安徽2015届高考数学二轮专项训练之集合与函数课时提升训练(13)Word版含答案

集合与函数课时提升训练（11）1、对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数．（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值．2、函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式的取值范围是A． B． C． D．3、已知函数，过点P（0，m）作曲线的切线，斜率恒大于零，则的取值范围为7、已知集合,有下列命题①若则；②若则；③若则的图象关于原点对称；④若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是8、对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时，；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合N N中元素的个数是 .10、对于任意实数表示不超过的最大整数，例如：，。

那么11、设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为12、已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是。

15、若，则定义为曲线的线．已知，，则的线为．16、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①；②③④，其中是一阶整点函数的是( )A.①②③④B.①③④C.①④D.④20、函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、26、已知函数，则（）A．8 B．9 C．11 D．10 28、已知集合={1,2,3}， ={1,2,3,4，5}，定义函数.若点A(1,(1))、B(2,)、C(3,)，ΔABC的外接圆圆心为，且,则满足条件的函数有( )A.15个B.20个C. 25个D. 30个29、.已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则；④若对，恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个32、若函数满足,当时,,若在区间上,有两个零点,则实数的取值范围是（）A． B． C． D．33、若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中（）A．只有一个小于1 B．至少有一个小于1 C．都小于1 D．可能都大于134、若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则A．B．C．D．35、方程的解的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．337、(本大题满分13分)若存在常数k和b(k、b∈R)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”．已知， (其中e为自然对数的底数)．(1)求的极值；(2)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．38、.(本小题满分13分)已知常数a为正实数，曲线C n：y＝在其上一点P n(x n，y n)的切线l n总经过定点(－a,0)(n∈N*).(1)求证：点列：P1，P2，…，P n在同一直线上；(2)求证： (n∈N*).39、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.40、已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．1、解：（1）对于函数，当时，．当或时，恒成立，故是“平底型”函数．对于函数，当时，；当时，．所以不存在闭区间，使当时，恒成立．故不是“平底型”函数．（Ⅱ）若对一切R恒成立，则．所以．又，则．则，解得．故实数的范围是．（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立．所以恒成立，即．解得或．当时，．当时，，当时恒成立．此时，是区间上的“平底型”函数．当时，．当时，，当时，．此时，不是区间上的“平底型”函数．综上分析，m＝1，n＝1为所求．2、B3、 7、②③ 8、 10、264 11、2010 12、 15、 16、C 20、D 28、B29、B32、D33、分析：因为有两个零点，所以，，故与中至少有1个小于1．34、B 35、C37、(1)解：∵，∴当时，∵当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，F(x)取极小值，其极小值为0．(2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即由，可得当时恒成立由得下面证明当时恒成立．令，则，当时，．∵当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为0．从而，即恒成立．∴函数和存在唯一的隔离直线．38、.证法一：(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝·(nx)′＝·.(1分)C n：y＝在点P n(x n，y n)处的切线l n的斜率k n＝f′(x n)＝·，∴l n的方程为y－y n＝·(x －x n).(2分)∵l n经过点(－a,0)，∴y n＝－·(－a－x n)＝·(a＋x n).又∵P n在曲线C n上，∴y n＝＝·(a＋x n)，∴x n＝a，∴y n＝，∴P n(a，)总在直线x＝a上，即P1，P2，…，P n在同一直线x＝a 上.(4分)(2)由(1)可知y n＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)，.(9分)设函数F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，∴F′(x)＝－＝＝>0(x∈(0,1))，∴F(x)在[0,1]上为增函数，即当0<x<1时F(x)>F(0)＝0，故当0<x<1时>ln(x＋1)恒成立.(11分)取x＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－ln i，即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－ln n，综上所述有 (n∈N*).(13分)证法二：(1)设切线l n的斜率为k n，由切线过点(－a,0)得切线方程为y＝k n(x＋a)，则方程组的解为.(1分)由方程组用代入法消去y化简得k x2＋(2ak－n)x＋k a2＝0，(*)有Δ＝(2ak－n)2－4k·k a2＝－4ank＋n2＝0，∴k＝.(2分)代入方程(*)，得x2＋(2a·－n)x＋·a2＝0，即x2－2a·x＋a2＝0，∴x＝a，即有x n＝a，y n＝＝，即P1，P2，…，P n在同一直线x＝a上.(4分)(2)先证：0<x<1时>x>ln(x＋1)，以下类似给分.39、（本小题满分14分）解：（1），当时，，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数当时，，函数是区间上的增函数当时，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.…7分（2）若存在，则恒成立，令，则，所以，因此：恒成立，即恒成立，由得到：，现在只要判断是否恒成立，设，因为：，当时，，，当时，，，所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”.40、解：（1）设函数图像与轴的交点坐标为（，0），∵点（，0）也在函数的图像上，∴．而，∴．（2）由题意可知当时，,∴,即：当时，即．又,当时，∴<0, ∴,综上可知，．。

阶段评估卷(二)专题三(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知α∈(π,32π),cos α=5-,tan 2α=( ) (A)43(B)43- (C)-2 (D)2 2.若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则tan 2ϕ=( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)1或-13.(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b=5c ，C=2B,则cos C=( )(A)725(B)725- (C)725± (D)24254.函数y=1x·cos x 在坐标原点附近的图象可能是( )5.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B 处.在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )(A) (B)(C) (D)海里6.设函数f(x)=2sin(ωx+4π)(ω＞0)与函数g(x)=cos(2x+φ)(｜φ｜≤2π)的对称轴完全相同，则φ的值为( )(A)4π (B)4π- (C)2π (D)2π-7.(2012·天津高考)将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移4π个单位长度，所得图象经过点(34π，0)，则ω的最小值是( ) (A)13 (B)1 (C)53(D)28.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数： ①f(x)=sin xcos x ； ②f(x)=2sin(x+4π)；③；④其中属于“同簇函数”的是( )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④9.(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )(A)4∶3∶2 (B)5∶6∶7 (C)5∶4∶3 (D)6∶5∶410.已知函数f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是5x 3π=，则函数g(x)=asin x+cos x 的初相是( ) (A)6π (B)3π (C)56π (D)23π 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确的答案填在题中的横线上)11.在△ABC 中，已知AB=4，cos B=78，AC 边上的中线sin A=_______.12.在△ABC 中，22sin C sin B a +=，，则角C=_______. 13.(2012·安徽高考)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边为a,b,c ，则下列命题正确的是______. ①若ab ＞c 2；则C ＜3π②若a+b ＞2c ；则C ＜3π③若a 3+b 3=c 3；则C ＜2π④若(a+b)c ＜2ab ；则C ＞2π ⑤若(a 2+b 2)c 2＜2a 2b 2；则C ＞3π14.