AD h =，BD d =，首先bch a=为有理数，又222h c d =-为整数，因此h 也是整数．又CD 为整数，故2h d也是整数．又ABD CBA △∽△,故h b d c=． AB D C因此，只需正整数h 、c 、d 满足222h c d =-及2|d h ，这样的整数边三角形就存在．因为此时hcb d=是有理数，而222b h CD =+为整数，从而b 为整数．易知由2|d h 可得2|d c ． 设21d d σ=，σ、1d 为正整数，且σ无平方因子，于是由2|h σ及2c 知|h σ，c ．设1h h σ=，1c c σ=，代入得422111d c h =-，又由2|d h ，2c 得2211|d h σ，21c σ，今对1d 的任一素因子p ，其在1d 的指数()1s d 不会比1h 的指数高，否则()()111s d s h +≥，()()22112s d s h +≥，而()s σ最多为1，于是()()2211s d s h σ>，这是不可能的．于是11|d h ，同理11|d c ．又令112h d h =，112c d c =，代入422111d c h =-得222122d c h =-． 于是对1d 有两组不同的2c 、2h 满足222122d c h =-．经计算18d ≥，故64d ≥．当64d =时，确实有满足要求的两组解：80AB =，60AC =，100BC =，和136AB =，255AC =，289BC =．故BD 的最小值是64．18.1.30★★★★试找一不等边三角形ABC ，使BC 及BC 边上的中线、角平分线、高的长度都是整数，BC 可以是多少(此时的中线、角平分线、高的长度分别为多少)?若要求BC 不是整数，但2BC 是整数，则BC 可为多少(此时中线、角平分线、高的长度分别为多少)? 解析 首先处理BC 为整数的问题，我们选择的是直角三角形ABC ，对应边为a 、b 、c ，中线AM ，角平分线AD ，高AH ，2aAM =，bc AH a =，又ABC ABD ACD S S S =+△△△，得)bc b c AD +，故AD ，于是a 为偶数2k ，b ，c =，mnAH k =而2mn AD m n =+，2222m n k +=，这个方程有解1m =，7n =，5k =，得75AH =，5AM =，74AD =．乘以一个系数20，即得直角三角形ABC ，它的斜边为200，斜边上的中线为100，角平分线为35，高为28． 下面处理BC 为无理数、2BC 为整数的情形，如图，延长AD ，与MP 交于P ，此处MP BC ⊥．易知A 、B 、P 、C 共圆(P 是ABC △外接圆弧»BC之中点)． 今从基本勾股数出发构造．取12AH =，13AD =，15AM =，则5DH =，9MH =，4MD =，485MD MP AH HD =⋅=，45255PD AD ==． ABMD HCP易知BPD APB △∽△，于是25211760845525BP PD PA =⋅=⨯=，()22222608448302444425255BC BM PB MP ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭． 再乘以系数5，得所求三角形的高60AH =，角平分线65AD =，中线75AM =，边BC =是无理数，但15120BC =．18.1.31★★作圆外切凸五边形ABCDE ，现知该五边形每边长均为整数，1AB =，又圆与BC 切于K ，求BK ．解析 如图，设CD 、DE 、EA 、AB 分别与圆切于P 、Q 、R 、S ．则RE DP ED +=为整数，于是由题设，AR CP +亦为整数，而AR CP AS KC +=+．于是22BK BS BK BS ==+为整数，由于1BS AB <=，故22BS <，221BK BS ==，12BK =． A S RB EQ K CPD。

初四数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. πB. -3C. 0.5D. √42. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都是3. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是：A. 5厘米B. 10厘米C. 20厘米D. 15厘米4. 以下哪个表达式是正确的？A. (-2)^2 = -4B. √16 = 4C. (-3)^3 = -27D. √9 = -35. 如果a > b，且b > 0，那么下列哪个不等式是正确的？A. a + b < bB. a - b > 0C. a * b < 0D. a / b < 16. 下列哪个是二次根式？A. √2xB. 3x + 2C. 4x^2D. 5x^37. 一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，这个三角形是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形8. 一个数的绝对值是其本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 以上都是9. 以下哪个表达式是正确的？A. 2x + 3y = 5xB. 3x - 2y = 5x + 2yC. 4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)D. x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)10. 一个数的倒数是1/4，这个数是：A. 4B. 1/4C. 1/2D. 4/1二、填空题（每题2分，共20分）11. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是________。

12. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是________、________、________。

13. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

14. 如果a + b = 10，且a - b = 2，那么2a的值是________。

15. 一个圆的周长是2πr，其中r是圆的半径，如果周长是12.56厘米，那么半径是________。

数学竞赛试题数学竞赛试题第一篇一、选择题1. 下面哪一个数是质数？A. 12B. 15C. 19D. 242. 一个长方形的周长是60厘米，如果它的宽度是10厘米，那么它的长度是多少？A. 35厘米B. 40厘米C. 45厘米D. 50厘米3. 某学校有800名学生，其中60%是男生。

男生的人数是多少？A. 480人B. 420人C. 360人D. 320人二、填空题1. 3 x 7 + 18 ÷ 3 = __________2. 5的三次方等于__________3. 两边都是直角的三角形叫做__________三角形。

4. 31 ÷ 5 的余数是__________。

三、解答题1. 某商店原价卖一件衣服是300元，现在降价20%。

现在这件衣服的售价是多少？2. 岳春今年8岁，她的姐姐岳秋比岳春大4岁。

到岳秋今年年龄的两倍时，岳春多大？3. 将20分钱分给4个人，每人分到几分？第二篇一、选择题1. 下面哪一个数是一个平方数？A. 16B. 21C. 27D. 322. 阿峰每天骑行沿着一条直线道路去上学，他早上以每小时20公里的速度骑行，回家时以每小时15公里的速度骑行。

如果他每天上学和回家所用的时间总和是5小时，那么离家多远的地方是他的学校？A. 50公里B. 60公里C. 70公里D. 80公里3. 某个数加上5的结果等于20，那么这个数是多少？A. 25B. 15C. 10D. 5二、填空题1. 齐天大圣孙悟空带了72只猴子去打妖怪，结果打死了3只，还剩下__________只。

2. 把120分钱分成3个相等的份额，每份是__________。

3. -12，-9，-6，-3，0，3，6，9，12 这些数中哪些是正数？三、解答题1. 小明从家里骑自行车去超市，骑了25分钟到达。

回家的路上，他以更快的速度骑行，只用了20分钟。

那么整个往返的路程共有多远？2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了5个小时后，汽车的总里程是多少公里？3. 去年小明的身高是120厘米，今年他长高了20%。

第1篇一、选择题（每题2分，共20分）1. 已知a、b、c是三角形的三边，且a+b+c=12，若a=4，b=5，则c的最大值为（）。

A. 3B. 4C. 5D. 62. 若一个数的平方根是±3，则这个数是（）。

A. 9B. 12C. 15D. 183. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，则∠B的度数是（）。

A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 下列各式中，不是同类项的是（）。

A. 3x^2yB. 2xyC. 5xy^2D. 4x^2y5. 若x^2-2x+1=0，则x的值是（）。

A. 1B. 2C. 0D. -16. 下列各数中，是负数的是（）。

A. -2/3B. 2/3C. 0D. -√47. 已知一次函数y=kx+b（k≠0），当x=-2时，y=3；当x=1时，y=-1，则该函数的解析式是（）。

A. y=2x+1B. y=-2x+1C. y=2x-1D. y=-2x-18. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠C的度数是（）。

A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°9. 若x^2+2x-3=0，则x的值是（）。

A. 1B. -1C. 3D. -310. 下列各数中，是质数的是（）。

A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题（每题2分，共20分）11. 若x^2-5x+6=0，则x的值是________。

12. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠C的度数是________。

13. 若一个数的平方根是±3，则这个数是________。

14. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，则∠B的度数是________。

15. 若x^2+2x-3=0，则x的值是________。

第二篇函数、导数及其应用第1讲函数的概念及其表示基础巩固题组（建议用时:40分钟）一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是（)．A．f（x)＝错误!，g(x)＝（错误!)2B．f（x)＝1，g（x）＝x2C．f(x)＝错误!g（t)＝｜t|D．f(x)＝x＋1，g（x)＝错误!解析A选项中的两个函数的定义域分别是R和［0，＋∞)，不相同;B选项中的两个函数的对应法则不一致；D选项中的两个函数的定义域分别是R和｛x|x≠1｝,不相同,尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C选项中的两个函数的定义域都是R,对应法则都是g(x)＝｜x｜，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．答案C2．(2013·临沂一模）函数f(x）＝ln错误!＋x错误!的定义域为（)．A．(0，＋∞)B．（1,＋∞)C．（0,1) D．(0，1）∪(1，＋∞）解析要使函数有意义，则有错误!即错误!解得x＞1。

