贵州省贵阳市2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

贵州省2016年高考理科数学试题及答案（Word 版）（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则AB =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算 法的。

执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,n x x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11 1F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2015～2016学年第一学期高三第三次模拟考试理科数学试题一.选择题：（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，集合{|2,}B x x n n A ==∈，则A B =I ( ) A ．{0} B ．{0,2,4} C ．{2,4} D ．{0,2}2. 若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( ) A ．2B ． 3C ．2D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( ) A ．117 B ．118 C ．118．5 D ．119．54. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2+=n n a S ，则5a =（ ）A ．-16B ．-32C ．32D ．-645. 已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．y ＜x ＜z6. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．47. 下列结论错误的是（ ）A ．命题：“若0>>b a ，则22b a >”的逆命题是假命题；B ．若函数)(x f 可导，则0)(0='x f 是0x 为函数极值点的必要不充分条件；C ．向量b a ,的夹角为钝角的充要条件是0<⋅b a ；D ．命题:p “1,+≥∈∃x e R x x”的否定是“1,+<∈∀x e R x x” 8.执行右面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A.1B.2C.3D.49. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( )A ．83π B ．163π C ．483π D ．643π 10.偶函数()x f 满足())1(1-+=x f x f ,且在]1,0[∈x 时, ()2x x f = ,()x x g ln = ，则函数()x f 与)(x g 图象交点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411. 已知点P 是双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>左支上一点，12,F F 是双曲线的左右两个焦点，且120PF PF ⋅=u u u v u u u u v，线段2PF 的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为A 2B 3C 2D 512．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为( )A ．23 B ．332 C ．2π D ． 3π 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(,1)01(,1)(2x x x x x f , 则⎰-=11)(dx x f15. 设nxx )15(-的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中x 的系数为16. 数列{a n }满足a 1=1，且对任意的正整数m ，n 都有a m+n =a m +a n +mn ，则=三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） 己知函数21()3cos sin ()2f x x x x x R =++∈, (1) 当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的最小值和最大值；第12题(2) 设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a 、b 、c ，且3c =，f(C) =2，若向量(1,)m a =u r与向量(2,)n b =r共线，求a ，b 的值．18．（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)； 并求出：有多大把握认为喜爱打篮球与性别有关，说明你的理由；（Ⅱ）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X ，求X 分布列与期望．下面的临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（Ⅰ）求证：BM AD ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为55． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴A端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点。

贵州省贵阳市普通高中2016届高三年级第一学期期末监测考试试卷理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A={x∣ x2+2x−3>0}，B={x∣ 0<x<2}，则A∩B=( )A. {x∣ 1<x<2}B. {x∣ x<−3或1<x<2}C. {x∣ x<−3或0<x<2}D. {x∣ 0<x<1}2. 设i为虚数单位，则复数z=5+i1−i的共轭复数z为( )A. 2−3iB. −2−3iC. −2+3iD. 2+3i3. 设x,y∈R，则“x≥1且y≥1”是" x2+y2≥2 "的( )A. 既不充分又不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件4. 甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则( )A. V甲<V乙B. V甲=V乙C. V甲>V乙D. V甲，V乙大小不能确定5. 下列函数中，以π2为最小正周期的奇函数是( )A. y=sin2x+cos2xB. y=sin(4x+π2)C. y=sin2xcos2xD. y=sin22x−cos22x6. 如图，在三棱锥P−ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A. AP⊥PB，AP⊥PCB. AP⊥PB，BC⊥PBC. 平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD. AP⊥平面PBC7. 阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的表达式为( )A. i≤3B. i≤4C. i≤5D. i≤68. 已知O是坐标原点，点A(−1,1)．若点M(x,y)为平面区域{x+y≥2,x≤1,y≤2,上的一个动点，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−1,0]B. [0,1]C. [0,2]D. [−1,2]9. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=e1−x2B. f(x)=e x2−1C. f(x)=e x2−1D. f(x)=ln(x2−1)10. 若点A(a,b)在第一象限且在直线x+2y=4上移动，则log2a+log2b( )A. 有最大值2B. 有最小值1C. 有最大值1D. 没有最大值和最小值11. 在[−4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)=x3+mx2+3x在R上单调递增的概率为( )A. 14B. 38C. 58D. 3412. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与函数y=√x的图象交于点P，若函数y=√x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(−2,0)，则双曲线的离心率是( )A. √5+12B. √2 C. √3+12D. 32二、填空题（共4小题；共20分）13. 图中阴影部分的面积等于______．14. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2B2=c−a2c，则△ABC的形状一定是______．15. 若直线x+ay−1=0与2x−y+5=0垂直，则二项式(ax2−1x )5的展开式中x4的系数为______．16. 在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C:(x−m)2+(y−2)2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是______．三、解答题（共8小题；共104分）17. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=−3，S10=−40．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若从数列{a n}中依次取出第2，4，8，⋯，2n，⋯项，按原来的顺序排成一个新数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n．18. 在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图．（1）若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由；（2）若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．19. 如图，在底面为梯形的四棱锥S−ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60∘，∠BAD=135∘，AD=DC=√2，SA=SC=SD=2，O为AC中点．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）求二面角A−SB−C的余弦值．20. 