(2012·武汉模拟)如图，测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是______.15.设f(x)=asin 2x+bcos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f(x)≤｜f(6π)｜对一切x ∈R 恒成立，则①f(1112π)=0; ②7f ()f ();105ππ｜｜＜｜｜ ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ④f(x)的单调递增区间［2k ,k 63πππ+π+］(k ∈Z)， 以上结论正确的是__________(写出所有正确结论的编号).三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)设函数f(x)=Asin(2x+3π)(x ∈R)的图象过点P(712π,-2)． (1)求f(x)的解析式；(2)已知103f ()0cos()2121324απππ+=-αα-，＜＜，求的值. 17.(12分)(2012·黄冈模拟)已知向量m =2x x x,1,cos ,cos .444=）（）n 记f(x)=m ·n . (1)若32f ()cos()23πα=-α，求的值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a-c)cosB=bcos C ，若()f A =ABC 的形状.18.(12分)设函数()2f x x cos x 2=ω+ω，其中0＜ω＜2； (1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x 3π=，求ω的值．19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且｜OQ｜=2，OP PQ 22== ｜｜，｜｜．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象，当x ∈［0,2］时，求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值．20.(13分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为412513，，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值；(3)已知点，求函数f(α)=OA OC的值域．21.(14分)(2012·福建高考)已知函数f(x)=axsin x-32(a ∈R),且在［0,2π］上的最大值为32π-， (1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.答案解析1.【解析】选B.344(,),cos tan 2,tan 2.2143πα∈πα=α=α=α==-- 2.【解析】选D.因为函数f(x)=sin(x+φ)为偶函数，所以k ,k Z,2πϕ=π+∈所以k 224ϕππ=+=n ,k 2n 43n ,k 2n 14π⎧π+=⎪⎪⎨π⎪π+=+⎪⎩，， n ∈Z,所以k tan tan()1224ϕππ=+=±，故选D. 3.【解析】选A.∵8b=5c ，由正弦定理得8sin B=5sin C ， 又∵C=2B ，∴8sin B=5sin 2B ，所以8sin B=10sin Bcos B ，易知sin B ≠0， ∴247cos B cos C cos 2B 2cos B 1.525===-=， 4.【解析】选A.∵1y cos x x=为奇函数，故图象关于原点对称，从而排除B 选项.又x ∈(0,2π)时，1x ＞0，cos x ＞0,故y ＞0,从而排除C.又函数cos xy x=在原点处无定义，故排除D.故A 正确.5.【解析】选A.由已知可得，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°， AB ＝20，从而∠ACB ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理，得ABBC sin 30sin 45=⨯︒=︒6.【解析】选B.因为函数f(x)=2sin(ωx+4π)(ω＞0)与函数g(x)=cos(2x+φ)(｜φ｜≤2π)的对称轴完全相同，则f(x)与g(x)的周期相同，∴ω=2，又x 8π=是f(x)的对称轴，故当x 8π=时g(x)取到最值cos(2〓8π+φ)=〒1，又｜φ｜≤2π，故.4πϕ=-7.【解析】选D.函数向右平移4π得到函数g(x)=f (x )sin (x )44ππ-=ω- = sin(ωx-4ωπ)，因为此时函数过点(34π,0)，所以sin ω(344ππ-)=0，即 ω(344ππ-)=2ωπ=k π,所以ω=2k,k ∈Z,所以ω的最小值为2，选D. 8.【解析】选C.若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简，①f(x)=sin xcos x=1sin 2x 2，③()f x sin x 2sin(x )3π==+，所以②③振幅相同，所以选C.9.【解析】选D.由题意知：a=b+1,c=b-1,∴3b=20acos A=()222b c a 20b 12bc +-+∴3b=20(b+1)()()()222b b 1b 12b b 1+--+-,整理得：7b 2-27b-40=0，解得：b=5,可知：a=6,c=4. 10.【解析】选D.f(0)=10f ()3π，即 sin 0+acos 0=1010sin acos 33ππ+，即a a .a 2=-∴=∴ g(x)=2cos x )3π+=+，∴初相为23π，故选D. 11.【解析】如图：有：()1BD BA BC 2=+ ，两边平方得：2221BD (BA BC 2BA BC)4=++ ｜｜｜｜｜｜，2221(4a 24acos B)24=++⨯， 化简得:a 2+7a-18=0，解之得：a=2．所以222a c bb cos B 2ac+-==可得)．所以cos A=222b c a 2bc +-=所以12.【解析】由正弦定理知22c b =+，所以222a b c cos C 2ab +-==a 2b 2b 2=== 所以C=6π.答案：6π13.【解析】①ab ＞c 2⇒cos C 222a b c 2ab ab 12ab 2ab 2+--==＞⇒C 3π＜； ②a+b ＞2c ⇒cos C=222a b c2ab+-＞()()2224a b a b 1C 8ab23+-+π≥⇒＜；③当C ≥2π时，c 2≥a 2+b 2⇒c 3≥a 2c+b 2c ＞a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾； ④取a=b=2,c=1满足(a+b)c ＜2ab 得：C ＜2π； ⑤取a=b=2,c=1满足(a 2+b 2)c 2＜2a 2b 2得：C ＜.3π 答案：①②③14.【解题指导】在△BCD 中利用正弦定理求解AD ，在△ABD 中，利用余弦定理求解AB.【解析】因为△BCD 是直角三角形，所以BD=CD=40，在△ACD 中，利用正弦定理CD AD ,sin CAD sin ACD =∠∠即)40ADAD 201.sin 45sin 105=∴=︒︒，在△ABD 中，利用余弦定理，AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos 60°,∴AB=答案：15.【解析】)+ϕ≤又1f ()asin bcos b 6332πππ=+=+｜｜≥0,由题意f(x)≤｜f(6π)｜对一切x∈R 1b 22≤+对一切x ∈R 恒成立，即222231a b a b ab 442+≤++，0≤22a 3b +≤恒成立，而2222a 3b a 3b a 0.+≥+==，所以，此时＞∴()f x bcos 2x 2bsin(2x ).6π=+=+①1111f ()2bsin()01266πππ=+=，故①正确； ②77f ()2bsin()1056πππ=+｜｜｜｜ =47132bsin()2bsin().3030ππ=｜｜ 2f ()2bsin()556πππ=+｜｜｜｜=17132bsin()2bsin(),3030ππ=｜｜ 所以7f ()f ()105ππ=｜｜｜｜,②错误； ③f(-x)≠〒f(x)，所以③正确； ④由①知bcos 2x 2bsin(2x )6π+=+，b ＞0，由2k 2x 2k k x k 26236ππππππ-≤+≤π+π-≤≤π+知,所以④不正确. 答案：①③16.【解析】(1)∵f(x)的图象过点P(712π,-2)， ∴773f ()Asin(2)Asin 121232ππππ=⨯+==-2， ∴A=2，故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x ).3π+(2)∵f ()2sin 2()2122123απαππ+=++［］ =1052sin()2cos cos ,21313πα+=α=α=，即∵2π-＜α＜0，∴12sin 13α=-，∴333cos()cos cos sin sin 444πππα-=α+α=5121313⨯-=（17.【解析】2xx x x 1x 1x 1cos cos cos sin().44422222262π+=++=++ (1)由已知3132f ()sin()4k ,k Z 226223αππα=++=α=π+∈得，于是， ∴222cos()cos(4k )1.333πππ-α=-π-=(2)根据正弦定理知：(2a-c)cos B=b cos C ⇒(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C ⇒2sin Acos B=sin(B+C)=sin A ⇒cos B=1B .23π⇒=∵ ∴A 1A 22sin()A 0A 262263333ππππππ++=⇒+=⇒=π或或，而＜＜，A 3π=所以，因此△ABC 为等边三角形.18.【解析】(1)()1cos 2x 1f x x sin(2x ).262+ωπ=ω+=ω++ ∵T=π,ω＞0,∴22πω=π,∴ω=1. 令2k 2x 2k ,k Z,262πππ-+π≤+≤+π∈得，k x k ,k Z,36ππ-+π≤≤+π∈所以，f(x)的单调递增区间为 ［k ,k 36ππ-+π+π］,k ∈Z.(2)∵()1f x sin(2x )62π=ω++的一条对称轴方程为x .3π=∴2k ,k Z.362πππω+=+π∈∴31k .k Z.22ω=+∈又0＜ω＜2，∴1k 1.3-＜＜∴k=0,∴ω=12.19.【解析】(1)由余弦定理得cos ∠POQ=222OP OQ PQ 2OP OQ +-= ｜｜｜｜｜｜｜｜｜｜∴1sin POQ P ,12∠=点坐标为（）．∴21A 14(2)623ππ==⨯-=ω=ω，，．由1f sin()102623πππ=+ϕ=ϕϕ=（），＜＜得．∴y=f(x)的解析式为()f x sin(x )33ππ=+．(2)g(x)=sin x 3π，h(x)=f(x)·g(x)=21sin(x )sin x sin x xcos x 3332333ππππππ+=21cosx21213x sin(x ).432364π-πππ==-+ 当x ∈［0,2］时，27x ,,3666ππππ-∈-［］ 当()max 23x x 1h x .3624πππ-===，即时， 20.【解析】(1)根据三角函数的定义，得412sin sin 513α=β=，． 又α是锐角，所以cos α=3.5(2)由(1)知sin β=1213．