江苏省无锡市高中2010—2011学年度第一学期高三数学期中试卷

江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题（答案在最后）2024.11命题单位：注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A xx B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====---++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96kk k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x =+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0a a ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0a a ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x --D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)ln ln 111x x x f x x x x x-++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln1x g x x x -=++，则()11ln 1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A .5-B.5C.7-D.7【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tan θ，进而求出tan 2θ.【详解】∵π3sin 243θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴cos 3θ==，∴sin tan cos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.5【答案】B【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB 与AP的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB =+ ，两边平方2221618252525CP CA CB CA CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以5CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x =D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D .若0a <，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得ac bd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a <，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1a b ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x =-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x +'=-，由()0g x '=得x =当(,x ∈-∞时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当(x ∈时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b =时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15a x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x--+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11a x x x ⎛⎫≤-++⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x xx ϕ∈-=-++，则332()x x x xϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x =-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x =-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()a h x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)31,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924a b c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c =.故答案为：614.任何有理数mn都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为m n 的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n nb a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+=易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nna -=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141n n n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫=⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）10【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅= ，将(1)c a b λλ=+- 代入可得()210a b b λλ⋅+-=，再由数量积的定义求得1a b ⋅=-，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以2cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)c a b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1)562a a b b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c 最小为55，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ，又55c b ⋅==，所以15cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b与c夹角的余弦值为10.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x af x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x af x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得102a <<.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+= ⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tan tan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABC V 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E，则2π,2,3cos 2cos AE DBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DB CD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点()00,ex x ，将问题转化为0011e x t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，构造函数())()1e 0x m x x -=->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e 0e xx x m x m ->⇔>，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()ex xg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点()0,e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011e x t x =+-，令()e 1xh x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e xh x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a b a tb a b t --⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()ee 22e e 0xx x x H x h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e a aa t a t t --+-=⇒=+->，e e aAT bBTk k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1abAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex xxm x x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e1e aba b ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT >，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21nn c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12nn n c c +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m m n -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3nn n c c c +=+=，12nn n c c +∴-=，当2n ≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n--=+=+-，而13c =也满足上式，21nn c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m n n m m b a n n b c ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mm n m b a c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m m d d ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mm S m --=+++-⋅ ()241242(1)212m mm m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m mm m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m =时，左边0<，舍去，当4m =时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m =.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2mm S m =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。

江苏省无锡一中2010届高三上学期期中考试数学文试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．抛物线x y 42=的焦点坐标为 。

2．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则S 7= 。

3．“2=m ”是“直线m x y +=与圆122=+y x 相切”的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）4．一个几何的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 。

5．关于直线m ，n 与平面βα,，有以下四个命题：①若βαβα////,//且n m ，则n m // ②若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且,,βαβα； ③若;,////,n m n m ⊥⊥则且βαβα④若n m n m //,,//则且βαβα⊥⊥； 其中真命题的序号是 。

6．等比数列}{n a 中，8921=a a a ，则62a a = 。

7．已知F 1，F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以F 1F 2线段为边作正21F MF ∆，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 。

8．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 。

9．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列的规律，第n 行)2(≥n10．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内的两个边长都是a 的正方形，其中一个某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a 。

类比到空间，请你猜想：有两个棱长均为a 的正方体，其中一个正方体的一个顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 。

11．若Z k ∈，则椭圆131222=-++k y k x 的离心率是 。

12．△ABC 中，a ，b ，c 是内角A ，B ，C 的对边，且C B A sin lg ,sin lg ,sin lg 成等差数列，则下列两条直线0)(sin )(sin :,0)(sin )(sin :2221=-+=-+c y C x B l a y A x A l 的位置关系是 （填正确序号）①平行；②相交；③重合；④垂直13．设集合}16|),{(22≤+=y x y x A ，}1)2(|),{(22-≤-+=a y x y x B ，若B A =B ，则实数a 的取值范围为 。

