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两组有效率对比的统计学方法在进行两组有效率对比的统计学方法方面，主要可以采用假设检验和置信区间两种方法。
假设检验是通过建立一个关于两个群体特征差异的假设，然后利用样本数据推断出是否可以拒绝该假设。
常见的假设检验方法有以下几种。
1.t检验t检验是比较两个样本均值是否存在显著差异的方法。
当样本的总体符合正态分布且方差未知时，可以使用独立样本t检验；当样本的总体符合正态分布且方差已知时，可以使用独立样本z检验；当比较的是一个样本在不同时间或不同条件下的均值差异时，可以使用配对样本t检验。
2. Mann–Whitney U检验Mann-Whitney U检验也称为Wilcoxon秩和检验，适用于两个独立样本的大小比较。
该方法不要求总体满足正态分布的假设，适用于非参数数据。
3.方差分析（ANOVA）方差分析适用于比较三个以上的样本均值是否存在显著差异。
当只有两个样本时，方差分析可退化为独立样本t检验。
方差分析可以通过计算组间和组内的均方差来确定是否存在显著差异。
4.卡方检验卡方检验主要用于比较两个或多个样本的分类比例是否存在显著差异。
通过计算实际观察频数与理论期望频数之间的偏离程度，判断分类比例是否一致。
置信区间是对待估计参数的范围给予一个确定度的估计，常见的置信区间方法有以下几种。
1.t分布置信区间对于均值的估计，可以使用t分布置信区间。
在给定样本均值、样本标准差和样本量的情况下，可以通过计算t值和标准误差来确定置信区间的上下限。
2.比例的置信区间对于比例的估计，可以使用正态分布置信区间。
在给定样本比例和样本量的情况下，可以通过计算标准差和置信水平来确定置信区间的上下限。
3.方差的置信区间对于方差的估计，可以使用卡方分布置信区间。
在给定样本方差估计和样本量的情况下，可以通过计算卡方分布的上下限来确定置信区间。
总而言之，对于两组有效率对比的统计学方法，可以使用假设检验方法（如t检验、Mann-Whitney U检验、ANOVA、卡方检验）进行显著性检验，也可以使用置信区间方法（如t分布置信区间、正态分布置信区间、卡方分布置信区间）进行参数估计。
第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?()()12221212122221,,,,,,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσμσ∙∙∙ 12假设：是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.并记,分别为两样本的均值和方差.()012112.:,:,H H μμμαμ=≠检验假设显著水平22121.σσ当和已知时2212012,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σσ∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.221212σσ-=+X YZ n n 记: 2α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验{}00002212122(1(),.σσ-=≥=-Φ-=+H P P Z z z x yz n n 其中:222122.σσσ当==但未知时2σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量()()22112221211 .2wn S n SS n n -+-=+-1211-=+w X Y T S n n 可取检验统计量为：()21212211wX Y T t n n S n n α-=≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012||||2(2)||11--=≥=+-≥-=+H w P P T t P t n n t x yt P s n n 其中为::值——两样本精确t检验22123.σσ≠当且未知时221212.-=+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212.S S σσ以样本方差分，别代替，{}{}000||||2||,--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理{}/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221212~(01).-=+x y Z N t s sn n 其中: ，，12min(1,1),=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为22211222222112212(//)(/)(/)11+=+--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度{}/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验22112212221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,56.36,211.40,.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算221256.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值不相同。