因为β是钝角， 所以cos β=513-．所以cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=531243313513565-⨯+⨯=（）． (3)由题意可知，(OA (cos ,sin )OC =αα=-，．所以f ()OA OC cos 2sin()6πα==α-α=α- ，因为10sin()266326πππππα-α--α-＜＜，所以＜＜，＜.从而-1＜f(α)＜f(α)=(OA OC -的值域为． 【方法技巧】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目 (1)形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；(2)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x 〒cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x 〒cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 21.【解析】(1)由已知得f ′(x)=a(sin x+xcos x), 对于任意x ∈(0,2π)，有sin x+xcos x ＞0, 当a=0时，()3f x 2=-,不合题意；当a ＜0，x ∈(0,2π)时，f ′(x)＜0,从而f(x)在(0,2π)内单调递减，又f(x)在［0，2π］上的图象是连续不断的，故f(x)在［0,2π］上的最大值为()3f 02=-,不合题意；当a ＞0，x ∈(0,2π)时，f ′(x)＞0,从而f(x)在(0,2π)内单调递增，又f(x)在［0,2π］上的图象是连续不断的，故f(x)在［0,2π］上的最大值为f(2π), 即33a 222ππ--=,解得a=1. 综上所述，得()3f x xsin x .2=-(2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，()()333f x xsin x ,f 00,f ()0,2222ππ-=-=-=从而有＜＞ 又f(x)在［0,2π］上的图象是连续不断的， 所以f(x)在(0,2π)内至少存在一个零点.又由(1)知f(x)在［0,2π］上单调递增，故f(x)在(0,2π)内有且仅有一个零点.当x ∈［,2ππ］时，令g(x)=f ′(x)=sin x+xcos x,由g(2π)=1＞0,g(π)=-π＜0,且g(x)在［,2ππ］上的图象是连续不断的，故存在m ∈(,2ππ), 使得g(m)=0.由g ′(x)=2cos x-xsin x ，知x ∈(,2ππ)时， 有g ′(x)＜0,从而g(x)在(,2ππ)内单调递减.当x ∈(,m 2π)时，g(x)＞g(m)=0,即f ′(x)＞0, 从而f(x)在(,m 2π)内单调递增，故当()3x ,m ,f x f ()0,222πππ-∈≥=［］时＞ 故f(x)在［,m 2π］上无零点；当x ∈(m,π)时，有g(x)＜g(m)=0,即f ′(x)＜0,从而f(x)在(m,π)内单调递减.又f(m)＞0,f(π)＜0,且f(x)在［m,π］上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m,π)内有且仅有一个零点，综上所述，f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.。

专题跟踪训练(六)1．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．[解] (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax x ＋r2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－ax 2x ＋2rx 2＋2rx ＋r 22＝a r －x x ＋rx ＋r 4，所以当x <－r 或x >r 时， f ′(x )<0，当－r <x <r 时， f ′(x )>0，因此， f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞); f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减． 因此，x ＝r 是f (x )的极大值点， 所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar2r2＝a 4r ＝4004＝100. 2．(2015·济南模拟)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. [解] (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.3．(2015·东北三校联考)设函数f (x )＝x －4x－a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，求函数f (x )的极值； (2)当a ≤4时，若不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(1)f ′(x )＝1＋4x 2－a x ＝x 2－ax ＋4x 2，所以f ′(1)＝5－a ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率等于5－a . 由题意可得5－a ＝0，解得a ＝5.此时，f ′(x )＝x 2－5x ＋4x2＝x －x －x2.由f ′(x )＝0解得x ＝1或4.f (x )、f ′(x )随x 的变化情况如下表：所以函数f (x )的极大值为f (1)＝1－1－5ln 1＝－3，极小值为f (4)＝4－44－5ln 4＝3－10ln 2.(2)由不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解可知，f (x )在区间[1,4]上的最大值不小于1.由(1)知f ′(x )＝x 2－ax ＋4x2，对于方程x 2－ax ＋4＝0，Δ＝(－a )2－4×1×4＝a 2－16， ①当a ∈[－4,4]时，Δ≤0，故f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1,4]上单调递增，故f (x )在[1,4]上的最大值为f (4)＝4－44－a ln 4＝3－2a ln 2，故由f (4)≥1，得3－2a ln 2≥1，解得a ≤1ln 2. 又a ∈[－4,4]，所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，1ln 2. ②当a <－4时，Δ>0，f ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－162，x 2＝a ＋a 2－162.此时x 1<0，x 2<0，故f (x )在[1,4]上单调递增， 故①知，a ≤1ln 2，又a <－4，故a <－4.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1ln 2. 4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时， f ′(x )>0, f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x单调递增，y ＝－a x单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时， f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时， f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.。

课时跟踪训练1．<20##新课标卷Ⅰ>如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.<1>证明：B1C⊥AB；<2>若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高．解：<1>证明：连结BC1,则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C ⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO,故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.<2>作OD⊥BC,垂足为D,连结AD.作OH⊥AD,垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC＝1,可得OD＝错误!.由于AC⊥AB1,所以OA＝错误!B1C＝错误!.由OH·AD＝OD·OA,且AD＝错误!＝错误!,得OH＝错误!.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为错误!.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为错误!.2．<20####高考>如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2错误!.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.<1>证明：GH∥EF；<2>若EB＝2,求四边形GEFH的面积．解：<1>证明：因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH＝GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.<2>如图,连结AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连结OP,GK.因为P A＝PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK,所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8,EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4,从而KB＝错误!DB＝错误!OB,即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝错误!PO,即G是PB的中点,且GH＝错误!BC＝4.由已知可得OB＝4错误!,PO＝错误!＝错误!＝6,所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝错误!·GK＝错误!×3＝18.3．<20####高考>四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.<1>求四面体ABCD的体积；<2>证明：四边形EFGH是矩形．解：<1>由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD＝CD＝2,AD＝1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体体积V＝错误!×错误!×2×2×1＝错误!.