江苏省无锡市2010—2011学年度高三上学期期中考试一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“b a >∀，都有22b a >”的否定是 ．2．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}2,1{=B ，则=B A C U I )( ． 3．已知(1,2),(2,),(2,1)a b k c =-==-r r r ，若()a b c +⊥r r r ，则k = ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于___________．5．已知椭圆22149x y +=的上．下两个焦点分别为1F ．2F ，点P 为该椭圆上一点，若1PF ．2PF 为方程2250x mx ++=的两根，则m = ．6．在△ABC 中，A =60o ,b =1,其面积为3，则ABC ∆外接圆的半径为 ．7．函数2log log (2)x y x x =+的值域是______________．8．设0ω>，函数)3sin(πω+=x y 的图像向右平移45π个单位后与原图关于x 轴对称，则ω的最小值是 ．9．给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； ②垂直于同一直线的两直线相互平行；③如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④如果两个平面垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．则其中真命题的序号是 ．10．设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额分成n 次付清，每期期末所付款是x 元，每期利率为r ，则x = ．11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=)1(3)5()1(31)(2x x x x x f ，则=+---)35()3(4321f f ．12．对于函数)(x f 定义域中任意的1x ．2x （1x ≠2x ）,有如下结论：①12()f x x + = 1()f x 2()f x ; ②)(21x x f ⋅ =1()f x +2()f x ;③;0)()(2121>--x x x f x f ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+当)(x f =2x 时，上述结论中正确结论的序号是 ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9（k ∈N *），则k 的值为____________．14．二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15． （本小题满分14分）已知集合{}2514A x y x x ==--，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B I ；（2）若A C A =Y ，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1+2，S 3=9+3 2（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设nS b n n =，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．设函数)(x f 是定义在]1,0()0,1[Y -上的奇函数，当)0,1[-∈x 时，212)(xax x f +=（a 为实数）． （1）当]1,0(∈x 时，求)(x f 的解析式；（2）当1->a 时，试判断)(x f 在]1,0(上的单调性，并证明你的结论．18．（本小题满分15分）已知函数2()2sin cos 2f x x x x =+（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）当(0,)2x π∈时，若函数()()g x f x m =+有零点，求m 的范围；（3）若02()5f x =，0(,)42x ππ∈，求0sin(2)x 的值．设数列}{n b 满足：211=b ，n n n b b b +=+21， （1）求证：11111+-=+n n n b b b ；（2）若11111121++++++=n n b b b T Λ，对任意的正整数n ，05log 32>--m T n 恒成立．求m 的取值范围．20．（本小题满分16分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点．（1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式；（2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值；（3）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时， 求证：21|()|(32)12g x a a ≤+．参考答案一、填空题：1．b a ≤∃，使得22b a ≤；2．}2{；3．8；4．6；5．339； 6．-3；7．),3[]1,(+∞--∞Y ；8．45； 9．③④；10．1)1()1(-++n nr r ar ； 11．3；12．①③④；13．4；14．),0()21,(+∞--∞Y ．二．解答题：15．解：（1）∵),7[]2,(+∞--∞=Y A ，………………………………………………2分 )3,4(--=B ，………………………………………………4分∴)3,4(--=B A I ．………………………………………………6分（2） ∵A C A =Y∴A C ⊆．………………………………………………8分①φ=C ,112+<-m m ,∴2<m ．……………………………………9分②φ≠C ,则⎩⎨⎧-≤-≥2122m m 或⎩⎨⎧≥+≥712m m ．……………………………12分∴6≥m ．………………………………………………13分 综上，2<m 或6≥m …………………………14分16．解：（1）∵S 3=9+32，∴a 2=3+2，∴d =2…………………………………2分∴a n =1222)1(21-+=⋅-++n n ，………………………4分 n n n n S n 22)12221(2+=-+++⋅=．…………………6分 （2）∵2+==n nS b n n …………………7分 假设数列{b n }存在不同的三项p b ，q b ，m b 成等比数列∴2q b =m p b b ⋅，…………………9分 ∴)2()2()2(2+⋅+=+m p q ∴)(2222m p pm q q +⋅+=+…………………10分 ∴⎩⎨⎧+==mp q pm q 22，…………………………………12分∴0)(2=-m p ，即m p =与m p ≠矛盾，∴ 数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．…………………14分17．解：（1）设]1,0(∈x ，则)0,1[-∈-x ，…………………1分 212)(xax x f +-=-…………………3分 ∵)(x f 是奇函数∴)()(x f x f --=…………………5分 ∴212)(xax x f -=，]1,0(∈x …………………7分 （2）)(x f 在]1,0(上单调递增…………………8分 ∵3/22)(x a x f +=…………………10分 ∵1->a ，]1,0(∈x ∴013>+x a …………………13分 ∴0)(/>x f∴)(x f 在]1,0(上单调递增． …………………15分18．解：（1）∵()sin 222f x x x =+=2sin(2)23x π++………………3分 ∴对称轴方程为212ππk x +=，Z k ∈．………………………………4分 （2） ∵(0,)2x π∈ )34,3(32πππ∈+x∴sin(2)(32x π+∈-∴]4,23(2)32sin(2+-∈++πx ……………………………7分∵函数()()g x f x m =+有零点，即()f x m =-有解．……………8分 即]4,23(+-∈-m )23,4[--∈m ． ……………9分（3）02()5f x =即022sin(2)235x π++= 即04sin(2)35x π+=-……10分 ∵0(,)42x ππ∈ ∴0542(,)363x πππ+∈ 又∵04sin(2)35x π+=-， ∴042(,)33x πππ+∈……11分 ∴03cos(2)35x π+=-………………………………………………12分∴0sin(2)x =0sin[(2)]33x ππ+-…………………………………13分 =00sin(2)cos cos(2)sin 3333x x ππππ+-+=413()()525-⨯--．………………………………………………15分 19．解：（1）∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n ． ∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+．…………4分 （2）111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T Λ．…7分 ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列．∴数列{n T }关于n 递增． ∴1T T n ≥．……………………………10分 ∵211=b ，∴43)1(112=+=b b b ∴321221=-=b T ……………………………12分 ∴32≥n T ∵05log 32>--m T n 恒成立，∴53log 2-<n T m 恒成立，∴3log 2-<m ……………………………14分 ∴810<<m ．……………………………16分20．解：（1）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f依题意有-1和2是方程02322=-+a bx ax 的两根 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=32321a a b ，． ……………………………3分 解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23--=．（经检验，适合）． ……………………4分（2）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=a x x 且22||||21=+x x ， ∴8)(221=-x x ．……………………………6分 ∴834)32(2=+-a ab ，∴)6(322a a b -=．∵20b ≥∴06a <≤．……………………………7分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+． 由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a ．………………………8分即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数，∴当4=a 时，()p a 有极大值为96，∴()p a 在]6,0(上的最大值是96， ∴b 的最大值为64． ……………………………9分（3）证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=． ．………………………10分 ∵321a x x -=⋅，a x =2，∴311-=x ． ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g ………12分 ∵21x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g ………13分|()|g x )313)(31(3+-+-=a x x a a a a a x a 3143)2(3232+++--=……14分 323143a a a ++≤12)23(2+=a a ． ∴|()|g x 2(32)12a a +≤成立． ……………………………16分。