答案B3．（2013·昆明调研)设M＝｛x｜－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2｝，函数f(x）的定义域为M,值域为N,则f（x)的图象可以是（）．解析A项定义域为［－2，0],D项值域不是[0，2］，C项对定义域中除2以外的任一x都有两个y与之对应,都不符合条件，故选B.答案B4．(2013·江西师大附中模拟）已知函数f(x)＝错误!若f(1）＝f(－1)，则实数a的值等于（)．A．1 B．2C．3 D．4解析由f(1）＝f(－1)，得a＝1－（－1）＝2.答案B5．（2014·保定模拟）设函数f(x）＝2x＋3,g(x＋2)＝f(x),则g（x)的表达式是 ( ）．A．2x＋1 B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析∵g（x＋2）＝f（x）＝2x＋3＝2(x＋2）－1,∴g（x)＝2x－1.答案B二、填空题6．（2014·杭州质检)函数f(x）＝ln错误!的定义域是________．解析由题意知x－2x＋1＞0，即(x－2）（x＋1)＞0,解得x＞2或x＜－1。

小学数学五年级《用方程解决问题》100道应用题(含答案)(2篇)篇一：1. 小明和小华一共收集了35个邮票，小明有20个，小华有多少个？答案：小华有15个。

2. 一箱橙子有18个，小丽吃了3个，剩下的平均分给5个小朋友，每个小朋友分到几个？答案：每个小朋友分到3个。

3. 小红和小绿一共摘了40个苹果，小红摘的苹果数量是小绿的2倍，小红和小绿各摘了多少个？答案：小红摘了28个，小绿摘了12个。

4. 一辆火车每小时行驶120公里，另一辆火车每小时行驶100公里，两辆火车相向而行，3小时后它们相距多少公里？答案：3小时后它们相距360公里。

5. 小明家的鸡和鸭共有35只，鸡的数量是鸭的3倍，小明家有多少只鸡和鸭？答案：小明家有25只鸡，10只鸭。

（以下类似，不再逐一解释）6. 一本书有150页，小明看了60页，剩下的平均每天看20页，问小明看完这本书需要多少天？答案：小明需要4天。

7. 小红和小华去超市购物，小红花了50元，小华比小红多花了20元，他们一共花了多少钱？答案：他们一共花了120元。

8. 一个班级有40名学生，其中有18名女生，剩下的都是男生，这个班级有多少名男生？答案：这个班级有22名男生。

9. 一辆汽车每小时行驶60公里，行驶了4小时后，离目的地还有多少公里？答案：离目的地还有120公里。

10. 一个水果店运来50箱苹果，每箱有20个苹果，卖出8箱后，还剩多少个苹果？答案：还剩720个苹果。

（以下是第1150题，不再逐一解释）11. 小明有3个糖果，小华的糖果数量是小明的2倍，他们一共有多少个糖果？答案：他们一共有9个糖果。

12. 一辆自行车行驶了15公里，速度是每小时5公里，行驶了几个小时？答案：行驶了3小时。

……50. 一个班级有45名学生，其中有20名男生，剩下的都是女生，这个班级有多少名女生？答案：这个班级有25名女生。

篇二：1. 一辆公交车上有乘客35人，到站后下车了10人，又上来了5人，现在公交车上有多少人？答案：现在公交车上有30人。

第11章 比例与相似§11.1比例线段11.1.1★在ABC △中，角平分线AD 与BC 交于D ，AB c =，BC a =，CA b =，求BD 、CD 之长度(用a 、b 、f 表示)． 解析 如图，易知有BD CD a +=，BD AB c CD AC b ==，故ac BD b c =+，abCD b c=+． AB D C11．1．2★已知：等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点，BD BC =，BD CA ⊥且交于E ，求证：CE MN =．解析 如图，不妨设1BE CE ==，则BC BD AC ==，1AE ED =，故2AD =，()112MN AD BC CE =+==． ADEMN BC11．1．3★在ABC △中，2AC AB =，A ∠的平分线交BC 于D ，过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ，FE 和CB 的延长线交于G ，求证：EF EG =． 解析 如图，由ED AC ∥，及AD 平分BAC ∠，知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====，故2GF GE =，因此EF EG =．AEFGBDC11．1．4★设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交FE 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．G AE BDCF解析 由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===． 于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论． 11．1．5★已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图，易知OP EO GA BF EF AB ==，OQ GO AEDH GH AD==． 由于AE BF =，GA DH =，故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅，于是AB AD =，四边形ABCD 是菱形．A E DQGH POB F C11．1．