设点 F 1(−c,0)，F 2(c,0) 分别是椭圆 C:x 2a 2+y 2=1(a >1) 的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 0． （1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，动直线 l:y =kx +m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线 l 于 M ，N 两点，求四边形 F 1MNF 2 面积 S 的最大值．21. 设函数 f (x )=xln (ax )(a >0)．（1）设 F (x )=12f (1)x 2+fʹ(x )，讨论函数 F (x ) 单调性；（2）过两点 A(x 1,fʹ(x 1))，B(x 2,fʹ(x 2)) (x 1<x 2) 的直线的斜率为 k ，求证：1x 2<k <1x 1．22. 如图所示，圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E ，作 EF ∥CB ，并且交 AD 的延长线于点 F ，FG 切圆O 于点 G ．（1）求证：△DEF ∽△EAF ； （2）如果 FG =1，求 EF 的长．23. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C 1的极坐标方程为 ρ=4cosθ(ρ≥0)，曲线 C 2 的参数方程为 {x =m +tcosα,y =tsinα(t 为参数,0≤α<π)，射线 θ=φ，θ=φ+π4，θ=φ−π4与曲线 C 1 分别交于（不包括极点 O ）点 A ，B ，C ．（1）求证：∣OB ∣+∣OC ∣=√2∣OA ∣； （2）当 φ=π12 时，B ，C 两点在曲线 C 2 上，求 m 与 α 的值．24. 设 f (x )=∣x −1∣−2∣x +1∣ 的最大值为 m ．（1）求实数 m 的值；（2）若 a,b,c ∈(0,+∞)，且 a 2+2b 2+c 2=m ，求 ab +bc 的最大值．答案第一部分1. A2. A3. D4. C5. C6. B7. B8. C9. A 10. C11. D 12. B 第二部分 13. 114. 直角三角形 15. 8016. (−3,−1]∪[7,9) 第三部分17. （1） 因为 a 5=a 1+4d =−3，S 10=10a 1+45d =−40， 所以 a 1=5，d =−2． 所以 a n =−2n +7．（2） 依题意，b n =a 2n =−2×2n +7=−2n+1+7， 故T n =−(22+23+⋯+2n+1)+7n =−22−2n+1×21−2+7n=4+7n −2n+2.18. （1） 学生甲的平均成绩 x 甲=68+76+79+86+88+956=82，学生乙的平均成绩 x 乙=71+75+82+84+86+946=82，又 s 甲2=16×[(68−82)2+(76−82)2+(79−82)2+(86−82)2+(88−82)2+(95−82)2]=77,s 乙2=16×[(71−82)2+(75−82)2+(82−82)2+(84−82)2+(86−82)2+(94−82)2]=1673,则 x 甲=x 乙，s 甲2>s 乙2，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．（2） 随机变量 ξ 的所有可能取值为 0，1，2，且 P (ξ=0)=C 42C 62=25，P (ξ=1)=C 41C 21C 62=815，P (ξ=2)=C 22C 62=115，则 ξ 的分布列为ξ012P25815115所以数学期望 E (ξ)=0×25+1×815+2×115=23．19. （1） 连接 OD ，因为在 △ASC 中，SA =SC ，∠ASC =60∘，O 为 AC 中点，如图 1． △ASC 为正三角形，且 AC =2，OS =√3，因为在 △ADC 中，DA 2+DC 2=4=AC 2，O 为 AC 中点，所以 ∠ADC =90∘，且 OD =1， 因为在 △SOD 中，OS 2+OD 2=SD 2， 所以 △SOD 为直角三角形，且 ∠SOD =90∘， 所以 SO ⊥OD ，又 SO ⊥AC 且 AC ∩OD =O ， 所以 SO ⊥平面ABCD ．（2） 如图 2，设直线 DO 与 BC 交于点 E ，则 OE ，OC ，OS 两两垂直， 故以 O 为原点，分别以 OE ，OC ，OS 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 1）知 ∠DAC =45∘，且 ∠BAD =135∘， 所以 ∠BAC =90∘， 所以 AB ∥x 轴，又在 △ABC 中，得 AB =2，所以 A (0,−1,0)，B (2,−1,0)，C (0,1,0)，S(0,0,√3)． 设平面 ABS 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )， 则 {m ⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x =0,y +√3z =0,令 z =−1 得，m ⃗⃗ =(0,√3,−1)，∣m ⃗⃗ ∣=2，同理可得平面 SBC 的一个法向量 n ⃗ =(√3,√3,1)，∣n ⃗ ∣=√7， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m ⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n ⃗ ∣∣=2×√7=√77， 所以二面角 A −SB −C 的余弦值为 √77．20. （1） 设 P (x,y )，则 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −x,−y )，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x,−y )，所以 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a ]， 由题意得，1−c 2=0，c =1，则 a 2=2， 所以椭圆 C 的方程为 x 22+y 2=1．（2） 将直线 l 的方程 y =kx +m 代入椭圆 C 的方程 x 22+y 2=1 中，得 (2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0，由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 Δ=16k 2m 2−4(2k 2+1)(2m 2−2)=0， 化简得：m 2=2k 2+1． 设 d 1=∣F 1M ∣=√k 2+1，d 2=∣F 2N ∣=√k 2+1．①当 k ≠0 时，设直线 l 的倾斜角为 θ，则 ∣d 1−d 2∣=∣MN ∣⋅∣tanθ∣， 所以 ∣MN ∣=1∣k∣⋅∣d 1−d 2∣， 所以S=12⋅1∣k∣⋅∣d1−d2∣⋅(d1+d2)=2∣m∣k2+1=4∣m∣m2+1=4∣m∣+1∣m∣,因为m2=2k2+1，所以当k≠0时，∣m∣>1，∣m∣+1∣m∣>2，即S<2．②当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S=2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．21. （1）fʹ(x)=ln(ax)+1，所以F(x)=12(lna)x2+ln(ax)+1，函数F(x)的定义域为(0,+∞)，Fʹ(x)=(lna)x+1x =(lna)x2+1x．①当lna≥0，即a≥1时，恒有Fʹ(x)>0，函数F(x)在(0,+∞)上是增函数；②当lna<0，即0<a<1时，令Fʹ(x)>0，得(lna)x2+1>0，解得0<x<√−1lna；令Fʹ(x)<0，得(lna)x2+1<0，解得x>√−1lna．所以函数F(x)在(0,√−1lna )上为增函数，在(√−1lna,+∞)上为减函数．（2）因为k=fʹ(x2)−fʹ(x1)x2−x1=ln(ax2)−ln(ax1)x2−x1=ln x2x1x2−x1，x2−x1>0，要证1x2<k<1x1，即证x2−x1x2<ln x2x1<x2−x1x1，令t=x2x1，则t>1，则只要证1−1t<lnt<t−1即可，①设g(t)=t−1−lnt，则gʹ(t)=1−1t>0(t>1)，故g(t)在(1,+∞)上是增函数．所以当t>1时，g(t)=t−1−lnt>g(1)=0，即t−1>lnt成立．②要证1−1t<lnt，由于t>1，即证t−1<tlnt，设ℎ(t)=tlnt−(t−1)，则ℎʹ(t)=lnt>0(t>1)，故函数ℎ(t)在(1,+∞)上是增函数，所以当t>1时，ℎ(t)=tlnt−(t−1)>ℎ(1)=0，即t−1<tlnt成立．故由①②知1x2<k<1x1成立，得证．22. （1）由EF∥BC，可知∠DEF=∠ECB，又∠BCD=∠BAD，所以∠DEF=∠BAD，又∠EFD=∠AFE，所以△DEF∽△EAF．（2）由△EAF∽△DEF，可知FE2=FD⋅FA，又FG为切线，则FG2=FD⋅FA，所以EF=FG=1．23. （1）依题意∣OA∣=4cosφ，∣OB∣=4cos(φ+π4)，∣OC∣=4cos(φ−π4)，则∣OB∣+∣OC∣=4cos(φ+π4)+4cos(φ−π4)=2√2(cosφ−sinφ)+2√2(cosφ+sinφ) =4√2cosφ=√2∣OA∣.（2）当φ=π12时，B，C两点的极坐标分别为(2,π3)，(2√3,−π6)，化为直角坐标为B(1,√3)，C(3,−√3)，所以经过点B，C的直线方程为y−√3=−√3(x−1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m=2，α=2π3．24. （1）当x≤−1时，f(x)=3+x≤2；当−1<x<1时，f(x)=−1−3x<2；当x≥1时，f(x)=−x−3≤−4．故当x=−1时，f(x)取得最大值m=2．（2）a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc)，当且仅当a=b=c=√22时，等号成立．此时ab+bc取得最大值1．。