2009-2010学年度无锡市第一中学第一学期高三期中考试数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．︒330sin 的值是 。

2．已知全集},5,4,3,2,1{=U 集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合C U （A ∩B ）等于 。

3．“)(26Z k k ∈+=ππα”是“212cos =α”的 条件。

4．函数1)(+=x x x f 的最大值为 。

5．将函数)12(log 2+=x y 的图像向右平移1个单位可以得到函数的解析式是 。

6．命题“函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，若0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 上有零点。

”的逆否命题为 。

7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知︒===30,3,3C b a ，则A= 。

8．函数a ax x f 23)(-=+1在[—1，1]上存在一个零点，则a 的取值范围为 。

9．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则}{n a 的公比为 。

10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，若,1)(0>x f 则0x 的取值范围是 。

11．函数x a x x f -=)(在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为 。

12．在实数数列}{n a 中，已知|1|||,|,1||||,1|||,0123121-=-=-==-n n a a a a a a a 则4321a a a a +++的最大值为 。

13．某厂2008年12月份产值计划为当年1月份产值的a 倍，则该厂2008年度产值的月平均增长率为 。

14．存在0<x 使得不等式||22t x x --<成立，则实数t 的取值范围是 。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

无锡市普通高中2017年秋季学期高三期中基础性检测考试卷数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}0,1,2A =，集合11,B x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且B A ⊆，则实数x = . 2.若复数z a i =+（a 为正实数）的模为2，则a = .3.菲波那切数列（Fibonacci,sequence ）,又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonadoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1,2,3,5,8,13,21，…，则该数列的第10项为 .4.若函数()()1,03,0x x f x f x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()5f = .5.已知函数()22f x x ax =+-的单调递减区间为(),1-∞，则实数a 的值为 .6.若变量,x y 满足22360x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，且2x y a +≥恒成立，则a 的最大值为 .7.将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，若所得图象过点1,32π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值是 . 8.已知函数()11212xf x =-+，则()()2110f a f a ++->的解为 . 9.已知22sin 2sin cos 3cos 0x x x x +-=，则cos 2x = . 10.在等差数列{}n a 中，已知13240,2a a a a +=+=-，则数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和是 . 11.已知实数,x y 满足22log 2xy -=，则21x y+的最小值为 . 12.如图所示，在平行四边形ABCD 中，,AP BD P ⊥为垂足，且1AP =，则AP AC ⋅=u u u r u u u r.13.关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 .14.已知正项数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，对任意正整数,m n ，当n m >时，2m n m n m S S S --=⋅总成立，若正整数,p q 满足6p q +=，则11p qS S +的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.（本题满分14分）已知()()()3,1,1,2,1,1.a b c =-=-=r r r（1）求a r 与b r的夹角的大小;（2）若()//c a kb +r r r，求k 的值.16.（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,22,AD BC AD AB BC M==为边AD 的中点，1CB ⊥底面ABCD . （1）求证：1//C M 平面11A ABB ； （2）平面1B BM ⊥平面1ACB .17.（本题满分14分）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b =（1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.18.（本题满分16分）在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. （1）试用θ和a 表示S ；（2）若恰好当60θ=o时，S 取得最大值，求a 的值.19.（本题满分16分）已知数列{}n a 满足133,1,1,n n n a n n a a a n n +⎧⎪==⎨---⎪⎩为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =，.n N *∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ，使得212n n n S b S +>>成立？说明理由.20.（本题满分12分）已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）令()()g x xf x =，区间1522,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，e 为自然对数的底数。