6★ABC △中，AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点，过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证：2AB ACBE CF +==． 解析 如图，易知G 比D 靠近B ，E 在AB 上，而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =，而AB BC BD AB AC ⋅=+，故2BE BG AB ACAB BD AB+==，同理，CF 也是此值． F AEB G D C评注 不用比例线段的方法是：延长EG 一倍至P ，则CP BE =，再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．11．1．7★凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠>︒，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，连结E 、F ，证明：EF CD ∥． 解析 如图，设AC 、BD 交于O ，则由平行线性质，知FO AO BO CO =，AOFO BO CO=⋅，同理，BO EO AO DO =⋅，故FO DOEO CO=，故EF CD ∥． AF DOB CE11．1．8★★如图，在ABC △中．AB AC =，BP 、BQ 为B ∠的三等分角线，交A ∠的平分线AD 于P 、Q ，连结CQ 并延长交AB 于R ，求证：PR QB ∥．ARP Q BDC解析 易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=，则2ABQ RQB θ∠==∠，故RQ RB =，于是由角平分线之性质，知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ====，于是PR QB ∥． 11．1．9★★梯形ABCD 中，AD BC ∥(AD BC <)，AC 和BD 交于M ，过M 作EF AD ∥，交AB 、CD 于E 、F ，EC 和FB 交于N ，过N 作GH AD ∥，交AB 、CD 于G 、H ．求证：1212AD BC EF GH+=+．A DE MF GNHBC解析 11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-，故111EM AD BC =+，同理111FM AD BC =+，故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两式相加并整理即得结论．11．1．10★设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长，且a a bb a b c+=++，求它的内角A ∠、B ∠． 解析 由条件，得22a ab ac ab b -+=+，即()2b a a c =+，所以b a ca b+=． 如图，延长CB 至D ，使BD AB =，于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △，AC DCBC AC=，且C ∠为公共角，所以ABC △∽DAC △，BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠，故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．CABbca D11．1．11★设凸四边形ABCD ，对角线交于E ，过E 作直线与BC 平行，交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =，2EH =，求EF ．DA FGEHBC K解析 延长DF 与CB 延长线交于K ，则有FG GE KB FEBC EH==． 设EF x =，则1FG x =-，代人上式，便得12xx -=．故2EF x ==． 11．1．12★★AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高，CD 为ACB ∠的平分线，作DE BC ⊥于E ，又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ，求证：4CFPE =． 解析 如图，设AB AC m ==，BC n =，则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+， 故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ，连结DG ，1902F C ∠=︒-∠，DG FG =，故1902FDG C ∠=︒-∠，DGF C ∠=∠，故DG AC ∥，从而DG BD BC AC AB AC BC ==+，故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===．ADF B EG P C11.1.13★★足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内，如图(a)，过P 作MPN BC ∥，M 在AB 上，N 在CD 上，则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-，或2222AP CP BP DP +=+．A MBCND P图(a)又设灯高为H ，运动员身高为h ，点A 处的灯造成的影子长为PA ′，如图(b)，则A P h AA H'='，得A P h PA H h '=-，同理B PC PD P hPB PC PD H h'''===-，故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'．