2015—2016学年度第一学期期末联考高三数学（理科）参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1-5 DABBC 6-10 ABDCA 11-12 BD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 1- 14. ()7,3- 15. 15 16. []1,2-三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 【答案】(1) [,],63k k k Z ππππ-+∈ ；(2)233+． 【解析】(1)∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.………………………5分 (2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴113sin 22242ABC S ac B ∆+==⋅=. ……………………………10分 18.解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1．又121AA AC =，可得DC 12+DC 2＝CC 12， 所以DC 1⊥DC ．而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD ．BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC ．…………………………………………………5分 （2）由（I ）知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA uu u r 的方向为x 轴的正方向， CA u u u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．由题意知A 1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C 1(0,0,2)．则1(0,0,1)A D =-u u u u r，(1,1,1)BD =-u u u r ，1(1,0,1)DC =-u u u r , 设(,,)=n x y z 是平面A 1B 1BD 的法向量，则100n BD n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u r ，即⎩⎨⎧==+-00z z y x ,可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，10m BD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u ur 可取m ＝(1，2，1).3cos <>==g n m n,m n m . 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°……………………………12分19.(1)解：所有可能的申请方式有43种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242C 种，………………………………3分从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428327C =…………………………5分(2)ξ的所有可能取值为1、2、3421322324424121342431(1);327()14(2);3274(3)39p C C C C C p C C C p ξξξ===+======………………………………9分 所以ξ的分布列为ξ 1 2 3P127 142749()123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………12分20.【解析】（1）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(30)-，，(30)，为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为2214x y +=．………………………………5分 （2）因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．x yz则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 整理得032422=--+my y m ）（·········7分.0)4(12)2(22>++=∆m m 由设).,(),,(2211y x B y x A 解得 432,432222221++-=+++=m m m y m m m y 则.4342212++=-m m y y 因为21.21y y OE S AOB-=∆31324322222+++=++=m m m m 10分设.3,3,1)(2≥+=+=t m t tt t g 则)(t g 在区间],3[+∞上为增函数所以.334)(≥t g 所以23≤∆AOB S ，当且仅当0=m 时取等号，即23=∆AOB S 所以AOB S ∆的最大值为23·································12分 注：第（2）问也可用韦达定理.21. 解：(1)由题意0,()x a f x e a '>=-, 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增 即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值,其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n()0f x ≥. 由(1),设()l n 1.g a a aa =--,所以()0g a ≥. 由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减,∴()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a = (3)由（2）得1+≥x e x，即x x ≤+)1ln(，当且仅当0=x 时，等号成立，令)(1*∈=N k kxEAD OBC则，)11ln(1k k +>即)1ln(1k k k +>，所以),...,2,1(ln )1ln(1n k k k k=-+> 累加得))(1ln(1...31211*∈+>++++N n n n选做题（本题满分10分）22. 解：（1）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ． 因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ． 所以AE 是⊙O 的切线．……5分（2）由（1）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ，所以∠ABD ＝30，从而∠DAE ＝30，所以DE ＝AE tan 30＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4＝233× (233＋CD )，所以CD ＝433．……10分23. 解：（1）221:22C x y +=，:24l x += ………5分 （2）设)2,sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离2sin()42sin 2cos 44333d πθθθ+-+-==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时,Q 点到直线l 23。

贵州省贵阳市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2018·银川模拟) 若，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高三上·北京期中) 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高一下·庐江期末) 若x、y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A .B . ﹣C . ﹣5D . 55. （2分）将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）(2019·全国Ⅲ卷理) 函数，在[-6,6]的图像大致为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·宿州模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 45B .C .D . 608. （2分）(2018·自贡模拟) 将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A . 在上单调递增，为偶函数B . 最大值为1，图象关于直线对称C . 在上单调递增，为奇函数D . 周期为，图象关于点对称9. （2分）(2018·荆州模拟) 若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·临沂模拟) 阅读如图的程序框图，若运行此程序，则输出S的值为________．12. （1分） (2019高二下·六安月考) 西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有________种涂色方法．13. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=________14. （1分） (2018高三上·长沙月考) 在中，记，若，则的最大值为________．15. （1分） (2019高三上·湖北月考) 已知函数且，则________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （15分）(2017·江苏模拟) 己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn ，对任意的n∈N* ，均存在m∈N* ，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．17. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．（1）求证：PC⊥BD；（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E﹣BCD的体积最大时，求二面角E﹣BD﹣C的大小．18. （10分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？19. （10分） (2020高一下·海丰月考) 设数列的前n项和为，且满足，数列满足，且 .（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求的最小值.20. （5分） (2017高二下·潍坊期中) 己知，f（x）=1﹣lnx﹣ x2（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（II）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角α的取值范围．21. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知抛物线：的焦点与椭圆：（）右焦点重合，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于、两点，求的面积.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：考点：解析：答案：9-1、考点：解析：考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