无锡市第一中学 2011届高三阶段性质量检测数学试题（理科）一、填空题1．已知命题2:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为___________． 2．=⨯+50lg 2lg )5(lg 2___________．3．已知全集R U =，集合}22)21(|{},0lg |{≥=<=xx N x x M ，则(∁=N M U )______． 4．满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个．5．函数xy a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 ． 6．已知B A ,是两个非空集合，则“A x ∉”是“)(B A x ∉”的 条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”或“既不充分又不必要”）7．已知函数)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+)0(2)0(12x x x x 并且()10f x =，那么x = ．8．设函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f （2＋t ）＝ f （2－t ）成立，在函数值 f （－1），f （1），f （2），f （5）中的最小的一个不可能是 ． 9．光线透过一块玻璃板，其强度要减弱101，要使光线的强度减弱到原来的31以下，至少有这样的玻璃板 ___块．（参考数据：)4771.03lg ,3010.02lg == 10．设23abx ==，且111a b+=，则x 的值为 ． 11．关于x 方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-)(R a ∈有两个实根，则a 的范围是______．12．定义运算：⎩⎨⎧>≤=*ba b b a a b a ,,,如121=*，则函数x x x f -*=22)(的值域为______． 13．汽车在匀速行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油耗油量，单位：/L h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：/km h ）之间满足：21(50) 5 (0150)2500g v v =-+<<．若定义“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最小（单位：/L km ），则汽油的使用率最高时，汽车速度是 （/km h ）．14．设函数f （x ）的定义域为D ，如果对于任意的D x D x ∈∈21,存在唯一的，使)(2)()(21为常数C C x f x f =+成立，则称函数f （x ）在D 上均值为C ，给出下列四个函数 ①3x y =，②x y sin 4=，③x y lg =，④xy 2=， 则满足在其定义域上均值为2的函数是 ． 二、解答题15．求实数m 的取值组成的集合M ，使M x ∈时，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．其中p ：方程012=+-mx x 有两个不相等的负根；q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．16．已知定义域为R 的函数141)(++=x a x f 是奇函数． （1）求a 的值；（2）判断)(x f 的单调性（不需要写出理由）；（3）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．17．设f (x )=xq a ⋅(a ,q 是正数, q ≠1),不等的正整数m 、k 、h 满足k 2=mh ,试比较()()11[][]m hf m f h 与()2[]k f k 的大小.18价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定征税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点. （Ⅰ）根据题中条件填空，m = （元/担） （Ⅱ）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（Ⅲ）要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．19．设]1,1[-=A ，]22,22[-=B ，函数12)(2-+=mx x x f ， （1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当)(B A C ⊆时，求实数m 取值范围； （2）若对任意R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+成立，试求B x ∈时，)(x f 的值域； （3）设mx x a x x g ---=2||)( )(R a ∈，求)()(x g x f +的最小值．20．对于区间],[n m 上有意义的两个函数)(x f 与)(x g ，如果对任意],[n m x ∈均有1|)()(|≤-x g x f ，则称)(x f 与)(x g 在],[n m 上是接近的；否则，称)(x f 与)(x g 在],[n m 上是非接近的．现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与ax x f a -=1log )(20(>a 且)1≠a ，)(1x f 与)(2x f 在给定区间]3,2[++a a 上都有意义，（1）求a 的取值范围；（2）问)(1x f 与)(2x f 在给定区间]3,2[++a a 上是否为接近的？请说明理由．参考答案1．2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤ 2．1 3．(,0]-∞ 4．4 5．2 6．充分不必要 7．3或-5 8．f （1） 9．11 10．6 11．)413,3( 12．(]1,0 13． 14．①③15．解：因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以q p ,中一真一假p 真：20220100421212-<⇒⎩⎨⎧<-<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>=<=+>-=∆m m m m x x m x x m 或 q 真：044)]2(4[2<⨯--=∆m ，即31<<m若p 真q 假，即2-<m ，若p 假q 真，即31<<m 所以，}312|{<<-<=m x x M 或16．