<2>证明：∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC＝FG,平面EFGH∩平面ABC＝EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形．4．<20####高考>如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB ＝2,∠BAD＝错误!,M为BC上一点,且BM＝错误!.<1>证明：BC⊥平面POM；<2>若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积．解：<1>证明：如图,因ABCD为菱形,O为菱形中心,连结OB,则AO⊥OB.因∠BAD＝错误!,故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin错误!＝1,又因BM＝错误!,且∠OBM＝错误!,在△OBM中,OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋错误!2－2×1×错误!×cos错误!＝错误!.所以OB2＝OM2＋BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.<2>由<1>可得,OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos错误!＝错误!.设PO＝a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故P A2＝PO2＋OA2＝a2＋3.由△POM也是直角三角形,故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋错误!.连结AM,在△ABM中,AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋错误!2－2×2×错误!×cos错误!＝错误!.由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则P A2＋PM2＝AM2,即a2＋3＋a2＋错误!＝错误!,得a＝错误!,a＝－错误!<舍去>,即PO＝错误!.此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝错误!·AO·OB＋错误!·BM·OM＝错误!×错误!×1＋错误!×错误!×错误!＝错误!.所以四棱锥P-ABMO的体积V P-ABMO＝错误!·S四边形ABMO·PO＝错误!×错误!×错误!＝错误!.。

专题检测卷(三)A 组一、选择题1.若a=20.3,b=0.32,c=log 0.32，则a,b ，c 的大小顺序是( ) (A)a<b<c (B)c<a<b (C)c<b<a (D)b<c<a2.设实数x ，y 满足x 1x 2y 30y x,≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，则x+2y 的最大值和最小值之和等于( )(A)12 (B)16 (C)8 (D)143.(2012·湖南高考)设a ＞b ＞1，c<0，给出下列三个结论： ①cc a b＞；②a c ＜b c ；③log b (a-c)>log a (b-c)，其中所有的正确结论的序号是( )(A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③ 4.已知x=1a a 2+-(a ＞2)，y=(12)2b -2(b ＜0),则x ，y 之间的大小关系是( )(A)x ＞y (B)x ＜y (C)x=y (D)不能确定5.(2012·孝感模拟)设x,y 为正数，且(x-1)(y-1)=4，则( ) (A)0＜x+y ≤6 (B)x+y ≥6 (C)x+y≥1＜x+y≤16.(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )(A)lg(21x 4+)＞lgx(x ＞0) (B)sin x+1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R ) (D)21x 1+＞1(x ∈R ) 7.函数f(x)=x 1(x 0)x 1(x 0)-+⎧⎨-≥⎩，＜，则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( ) (A){x|-1≤x1} (B){x|x ≤1} (C){x|x1}(D){x|1x 1≤≤}8.(2012·山东高考)已知变量x ，y 满足约束条件x 2y 22x y 44x y 1,+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，，则目标函数z=3x-y 的取值范围是( )(A)［32-，6］ (B)［32-，-1］ (C)［-1，6］ (D)［-6，32］9.(2012·仙桃模拟)实数x,y 满足不等式组y 0x y 02x y 20≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则ω=y 1x 1-+的取值范围是( )(A)［-1，13］ (B)［1123-，］(C)［12，+∞) (D)［12-，1)10.二次函数f(x)=ax 2+2x+c(x ∈R )的值域为［0，+∞),则a 1c 1c a+++的最小值 为( )(A)2 (B)22+ 二、填空题11.(2012·武汉模拟)若函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且对一切x ＞0,y ＞0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x)+f(x+6)＜2f(4)的解集为_______.12.设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x =b y =3，a+b=则11x y+的最大值为________.13.(2012·随州模拟)若不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0,23］都成立，则实数a 的取值范围是______.14.若实数x ，y 满足不等式组x 3y 302x y 30x my 10+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，且x+y 的最大值为9，则实数m ＝_____.B 组一、选择题1.a,b,c ∈R ，下列结论成立的是( ) (A)若a>b ，则ac 2>bc 2 (B)若a b cc>，则a>b(C)若a 3>b 3,ab>0,则11a b <(D)若a 2>b 2,ab>0,则11ab<2.(2012·杭州模拟)若实数x ，y 满足不等式组x 2y 502x y 70x 0y 0+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，，，，则3x+4y的最小值是( )(A)13 (B)15 (C)20 (D)283.(2012·新课标全国卷)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y)在△ABC 内部，则z=-x+y 的取值范围是( )(A)(1 2) (B)(0，2)1， 2) (D)(0，14.(2012·宜昌模拟)设a,b,c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+3)2＞2a 2+6a+11(B)221a a +≥a+1a(C)|a-b|+1a b-≥25.设不等式组x y 1103x y 305x 3y 90+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，，表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( ) (A)(1,3］ (B)［2,3］ (C)(1,2］ (D)［3,+∞)6.(2012·荆门模拟)设函数f(x)=x m +ax 的导函数f ′(x)=2x+1，则不等式f(-x)＜6的解集是( )(A){x|-2＜x ＜3} (B){x|-3＜x ＜2} (C){x|x ＞3或x ＜-2} (D){x|x ＞2或x ＜-3} 7.已知函数f(x)=2xlog x x 02x 0>⎧⎨≤⎩，，，，则满足不等式f(f(x))>1的x 的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(0,+∞) (C)(4,+∞) (D)(2,4)8.(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c,若a 2+b 2=2c 2,则cos C 的最小值为( )(A)2 (B)2 (C)12(D)12-9.(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) (A)245 (B)285(C)5 (D)6 10.(2012·黄石模拟)若不等式(a-a 2)·(x 2+1)+x ≤0对一切x ∈(0，2］恒成立，则a 的取值范围为( )(A)(-∞，12］(B)［12++∞)(C)(-+∞)(D) 二、填空题11.设［x ］表示不超过x 的最大整数，则关于x 的不等式［x ］2-5［x ］-36≤0的解集是______.12.已知x+y=2,不等式1ax y+≥18对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为______.13.已知实数x，y满足())22x y y0x y1⎧--≤⎪⎨⎪+≤⎩，，则不等式组表示的平面区域的面积为_______.14.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是______万元.答案解析A组1.【解析】选C.由指数、对数函数的性质知,a>1,0<b<1,c<0,≨c<b<a.2.【解析】选A.作出可行域如图所示：则过B点有最小值，过A点有最大值，又B(1，1)，A(3，3)，≨x+2y 的最大值为9，x+2y 的最小值为3，最大值和最小值之和等于12.3.【解析】选D.由不等式及a ＞b ＞1知11ab<，又c<0，所以c c ab＞，①正确;由指数函数的图象与性质知②正确；由a ＞b ＞1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与性质知③正确. 4.【解析】选A.≧a ＞2, ≨a-2＞0.≨x=a+1a 2-=(a-2)+1a 2-+2≥4. 当且仅当a-2=1,a 2-即a=3时，取“=”. ≧b ＜0, ≨b 2-2＞-2.≨y=2b 221122--（）＜（）=4,≨x ＞y.5.【解析】选B.≧x ＞0,y ＞0，≨x+y ≥又≧(x-1)(y-1)=4,即xy-(x+y)+1=4,xy-(x+y)=3,≨xy=(x+y)+3≤2x y 2+（）， 解得x+y ≥6.6.【解析】选C.对于A:lg(21x 4+)≥lg(当且仅当x 2=14时，即x=12时等号成立, 故A 错误;对于B: 当sin x ＜0时，不可能有sinx+1sin x≥2,故B 错误;对于C: 由基本不等式x 2+1=|x|2+1≥2|x|,故C 正确;对于D: 因为x 2+1≥1,所以21x 1+≤1,故D 错误.7.【解析】选C.