图(b)图(c)A'hHAP A'AA''P lh H跳起来时，不妨设脚底离地l ，此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″，如图(c)，则h l A P PA H h l +'=--，lA P PA H l"=-，于是A A A P A P '"='-"h l l PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---， 同理B B C C D D PB PC PD '"'"'"==()()Hh H h l H l =---，所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立．11．1.14★★求日高公式．解析 如图所示，设太阳高度为RD x =，杆AB =A ′B =h 直立在地上，影子的长度分别为BC a =，B ′C ′b =，两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ，这里假定大地为平面，且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．RxDB'A A'hhCB易知CB AB CD RD =，代入得a h a BD x =+，故1x BD a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理，B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =，代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭． 11.1.15★★设梯形ABCD ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且AD EF BC ∥∥，若3AD =，7BC =，5AB =，6CD =，梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等，求EF ．解析 如图，作平行四边形DABH ，H 在BC 上，则5DH AB ==，4CH =．设DH 与EF 交于G ．A DEG FB HC易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6，梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6，故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长，也即DG DF DHC +=△周长的一半即152． 又56DG DH DF CD ==，故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=，306331111EF =+=．11．1．16★★如图，已知ABC △中，AD 、CE 交于F ，BF 、ED 交于G ，过G 作GMN BC ∥，交CE 于M ，交AC 于N ，求证：GM MN =．AEP BDCG K MNF解析 设AD 与GM 交于K ，AB 与直线NG 交于P ，则KN CD KMPK BD GK==． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅=⎪⎝⎭． 11.1.17★四边形ABCD 为正方形，E 、F 在BC 延长线上，CE CD =，CF CA =，H 、G 分别是CD 、DE 与AF 的交点．求证：CHG △为等腰三角形． 解析 如图，不妨设正方形边长为1，则CF ，1CE =，1EF ．ADH JBCEFG作GJ CF ∥，交CD 于J．则JG DG AD CE DE AD EF ==+于是12HG JG HF CF ===，即G 为直角三角形斜边HF 之中点，于是GH GC =． 11.1.18★★在ABC △中，4AB =，2BC =，3CA =，P 是ABC △内一点，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，且PD BC ∥，PE AC ∥，PF AB ∥．若PD PE PF ==，求PD ． 解析 如图，延长CP 交AB 于C ′(同理定义A ′、B ′，图中未画出)，设PD PE PF x ===，则2x C P CC '='，同理，4x B P BB '='，3x PA AA '='，由于1PA PB PC AA BB CC '''++='''，故1234x x x ++=，1213x =． AC'FPDE B C11.1.19★ABC △内有一点O ，AO 的延长线交边BC 于点A ′，BO 的延长线交边AC 于点B ′，CO 的延长线交边AB 于点C ′．若AO BO CO k OA OB OC ++='''，求AO BO COOA OB OC ⋅⋅'⋅'⋅'的值(用k 表示)． 解析 如图，设AO x OA ='，BO y OB ='，CO z OC ='，则x y z k ++=，而1OA OB OCAA BB CC ''++='''，即1111111x y z++=+++，展开得 ()32x y z xy yz zx ++++++()1x y z xy yz zx xyz =+++++++，故22xyz x y z k =+++=+．AC'B'B A'CO11.1.20★已知ABC △的三边长分别为a 、b 、c ，三角形中有一点P ，过P 作三边的平行线，长度均为x ，试用a 、b 、c 来表示x ．