一、概述两个总体均数的可信区间是用来衡量两个独立样本的均值之间的差异程度的重要工具。
在许多研究和实验中，我们常常需要对两个总体的均值进行比较，而两个总体均数的可信区间可以帮助我们对这种比较进行量化和解释。
本文将介绍如何根据两个独立样本来计算两个总体均数的可信区间，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
二、概念解释1.总体均数：总体是指研究对象的全体，而总体均数则是对这一全体的均值进行描述的统计量。
总体均数通常用μ表示。
2.可信区间：在统计学中，可信区间是用来估计总体参数（如均数）的区间估计。
它提供了一个区间，使得我们可以以一定的置信水平来推断总体参数的值。
3.独立样本：在统计学中，独立样本是指来自各自总体的样本，在处理过程中彼此之间相互独立。
独立样本通常用于比较两个或多个总体的均值。
三、两个总体均数的可信区间的计算方法要计算两个总体均数的可信区间，我们首先需要计算两个独立样本的均值和标准差，然后结合样本量和置信水平进行计算。
1.计算两个独立样本的均值：分别对两个样本中的观测值求均值，得到样本均值x̄1和x̄2。
2.计算两个独立样本的标准差：分别对两个样本中的观测值求标准差，得到样本标准差s1和s2。
3.计算置信水平对应的Z值：根据所选的置信水平，查找标准正态分布表，找到相应的Z值。
4.计算两个总体均数的可信区间：利用样本均值和标准差，以及Z 值，使用下式计算可信区间：（x̄1 - x̄2) ± Z * √(s1²/n1 + s2²/n2)其中，x̄1和x̄2分别为两个样本的均值，s1和s2分别为两个样本的标准差，n1和n2分别为两个样本的样本量，Z为对应于所选置信水平的Z值。
四、两个总体均数的可信区间的应用两个总体均数的可信区间在许多领域都有着广泛的应用。
比如在医学研究中，我们常常需要比较两种治疗方法的有效性，而两个总体均数的可信区间可以帮助我们对两种治疗方法的效果进行量化和解释。
两个总体比例之差的检验z检验公式两个总体比例之差的检验是用来比较两个独立的总体比例是否相等的统计检验方法。
比例是指其中一特定属性在总体中所占的比例或概率。
该检验的假设是两个总体的比例相等，即H0:p1=p2，其中p1和p2分别为两个总体的比例。
备择假设是两个总体的比例不相等，即H1:p1≠p2 z检验是一种近似方法，它用标准正态分布的分位数来进行假设检验。
下面是两个总体比例之差的z检验公式：1.计算样本比例和标准误差-样本1的比例：p1=X1/n1，其中X1为样本1中具有其中一特定属性的个体数，n1为样本1的总体大小。
-样本2的比例：p2=X2/n2，其中X2为样本2中具有其中一特定属性的个体数，n2为样本2的总体大小。
-组合样本的比例：p=(X1+X2)/(n1+n2)。
- 样本1的标准误差：SE1 = sqrt(p * (1 - p) / n1)。
- 样本2的标准误差：SE2 = sqrt(p * (1 - p) / n2)。
2.计算检验统计量z- 检验统计量z = (p1 - p2) / sqrt(SE1^2 + SE2^2)。
3.计算临界值和P值-根据显著性水平α查找标准正态分布表，计算左侧和右侧的临界值zα/2，并记作zL和zU，其中zL=-zα/2，zU=zα/2-计算P值，P=P(Z<-，z，)+P(Z>，z，)，其中Z是标准正态分布的随机变量。
4.做出统计决策-如果z<zL或者z>zU，拒绝原假设H0，接受备择假设H1-如果zL<=z<=zU，无法拒绝原假设H0。
需要注意的是，该方法的前提是样本大于30，并且样本比例不等于0或1、如果样本小于30或者样本比例接近0或1，应使用更适合的方法，如精确二项检验。
这就是两个总体比例之差的z检验的基本公式和流程。
通过计算检验统计量z和与临界值的比较，可以进行假设检验，并判断两个总体比例是否相等。
假设检验的统计学名词解释统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的科学。
而在统计学中，假设检验是一种重要的统计方法，用于检验研究中的假设是否符合实际情况。
本文将对假设检验进行详细解释，并探讨其在统计学中的应用。
一、假设检验的概念和基本原理假设检验是通过对样本数据进行统计分析来对某个总体参数的假设进行验证的方法。
在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备选假设（H1），然后根据样本数据的结果来判断哪个假设更加可信。
原假设通常是对问题的一种默认或无效的假设，而备选假设是我们希望证明的假设。
通过比较样本数据与原假设之间的差异，我们可以得出结论，支持或拒绝原假设。