解：（1）函数)(x f 的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以0)()(=-+x f x f ，即0124141412141141=+=++++=+++++-a a a a x x x x x ，故21-=a ．（另解：由)(x f 是R 上的奇函数，所以0)0(=f ，故21-=a ．再由)41(24141121)(xxx x f +-=++-=， 通过验证0)()(=-+x f x f 来确定21-=a 的合理性） （2）解法一：由（1）知,14121)(++-=x x f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-)(x f 在R 上为减函数，由上式得：.2222k t t t +->-即对一切,0232>--∈k t t R t 有 从而31,0124-<<+=∆k k 解得 解法二：由（1）知,24214)(+⋅+-=x x x f 又由题设条件得：0242142421422222222<+⋅+-++⋅+-----k t k t t t t t即0)14)(14()14)(14(22222222<+-+++-+----ktttttkt整理得14232>--kt t ，因底数4>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得 17．解：[][]0)()(21111>⋅=+q ah f m f hm hm ，[]0)(222>⋅=q a k f kk，kh m kh m aq a q a21122211-++=⋅⋅，因为n m ,是不等的正整数，则kmh h m 21211=>+ 当1>a 时，[][]hmh f m f 11)()(>[]kk f 2)(，当1=a 时，[][]h mh f m f 11)()(=[]kk f 2)(， 当1<a 时，[][]hm h f m f 11)()(<[]kk f 2)(，18．解：（I ）200；（II ）降低税率后的税率为（10x -）%，农产品的收购量为%)21(x a +万担，收购总金额200x a 21(+⋅%）.依题意， x a y 21(200+=%）)10)(2100(1000200)%10(x x a x -+=-⋅)100()10)(2100(501<<⋅-+=x x x a （III ）原计划税收为a a 20%10200=⨯（万元）依题意，得)%10)(2100(501x x a -+242,08440%,2.83202≤≤-≤-+⨯≥x x x a 解得即，20,100≤<∴<<x x 又答：x 的取值范围是20≤<x .19．解：（1）]1,1[-=B A ，因为B A C ⊆，二次函数12)(2--=mx x x f 图像开口向上，且082>+=∆m 恒成立，故图像始终与x 轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标]1,1[,21-∈x x ，当且仅当：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-≥≥-1410)1(0)1(m f f ，解得：11≤≤-m （2）对任意R x ∈都有)1()1(x f x f -=+，所以)(x f 图像关于直线1=x 对称，所以14=-m，得4=m ． 所以3)1(2)(2--=x x f 为]22,22[-上减函数． 22)(min -=x f ；22)(max =x f ．故B x ∈时，)(x f 值域为]22,22[-．（3）令)()()(x g x f x +=ϕ，则1||)(2--+=a x x x ϕ （i ）当a x ≤时，45)21(1)(22-+-=-+-=a x a x x x ϕ， 当21≤a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为1)(2-=a a ϕ．若21>a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为a +-=45)21(ϕ，且)()21(a ϕϕ≤． （ii ）当a x ≥时，函数45)21(1)(22--+=--+=a x a x x x ϕ若21-≤a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为a --=-45)21(ϕ，且)()21(a ϕϕ≤-若21->a ，则函数)(x ϕ在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x ϕ在),[+∞a 上的最小值为1)(2-=a a ϕ． 综上，当21-≤a 时，函数)(x ϕ的最小值为a --45 当2121≤<-a 时，函数)(x ϕ的最小值为12-a 当21>a 时，函数)(x ϕ的最小值为a +-45．20．解：（1）要使)(1x f 与)(2x f 有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-10003a a a x a x 且要使)(1x f 与)(2x f 在给定区间]3,2[++a a 上都有意义，等价于：⎩⎨⎧≠>>+1032a a aa 且所以10<<a ．（2）)(1x f 与)(2x f 在给定区间]3,2[++a a 上是接近的，1|1log )3(log |1|)()(|21≤---⇔≤-⇔ax a x x f x f aa a a a x a a x a x a 1)2(1|)])(3[(log |22≤--≤⇔≤--⇔对于任意]3,2[++∈a a x 恒成立．设]3,2[,)2()(22++∈--=a a x a a x x h ， 且其对称轴22<=a x 在区间]3,2[++a a 的左边，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧+≥+≤⇔≤≤⇔01965469144)3(1)2())((1))((2max min a a a a a a a a h a a h a x h ax h a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥-≤≤⇔125791257954a a a 或125790-≤<⇔a ， 所以，当125790-≤<a 时，)(1x f 与)(2x f 在给定区间]3,2[++a a 上是接近的； 当112579<<-a 时，)(1x f 与)(2x f 在给定区间]3,2[++a a 上是非接近的．。