不等式转化为()x 10x x 1x 1+≥⎧⎪⎨++≤⎪⎩，或()()x 10x x 1x 1+<⎧⎪⎨++-≤⎪⎩，，解得-1≤x1或x<-1. 综上知x1,故选C.【方法技巧】与分段函数有关的不等式的求解方法首先按照分段函数的分类标准分类去掉“f ”号,转化为两个不等式组,然后分别解不等式组,最后取并集得原不等式的解集.8.【解析】选A.画出约束条件表示的可行域如图所示.由目标函数z=3x-y 得直线y=3x-z,当直线平移至点B(2,0)时, 目标函数z=3x-y 取得最大值为6, 当直线平移至点A(12，3)时, 目标函数z=3x-y 取得最小值为3.2-所以目标函数z=3x-y 的取值范围是［32-，6］.9.【解析】选A.先根据约束条件画出可行域，如图，ω=y 1x 1-+表示区域内的点P(x,y)与点Q(-1，1)连线的斜率，当P 在点A(2，2)时，ω最大，是13，当P 在点O(0，0)时，ω最小是-1，故选A.10.【解析】选C.由题意知a 044ac 0>⎧⎨∆=-=⎩即a 0ac 1>⎧⎨=⎩，，则a 1c 1a ac c ac a cc a c a c a+++++=+=++a+c ≥=4， 当且仅当a=c=1时等号成立.11.【解析】f(x)+f(x+6)=f(x 2+6x)＜2f(4)=f(16)，由于f(x)是定义在(0，+≦)上的增函数，所以x 2+6x ＜16⇒(x-2)(x+8)＜0⇒-8＜x ＜2，又x ＞0，故解集为(0，2). 答案：(0，2)12.【解析】≧a x =b y =3,≨x=log a 3,y=log b 3， ≨33a b 1111log a log b xylog 3log 3+=+=+ =233a b log ab log 2+≤（） =1,当且仅当.故11x y+的最大值为1. 答案：113.【解析】由x 2+ax+1≥0得-a ≤x+1x对一切x ∈(0，23］都成立，又函数y=x+1x在x ∈(0，23］上单调递减，当x=23时，函数取得最小值136，≨-a≤136，即a≥13.6-答案：［136-，+≦)14.【解析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距.由题意得直线x-my+1=0经过直线x+y=9与直线2x-y-3=0的交点A(4，5)，将A(4,5)代入直线x-my+1=0得m=1.答案：1B组1.【解析】选C.≧a3>b3,ab>0,≨a>b>0或0>a>b,≨11.a b<2.【解析】选A.满足约束条件x2y502x y70x0y0+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，，，的平面区域如图所示：由图可知，当x=3，y=1时，3x+4y取最小值13，故选A.3.【解析】选A.由顶点C在第一象限且与A，B构成正三角形可求得点C坐标为(12),将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形可知当y=x+z过点C时z取到最小值，此时zmin=1当y=x+z过点B时z取到最大值，此时z max=2,综合可知z的取值范围为(12).4.【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2＜0，故A恒不成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a⇐(a4-a3)+(1-a)≥0⇐ a3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a2+a+1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a＞b时，恒成立，当a＜b时，不成立；≤D项中的不等式恒成立.故选C.5.【解析】选A.区域D如图阴影部分所示，其中A(2，9)，当y=a x恰过点A时，a=3，因此当1＜a≤3时，y=a x的图象上存在区域D上的点.6.【解析】选A.本题考查导数的运算以及不等式的求解问题.应先依题意求出f(x)的表达式，再解不等式. 由于f(x)=x m +ax 的导函数f ′(x)=2x+1， 所以f(x)=x 2+x ，于是f(-x)＜6即x 2-x-6＜0， 解得-2＜x ＜3，故选A.7.【解析】选C.当x ≤0时，2x ≤1,当x>0时，由log 2x>1得x>2，故不等式f(f(x))>1转化为f(x)>2，即log 2x>2，从而x>4.8.【解析】选C.由余弦定理得cosC=2222222a b c 2a b a b 2ab 4ab +-+-+==（）（）22a b 2ab 14ab 4ab 2+≥=，当且仅当a=b 时取等号,所以(cos C)min =1.29.【解析】选C.由x+3y=5xy 可得1315y 5x+=， ≨3x+4y ＝(3x+4y)(135y 5x+) =943x 12y 13125555y 5x 55+++≥+=， ≨3x+4y 的最小值是5.10.【解析】选C.≧x ∈(0，2］，≨a 2-a ≥2x 1.1x 1x x =++ 要使21a a 1x x -≥+在x ∈(0，2］时恒成立，则a 2-a ≥max 1()1x x +，由基本不等式得1x x +≥2，当且仅当x=1时，等号成立，即max 11().12x x=+故a 2-a≥12，解得a或a ≥故选C. 11.【解析】由［x ］2-5［x ］-36≤0得-4≤［x ］≤9， ≨-4≤x ＜10. 答案：{x|-4≤x<10}【易错提醒】解答本题时易得到错误答案{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},产生错误的原因是没有真正理解题意.12.【解析】≧x+y=2,≨()1a 11a x y ()x y 2x y+=++=1ax y 1(a 1)(a 12y x 2+++≥++≨1(a 12++≥18,a ≥25,故正实数a 的最小值为25. 答案：2513.【解析】不等式组())22x y y 0x y 1⎧--≤⎪⎨⎪+≤⎩，等价于22x y 0y 0x y 1-≥⎧-≤+≤⎩，，或22x y 0y 0x y 1,-≤⎧-≥+≤⎩，，不等式组表示的平面区域如图所示:则所示平面区域的面积是12().23412πππ-= 答案：12π 14.【解析】设该企业生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则该企业可获得的利润为z=5x+3y ，且x 0y 03x y 132x 3y 18≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，，，，联立3x y 132x 3y 18+=⎧⎨+=⎩，，解得x 3y 4=⎧⎨=⎩，，由图可知，最优解为P(3，4)，≨z 的最大值为z=5×3+3×4=27(万元). 答案：27。

阶段评估卷(一)专题一、二 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2012·宜昌模拟)已知集合A={y|y=2-x,x ＜0},B={x|y=12x }，则A ∩B=( )(A)［1，+∞) (B)(1，+∞) (C)(0，+∞) (D)［0，+∞) 2.设复数z=()22i1i ++(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( )(A)12(B)-1 (C)-i (D)1 3.函数y=x,sin xx ∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的( )4.已知a ∈R,则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.(2012·武汉模拟)已知向量a =(2,-1),a ·b =10,|a -b 则|b |=( )(A)20 (B)40 (C)6.执行下面的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框中应填( )(A)k ＜4？ (B)k ＜5？ (C)k ＜6？ (D)k ＜7？ 7.由直线x=,3π-x=,3π y=0与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )(A)12(B)1 (C)28.(2012·广东高考)已知变量x,y 满足约束条件y 2x y 1,x y 1≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则z=3x+y 的最大值 为( )(A)12 (B)11 (C)3 (D)-19.(2012·荆州模拟)已知函数f(x+1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式(x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＜0恒成立，则不等式f(1-x)＜0的解集为( )(A)(1，+∞) (B)(-∞，0) (C)(0，+∞) (D)(-∞，1)10.设f(x)是R 上的可导函数，且满足f ′(x)>f(x)，对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是( )(A)f(a)<e a f(0) (B)f(a)>e a f(0) (C)f(a)<()a f 0e (D)f(a)>()a f 0e二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确的答案填在题中的横线上)11.(2012·孝感模拟)已知2a -bc且a ·c =3,|b |=4,则b 与c 的夹角为______. 12.已知函数f(x)=22log x,x 0,1x ,x 0,-⎧⎨-≤⎩＞则不等式f(x)＞0的解集为______.13.已知函数f(x)=21mx 2+lnx-2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______.14.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=()()()2log 1x ,x 0,f x 1f x 2,x 0-≤⎧⎪⎨---⎪⎩＞则f(2013)=______. 15.(2012·济南模拟)下列正确命题的序号是________.(1)“m=-2”是直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的必要不充分条件；(2)∃a ∈R ,使得函数y=｜x+1｜+｜x+a ｜是偶函数；(3)不等式：111111111111,1,121233224435≥+≥+++ （）（）（）≥1111,,3246++⋯ （）由此猜测第n 个不等式为111111111(1)()n 1352n 1n 2462n+++⋯+≥+++⋯++-； (4)若二项式n22x x+（）的展开式中所有项的系数之和为243,则展开式中x -4的系数是40.三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={y ｜y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)＞0},B={y ｜y=215x x ,22-+0≤x ≤3}.(1)若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(R A ð)∩B. 17.