二、假设检验的步骤和方法进行假设检验通常需要遵循以下步骤：1. 根据问题的实际背景，确定原假设和备选假设。
2. 收集样本数据，并计算样本统计量，如均值、标准差等。
3. 确定检验统计量，如t值、F值等。
这些统计量可以帮助我们评估样本数据与原假设的一致性。
4. 设置显著性水平α，即检验的临界值。
这个值表示我们在拒绝原假设时所允许的错误的概率。
5. 根据计算出的检验统计量和显著性水平，得出检验结果。
如果p值小于显著性水平，我们可以拒绝原假设；否则，我们接受原假设。
在假设检验中，常用的方法包括：1. 单个总体均值检验：用于检验一个总体均值是否等于一个给定的值。
2. 两个总体均值检验：用于比较两个总体均值是否存在显著差异。
3. 方差分析：用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异。
4. 卡方检验：用于检验观察值与理论值之间的差异是否显著。
5. 相关分析：用于分析两个变量之间是否存在相关性。
三、假设检验的应用领域假设检验在各个领域中都有广泛的应用，以下是其中几个典型的应用领域：1. 医学研究：用于判断某种治疗方法的有效性，比如新药是否比现有药物更好。
2. 工程质量控制：用于判断生产过程的稳定性和统计规律性。
3. 金融风险评估：用于评估投资组合的风险和收益。
两组比较有明显差异，具有统计学意义（p ＜0.05）。
摘要：
1.引言
2.两组比较的明显差异
3.统计学意义
4.结论
正文：
【引言】
在科学研究中，比较是常用的方法，通过对比两个或多个对象的差异，可以更深入地了解研究对象的特性。
在数据分析时，我们通常会使用统计学方法来判断这些差异是否具有显著性。
当p 值小于0.05 时，我们认为这两个群体之间存在显著差异。
本文将介绍一组具有统计学意义的比较。
【两组比较的明显差异】
在这项研究中，我们选取了两组数据进行比较。
通过观察和分析，我们发现这两组数据在某些方面存在明显的差异。
具体来说，这些差异表现在数据的大小、分布、趋势等方面。
这些明显的差异使我们有理由相信这两组数据并非来自同一个总体。
【统计学意义】
为了验证这两组数据之间的差异是否具有统计学意义，我们进行了统计分析。
通过计算p 值，我们发现p＜0.05。
这意味着在假设检验的零假设成立的情况下，出现这种结果的概率小于0.05。
根据统计学的标准，我们可以拒绝
零假设，认为这两组数据之间存在显著差异。
【结论】
综上所述，通过对这两组数据的比较和统计分析，我们得出结论：这两组数据存在显著差异，这种差异具有统计学意义。
这为我们进一步研究这两组数据提供了有价值的信息。
两总体分布方差相等的u统计量检验方法在两个总体分布方差相等的情况下，我们可以使用F检验来进行假设检验。
F检验是一种比较两个样本方差的方法，它基于两个总体的方差比。
下面将介绍F检验的原理、步骤和应用。
一、F检验的原理F检验的原理是将两个总体的方差比较，构造一个服从F分布的统计量F，然后根据F分布的临界值来判断两个总体的方差是否相等。
假设有两个总体A和B，我们的目标是比较它们的方差是否相等：-零假设：H0：σA^2=σB^2（方差相等）-备择假设：Ha：σA^2≠σB^2（方差不相等）对于两个样本的方差的比值A^2/B^2，可以证明其服从F分布。
如果两个总体的方差相等，则这个比值应该接近于1、如果样本的比值远离1，那么我们就有理由拒绝原假设，即认为两个总体的方差不相等。
二、F检验的步骤F检验的步骤包括如下几个主要的步骤：1.收集数据。
分别从总体A和总体B中获取样本数据。
2.计算样本的方差。
分别计算样本A和样本B的方差，记为sA^2和sB^23.计算F统计量。
计算统计量F=sA^2/sB^24.设置显著性水平。
确定显著性水平α的值，一般常用的显著性水平有0.05和0.015.确定拒绝域。
根据显著性水平和自由度，查找F分布表，确定拒绝域的临界值。
6.做出决策。
比较计算得到的统计量F与临界值，如果F大于临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设。
三、F检验的应用F检验广泛应用于统计学和实验设计中，特别是在比较不同处理或实验组的方差时。
一些常见的应用场景包括：1.方差分析：用于比较多个总体的方差是否相等，例如不同药物治疗组的效果比较。
2.回归分析：用于比较回归模型中不同自变量的方差是否相等，帮助选择最佳模型。
3.实验设计：用于比较不同处理或实验组之间的方差，例如比较不同教学方法的学生成绩方差。
总之，F检验是一种常用的比较两个总体方差是否相等的统计方法。
通过计算F统计量，并与临界值进行比较，可以判断两个总体的方差是否有显著差异。
第六章总体的比较到目前为止我们已经讨论了来自一个单一样本的数据分析。
在许多环境下，我们需要比较2个或者多个总体。
我们可以比较两个生产过程的平均值以及方差，去看看其中一个过程是否比另一个更加一致或精确。
我们可以比较一个新的过程和标准过程，或者许多过程，去了解是否存在差异。
在这一章中,我们将首先检查两个总体的比较问题，然后通过方差分析(ANOVA)表提出一个通用程序来比较任意数量的总体。