2011年-2012年度第一学期无锡市第一中学月考卷（2011.10.8）高三数学（文）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应．．．．．的位置．．．） 1．设全集U 是实数集R ，{}2|1M x x =>，{}20|<<=x x S ，则集合S ∩∁U M 等于__▲___. 2. 设函数()⎩⎨⎧=x x x f 2log 211>≤x x ，则()[]=2f f ▲． 3．已知9.01.17.01.1,7.0log ,9.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系为 ▲．4．已知向量(1)(1)a n b n ==-，，，，若2a b -与b 垂直，则a =__▲___. 5．已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是___▲___.6．设函数2()f x x ax =+的导函数()21f x x '=+,则数列*1(()n N f n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭）的前2010项和是__▲___.7．已知数列*2{log (1)}n a n N +∈（）为等差数列，且131,7.a a ==则=n a __▲___.8．若等比数列{}n a 的前n 项和为1)21(--=n n c S ，则=c _▲___.9．已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间．若()ln g x x m x =++的保值区间是[,)e +∞，则m 的值为__▲___.10．若等比数列{}n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值为___▲___.11．△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒，不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =__▲___.12．记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为__▲___.13．已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3xf x f x x f x +=--≤≤=当时,若*2011,(),n n N a f n a ∈==则__▲___.14．符号[]x 表示不大于x 的最大整数，n 为任意的正整数，n a 表示定义域为)1,(+n n 的函数[][]x x x f =)(的值域中元素个数，n S 为{}n a 的前n 项和，则满足500<n n S a 的最大的n 为__▲___.二．解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答卷纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的定义域为R ，命题q ：函数xa y )25(--=是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==．（1）若1m n ⋅=,求)3cos(π+x 的值；（2）记n m x f ⋅=)(，在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围． 17．（本小题满分15分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为2.1万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为x 75.0，同时预计年销售量增加的比例为x 6.0．已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，411=a ，且122211++=--n n n a S S (2≥n ，*∈N n )，数列{}n b 满足431=b ，且n b b n n =--13(2≥n ，*∈N n )． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）求证：数列{}n n a b -为等比数列；（3）求数列{}n b 的通项公式以及前n 项和为n T ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是首项10,a >公比1->q 的等比数列，设数列{}n b 的通项21++-=n n n ka a b （*∈N n ），数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ．如果n n T kS <对一切*∈N n 都成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列． 设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列． （1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 符合什么条件时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．2011年-2012年度第一学期无锡市第一中学月考参考答案高三数学（文）一．填空题（每小题5分）1．{}|01x x <≤； 2．2； 3．c a b <<； 4．2； 5．3[,3]2- ；6．20102011；7．12-n； 8．2； 9．1-； 10．4； 11．23； 12．[-22,-18]； 13．13；14．9二．解答题15．(本题满分14分)解：对命题p ：∵函数)2(log 25.0a x x y ++=的定义域为R ，∴04-4<a ，即1>a ； ……4分 命题q ：∵函数xa y )25(--=是减函数，∴125>-a ，即2<a ． ……8分 ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴命题p 与命题q 一真一假，若p 真q 假，则1>a 且2≥a ，得2≥a ， ……10分 若p 假q 真，则1≤a ， ……12分 ∴实数a 的取值范围是1≤a 或 2≥a ……14分 16. (本题满分14分)解：（1）23sin cos cos 444x x x m n ⋅=⋅+1sin()262x π=++∵1m n ⋅= ∴1sin()262x π+=(4分)21)62(sin 21)3cos(2=+-=+ππx x （6分） （2）∵（2a-c ）cosB=bcosC由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC （7分） ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)∵A B C π++=∴sin()sin 0B C A +=≠，∴1cos ,23B B π==∴203A π<<（10分）∴1,sin()(,1)6262262A A ππππ<+<+∈（12分） 又∵1()sin()262x f x π=++,∴1()sin()262A f A π=++（13分）故函数f(A)的取值范围是3(1,)2. （14分）17．(本题满分15分) 解：（1）由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ， ……5分 整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ．……7分（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y ……10分 即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x解不等式得 310<<x ． ……13分答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x ．……15分 18．(本题满分15分) 解：（1）211=--n n a a （2≥n *∈N n )； （2）将412-=n a n 代入得)412(--=-n b a b n n n ，和)4121(111---=----n b a b n n n ，从而3111=----n n n na b a b (2≥n *∈N n ) 1)31(21412-+-=n n n b ，n T =)311(4342nn ⎪⎭⎫⎝⎛-+19．(本题满分16分)解：解：因为数列{}n a 是首项10,a >公比10q q >-≠且的等比数列，故1n n a a q +=⋅，22n n a a q +=⋅．所以()212n n n n b a ka a q k q++=-=-⋅．123n n T b b b b =+++()()()21232n n a a a a q k q S q k q=+++-⋅=-⋅依题意，由n n T kS <，得()2n n S q k q kS -⋅<对一切自然数n 都成立． 当0q >时，由10,a >，知0n a >，所以S n ＞0；当10q -<<时，因为10,a >10,10nq q ->->，所以()1101n n a q S q-=>-综合上面两种情况可知，当10q q >-≠且时，0n S >总成立． 则有2q k q k -⋅<,即2111q k q q q >=++ 当0q >时,1112,012q q q q+≥<≤+。