解析 设AP 延长后与BC 交于A ′(同理定义B ′与C ′)，则1x AP PA a AA AA '==-''，同理1x PB b BB '=-'， 1x PC b CC '=-'，三式相加，得11132PA PB PC x a b c AA BB CC '''⎛⎫⎛⎫++=-++= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭，所以2abcx ab bc ca=++．ABCPA'评注 P 存在的条件是x a <，b ，c ，代人得：1a 、1b 、1c可组成三角形三边之长． 11.1.21★已知D 、E 、F 分别是锐角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，6AP BP CP ===．设PD x =，PE y =，PF z =，28xy yz zx ++=，求xyz 的大小．解析 由熟知结论1PD PE PFAD BE CF++=，得1666x y z x y z ++=+++，因此(6)(6)(6)(6)(6)(6)x x z y x z z x y ++++++++=(6)(6)(6)x y z +++，即 1083()xyz xy yz zx =-++=24．11.1.22★如图，正方形ABCD 边长为1，Q 为BC 延长线上一点，QA 与CD 、BD 分别交于点P 、E ，QO (点O 是AC 与BD 交点)与CD 交于点F ，若EF AC ∥，求AP 的长．ADEPFOCBQ解析 连结DQ ，则由EF AC ∥，得EQ EF EF DEQA AO CO DO===，于是DQ AC ∥，CQ AD =，P 为CD 中点，所以AP =． 11.1.23★★如图，已知EF BC <，G 、D 分别在EF 、BC 上，则下面任两条可推出第三条：(1)BE 、DG 、CF 共点；（2）EF BC ∥；（3）EG BDFG CD=． AA'E'EGF F'B DC解析 (1)，(2)⇒(3)：EF BC ∥，则EG AG GF BD AD CD ==，故EG BDGF CD=． （2），（3）⇒（1）：EG BD FG CD =⇒1EG FG EFBD CD BC==<，故可设BE 、DG 延长后交于A ，DG 、CF 延长后交于AG EG GF AD BD CD ===A G A D ''，AG A GGD GD'=，A 与A '重合． (1)，(3)⇒(2)：若EF 与BC 不平行，作E 'GF 'BC ∥，E '在AB 上，F '在AC 上，则有E G BD EG F G CD FG'=='，得EE 'FF ∥'，即AB AC ∥，矛盾． 11.1.24★ABC △中，AK 为A ∠的平分线，在BA 、CA 上取BD CE =，G 、F 分别为DE 、BC 的中点，则GF AK ∥．解析 如图，连结BE ，设BE 中点为M ，连结CM 、FM ，则12GM BD =∥12CE MF ∥，所以GM FM =，且GMF GME EMF ABE ∠=∠+∠=∠+180180BEC BAC ︒-∠=︒-∠． 取AC 上的点S ，使KS AB ∥，则等腰GMF △∽等腰AKS △，且对应边KS GM ∥，AS MF ∥，故第三边也平行，即GF AK ∥．AE SGD MBFKC11.1.25★★★已知：ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 上一点，且非BC 中点，211AD BD CD=+，P 为AD 中点，求证：2BDA BAD ∠=∠，PD 平分BPC ∠．解析 如图，作BR AD ∥，与CA 延长线交于R ，延长CP 交BR 于Q ，则由AP PD =，AD RB ∥，有RQ BQ =．又90RAB ∠=︒，故AQ BQ =．由条件，知111BCPD BD CD BD CD++=⋅，于是PD CD PD BD BC BQ ==，BD BQ AQ ==，四边形AQBD 乃等腰梯形(若四边形AQBD 是菱形，则C ∠=QAR R DAC ∠=∠=∠，D 为BC 中点，与题设矛盾)，12BAD QBA QAD ∠=∠=∠12BDA =∠．又P 为AD 中点，显然(比如由全等)有BPD APQ DPC ∠=∠=∠．RQBDCAP11．1．26★★★已知M 、N 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，CD 延长线上有一点P ，PM 延长后与AC 交于Q ．求证．NM 平分PNQ ∠．解析 如图，设AC 与MN 交于O ，则MO NO =，过O 作OR MN ⊥，交QN 于R ，则MR NR =．AMDPROB N C又OR BC ∥，MO PC ∥，故QM QO QRMP OC RN==，于是MR PN ∥，由于OR 将MN 垂直平分，于是RNO RMO PNM ∠=∠=∠． 11.1.27★★在ABC △中，3A B ∠=∠，求证：2a b b c a b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，a 、b 、c 为ABC △的对应边长．解析 如图，延长CA 至D ，使223D BAC ABC ∠=∠=∠，于是DBA ABC ∠=∠，故CD BC =，AD a b =-．ABD △中，2D DBA ∠=∠，则2()AB AD AD BD =+．又由角平分线性质BD AD BC AC =，得()a a b BD b-=，22a b AD BD b -+=，代人前式，得222()()a b a b c b --=，即得结论．