6.1 两个一直均值和方差的比较假定我们有兴趣比较两个过程的平均值，其中我们认为观察值来自同一个总体。
x ij 是来自第j 总体的第i 观察值，j μ是这个总体的平均值，ij ε表示第j 个总体中第i个观察值发生随机误差的概率。
因此，这个问题的模型：x ij j ij με=+其中，我们通常假定这些错误是独立的，同时服从平均值为0以及方差为2j σ的正态分布。
正在研究的过程 可能有不同的平均值，因为他们代表不同的处理方法，如两种化学添加剂、两个分析测量设备,或两个操作计划。
由于方差已知，通过标准正态变量我们可以用中心极限定理比较不同的处理方法；让，z (6.1.1)其中j x 是来自第j 个处理方法的j n 个观察值得平均值，2j σ是已知的方差。
为了保证这些观察值得独立性，它们是随机抽取而获得的。
因此，统计量12x x -的方差是221212n n σσ+。
为了测验0假设0H ：12μμ-=0（或者是其它的值），或者是为了计算12μμ-的置信区间。
我们只需要参考标准正态偏差表。
例 6.1假设认为通过改变高速钻所在的冷却液流动速度可以使工具得寿命增加。
为了检验这个假设，应用标准流动速率（过程1）能够得到7个观察值，同时从新的流动速率（过程2）中得到6个观察值，所有的13种试验随机排列。
结果如下：121222221,20121212.4=713.6=6=1.0=1.0=zAx n x nHHσσμμμμ==<=小时，；小时，，其中同时也假设（小时），（小时）：：由于-1.74比-1.645小很多(Pr(z<-1.645) = 0.05),流动度率对工件寿命无影响的假设不成立。
这个推理是基于一个显著性水平为5%单边的假设检验（I型错误概率）。
6.2 两个方差的比较我们还可以检验两个方差是否相同。
假设两个来源的观察值服从正态分布。
其中一个处理过程比另一个更容易变化吗？更精确或者可以重复使用吗？要回答这些问题，我们首先应该估计每一个过程的方差，如下：1222n n122212121112()(),n1n1i ii ix x x xs s==--==--∑∑每一个2s都服从2xν分布，1222221122n1n12212n1n1x xs sσσ----（）（）更加精确的说，服从分布，服从分布.为了检验0假设H:22212σσσ==,我们需要建立一个检验统计。
我们用2x分布去检验一个独立方差的假设。
要检验两个方差的相等性，我们使用检验统计2122ss，这个检验统计服从F分布。
定义：11222211,2222/=/xFxνννννσσν其中12,Fνν是含有2个变量的F分布。
12,νν是所涉及比例的2个2x分布的自由度，1ν雨分子相关和2ν与分母相关由此可见：11122212221/(1)1111,12212221/(1)2x=xn nn nn nsFsσσσσ------=即，如果2212σσ=，2212/s s 服从1121,n n F --的自由分布。
因此，当0H ：22212σσσ==（即2212/σσ=1），检验统计2212/s s 服从自由度为1211n n --和的F 分布。
图 6.1 F 分布222212012σσσσ=≠的检验将会变成（H :）122112,,1/2,,,/2pr{}=1F F F ννανννναα-<<-从分布中期望获得什么样合理的值？一个处理左边尾部的F 分布的有用的关系式如下：1221,,1,,1F F νναννα-=例 6.2返回到例6.1中工具寿命的问题，为比例方差建立一个90%的置信区间。
假设估计的方差是：211122227,0.74,66, 2.239,5n s n s νν======2211022220.74=1==0.33052.239s H s σσ假设：：，21221A H σσ≠：22116,52222//s F s σσ=22116,56,5,0.05225,6,0.05221pr{/}= 0.90s F F F s σσ<=<然后转换不等式的符号：2221115,6,0.0522226,5,0.05221s s F s F s σσ<< 从F 分布图中可以看出，5,6,0.056,5,0.054.39, 4.95F F ==.21220.3305<< 0.3305 x 4.394.95σσ 0.067 <2122σσ< 1.45因此，我们能够相信置信度为90时2212/σσ坐落于0.067和1.45之间。
于是，可以接受2212σσ=的假设。
比较两个方差的标准近似法是把较大的值放在分子上，然后只测试：22A Bσσ>(其中22A Bs s >).通过这种近似法，我们通过比较与2212 2.239/ 3.030.74s s ==相反的5.6,0.05F =4.39来检验与0H ：2221/σσ=1相反的2221σσ>。
然后我们就可以接受0H 。
（这是一个单边5%的测试，或者等价于一个双边10%的测试）。
观察值得正常假设可以用来构建这种测试。
通过比较不同的方差，偏离正态分布的方差可能引起重大的错误，这种错误会导致接受不相等的方差作为相等的方差，反之亦然。
因此，在比较方差的时候，因该多加注意，特别是在认识与方差分布有关的问题上。
6.3 两个未知的平均值和方差的比较当两个方差已知，在比较两个过程方式的不同时，这两个方差是否相等没有区别。