江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x -- D.(1)1f x +-7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A. B.255C.427-D.4278.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.355二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D.若0a <，2ab a >，则22b a >11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.14.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成mn的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A xx B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====-+--++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2km B.3kmC.4kmD.5km【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96kk k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x =+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0a a ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0a a ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x --D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)ln ln 111x x x f x x x x x-++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln1x g x x x -=++，则()11ln 1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D 7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A .5-B.255C.427-D.427【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tan θ，进而求出tan 2θ.【详解】∵πsin 243θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴22cos 3θ==，∴sin 2tan cos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.5C.65D.5【答案】B 【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB 与AP的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB =+ ，两边平方2221618252525CP CA CB CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以5CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D .若0a <，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得ac bd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a <，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1a b ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x =-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x+'=-，由()0g x '=得x =，当(,x ∈-∞时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当(x ∈时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b =时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15a x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x--+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11a x x x ⎛⎫≤-++⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x xx ϕ∈-=-++，则332()x x x xϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x=-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x=-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()a h x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)31,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924a b c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c =.故答案为：614.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+= 易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nna -=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141n n n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫=⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）1010【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，将(1)c a b λλ=+-代入可得()210a b b λλ⋅+-=，再由数量积的定义求得1a b ⋅=-，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)c a b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1)562a a b b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c 最小为55，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ，又55510c b ⋅=⨯=，所以1105cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b 与c夹角的余弦值为1010.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x af x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x af x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得102a <<.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+= ⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tan tan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =，易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABC V 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213113sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E ，则2π3,2,3cos 2cos AE DBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DB CD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点()00,ex x ，将问题转化为0011e x t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，构造函数())()1e 0x m x x -=->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e 0e xx x m x m ->⇔>，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()e xxg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点()0,e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011e x t x =+-，令()e 1xh x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e xh x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a b a tb a b t --⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()ee 22e e 0xx x x H x h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e a aa t a t t --+-=⇒=+->，e e aAT bBTk k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1abAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex xxm x x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e1eaba b ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT >，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21nn c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12n n n c c +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m m n -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3n n n c c c +=+=，12nn n c c +∴-=，当2n ≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n --=+=+-，而13c =也满足上式，21n n c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m n n m m b a n n b c ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mm n m b a c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m m d d ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mm S m --=+++-⋅ ()241242(1)212m m m m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m m m m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m =时，左边0<，舍去，当4m =时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m =.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2m m S m =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。