贵阳市普通高中2016届高三年级第一学期期末监测考试试卷数学(理科)参考答案一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的㊂题　号123456789101112答　案AADCCBBDACDB二㊁填空题:本大题共4小题,每小题5分㊂13.114.直角三角形15.8016.(-3,-1]∪[7,9)三㊁解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂17.解:(Ⅰ)∵a 5=a 1+4d =-3,S 10=10a 1+45d =-40 解得　a 1=5,d =-2.∴a n =-2n +76分…………………………………………………………………………(Ⅱ)依题意　b n =a 2n =-2×2n +7=-2n +1+7故T n =-(22+23+ +2n +1)+7n=-22-2n +1×21-2+7n =4+7n -2n +212分……………………………………18.解:(Ⅰ)学生甲的平均成绩x 甲=68+76+79+86+88+956=82,学生乙的平均成绩x 乙=71+75+82+84+86+946=82,又s 2甲=16[(68-82)2+(76-82)2+(79-82)2+(86-82)2+(88-82)2+(95-82)2]=77,s 2乙=16[(71-82)2+(75-82)2+(82-82)2+(84-82)2+(86-82)2+(94-82)2]=1673则x 甲=x 乙,s 2甲>s 2乙,说明甲㊁乙的平均水平一样,但乙的方差小,即乙发挥更稳定,故可选择学生乙参加知识竞赛;6分……………………………………………………………(Ⅱ)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,且P (ξ=0)=C 24C 26=25,P (ξ=1)=C 14C 12C 26=815,P (ξ=2)=C 22C 26=115,则ξ的分布列为ξ012P25815115所以数学期望E (ξ)=0×25+1×815+2×115=23.12分………………………………19.(Ⅰ)证明:∵在△ASC 中,SA =SC ,∠ASC =π3,O 为AC 中点,∴△ASC 为正三角形,且AC =2,OS =3,∵在△ADC 中,DA 2+DC 2=4=AC 2,O 为AC 中点,∴∠ADC =π2,且OD =1,∵在△SOD 中,OS 2+OD 2=SD 2,∴△SOD 为Rt △,且∠SOD =π2,∴SO ⊥OD ,又∵SO ⊥AC 且AC ∩OD =O ,∴SO ⊥平面ABCD6分……………………………………………………………………(Ⅱ)解:如图,设直线DO 与BC 交于点E ,则OE ,OC ,OS 两两垂直,故以O 为原点,分别以OE ,OC ,OS 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.由(Ⅰ)知∠DAC =45°,且∠BAD =135°,∴∠BAC =90°,∴AB ∥x 轴,又∵在△ABC 中得AB =2,∴A (0,-1,0),B (2,-1,0),C (0,1,0),S (0,0,3),设平面ABS 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则m ㊃→AB =0m ㊃→AS {=0,即2x =0y +3z {=0,令z =-1得m =(0,3,-1),|m |=2,同理可得平面SBC 的一个法向量n =(3,3,1),|n |=7,∴cos <m ,n >=m ㊃n |m |㊃|n |=3-12×7=77,∴二面角A -SB -C 的余弦值为7712分…………………………………………………20.解:(Ⅰ)设P (x ,y ),则PF →1=(x +c ,y ),PF →2=(x -c ,y ),∴PF →1㊃PF →2=x 2+y 2-c 2=a 2-1a 2x 2+1-c 2 x ∈[-a ,a ],由题意得,1-c 2=0⇒c =1⇒a 2=2∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=16分…………………………………………………………(Ⅱ)将直线l 的方程l :y =kx +m 代入椭圆C 的方程x 22+y 2=1中,得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-2=0由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知△=16k 2m 2-4(2k 2+1)(2m 2-2)=0化简得:m 2=2k 2+1.设d1=|F1M|=|-k+m|k2+1,d2=|F2M|=|k+m| k2+1,①当k≠0时,设直线l的倾斜角为θ,则|d1-d2|=|MN|㊃|tanθ|∴|MN|=1|k|㊃|d1-d2|∴S=12㊃1|k|㊃|d1-d2|㊃(d1+d2)=2|m|k2+1=4|m|m2+1=4|m|+1|m|∵m2=2k2+1 ∴当k≠0时,|m|>1,|m|+1|m|>2 即S<2.②当k=0时,四边形F1MNF2是矩形,此时S=2.所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2.12分…………………………………………21.解:(Ⅰ):f′(x)=ln(ax)+1,所以F(x)=12(ln a)x2+ln(ax)+1,函数F(x)的定义域为(0,+∞),F′(x)=(ln a)x+1x=(ln a)x2+1x①当ln a≥0时,即a≥1时,恒有F′(x)≥0,函数F(x)在(0,+∞)上是增函数;②当ln a<0,即0<a<1时,令F′(x)>0,得(ln a)x2+1>0,解得0<x<-1ln a;令F′(x)<0,得(ln a)x2+1<0,解得x>-1ln a;函数F(x)在(0,-1ln a)上为增函数,在(-1ln a,+∞)上为减函数.6分………(Ⅱ)证明:∵k=f′(x2)-f′(x1)x2-x1=ln(ax2)-ln(ax1)x2-x1=ln x2x1x2-x1,要证1x2<k<1x1,因为x2-x1>0,即证x2-x1x2<lnx2x1<x2-x1x1,令t=x2x1,则t>1,则只要证1-1t<ln t<t-1,①设g(t)=t-1-ln t,则g′(t)=1-1t>0(t>1),故g(t)在[1,+∞)上是增函数.所以当t>1时,g(t)=t-1-ln t>g(1)=0,即t-1>ln t成立.②要证1-1t<ln t,由于t>1,即证t-1<t ln t,设h(t)=t ln t-(t-1),则h′(t)=ln t>0(t>1),故函数h(t)在[1,+∞)上是增函数,所以当t>1时,h(t)=t ln t-(t-1)>h(1)=0,即t-1<t ln t成立.故由①②知1x2<k<1x1成立,得证.12分…………………………………………………22.(Ⅰ)证明:EF ∥BC ⇒∠DEF =∠ECB ∠BCD =∠}BAD⇒∠DEF ⇒∠BAD⇒△DEF ∽△EFA 5分………………………………………………(Ⅱ)解:△EFA ∽△EFD ⇒FE 2=FD ㊃FA又因为FG 为切线,则FG 2=FD ㊃FA ,所以EF =FG =110分……23.(Ⅰ)证明:依题意|OA |=4cos φ,|OB |=4cos(φ+π4),|OC |=4cos(φ-π4),则|OB |+|OC |=4cos(φ+π4)+4cos(φ-π4)=22(cos φ-sin φ)+22(cos φ+sin φ)=42cos φ=2|OA |5分………………………(Ⅱ)解:当φ=π12时,B ㊁C 两点的极坐标分别为(2,π3),(23,-π6),化为直角坐标为B (1,3),C (3,-3),所以经过点B ㊁C 的直线方程为y -3=-3(x -1),而C 2是经过点(m ,0)且倾斜角为α的直线,故m =2,α=2π310分………………………………………………………………………24.解:(Ⅰ)当x ≤-1时,f (x )=3+x ≤2;当-1<x <1时,f (x )=-1-3x <2;当x ≥1时,f (x )=-x -3≤-4.故当x =-1时,f (x )取得最大值m =2.5分……………………………………………(Ⅱ)a 2+2b 2+c 2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)≥2ab +2bc =2(ab +bc ),当且仅当a =b =c =22时,等号成立.此时,ab +bc 取得最大值1.10分…………………………………………………………。

2015-2016学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＜﹣3，或1＜x＜2}C．{x|x＜﹣3，或0＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}2．设i为虚数单位，则复数Z=的共轭复数为（）A．2﹣3i B．﹣2﹣3i C．﹣2+3i D．2+3i3．设x，y∈R，则“x，y≥1”是“x2+y2≥2”的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件4．甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则（）A．V甲＜V乙B．V甲=V乙C．V甲＞V乙D．V甲、V乙大小不能确定5．下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sin（4x+）C．y=sin2xcos2x D．y=sin22x﹣cos22x6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（）A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的表达式为（）A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤68．已知O为坐标原点，点A（﹣1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，3] D．[1，4]9．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=e B．f（x）=e C．f（x）=e﹣1 D．f（x）=ln（x2﹣1）10．若点A（a，b）在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b（）A．最大值为2 B．最小值为1C．最大值为1 D．没有最大值和最小值11．在[﹣4，4]上随机取一个实数m，能使函数f（x）=x3+mx2+3x在R上单调递增的概率为（）A．B．C．D．12．已知双曲线与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣2，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．图中阴影部分的面积等于．14．在△ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2=，△ABC的形状一定是．15．若直线x+ay﹣1=0与2x﹣y+5=0垂直，则二项式（ax2﹣）5的展开式中x4的系数为．16．在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，动直线AB 过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