我们简单地计算出相应的标准正态值，并把其与临界值进行比较。
当方差未知时，我们继续像我们单一总体一样处理；即，我们用估计值2s 代替2σ，用t 代替z. 然而,正如我们将要看到的,不相等的方差导致某些额外的困难。
我们应该假设方差是相等的。
这通常是一个合理的假设，因为数据的方差即是所涉及的错误的方差，Var(x ij ) = Var (j μ + ij ε) = Var (ij ε).尽管过程可能已经被改变，我们通常还是用同样的设备和程序来获得数据，这些错误有时会大于过程可变性中的偏差。
6 .3. 1 t 分布检验，方差相等在比较2个总体的方法 上，其中2212σσ=，我们用下式：121212n + n -212()n + n -2x x t μμ---=其中，122n n t +-是自由度为122n n +-的t 分布，因为这些自由度在因为这些自由度在联合估计方差2p s 中；22221212211121212()()(1)(1)n -1+ n -1n + n -2i i px x x x n s n s s -+--+-==∑∑ 如果2212σσ=的假设成立，然后我们期望1x 的观察值尽可能的与2x 不同。
因此，同意参数的两个独立的估计是可用的,同时可以合并。
由于在个体估计中有1211n n --和两个自由度（即通过1x 和2x 所得的均值12μμ和），所以联合估计2σ中有121+1n n --个自由度。
如果1212n + n -2,0.025x x t ->5%时，假设12=0μμ-不成立。
然而，这一统计数据,对于测试任何假设012=AH μμ-：是是完全通用的。
注意，如果：2212σσ=,有Var 2121211()()x x n n σ-=+ 是最小的当1212121211111111n =n [n n 8:n =n 4+=n =3n 5+==0.533+0.667,44253226+===会产生；，产生；产生等等]这也可以认为我们用2p s 来估计2σ。
因此，如果我们假定22212σσσ==（已知或者未知），为了最小化Var(12x x -)，选择相等的样本12=n n ，因此可以缩短相应的置信区间。
如果12=n n ，然后检验统计量减小为：2(1)n t -=其中12=n n =n, 22212σσσ== 同时222211212()22(1)nj ijj i pxx s s s n ==-+==-∑∑例6.3 再次考虑工具的寿命问题给出下面的结果，检验12=0μμ-。
2111122225= 12.4,= 0.74 ,n =7 = 6= 13.6,= 2. 239 ,n =6 = 5x s x s υυ01212-=00A H H μμμμ-≠：：一个置信度为95%的置信区间是：1211,0.025211,0.0256(0.74) + 5(2.239)2.20, 1.42110.66p x x t t s -+====然后这个95%的置信区间有：12.4 - 13.6 ± 2.20 (0.66)-1.2 ± 1.45 (-2.65 <12μμ-< 0.25).由于区间包含零点在内，我们不拒绝假设0H ，其中平均值是相等的。
6.3.2 t 分布检测，未知方差如果2212σσ≠，将会发生什么？用22221122s s σσ代替，代替，检验统计量将变成：21*t =但确切的分布是不清楚的。
当两个方差未知同时又不相等时，我们把比较两个均值的问题看作是Behrens-Fisher 问题，同时也推荐了几种解决方案。
这里有两种推荐的解决方案。
基本的问题是正确指定t 的临界值。
在Cochran 和COX [5J 中可以找出一个加权临界值：122212,/2,/2+*s s t t t νανα=(6.1.5)其中，当12=n n 时，t 值减小到-1/2n t α，。
如果样本大小是相等的，从[26]可以看出,类型I 错误的概率在比值2212/σσ的的整个范围内都保持的相当稳定。
因此，当方差未知时，选择相等的样本大小可以防止错误的结论。
第二个解决方案利用这个事实，两个独立的方差2x 之和是一个加权方差变量2x 。
即，2221212~bs s ax n n + 其中a 是一个成绩常数，a>0,b 是2x 分布的自由度。
通过等价等式两边的前两阶矩，同时解出b,我们可以得到平均值检验的近似临界值。
1222222222212121212212121122112212[]=E[]=s s E x x n n n n n n n n ννσσσσσσνννννν+++=+1224422121122222221122112222Var x x n n n n ννσσσνσννννν+=+22222442121222121122(),Va ()2ab ,b b E ax ab r ax a ba b n n n n σσσσνν===+=+因此， 解出的值如下：222121222221212124422121222112212()+a ()/()n n b n n n n σσσσννσσσσνν+==++（）（）因此，由于22221212~a b s s x n n +，所以*t 服从一个b t 分布。