(12分)(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=2x +k ·2-x ,k ∈R . (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈［0,+∞)都有f(x)＞2-x 成立，求实数k 的取值范围.18.(12分)设f(x)=22x x 1+， g(x)=ax+5-2a(a ＞0). (1)求f(x)在x ∈［0,1］上的值域；(2)若对于任意x 1∈［0,1］,总存在x 0∈［0,1］,使得g(x 0)=f(x 1)成立,求a 的取值范围.19.(12分)(2012·杭州模拟)已知a ∈R ,函数f(x)=ax+lnx-1,g(x)= (lnx-1)e x +x(其中e 为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)在区间(0,e ］上的单调性；(2)是否存在实数x 0∈(0,e ］，使曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.20.(13分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 21.(14分)已知函数f(x)=px-p x-2lnx,g(x)=2e ,x(1)若p=2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； (3)若p 2-p ≥0,且至少存在一点x 0∈［1,e ］，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求实数p 的取值范围.答案解析1.【解析】选B.集合A=(1，+≦)，B=［0，+≦)，故答案为B.2.【解析】选B.z=()22i2i 12i,2i 21i ++-==+故复数z 的虚部是-1. 3.【解析】选C.因函数y=x sin x 是偶函数，故排除A,又x ∈(0,2π)时，x ＞sin x ，即xsin x＞1,排除B ，D ，故选C. 4.【解析】选A.a ＞2可以推出a 2＞2a;a 2＞2a 可以推出a ＞2或a ＜0，不一定推出a ＞2.“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的充分不必要条件.5.【解析】选D.|a -b ==解得|b |=6.【解析】选C.由程序框图知k=1时，执行第一次a=1； k=2时，a=5； k=3时，a=21； k=4时，a=85； k=5时，a=341， 所以判断框中应填k ＜6?7.【解析】选D.由定积分几何意义可知此封闭图形的面积为33cos xdx ππ-⎰=230cos xdx π⎰=2sin x 30π=2(sin 3π故选D.8.【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y 经过点B(3，2)时，z 取得最大值，最大值为11.9.【解析】选B.f(x+1)是奇函数，即其图象关于点(0，0)对称，将f(x+1)向右平移1个单位长度，得f(x)，故f(x)的图象关于点(1，0)对称，由(x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＜0恒成立，知()()1212x x 0f x f x 0-⎧⎪⎨-⎪⎩＞＜或1212x x 0f x f x 0-⎧⎨-⎩＜，（）（）＞f(x)为R 上的减函数；又因f(1)=0，则不等式f(1-x)＜0即f(1-x)＜f(1)，有1-x ＞1，故x ＜0. 10.【解析】选B.令g(x)=()xf x ,e则g ′(x)=()()x x x 2f x e e f x e '- （）=()()xf x f x ,e'- 又f ′(x)>f(x),e x >0,≨g ′(x)>0，故g(x)在R 上为增函数， ≨当a>0时,g(a)>g(0),即()()a 0f a f 0,e e> ≨f(a)>e a f(0).11.【解析】≧2a -bc ≨(2a -b )·c =2a ·c -b ·c·(1又≧a ·c =3，≨b ·c =4， ≨cos 〈b ,c 〉=b cb c=41.422=⨯ 所以b 与c 的夹角为.3π 答案：3π12.【解析】当x ＞0时，-log 2x ＞0,即x ＜1, ≨0＜x ＜1,当x ≤0时，1-x 2＞0,即-1＜x ＜1, ≨-1＜x ≤0,≨不等式f(x)＞0的解集为(-1，1). 答案：(-1，1)13.【解析】f ′(x)=mx+1x-2≥0对一切x ＞0恒成立，m ≥212(),xx-+令g(x)=212()xx-+，则当1x=1时，函数g(x)取得最大值1，故m ≥1. 答案：［1,+≦)【易错提醒】解答本题时易得到错误答案(1,+≦)，出错的原因是对导数和单调性的关系没有真正搞明白.14.【解析】当x ＞0时，≧f(x)=f(x-1)-f(x-2)， ≨f(x+1)=f(x)-f(x-1)，≨f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)， ≨f(x+6)=f(x)，即当x ＞0时， 函数f(x)的周期是6.又≧f(2013)=f(335×6+3)=f(3)， 由已知得f(-1)=log 22=1，f(0)=0， f(1)=f(0)-f(-1)=0-1=-1， f(2)=f(1)-f(0)=-1-0=-1， f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0， ≨f(2013)=0. 答案：015.【解析】当m=-2时，两直线为y=12和x=34-，此时两直线垂直，“m=-2”是直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的充分不必要条件，所以(1)错误；当a=-1时，y=｜x+1｜+｜x-1｜为偶函数，所以(2)正确；由归纳推理可知，(3)正确；令x=1,则得所有项系数为3n =243,解得n=5,二项式的通项公式为5k 5k k k 53k k k 1522T C x ()C x 2,x--+==令5-3k=-4,得k=3,所以T 4=3435C x 2,-所以x-4的系数为335C 2=80,所以(4)错误.正确的命题为(2)(3). 答案：(2)(3)16.【解析】A={y ｜y ＜a 或y ＞a 2+1},B={y ｜2≤y ≤4}.(1)当A ∩B=∅时，2a 14,a 2,⎧+≥⎨≤⎩a ≤2或a ≤≨a 的取值范围是(-≦,2］. (2)由x 2+1≥ax,得x 2-ax+1≥0, 依题意Δ=a 2-4≤0, ≨-2≤a ≤2. ≨a 的最小值为-2.当a=-2时，A={y ｜y ＜-2或y ＞5}. ≨R A ð={y ｜-2≤y ≤5}. ≨R (A)ð∩B={y ｜2≤y ≤4}.17.【解析】(1)≧f(x)=2x +k ·2-x 是奇函数，≨f(-x)=-f(x)，x ∈R, 即2-x +k ·2x =-(2x +k ·2-x ),≨(1+k)+(k+1)·22x =0对一切x ∈R 恒成立， ≨k=-1.(2)≧x ∈［0,+≦)，均有f(x)＞2-x ， 即2x +k ·2-x ＞2-x 成立， ≨1-k ＜22x 对x ≥0恒成立， ≨1-k ＜(22x )min .≧y=22x 在［0,+≦)上单调递增，≨(22x )min =1,≨k ＞0.18.【解析】(1)≧f ′(x)=()()224x x 12x x 1+-+=()222x 4xx 1++≥0在x ∈［0,1］上恒成立,≨f(x)在［0,1］上单调递增.又≧f(0)=0,f(1)=1,≨f(x)在x ∈［0,1］上的值域为［0,1］. (2)f(x)的值域为［0,1］,g(x)=ax+5-2a(a ＞0)在x ∈［0,1］上的值域为［5-2a,5-a ］.由条件,只需［0,1］⊆［5-2a,5-a ］. ≨52a 05a 1-≤⎧⎨-≥⎩⇒52≤a ≤4. ≨a 的取值范围是[5,24]. 19.【解析】(1)≧f(x)=ax+lnx-1, ≨f ′(x)=22a 1x a .x x x--+= 令f ′(x)=0,得x=a.①若a ≤0,则当x ∈(0，e ］时f ′(x)＞0,f(x)在区间(0,e ］上单调递增.②若0＜a ＜e,当x ∈(0,a)时，f ′(x)＜0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减，当x ∈(a,e ］时，f ′(x)＞0，函数f(x)在区间(a,e ］上单调递增. ③若a ≥e,则当x ∈(0，e ］时f ′(x)≤0，函数f(x)在区间(0,e ］上单调递减.(2)≧g(x)=(lnx-1)e x +x,x ∈(0,e ］, g ′(x)=(lnx-1)′e x +(lnx-1)(e x )′+1=xe x+(lnx-1)e x +1=(1x +lnx-1)e x +1.由(1)可知，当a=1时，f(x)=1x+lnx-1.此时f(x)在区间(0,e ］上的最小值为ln1=0，即1x+lnx-1≥0. 当x 0∈(0,e ］时,0x e ＞0,1x +lnx 0-1≥0, ≨g ′(x 0)=(1x +lnx 0-1)0x e +1≥1＞0. 曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x)=0有实数解.而g ′(x 0)＞0，即方程g ′(x 0)=0无实数解.故不存在x 0∈(0,e ］，使曲线y=g(x)在点x=x 0处的切线与y 轴垂直. 20.【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n+1)x=m, 即n=mx-1, 所以=m m256(1)(2x x -+=256m2m 256.x+- (2)由(1)知，f ′(x)=1 22256m 1mx x 2--+=322m(x 512).2x- 令f ′(x)＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x<64时，f ′(x)<0,f(x)在区间(0，64)上为减函数；当64<x<640时，f ′(x)>0,f(x)在区间(64，640)上为增函数，所以f(x)在x=64处取得最小值，此时n=m 64011x 64-=-＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小.21.【解析】(1)当p=2时，函数f(x)=2x-2x-2lnx, f(1)=2-2-2ln1=0.f ′(x)=2+222.x x- 曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f ′(1)=2+2-2=2.从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1)，即y=2x-2.(2)f ′(x)=222p 2px 2x pp .x x x -++-=令h(x)=px 2-2x+p,要使f(x)在定义域(0,+≦)内是增函数， 只需h(x)≥0，即h(x)=px 2-2x+p ≥0⇔p ≥22x,x 1+故正实数p 的取值范围是［1,+≦). (3)≧g(x)=2ex在［1，e ］上是减函数， ≨x=e 时，g(x)min =2； x=1时,g(x)max =2e, 即g(x)∈［2，2e ］,①当p ＜0时，h(x)=px 2-2x+p ，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=1p在y 轴的左侧，且h(0)＜0，所以f(x)在x ∈［1，e ］内是减函数. 当p=0时，h(x)=-2x,因为x ∈［1，e ］, 所以h(x)＜0,f ′(x)=2x-＜0,此时，f(x)在x ∈［1，e ］内是减函数，故当p ≤0时，f(x)在［1,e ］上单调递减⇒f(x)max =f(1)=0＜2,不合题意;②当p ≥1时，由(2)知f(x)在［1，e ］上是增函数，f(1)=0＜2,又g(x)在［1，e ］上是减函数，故只需f(x)max ＞g(x)min ,x ∈［1，e ］,而f(x)max =f(e)=p(1e e-) -2,g(x)min =2,即p(1e e-)-2＞2, 解得p ＞24e,e 1- 所以实数p 的取值范围是(24e,e 1-+≦).。