江苏省无锡市2010年秋学期高三期末考试数 学 试 题注意事项： 1．本试卷包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题），本卷满分160分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卷的规定位置。

3．请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔， 请注意字体工整，笔迹清楚。

4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

5．请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卷的相应位．．．．．．．置上．．。

1．设集合{}{}25,log (3),,(,)R A a B a b a b =+=∈，若{}1A B =，则A B = ．2．已知复数2(2)(1)i z m m =-+-对应的点位于第二象限，则实数m 的范围为 ．3．若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围为 ．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为 ．5．某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于5分钟的概率为 ． 6．已知3sin 63x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ． 7．已知向量(2,1),(1,0)a b =-=，则23a b -= ．8．设双曲线的渐近线方程为230x y ±=，则双曲线的离心率为 ． 9．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k +1＜22,则正整数k = ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 的中点，AC 、BD 交于点O ，则1D O 与平面AMC 成的角为 度．11．y=x 3+ax +1的一条切线方程为y =2x +1，则a = ． 12．不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为 ． 13．已知函数2()2f x x x =+，若存在实数t ，当[1,]x m ∈时，()3f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 ．14．已知函数f （x ）=|x 2－2|，若f （a ）≥f （b ），且0≤a ≤b ，则满足条件的点（a ，b ）所围成区域的面积为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E -AFMN 的体积．16．（本小题满分14分）已知△ABC 中，||10AC =,||5AD =,DB AD 115=,0CD AB =．（1）求AB AC -；（2）设BAC θ∠=，且已知4cos()5x θ+=，02x π-<<，求sin x ．17．（本小题满分14分） 已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 内种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．MFB D AF（1）用θ及R 表示1S 和2S ； （2）求12S S 的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆 2214x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．（1）当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标； （2）当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21n n n a a n a +==+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2） 记12111n nS a a a =++，若100n S <，求最大的正整数n ． （3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列，且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）对于定义在区间D 上的函数()x f 和()x g ，如果对于任意D x ∈，都有()()1||≤-x g x f 成立，那么称函数()x f 在区间D 上可被函数()x g 替代．AF（1）若()()x x g xx x f ln ,12=-=，试判断在区间[],1[e ]上()x f 能否被()x g 替代？ （2）记()(),ln f x x g x x ==，证明()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代；（3）设x x x g ax x a x f +-=-=221)(,ln )(，若()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，求实数a 的范围．参考答案一、填空题1．{}1,1,5- 2． 3．(1,3)- 4．65．112678 9．8 10．90 11．2 12．[]1,3 13．8 14．2π二、解答题： 15．（1）因翻折后B 、C 、D 重合（如图）， 所以MN 应是ABF ∆的一条中位线，………………3分则////M AF MN AEF MN AEF AF AEF ⎫⎪⊄⇒⎬⊂⎪⎭平面平面平面．………7分 （2）因为}AB BE AB AB AF⊥⇒⊥⊥平面BEF ，……………9分且6,3AB BE BF ===，∴9A BEF V -=，………………………………………11分又3,4E AFMN AFMN E ABF ABF V S V S --∆== ∴274E AFMN V -=（cm 3）．………………………14分16．（1）由已知DB AD 115=，即115DB AD =，∵|5,AD=｜ ∴||11DB =，………………………………………2分 ∵0CD AB =， ∴CD AB ⊥， ………………………3分 在Rt △BCD 中，222BC BD CD =+,又222CD AC AD =-, ∴2222196BC BD AC AD =+-=， ………………5分∴||||14AB AC BC -==．…………………………………………6分 （2）在△ABC 中，21cos =∠BAC ， ∴3πθ=．……………………………7分即4cos()cos()35x x πθ+=+=， 3sin()35x π+=±， …………………9分而0,2633x x ππππ-<<-<+<， …………………………………………10分则1sin()sin()sin 2633x πππ-=-<+<=……………………………12分∴3sin()35x π+=，∴sin sin[()]33x x ππ=+-=． ……………14分17．（1）因为ABC θ∠=，则2sin ,2cos AC R BC R θθ==， 则22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==．………………………3分 设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥． 易得三角形AMC 的面积为2sin (1cos )R θθ-， …………………………5分 三角形BNC 的面积为2cos (1sin )R θθ-， …………………………………7分 ∴1S =2sin (1cos )R θθ-+2sin (1sin )R θθ-2(sin cos 2sin cos )R θθθθ=+-．………………………………………8分（2）∵2122(sin cos 2sin cos )sin cos 12sin cos 2sin cos S R S R θθθθθθθθθθ+-+==-，…………………10分令sin cos t θθ+=∈，则22sin cos 1t θθ=-．∴12211111S t S t t t=-=---．……………………………………………12分∴12S S1．……………………………………14分18．（1）直线AM 的斜率为1时，直线AM ：2y x =+， ……………………1分 代入椭圆方程并化简得：2516120x x ++=， ………………………2分解之得1262,5x x =-=-，∴64(,)55M -．………………………4分（2）设直线AM 的斜率为k ，则AM ：(2)y k x =+，则22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=．……………6分∵此方程有一根为2-，∴222814M k x k -=+， …………………………7分 同理可得22284N k x k -=+．…………………………8分由（1）知若存在定点，则此点必为6(,0)5P -．……………………9分∵2222228(2)5146286445145M MP M k k y k k k k k x k -++===--+++，…………………11分同理可计算得2544PN kk k=-．……………………13分 ∴直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5P -．………………………………16分19．（1）∵112133n na a +=+，∴1111133n n a a +-=-，………………………2分 且∵1110a -≠，∴110()*N nn a -≠∈， ……………………………3分∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．…………………………………4分 （2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．…………… 5分2121111112()333n n n S n a a a =+++=++++111133211313n n n n +-=+⋅=+--，…7分若100n S <，则111003nn +-<，∴max 99n =．……………………9分 （3）假设存在，则22,(1)(1)(1)m n s m n s a a a +=-⋅-=-， ………………10分∵332n n n a =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m snm s -⋅-=-+++．……………12分 化简得：3323mns+=⋅，………………………………………13分∵33223m n s +≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立．………………………15分又,,m n s 互不相等，∴不存在．…………………………………………16分20．∵ ()x xx x g x f ln 12)(--=-， 令x xx x h ln 12)(--=，∵02221121)(222>-+=-+='x x x x x x h ，……2分 ∴)(x h 在],1[e 上单调增，∴]112,21[)(---∈ee x h ．…………………3分∴1)()(≤-x g x f ，即在区间[],1[e ]上()x f 能被()x g 替代．………………4分 （2）令()()()ln t x f x g x x x =-=-．11()1x t x x x-'=-=，………………………………5分 且当1x <时，()0t x '<；当1x >时，()0t x '>，…………6分()(1)1t x t ∴≥=，即()()ln 1f x g x x x -=-≥，……………7分∴()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代．…………………8分 （3）∵()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，即1)()(≤-x g x f 对于],1[e x ∈恒成立．∴121ln 2≤-+-x x ax x a ．121ln 12≤-+-≤-x x ax x a ， ……………9分由（2）知，当],1[e x ∈时，0ln >-x x 恒成立，∴有① x x x x a ln 1212-+-≤ ，…………………………………10分令xx x x x F ln 121)(2-+-=，∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x F -+-----='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x ---+-=， 由（1）的结果可知111ln 02x x x+-->，……………11分∴)(x F '恒大于零，∴21≤a ．………………12分② x x x x a ln 1212---≥ ，………………13分 令xx x x x G ln 121)(2---=，∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x G -------='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x -+-+-=，∵11111ln 1ln 022x x x x x x+-+>+-->，……………………14分∴)(x G '恒大于零，∴)1(2222---≥e e e a ， ……………15分即实数a 的范围为2221.2(1)2e e a e --≤≤- ……………16分。