贵州省贵阳市普通高中届高三上摸底数学试卷理科解析版HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．R2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z?i=2，则z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．14．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．在各项都为正数的等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．1896．在边长为1的正三角形ABC中， =2，则?=（）A．B．C．D．17．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）A．﹣B．C．﹣4 D．49．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，m?α?m⊥βB．α⊥β，m?α，n?β?m⊥nC．m∥n，n⊥α?m⊥αD．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A．1 B．2 C．±2 D．1或211．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（a）＜f（b）12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a= ．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R= ；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．16．已知直线l：y=k（x+1）﹣与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l 的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|= ．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA， ?=3．（Ⅰ）求△ABC的面积S；（Ⅱ）若c=1，求a的值．18．通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好40不爱好25总计45100（Ⅰ）将题中的2×2列联表补充完整；（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，p（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828k19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题25．等比数列{an }的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{}的前n项和Sn．2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）1．已知集合A={x|y=log2A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．R【考点】交集及其运算．【分析】先根据对数函数求出函数的定义域得到集合A，再利用交集定义求解．（x﹣1），x∈R}，可得A={x|x＞1}，【解答】解：由A={x|y=log2又B={x|x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z?i=2，则z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足z+z?i=2，可得z==1﹣i．则z的虚部为﹣1．故选：D．3．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线，的截距最大，此时z取得最大值，由得，即A（1，3），代入z=x+3y，得z=1+3×3=10，即目标函数z=x+3y的最大值为10．故选：A．4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．在各项都为正数的等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．189【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，∴q=2，∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84故选C．6．在边长为1的正三角形ABC中， =2，则?=（）A．B．C．D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出向量长度和向量夹角进行求解即可．【解答】解：∵=2，∴?=（+）?=（+）?=2+?=1+×1×1cos120°=1﹣=，法2．∵=2，∴D是BC的中点，则在正三角形中，AD=，＜，＞=∠BAD=30°，则?=||?||cos30°=×1×=故选：C．7．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用辅助角公式化简，再由（0≤x＜2π）求得答案．【解答】解：y=sinx+cosx=2（）=2sin（x+）．由，得．∵0≤x＜2π，∴当k=0时，x=．故选：A．8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）A．﹣B．C．﹣4 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f（x）=3x+lnx的导数，再求出函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f （1））处的切线的斜率，根据两直线垂直可解出a的值．【解答】解：函数f（x）=3x+lnx的导数为f′（x）=3+，∴f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=3+1=4，∵直线x+ay+1=0的斜率为﹣，∴由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣?4=﹣1，∴a=4．故选：D．9．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，m?α?m⊥βB．α⊥β，m?α，n?β?m⊥nC．m∥n，n⊥α?m⊥αD．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，m与β平行、相交或m?β；在B中，m与n相交、平行或异面；由线面垂直的判定定理得C正确；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，知：在A中，α⊥β，m?α?m与β平行、相交或m?β，故A错误；在B中，α⊥β，m?α，n?β?m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，m∥n，n⊥α?m⊥α，由线面垂直的判定定理得，C正确；在D中，m?α，n?α，m∥β，n∥β?α与β相交或平行，故D错误．故选：C．10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A．1 B．2 C．±2 D．1或2【考点】程序框图．【分析】首先判断程序框图，转化为分段函数形式，然后根据y=3分别代入三段函数进行计算，排除不满足题意的情况，最后综合写出结果．【解答】解：根据程序框图分析，程序框图执行的是分段函数运算：y=，如果输出y为3，则当：﹣x+4=3时，解得x=1，不满足题意；当x2﹣1=3时，解得：x=2，或﹣2（舍去），综上，x的值2故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（a）＜f（b）【考点】对数值大小的比较．【分析】当x＞0时，f（x）=（）x+1，再由c＞a＞b，能求出f（a），f（b），f（c）的大小关系．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，∴当x＞0时，f（x）=（）x+1，∵a=2=4，b=4，c=25=，∴c＞a＞b，∴f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【考点】基本不等式．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（x2+）6的展开式中常数项是15 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】本题可通过通项公式Tr+1=Cnr a n﹣r b r来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6﹣r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a= 3 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为a，侧面是边长为2的正三角形，其面积为S==，由题意可得：V=3=a，解得：a=3．故答案为：3．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R= 6π；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径，即可求出球的表面积；如图所示，OP 是球的半径，OQ是棱长的一半，求出PQ 的2倍即可求出直线EF被球O截得的线段长．【解答】解：正四棱柱对角线为球直径，A1C2=1+1+4，所以R=，所以球的表面积为6π；由已知所求EF是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分，Q为EF的中点，d=，R=，所以PQ==，所以2PQ=．故答案为：6π；16．已知直线l：y=k（x+1）﹣与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l 的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|= ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线过圆心．求解k的值．