课时跟踪训练1．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫θ2＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x . 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫θ2＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×⎝⎛⎭⎫－63＝6－326＝2－24.2．函数f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x＋2sin x .(1)在△ABC 中，cos A ＝－35，求f (A )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程． 解：(1)由sin x ＋cos x ≠0得x ≠k π－π4，k ∈Z .f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x＋2sin x＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＋2sin x ＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，在△ABC 中，cos A ＝－35＜0，所以π2＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以f (A )＝sin A ＋cos A ＝45－35＝15.(2)由(1)可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π.因为函数y ＝sin x 图象的对称轴为x ＝k π＋π2，k ∈Z 又由x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴的方程为x ＝k π＋π4，k ∈Z . 3．已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝a·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos 2x 2＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋1， 由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1， g (x )的最小值为0.4．已知函数f (x )＝23cos 2x ＋2sin x cos x －m (x ∈R )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上，函数f (x )的最大值为2.(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c .若A 为锐角，且满足f (A )＝0，sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为334，求边长a .解：(1)∵f (x )＝23cos 2 x ＋2sin x cos x －m ＝3(cos 2x ＋1)＋sin 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3－m .∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3. ∴函数f (x )在2x ＋π3＝π2时取得最大值，即2＋3－m ＝2，解得m ＝ 3.(2)∵f (A )＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝0，由A 为锐角，解得A ＝π3. ∵sin B ＝3sin C ，由正弦定理得b ＝3c ，① ∵△ABC 的面积为334，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝334，即bc ＝3.②由①和②解得b ＝3，c ＝1.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝32＋12－2×3×1×cos π3，∴a ＝7.5．黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁，黄岩岛四周为距水面0.5 m 到3 m 之间的环形礁盘．礁盘外形呈等腰直角三角形，其内部形成一个面积为130 km 2、水深为10～20 m 的湖．湖东南端有一个宽400 m 的通道与外海相连，中型渔船和小型舰艇可由此进入湖中进行维修或者避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中偶数整点时的水深的近似值如下表：来刻画．(1)根据以上数据画出其近似图象，并求出水深y (m)与时间x (h)的具体函数关系式； (2)若某渔船吃水深度为5 m ，船底与海底的安全间隙为2.5 m ，该船需进湖休息，一天中什么时刻可以进入湖内？解：(1)如图，由图可知该函数的最大值为15，最小值为5，最小正周期为24，即A ＋h ＝15，h －A ＝5，T ＝2πω＝24，解得A ＝5，h ＝10，ω＝π12.又函数的图象过点(16,15)，即y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12×16＋φ＋10＝15，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π，所以φ＝－5π6.所以水深y (m)与时间x (h)的函数关系式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12x －5π6＋10. (2)因为该渔船吃水深度为5 m ，船底与海底的安全间隙为2.5 m ，所以要使该渔船进湖休息，需水深不小于7.5 m 时进入，即一天中需y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12x －5π6＋10≥7.5 h 进入， 解得x ＝0或8≤x ≤24，所以一天中0 h 或8 h 到24 h 可以进入湖内．。

集合与函数课时提升训练（9）3、设集合A={1，2}，集合B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数，确定平面上一个点，记“点落在直线上为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（）A．3 B．4 C．2和5 D．3和44、对于非空集合A．B，定义运算A B＝{x | x∈A∪B，且x A∩B}，已知两个开区间M＝（a，b），N＝（c，d），其中a．b．c．d满足a＋b＜c＋d，ab＝cd＜0，则M N等于（）A．（a，b）∪（c，d） B．（a，c）∪（b，d）C．（a，d）∪（b，c） D．（c，a）∪（d，b）8、设集合A=若A B,则实数a,b必满足（）A B CD9、设集合，函数且则的取值范围是A．(] B．(] C．() D．[0，]10、对于非空集合，定义运算：，已知，其中满足，，则A． B． C． D．13、定义在R上的函数满足，当时，单调递增，如果的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负15、设，，则满足条件的所有实数a的取值范围为（）A．0＜a＜4 B．a=0 C．＜4 D．0<a17、设集合，在上定义运算：，其中为被4除的余数，，则使关系式成立的有序数对的组数为（）A． B． C．D．18、设函数内有定义，对于给定的正数，定义函数：取函数，在下列区间上单调递减的是（）A. B. C. D.20、已知函数在R上是偶函数，对任意都有当且时，，给出如下命题：①②直线图象的一条对称轴③函数在[-9，-6]上为增函数④函数在[-9，9]上有四个零点其中所有正确命题的序号为（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④21、已知函数,那么对于任意的，函数y的最大值与最小值分别为（）A. B. C.D. 3，123、定义域为D的函数f（x）同时满足条件①常数a，b满足a<b，区间[a，b]D，②使f （x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]（k∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“k级矩阵”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对24、定义区间的长度均为n-m，其中m<n，已知关于x的不等式组的解集构成的各区间的长度和为5，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．25、已知函数互不相等，则则的取值范围是（） A．（1，10） B．（1，e） C．（e，e＋1） D．（e，）26、已知,,（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，试确定实数的取值范围27、已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．28、已知函数，则下列说法正确的是（写出所有正确命题的序号）①在上是减函数；②的最大值是2；③方程有2个实数根；④在R上恒成立．29、已知函数是偶函数，当时，，且当时，恒成立，则的最小值是31、已知是定义域为R的偶函数，且,。