DACB评注 ABC △中，22()A B BC AC AC AB ∠=∠⇔=+，证明如下：延长CA 至D ，使AD AB =，于是2()D ABC BC AC AC AD ∠=∠⇔=+或()AC AC AB +．11．1.28★★已知AB CD ∥，E 、F 分别是AB 、CD 上任两点，DE 、FB 延长后交于M ，AF 、EC 延长后交于N ，求证：若AB CD ≠，则AD 、BC 、MN 共点；若AB CD =，则AD BC MN ∥∥．解析 如图，设AE a =，BE b =，CF c =，DF d =，延长AB 、DC 分别与MN 交于P 、Q ，设BP x =,CQ y =．由AP FQ ∥知a cb x y =+，同理d bc y x=+，即ay bc cx =+，dx bc by =+，于是ay cc dx by -=-，a b c d x y ++=，或AB CDBP CQ=．若AB CD =，则BP CQ =，又BP CQ ∥，做AD BC PQ ∥∥；AB CD ≠，由AB ∥CD ，得AD 、BC 、MN 共点（见题11.1.23）．ADE FB C MPQN11.1.29★★正三角形ABC ，D 、E 、F 是BC 、CA 、AB 的中点，P 、Q 、R 分别在EF 、FD 、DE 上，A 、P 、Q 共线，B 、Q 、R 共线，C 、R 、P 共线，求FPPE． 解析 如图，不妨设ABC △边长为2，PF x =，QD y =，ER z =，则1PE x =-，1FQ y =-，1DR z =-．AE PQRBDCF由PE ER CD RD =，得11z x z -=-，同理11y z y -=-，11x y x -=-，于是121xy x -=-，121y x yx -=-，13111111212x x x z x x--=-=-=---，x y z ===．所以1x -=1FPx PE x ===- 11．1．30★★任给锐角ABC △，问在BC 、CA 、AB 上是否各存在一点D 、E 、F ，使FD BC ⊥，DE AC ⊥，EF AB ⊥?解析 这样的DEF △是存在的．作法如下：在BC 上任取一点D ′，作D ′E ′AC ⊥于E ′，分别过D ′、E ′作BC 、AB 的垂直线交于点F ′．A RF SB D'D CEE'F'若F ′恰在AB 上，则D ′、E ′、F ′，即为满足条件的三点D 、E 、F ；若，F ′不在AB 上，设C 、F ′，所在直线与AB 交点为F (因为ABC △是锐角三角形，所以交点必在AB 上)，过F 分别作BC 、AB 的垂线交BC 、AC 于D 、E ，则FD BC ⊥，EF AB ⊥，连结DE ，易知CD CF CECD CF CE =='''，得DE ∥D ′E ′，由作法D ′E ′AC ⊥，所以DE AC ⊥，D 、E 、F 满足条件．11.1.31★★★已知凸四边形内有一点P ，APB ∠、BPC ∠、CPD ∠、DPA ∠的平分线分别交AB 、BC 、CD 、DA 于K 、L 、M 、N ，求证：四边形KLMN 为平行四边形的充要条件是P 为AC 、BD 的中垂线的交点．解析 若P 为AC 、BD 的中垂线之交点，则AP CP =，BP DP =，于是AK AP AP ANBK BP DP ND===，于是KN BD ∥，同理ML ∥BD ，又同理MN AC KL ∥∥，故四边形KLMN 为平行四边形．D反之，若四边形KLMN 为平行四边形，由于AN DM AP AK BLND MC CP KB LC⋅==⋅，故由梅氏定理，若MN 、KL 不与AC 平行，它们将与AC 交于同一点，这与NM KL ∥矛盾，因此NM AC ∥，AP CP =，同理BP DP =，故P 在AC 、BD 的中垂线上． 11．1．32★★★已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别在AB 、CD 上，求证：若ED BF ∥，则AF CE ∥．又此时若ED 、AF 交于M ，CE 、BF 交于N ，问三直线AB 、MN 、CD 共点的条件．解析 如图(a)，不妨议BA 、CD 延长后交于P ，于是有PQ PD BP PC =，PE PDPB PF=．PA D M EFN BC图(a)于是PA PC PB PD PE PF ⋅=⋅=⋅，由此可得PA PFPE PC=，故AF CE ∥． 因为四边形MENF 为平行四边形，MN 过EF 的中点，若P 、M 、N 共线，则由塞瓦定理，有AD EF ∥BC ∥．下面刻画E 或F 的位置，如图(b)，设BD 与EF 交于Q ，AEk EB=，则由ED BF ∥，DF DQ EQ k FC BQ FQ ===，而111EQ AD K =++，1QF k BC k =+，故1ADk k BC =⋅，此即AEBE= ADEFQBC图(b)11.1.33★★如图，已知ABC △中，AD 、BE 、CF 交于G ，FH AD ∥，FH 延长后与ED 的延长线交于K ，求证：FH HK =．AFEMG N BH DJ CK解析 作EJ AD ∥，EJ 与CF 交于N ，FK 与BE 交于M ，则由平行，知FH AD EJFM AG EN==，故FH FM FG HD HKEJ EN GN DJ EJ====，于是FH HK =．11.1.34★★★已知ABC △，AD 、BE 、CF 是角平分线，M 、N 在BC 上，且FM AD EN ∥∥，求证：AD 平分MAN ∠．AF EPI TSBMDN C解析1 设ABC △内心为I ，FM 与BE 交于S ，EN 与CF 交于T ，连结EF ，交AD 于P ．由角平分线及平行性质，有FM AD EN FS AI ET ==，故有FM FS SI FP AFEN ET IE PE AE====，又11802AFM BAC ∠=︒-∠∠AEN =∠，故AFM △∽AEN △，于是FAM EAN ∠=∠，于是AD 平分MAN ∠．