得到直线AB的倾斜角，根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形，OA=OB=2即可求出OC和OD．即可得到|CD|的长度．【解答】解：由圆的方程x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，∵弦长为|AB|=4=2r，说明，直线过圆心．则有：0=k（0﹣1）﹣，解得k=，直线AB的方程为：y=x．设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=，∴θ=60°Rt△AOC中：|CO|===那么：|CD|=2|OC|=故答案为：．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA， ?=3．（Ⅰ）求△ABC的面积S；（Ⅱ）若c=1，求a的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（I）由3asinC=4ccosA，利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，可得tanA，sinA，cosA．由?=3，可得bccosA=3，解得bc．即可得出S=bcsinA．（II）利用（I）及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I）∵3asinC=4ccosA，∴3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，∴tanA=，可得sinA=，cosA=．∵?=3，∴bccosA=3，∴bc=5．∴S=bcsinA==2．（II）由（I）可得：b=5．∴a2=1+52﹣2×5×1×=20，解得a=2．18．通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好40不爱好25总计45100（Ⅰ）将题中的2×2列联表补充完整；（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，p（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828k【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整．（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X 的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表如下：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100（Ⅱ）K2=≈8.25＞6.635，∴99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关；（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X 的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为X012PE（X）=0×+1×+2×=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性质可得：AC⊥BD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB．（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），=（0，2，0），=（﹣1，1，2），取平面ABC的一个法向量为，设平面ABE的法向量，则，可得，取=（2，0，1）．∴===．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得关于c的方程，求出c，由离心率e==，求得a，由b2=a2﹣c2，求得b的值，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，求出方程的根，从而表示出|PQ|以及点O到直线PQ的距离，从而表示出S△OPQ，再利用基本不等式的性质即可得出直线l的方程．【解答】解：（1）设F（c，0）．∵直线AF的斜率为，∴=，解得c=．又离心率为e==，由b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联立，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即k2＞时，x1+x2=，x1?x2=，∴|PQ|=，∵点O到直线l的距离d=，∴S△OPQ=?d?|PQ|=，设=t＞0，则4k2=t2+3，∴S△OPQ==≤1，当且仅当t=2，即=2，解得k=±时取等号，且满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅲ）令a=1，得到≥1﹣lnx=ln，亦即≥，分别取 x=1，2，…，n，相乘即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx，（x＞0），f′（x）=1+lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）的极小值是f（）=﹣；（Ⅱ）h（x）=f′（x）+g（x）﹣1=lnx+，（x＞0），h′（x）=﹣=，①a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最值，②a＞0时，令h′（x）＞0，解得：x＞a，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴h（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，=h（a）=1+lna，∴h（x）min（Ⅲ）取a=1，由（Ⅱ）知，h（x）=lnx+≥f（1）=1，∴≥1﹣lnx=ln，亦即≥，分别取 x=1，2，…，n得≥，≥，≥，…，≥，将以上各式相乘，得：e＞成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC?BC=2AD?CD，转化为AD?CD=AC?CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，因此2AD?CD=AC?BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线化成直角坐标方程，直线到圆上的距离最小，即是圆心到直线的d减去半径r．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2sinθ，可得：ρ2=2ρsinθ．由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得：．即圆的方程为：．（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，可得：．由（Ⅰ）可得：圆心为（0，），半径圆心到直线的距离d==．∵|PC|的最小值等于圆心到直线的d减去半径r．所以：|PC|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）+3|x﹣2|的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|=|x+1|﹣2|x﹣2|≥1，x≥2时，x+1﹣2x+4≥1，解得：x≤4，﹣1＜x＜2时，x+1+2x﹣4≥1，解得：x≥，x≤﹣1时，﹣x﹣1+2x﹣4≥1，无解，故不等式的解集是[，4]；（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，即若对?x∈R，都有|x+1|+|x﹣2|＞m，而|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|=3，故m＜3．还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题25．等比数列{an }的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{}的前n项和Sn．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得bn，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{an }的公比为q＞0，∵2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．∴=a2a6，即=，a1（2+3q）=16，解得a1=q=2，∴an=2n ．（II）bn =log2a1+log2a2+…+log2an===，∴==2．∴数列{}的前n项和Sn=2+…+ =2=．2016年11月2日。

2016- 2017 学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一．选择题1．设 ={ |x ＜1} ， ={|x2＜ 1} ，则（）P x Q xA．P? Q B． Q? P C．P? ? Q D．Q? ? PR R 【答案】 B【分值】 5 分【分析】由Q 中不等式解得：﹣1＜＜ 1，即={ | ﹣1＜＜1} ，x Q x x∴?R Q={ x| x≤﹣1 或x≥1} ，∵P={ x| x＜1}，∴Q? P，【解题思路】求出Q中不等式的解集确立出Q，利用子集与补集的定义判断【考察方向】此题主要考察了子集与补集运算【易错点】子集与补集的运算2．复数（i ﹣1﹣ i ）3的虚部为（）A．8i B．﹣8i C．8D．﹣8【答案】 C【分值】 5 分【分析】∵（ i﹣1﹣ i）3=，∴复数（ i﹣1﹣ i ）3的虚部为8【解题思路】利用复数代数形式的乘除运算得答案【考察方向】此题主要考察了复数的乘除运算，虚数的观点【易错点】复数的乘除运算3．等差数列 {a} 的前n项和为S，且a3+ 9=16，则11=（）n n． 88． 48．96．176A B C D【答案】 A【分值】 5 分【分析】∵等差数列{a n}中，a3+9=16，a∴ 11===88S【解题思路】利用等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式计算【考察方向】此题主要考察了等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式【易错点】等差数列的性质的运用4．已知，则（）A． c＞ a＞ b B． b＞a＞ c C． b＞ a＞ c D． a＞c＞ b【答案】 D【分值】 5 分【分析】解：∵=，0＜log41＜log43.6 ＜log44=1，，y=5x是增函数，∴a＞ c＞ b．【解题思路】化为同底的指数，利用对数函数、指数函数的单一性判断【考察方向】此题主要考察了比较数的大小对数函数、指数函数的单一性【易错点】对数函数、指数函数的单一性5．