课时跟踪训练1．已知点P ⎝⎛⎭⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上两个动点，满足：P A →＋PB →＝λPO →(0＜λ＜4，且λ≠2)．求直线AB的斜率．解：(1)∵PF 1⊥x 轴，∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，c ＝1.|PF 2|＝22＋⎝⎛⎭⎫322＝52，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P A →＋PB →＝λ PO →得⎝⎛⎭⎫x 1＋1，y 1－32＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1，y 2－32＝λ⎝⎛⎭⎫1，－32， ∴x 1＋x 2＝λ－2，y 1＋y 2＝32(2－λ)．① 又3x 21＋4y 21＝12,3x 22＋4y 22＝12，两式相减，得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.②将①式代入②式，可得AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 2．(2014年石家庄模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线P A 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点．解：(1)依题意e ＝c a ＝32， 过焦点F 与长轴垂直的直线x ＝c 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1联立解得弦长为2b 2a＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设P (1，t )，则k P A ＝t －01＋2＝t 3，直线l P A ：y ＝t 3(x ＋2)， 联方⎩⎨⎧ y ＝t 3(x ＋2)x 24＋y 2＝1.得(4t 2＋9)x 2＋16t 2x ＋16t 2－36＝0，可知－2x M ＝16t 2－364t 2＋9，所以x M ＝18－8t 24t 2＋9， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x M ＝18－8t 24t 2＋9y M ＝12t4t 2＋9.同理得到⎩⎪⎨⎪⎧ x N ＝8t 2－24t 2＋1y N ＝4t 4t 2＋1.由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴上．不妨设这个定点为Q (m,0)，则k MQ ＝12t 4t 2＋918－8t 24t 2＋9－m ，k NQ ＝4t4t 2＋18t 2－24t 2＋1－m ， k MQ ＝k NQ ，故(8m －32)t 2－6m ＋24＝0，m ＝4.3．如图，已知O (0,0)，E (－3，0)，F (3，0)，圆F ：(x －3)2＋y 2＝5.动点P 满足|PE |＋|PF |＝4.以P 为圆心，|OP |为半径的圆P 与圆F 的一个公共点为Q.(1)求点P 的轨迹方程；(2)证明：点Q 到直线PF 的距离为定值，并求此值．解：(1)由|PE |＋|PF |＝4＞|EF |及椭圆定义知，点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，4为长轴长的椭圆．设P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设圆P 与圆F 的另一个公共点为T ，连结QT ，并设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则由题意知，圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20.又Q 为圆P 与圆F 的一个公共点，故⎩⎨⎧(x 1－3)2＋y 21＝5(x 1－x 0)2＋(y 1－y 0)2＝x 20＋y 20， 所以(x 0－3)x 1＋y 0y 1－1＝0.同理(x 0－3)x 2＋y 0y 2－1＝0.因此直线QT 的方程为(x 0－3)x ＋y 0y －1＝0.设PF 交QT 于H ，则PF ⊥QT .设|QH |＝d (d ＞0)，则在Rt △QHF 中，|FH |＝|3(x 0－3)－1|(x 0－3)2＋y 20. 又x 204＋y 20＝1，故|FH |＝|3(x 0－3)－1|(x 0－3)2＋1－x 204＝2×|3(x 0－3)－1|[3(x 0－3)－1]2＝2. 在Rt △QHF 中，d ＝5－|FH |2＝1.所以点Q 到直线PF 的距离为1.4．(2014年浙江高考)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3 FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标；(2)求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3 FM →，分别得M ⎝⎛⎭⎫－223，23或M ⎝⎛⎭⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF →＝3 FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0 得k 2＝－15m ＋415. 由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43又因为|AB |＝41＋k 2 k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2. 所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝1615 3m 3－5m 2＋m ＋1. 记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝⎛⎭⎫－13＜m ≤43. 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1. 可得f (m )在⎝⎛⎭⎫－13，19上是增函数，在⎝⎛⎭⎫19，1上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1，43上是增函数．又f ⎝⎛⎭⎫19＝256243＞f ⎝⎛⎭⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243， 此时k ＝±5515. 所以，△ABP 面积的最大值为2565135.。

集合与函数课时提升训练（13）1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.2、若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时，.则称集合是“好集” . （Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；3、若为集合且的子集，且满足两个条件：①；②对任意的，至少存在一个，使或.则称集合组具有性质. 如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组 1：；集合组2：.（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行 3 列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值 . （其中表示集合所含元素的个数）4、已知函数在区间上为增函数，且。

（ 1）当时，求的值；（ 2）当最小时，①求的值；②若是图象上的两点，且存在实数使得，证明：。

5、（本小题满分 14 分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线 . 已知函数为自然对数的底，为常数） .( Ⅰ) 讨论函数的单调性； ( Ⅱ) 设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.6、设 a， b， c 为实数， f （ x） =（ x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是A．=1且=0B．C．=2且=2D．=2且 =37、设，已知函数的定义域是，值域是，若函数g(x)=2 ︱x-1︱+m+1有唯一的零点，则（）A． 2 B ． C ． 1 D ． 0 8、已知函数，在定义域[-2 ，2] 上表示的曲线过原点，且在x＝± 1 处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则；④若对，恒成立，则的最大值为 2．其中正确命题的个数为A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个11、设函数的最大值为，最小值为，那么.12、（本小题满分 14 分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．13、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：. 直角坐标平面内，若满足，则的取值范围1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底. 理由是；②是的一个二元基底.理由是，.（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底 .故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.* 假设为的一个 4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或. 如果，则由，与结论 *矛盾 . 如果，则或. 易知和都不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，这时，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，这时，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有当时，有，，，易知不是的4 元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或 {3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为 5.2 、解：（Ⅰ）集合不是“好集” .理由是：假设集合是“好集” .因为，，所以.这与矛盾.有理数集是“好集” .因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集” .（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即.（Ⅲ）命题均为真命题 .理由如下：对任意一个“好集”，任取，若中有 0 或 1 时，显然. 下设均不为0，1.由定义可知：.所以，即. 所以.由（Ⅱ）可得：，即.同理可得.若或，则显然.若且，则.所以. 所以由（Ⅱ）可得：.所以.综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以，即命题为真命题 .3、（Ⅰ）解：集合组 1 具有性质.所对应的数表为：集合组 2 不具有性质.因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质.（Ⅱ注：表格中的7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件①和②，由条件①：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为 0，所以由条件①可知数表中任意一行不全为0.由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个 1 一个 0，即第行与第行的第列的两个数一定不同 .所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同.因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.所以，要使取得最小值，只需使表中 1 的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为.4、解：。