解析2 由角平分线性质，知AE AB EC BC =，AF AC BF BC =，于是AE AB CE AF AC BF =⋅．又易见FM BFAD AB=，EN CE AD AC =，故EN CE AB FM BF AC ⋅=⋅，于是AE ENAF FM =，以下同解析1． 评注 注意解析1更好些，因为只要求AD 平分BAC ∠．不要求I 是内心，本题结论也成立．于是本题的逆命题是，由AD 平分MAN ∠得出AD 平分BAC ∠，而不能证明I 是内心．这个逆命题也是正确的，读诗者不妨一试．11．1．35★★P 为XOY ∠内一点，A 、B 在OX 上，C 、D 在OY 上，线段AD 、BC 交于P ．若1111OA OD OB OC+=+，则OP 平分XOY ∠，反之亦然． 解析 如图，作平行四边形PQOR ，Q 、R 分别在OX 、OY 上．设QP OR a ==，OQ PR b ==． 此时易得1a b a b OD OA OC OB +=-+，因此1111a b a b b b OD OD OA OC OC OB --⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是a b a bOD OC --=．但OD OC >，故a b =．所以平行四边形PQOR 是菱形，OP 为XOY ∠之平分线．XYBA Q POR C反之，可设所作平行四边形PQOR 为菱形．设菱形边长为n ，则1a PR RD aOA OA OD OD===-，即得111OA OD a +=．同理，111OB OC a+=，于是命题得证．11．1．36★★已知ABC △，三边分别为a 、b 、c ，AD 是角平分线．求AD 之长(用a 、b ，c 表示)解析 如图，延长AD 至E ，使E B ∠=∠，于是A 、B 、E 、C 共圆，又ABD △∽AEC △，故AB AC ⋅=()AD AE AD AD DE ⋅=+=22AD AD DE AD BD CD +⋅=+⋅．ABDCE设AB c =，AC b =，则ac BD b c =+，abCD b c=+，故AD ===． 11．1．37★★在ABC △中，AD 、AE 三等分BAC ∠，且BD =2，DE =3，EC =6，求AB 的长． 解析 如图，设AB x =，AD y =，则由角平分线性质知32AE x =，2AC y =． AB D E由于2AB AE AD BD DE ⋅-=⋅，即22362x y -=，同理2292184y x -=，消去y ，得AB x ==11．1．38★★★已知平行四边形ABCD ，点E 是点B 在AD 上的垂足，点F 在CD 上，90AFB ∠=︒，EG AB ∥，点G 在BF 上，点H 是AF 与BE 的交点，又DH 延长后与CB 的延长线交于点I ，求证：FI GH ⊥．解析 如图，作IK HF ⊥．对OKF △与HFG △来说，KF FG ⊥，IK HF ⊥，而90HFG IKF ∠=︒=∠，如果能证明两三角形(顺向)相似，那么第三组对应边OF 与HG 就垂直了，于是只需证明KF IK FG HF =或KF FGIK HF=．事实上设AF 、BC 延长后交于点J ，且设J θ∠=∠，则易知cos KF BO θ=，sin KI IJ θ=，于是cot cot cot KF BI DE FGIK IJ AD FBθθθ===，又HB BJ ⊥，故HBF θ∠=，于是tan FB HF θ=，代人上式，即得KF FGKI HF=． θθθCJ IB G KF HAE D§11.2相似三角形11．2．1★已知，B 是AC 中点，D 、E 在AC 的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠．解析 如图，易知DBE DBC EBC A ADB EBC A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠． 又ABD △∽BDE △，故BD AD ADBE BC AB==，于是ADB △∽BDE △，故BDE ADB ∠=∠． DEA B C11．2．2★已知αβ+=α′+β′<180︒，sin sin αβ=sin sin αβ''，则αα=′，ββ='． 解析 如图，作ABC △与A △′B ′C ′，使B α∠=，B ∠′α=′，C β∠=，C ∠′β='，则由条件A A ∠=∠′，且sin sin sin sin AB A B AC A C ββαα'''==='''，故ABC △∽A △′B ′C ′，从而B B ∠=∠′，C C ∠=∠′．此即αα=′，ββ=′．AB C A'B'C'评注 这个结果用途极广．11．2．3★线段BE 分ABC △为两个相似的三角形，求ABC △的各内角． 解析 如图，不妨设BCE △∽ABE △，BCE △比较“大”．BA EC由于BEA ∠>EBC ∠及C ∠，故只能有BEA CEB ∠=∠，于是BE AC ⊥．ABE CBE ∠=∠不可能(否则ABE △≌BCE △)，故ABE C ∠=∠，CBE A ∠=∠，90ABC ∠=︒，BCAB=ABC △三内角为：30︒、60︒、90︒． 11．2．4★★设ABC △中，D 在BC 在上，且22BD AD BC AC =，求证：ABD △∽CBA △． AEB D C解析 过D 作DE AC ∥，E 是AB 是一点．于是BD EDBC AC=，代入条件并整理，即得ED ADAD AC=． 又EDA DAC ∠=∠，于是EDA ∠∽DAC △，于是BAD C ∠=∠，故ABD △∽CBA △．。