设向量=（ 1，x﹣ 1），=（x+1， 3），则“x=2”是“∥”的（）A．充足但不用要条件B．必需但不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分值】 5 分【分析】依题意，∥? 3﹣（x﹣ 1）（x+1） =0? x=± 2，所以“ x=2”是“∥”的充足但不用要条件【解题思路】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充足但不用要条件【考察方向】此题主要考察了向量共线及充要条件的判断【易错点】充要条件的判断6．已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M（﹣3，4），则cos2θ 的值为（）A．B．C．D．【答案】 A【分值】 5 分【分析】∵角θ 的终边经过点P（﹣3，4），∴x=﹣3， y=4， r =| OP|=5，∴s in θ==，则 cos2θ=1﹣2sin 2θ=﹣【解题思路】由三角函数的定义，求出sin θ，利用二倍角公式计算【考察方向】此题主要考察了三角函数的定义，二倍角公式【易错点】三角函数的定义7．一个几何体的三视图以下图，此中正视图是边长为 2 的等边三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积是（）A．B．1C．2D．【答案】 D【分值】 5 分【分析】由三视图可知几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，该几何体的体积：=【解题思路】由三视图知该几何体是正六棱锥，用体积公式求解【考察方向】此题主要考察了三视图、体积公式【易错点】三视图与实物图之间的关系8．双曲线的两条渐近线将平面区分为“上、下、左、右”四个地区（不含界限），若点（ 2，1）在“右”地区内，则双曲线离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】 B【分值】 5 分【分析】解：双曲线的一条渐近线方程为：y=x，∵点（ 2， 1）在“右”地区内，∴× 2＞1，即，∴e==＞，则双曲线离心率 e 的取值范围是（，+∞）【解题思路】先求出双曲线的一条渐近线方程，再由点在“右”地区内，得出不等式，求得出双曲线离心率的取值范围【考察方向】此题主要考察了双曲线的简单性质、不等式（组）与平面地区的关系【易错点】不等式（组）与平面地区的关系9．三棱锥P﹣ ABC的四个极点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为 16π，则该三棱锥的高的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】 C【分值】 5 分【分析】设球的半径为R，由球的体积公式得：π R3=，∴ R=5．又设小圆半径为r ，则π r 2=16π，∴ r =4．明显，当三棱锥的高过球心O时，获得最大值；由 OO1==3，所以高PO1=PO+OO1=5+3=8【解题思路】由球的体积求得球的半径；由小圆面积求得小圆的半径；三棱锥高的最大值应过球心，求出解答【考察方向】此题主要考察了的体积求半径，由圆的面积求半径，勾股定理【易错点】几何体的性质10．已知的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后对于y 轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】 D【分值】 5 分【分析】∵函数的周期是π，∴=π，∴ω=2，∵函数的图象向左平移个单位后获得y=sin （2x++φ）的图象对于y 轴对称，∴+φ=kπ + ，k∈Z．∵| φ | ＜，解得φ=﹣．∴ω=2，φ =﹣．【解题思路】利用函数的周祈求出ω，而后依据函数的平移法例求出函数的图象平移后的函数，而后由已知的图象对于Y轴对称，求出φ【考察方向】此题主要考察了y=Asin （ω x+?）的图象和性质【易错点】三角函数的左右平移x 上的变化量11．正项等比数列 { a } 中，存在两项 a 、 a 使得=4a，且a =a +2a，则的最小n mn1654值是（）A．B．2C．D．【答案】 A【分值】 5 分【分析】在等比数列中，∵a 6= 5+24，∴，a a即 q2﹣ q﹣2=0，解得 q=2或 q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即 2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣ 2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，当且仅当，即 n=2m时取等号【解题思路】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确立m，n的关系，而后利用基本不等式即可求出则的最小值【考察方向】此题主要考察了等比数列的运算性质以及基本不等式的应用【易错点】基本不等式成立的条件12．已知函数，若|f（x）|≥ax﹣1恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6] B．[﹣6，0] C．（﹣∞，﹣1]D．[﹣1，0]【答案】 B【分值】 5 分【分析】由题意，| f（x）| ≥ax﹣1 恒成立，等价于y=ax﹣1一直在 y=| f （ x）|的下方，即22直线夹在与y=|﹣ x +4x|= x ﹣4x（x≤0）相切的直线，和y=﹣1之间，所以转变为求切线斜由，可得 x2﹣（4+a） x+1=0①，令△ =（ 4+a）2﹣ 4=0，解得a=﹣6 或a=﹣2，a=﹣6时， x=﹣1成立； a=﹣2时， x=1不可立，∴实数 a 的取值范围是[﹣6，0]．【解题思路】 | f（x）| ≥ax﹣ 1 恒成立，等价于y=ax﹣ 1 图像一直在y=| f（x）| 图像的下方，即直线夹在与 y=|﹣x2+4x|= x2﹣4x（ x≤0）相切的直线，和 y=﹣1之间，所以转变为求切线斜率．【考察方向】此题主要考察了分段函数，恒成立问题【易错点】将不等式转变为图像问题二．填空题13．某高校有正教授120 人，副教授100 人，讲课老师 80 人，助教 60 人，现用分层抽样的方法从以上全部老师中抽取一个容量为n 的样本，已知从讲课老师中抽取人数为16 人，那么n=．【答案】 72【分值】 5 分【分析】每个个体被抽到的概率为=，则n=（120+100+80+60）×=72【解题思路】先求出每个个体被抽到的概率，用整体数目乘以每个个体被抽到的概率就等于容量 n 的值【考察方向】此题主要考察了分层抽样【易错点】分层抽样的比率14．展转相除法，别名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法，在中国则能够追忆至东汉出现的《九章算术》，图中的程序框图所表述的算法就是欧几里得展转相除法，若输入a=5280， b=12155，则输出的b=．【答案】 55【分值】 5 分【分析】解： a=5280， b=12155， a 除以 b 的余数是1595，此时 a=5280， b=1595， a 除以 b 的余数是495，此时 a=1595， b=495， a 除以 b 的余数是110，此时 a=495， b=110， a 除以 b 的余数是55，此时 a=110， b=55，a 除以 b 的余数是0，退出程序，输出结果为55【解题思路】列举，当判断框条件成即刻，循环结束【考察方向】此题主要考察了程序框图中的循环结构【易错点】循环结构条件成立的判断15．过抛物线y2=4x 的焦点且倾斜角为60°的直线被圆截得的弦长是．【答案】 37【分值】 5 分【分析】∵抛物线y2=4x 的焦点 F（1，0），2∴过抛物线 y =4x 的焦点且倾斜角为60°的直线方程为：y=tan 60°（ x﹣1），即，∵圆的圆心（ 2，﹣ 2），半径 r =4，∴圆心（ 2，﹣ 2）到直线的距离：d==，∴弦长 L=2=2=【解题思路】由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长【考察方向】此题主要考察了直线与圆订交的弦长的求法【易错点】圆的弦长的求法16．若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（ c，d）在函数 y=x+2的图象上，则| PQ| 的最小值为．【答案】 22【分值】 5 分【分析】设直线= +与曲线=﹣x 2+3相切于（0，0），y x m y lnx P x y 由函数 y=﹣ x2+3lnx ，∴ y′=﹣2x+，令﹣ 2x0+=1，又x0＞ 0，解得x0=1．∴y0=﹣1+3ln 1=﹣1，可得切点 P（1，﹣1）．代入﹣ 1=1+m，解得m=﹣ 2．可得与直线= +2 平行且与曲线y =﹣x2+3相切的直线= ﹣2．y x lnx y x而两条平行线y=x+2与 y=x﹣2的距离 d=2【解题思路】由几何意义知，最小值为与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx 相切的切点到直线的距离【考察方向】此题主要考察了导数的几何意义、切线的方程【易错点】导数的几何意义三．解答题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a， b， c，若 b2+c2﹣ a2=bc（1）求角A的大小；【答案】 60°【分值】 4 分【分析】因为222b +c ﹣ a =bc，所以 cosA== ，由 0°＜A＜ 180°得A=60°【考察方向】此题主要考察了余弦定理【易错点】余弦定理【解题思路】由余弦定理求出 cosA 的值，由角的范围求出 A（ 2）若【答案】，求 BC 边上的中线 AM 的最大值．32【分值】 6 分【分析】在 ABC 中， A =60°， a = ，由余弦定理得， a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化简得， b 2+c 2﹣bc =3，则 b 2+c 2=bc +3，且 b 2+c 2=bc +3≥2bc ，得 bc ≤ 3，（当且仅当 b =c 时取等号）在 ABC 中， cosB =，在 ABM 中， M 是 BC 的中点，由余弦定理得，222AB ? BM ? cosBAM =AB +BM ﹣ 2? =c 2 + ﹣ 2? c ? ?===，则 AM ≤，所以中线 AM 的最大值是【考察方向】此题主要考察了余弦定理，以及基本不等式求最值【易错点】基本不等式求最值【解题思路】 在 顶用余弦定理表示出2，化简后得2 + 2= +3，由基本不等式得bc ≤ 3，ABCab cbc由余弦定理表示出cosB ，在 ABM 中由余弦定理表示出 2AM 的最大值AM ，化简后可求出18． 2016 年 3 月 31 日贵州省第十二届人民代表大会常务委员会第二十一次会议经过的《贵州省人口与计划生育条例》 全面开放二孩政策． 为了认识人们对于贵州省新公布的“生育二孩松开”政策的热度，此刻某市进行检查，对[5 ， 65] 岁的人群随机抽取了n 人，获得以下统计表和各年纪段抽取人数频次散布直方图：分组 支持“生育二孩”人数占本组的频次[5 ， 15） 4[15 ，25） 5 p[2 ， 35）12[35 ，45）8 [45 ，55）2 [55 ，65）1（1）求，p 的值；n【答案】 n=50; p【分值】 5 分【分析】（ 1） [5 ， 15）年纪段抽取的人数为=5，频次为0.010 × 10=0.1 ，∴n==50，第二组的频次为0.2 ，人数为10，则p=【考察方向】此题主要考察了频次散布直方图, 概率的计算【易错点】频次散布直方图【解题思路】求出样本容量，第二组的频次为0.2 ，人数为10，即可求出概率（2）依据以上统计数据填下边2× 2 列联表，并依据列联表的独立性查验，可否有99%的把握以为以45 岁为分界点对“生育二孩松开”政策的支持度相关系？参照数据：P（ K2≥ k）k年纪不低于45 岁的人数年纪低于45 岁的人数共计支持不支持共计【答案】没有99%的掌握以为以45 岁为分界点对“生育二孩松开”政策的支持度相关系【分值】 5 分【分析】依据以上统计数据填2× 2 列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（ 1） [5 ， 15）年纪段抽取的人数为=5，频次为0.010 × 10=0.1 ，∴n==50，第二组的频次为0.2 ，人数为10，则p==0.5 ；（2） 2× 2 列联表以下年纪不低于45 岁的年纪低于45 岁的人共计人数数支持32932不支持71118共计104050计算 K2=≈ 6.27 ＜ 7.635 ，所以没有99%的掌握以为以45 岁为分界点对“生育二孩松开”政策的支持度相关系【考察方向】此题主要考察了独立性查验的应用问题【易错点】独立性查验的应用问题【解题思路】依据统计数据填2× 2 列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论19．以下图，该几何体是一个由直三棱柱ADE﹣ BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥ AF， AE=AD=2（1）证明：平面PAD⊥平面 ABFE；【答案】详看法析【分值】 6 分【分析】证明：（ 1）直三棱柱ADE﹣ BCF中，∵ AB⊥平面 ADE，∴AB⊥ AD，又 AD⊥ AF，∴AD⊥平面 ABFE， AD?平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 ABFE．（6分）【考察方向】此题主要考察了线面垂直的性质与判断，面面垂直的判断【易错点】面面垂直的判断【解题思路】证明AD⊥平面 ABFE，再证明平面PAD⊥平面 ABFE（2）若正四棱锥P﹣ ABCD的体积是三棱锥P﹣ ABF体积的4倍，求正四棱锥P﹣ ABCD的高．【答案】 2【分值】 6 分【分析】解：（ 2）连接BD与AC交于点O，连接PO，∵正四棱锥P﹣ ABCD，∴ PO⊥平面 ABCD，又∵直三棱柱ADE﹣BCF，∴ AB⊥ AE，且有 AD⊥平面 ABEF，∴AD⊥ AE，∴AE⊥平面 ABCD，则 PO∥ AE，∵AE?平面 ABEF，∴ PO∥平面 ABEF，则 P 到平面 ABEF的距离等于O到平面 ABEF的距离，又∵ O为 BD中点，∴ O到平面 ABEF的距离为=1，∴P 到平面 ABF的距离为 d=1，∴=，设正四棱锥P﹣ ABCD的高为 h，∵正四棱锥P﹣ ABCD的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍，∴=4V P﹣ABF=，解得 h=2，∴正四棱锥P﹣ ABCD的高为2【考察方向】此题主要考察了正四棱棱的高的求解【易错点】 P 到平面 ABEF的距离转变为O到平面 ABEF的距离【解题思路】连接 BD与 AC交于点 O，连接 PO，推导出 P 到平面 ABEF的距离等于 O到平面ABEF的距离，进而 P 到平面 ABF的距离为 d=1，由此能求出正四棱锥 P﹣ ABCD的高20．设椭圆C1的中心和抛物线C2的极点均为原点O， C1、 C2的焦点均在x 轴上，在 C1、 C2上各取两个点，将其坐标志录于表格中：x3﹣ 24y0﹣ 4（1）求C1、C2的标准方程；【答案】 C2的方程为： y2=4x； C1的方程为：【分值】 6 分【分析】解：（ 1）设椭圆 1 的方程为：（＞＞0），C a b抛物线 C2的方程为： y2=2px（ p≠0），从已知中所给四点的坐标可得：点（﹣2， 0）必定在椭圆上，∴（ 4，﹣ 4），（ 3，﹣ 2）两点必定在抛物线上，2x，∴2p=4，即抛物线C2的方程为：y =4把点（﹣ 2， 0）（），代入椭圆C1的方程为：（a＞b＞0），22 C 的方程为：．得： a =4， b =3，∴椭圆1【考察方向】此题主要考察了椭圆方程的求法和抛物线方程的求法【易错点】椭圆方程和抛物线方程的求法【解题思路】设椭圆 1 的方程为：（＞＞ 0），抛物线 2 的方程为：y 2=2（C a b C px p≠0），从已知中所给四点的坐标可得：点（﹣ 2，0）必定在椭圆上，（ 4，﹣ 4），（3，﹣ 2 ）点必定在抛物线上，解方程可得答案（2）过C2的焦点F作斜率为k 的直线 l ，与 C2交于 A、 B 两点，若 l 与 C1交于 C、 D两点，若，求直线 l 的方程【答案】直线l 的方程为： y=或y=【分值】 6 分【分析】（ 2）∵抛物线C2： y2=4x 的焦点 F（1，0），设 l ： x=ty +1（ t ≠0），联立方程组消元得： y2﹣4ty ﹣4=0，∴△ =16t2+16＞ 0， | AB|==4（t2+1）；联立方程组得（ 3 2+4）y 2+6ty﹣ 9=0，t∴△ =36t2+36（ 3t2+4）＞ 0，| CD|=；由=，解得t=±故直线 l 的方程为： y=或y=．【考察方向】此题主要考察了直线方程的求法，直线与圆锥曲线订交弦长问题【易错点】直线与圆锥曲线订交弦长问题【解题思路】设直线方程与抛物线联立方程组解决弦长问题21．已知函数（1）求f（x）的单一区间；【答案】增区间为（0， 1），减区间为（ 1， +∞）【分值】 3 分【分析】解：（ 1）函数的导数为 f ′（ x）=﹣=，x＞0，当 x＞1时， f ′（ x）＜0， f （ x）递减；当0＜x＜ 1 时，f′（x）＞ 0，f（x）递加．则 f （ x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）【考察方向】此题主要考察了利用导数求函数的单一区间【易错点】用导数求函数的单一区间注意定义域【解题思路】求出 f （ x）的导数，解导数大于0，得增区间；解导数小于0，得减区间，（2）求函数 f （ x）在上的最大值和最小值；【答案】最大值0，最小值为2﹣e【分值】 4 分【分析】由（ 1）可得f（x）在x=1 处获得极大值，且为最大值0，又 f （）=1﹣e﹣ln=2﹣e，f（e） =1﹣﹣lne=﹣，2﹣e＜﹣，可得 f （ x）的最小值为2﹣e【考察方向】此题主要考察了利用导数求函数的最值【易错点】导数求函数的最值【解题思路】由（1）可得f（x）的最大值，再计算端点处的函数值，比较，可得最小值（3）求证：．【答案】详看法析【分值】 5 分【分析】证明：要证，即证 lne 2﹣ lnx ≤1+，即为2﹣lnx≤ 1+，即有 1﹣lnx﹣≤0．设 g（ x）=1﹣ lnx ﹣，g′（ x）=﹣+=，当 x＞1时， f ′（ x）＜0， f （ x）递减；当 0＜x＜ 1 时，f′（x）＞ 0，f（x）递加．可得 g（ x）在 x=1处获得极大值，且为最大值0．可得 g（ x）≤0，即有1﹣ lnx ﹣≤ 0．故原不等式成立【考察方向】此题主要考察了利用导数结构函数证明不等式【易错点】结构函数【解题思路】运用剖析法证明，转变为证明1﹣lnx﹣≤ 0．设g（x）=1﹣lnx﹣，求出导数和单一区间，可得极值，也为最值，即可得证22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（此中 t 为参数），以坐标原1点 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（1）求曲线C1的一般方程和C2的直角坐标方程；【答案】1 的一般方程为：（﹣ 4）2+（﹣5）2=9；2的直角坐标方程为：x2+2=2C x y C y y 【分值】 5 分【分析】解：（ 1）由曲线 1 的参数方程为（此中t 为参数），C12+（y﹣5）2可得曲线 C 的一般方程为：（ x﹣4）=9，由曲线 C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入得：2 的直角坐标方程为：x2+ 2=2 ，配方为x2+（﹣ 1）2=1．C y y y【考察方向】此题主要考察了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为一般方程【易错点】极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为一般方程【解题思路】曲线C1的参数方程为（此中t为参数），消去参数t 可得一般方程．曲线 C2的极坐标方程为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρ sin θ，利用ρ2=x2+y2， y=ρ sin θ，即可化为直角坐标方程（2）若A、B分别为曲线C1， C2上的动点，求当| AB| 取最小值时△AOB的面积．【答案】 2－2【分值】 5 分【分析】（ 2）解：当A， B， C1，C2四点共线，且A，B 在线段 C1C2上时，| AB|取最小值，由（ 1）得：C1（ 4， 5），C2（ 0， 1），∴=1，故直线 C1C2的方程为： x﹣y+1=0，∴点O 到直线 1 2的距离d==，CC又∵ | AB|=| C1C2| ﹣ 1﹣ 3=4﹣ 4，故△ AOB的面积 S=2﹣【考察方向】此题主要考察了三角形面积公式、点到直线的距离公式【易错点】三角形面积公式【解题思路】当A，B，C1，C2四点共线，且A，B 在线段 C1C2上时，| AB|取最小值，求出| AB|长，及原点到直线的距离，可得此时△AOB的面积23．已知 | x+2|+|6 ﹣x| ≥k恒成立（1）务实数k 的最大值；【答案】 8【分值】 5 分【分析】解：（ 1） | x+2|+|6 ﹣x| ≥k恒成立；设 g（ x）=| x+2|+|6﹣ x|，则 g（ x）min≥ k．又| x+2|+|6 ﹣x| ≥ | （x+2） +（ 6﹣x） |=8 ，当且仅当﹣ 2≤x≤ 6 时，g（x）min =8所以 k≤8．即实数 k 的最大值为8，【考察方向】此题主要考察了绝对值不等式的性质【易错点】绝对值不等式的性质【解题思路】由 |x +2|+|6﹣| ≥恒成立，设函数（） =||x+2|+|6 ﹣|| ，利用绝对值不x m g x x等式的性质求出其最小值（2）若实数k 的最大值为n，正数 a，b 知足，求7a+4b的最小值．9【答案】4【分值】 5 分【分析】（ 2）由（ 1）可知，n=8，∴，即，有因为 a， b 均为正数，所以 7a+4b=（7a+4b）?（）= [ （ 5a+b） +（ 2a+3b） ] ? （）= [5+] ≥（5+4）=，所以 4a+3b的最小值是．【考察方向】此题主要考察了基本不等式求最值【易错点】基本不等式求最值【解题思路】由（1）知n=8，变形，利用基本不等式的性质求出最小值。