3第三章 平面一般力系

M O 0 合力
合力作用线距简化中心 M O FR FR FR
0 FR
M O 0 力偶 M M O 与简化中心的位置无关 MO 0
平衡 与简化中心的位置无关
0 FR
y
MO 0
力系可以进一步合成为一个合力。 y
FR'
y
FR&#d
FR
x
令：MO=M (FR"，FR)
用 Mo（F）代表力 F 对O点的矩的大小
Mo（F）= F d
力矩的单位是：N· m 或 kN· m 等
平面力系问题中力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力 的大小与力臂的乘积；它的正负号：力使物体绕矩心逆时针转 向时为正，反之为负。
MO (F ) Fd
＋
O
B F
d
A
－
注意： 1、力F 沿其作用线移动 Mo（F）不变。 2、F =0 或者 d =0 则 Mo（F）＝0。 3、力可以对任意点求矩，矩心可以在物体内，也可以 在物体外。 4、Mo（F）中下标不能漏。
yy A nA n Fn Fn OO F2 F2 A 2A 2 A 1A 1 F1 F1
j
yy F R′ FR ′
j j i
F 1′ F1 ′ MM O2 O2 OO MM On On F 2′ F2 ′ F n′ Fn ′
i i j
MM O1 O1 xx
＝ ＝
＝ ＝
MM O O x x i
OO
O点称为简化中心 F1′＝F1、F 2′＝F2、…、Fn′＝Fn MO1＝ MO（F1），MO2＝MO（F2），…，MOn＝MO（Fn）
F1
F2
B
A
A
B
结构简图 约束力：为一个力和一个力偶。
MA FA
A
F1
F2
B
M
A
F1
F Ax
A
F2
B
F Ay 当构件承受的荷载是平面力系时，约束力和约束力偶与 荷载共面。
四、 沿直线平行分布力的简化
沿着狭长面积分布的力（如梁上的力），可简化成为沿一条线 分布的力，称为线分布力或线分布荷载。
平面力偶矩为代数量：
M Fd
＋ －
二、力偶的性质 1.力偶没有合力 力偶能否与单个力相平衡？
力偶只能由力偶来平衡；
力偶中两个力在任意轴上投影的代数和等于零； 力偶是一个基本力学量，不可能用更简单结果代替。
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩。
M Fd
M O1 F , F M O1 F M O1 F F d x1 F x1 Fd M
M O2 F , F F d x2 Fx2 F d Fd M
力偶中两力对作用面内任一点之矩恒等 于力偶矩，与矩心的位置无关。
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且 可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作 用效果不变。
=
=
2
2
F cos F ' , i
ix
x
cos FR' , j
FR' Fiy
力系的主矩： 平面力系主矩可用代数量表示：
FR'
y FR' x
MO MO (Fi )
＋ －
应当注意： 力系的主矢量与简化中心位置无关。因为原力系中各力的大 小及方向一定，它们的矢量和也是一定的，力系的主矢量不随 简化中心选取的不同而改变。
第三章
平面一般力系
平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内不完全 汇交于一点也不完全相互平行的力系，也称为平面任意力 系。本章讨论平面一般力系的简化和平衡问题。
屋架
F Q/2 FQ FP F Q/2 F P/2 F Ax A F Ay
图3－1 屋架
FP FP F P/2 B FB
屋架受力图
对称面
F1 60° 30° F2 Me 0.25m F1 ′ 1m
F2 ′
2、 平面力偶系的平衡 由于力偶系与其合力偶等效
M M i
力偶系平衡的必要与充分条件是合力偶矩等于零。
M
i
0
平面力偶系的平衡方程
例 工件上作用有三个力偶如图所示。 已知：M1=M2=10N· m，M3=20N· m，固定螺柱间的距离 l=200mm。求两光滑螺柱所受的水平力。 解：取工件为研究对象。
即
M M1 M 2 M3
结论：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分 力偶矩的代数和。
M M1 M 2 L M n M i
i 1
n
简写为
M Mi
例 如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶作用。已知 Fl＝300N，F2＝600N，Me＝100N· m，求其合成结果。
B
O d
A
F
例 重 力 坝 受 力 如 图 所 示 ， 已 知 FP1=450kN ， FP2=200kN ， F1=300kN，F2=70kN。试计算这几个力对O点的力矩之和。
y D 3m
MO MO F 2.8F1 1.5FP1 3.9FP2 2295kN m
根据力的等效平移的逆过程，可以得知共面的一个力和一个力 偶总可以合成为一个力，此力的大小和方向与原力相同，但它 的作用线与原力要相距一定的距离。
力线等效平移不改变运动效应
力线等效平移改变变形效应 F B A
=
F′ B M A
§3-4 平面一般力系向作用面内一点的简化
一、平面一般力系向作用面内一点的简化
一、 力偶及力偶矩 1.力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为 力偶，记作（F、F'）
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离 d 称为力偶臂 力偶中任一力与力偶臂乘积称为力偶矩 d
M Fd
——力偶矩
平面力偶的两个要素： （ 1 ）力偶矩大小； （ 2 ） 力偶转动方向。
化中心O的主矩。
结论：平面任意力系向一点简化的结果一般是一个力和一个力 偶，这个力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢；这个力 偶的矩等于力系对于简化中心的主矩。
力系的主矢：
FR' ( Fix )i ( Fiy ) j
FRx' Fix FRy' Fiy
R
y
FR' ( FRx' ) ( FRy' )
C 1.5m F P1

MO F 2.8F1 1.5FP1 3.9FP2 2295kN m
8.4m 9m
3.9FP2 2295kN m
F1
3.9m F P2 O 5.7m B 90 ° A F2

2.8m
x
§3-2 力偶及其性质 、平面力偶系的合成与平衡
FP
有对称面的空间力系 可简化为平面力系
F
FA
1m
FB
F FP
FR
§3－1 平面力对点的矩的概念与计算
一、平面力系中力对点之矩 力对点之矩可以度量力使物体绕点转动效应。
力F 对O点的力矩可以度量力F 使物体绕O点转动效应。
B
O d
A
F
O点称为矩心
O点到力的作用线的垂直距离 d 称为力臂
力F 作用线与矩心 O 构成的平面称为力矩作用面 力F 的大小与力臂 d 的乘积称为力F 对O点的力矩的大小
例：求力F 对A点的力矩。
MA（F）= MA（Fx）+ MA（Fy）
Fy
θ
F a
Fx
= aFcosθ－ bFsinθ
A = F（a cosθ－ b sinθ） b
三、固定端约束 约束构成：构件的一端牢固地嵌入固定物体的内部。 嵌入的一端称为固定端或插入端，也称为插入端约束。
固定端约束既能阻碍物体沿任何方向移动，又能阻碍物体 的转动。
F FⅡ Ⅱ
设FⅠ＋FⅡ>FⅢ
FF Ⅰ F Ⅱ F Ⅲ
Ⅱ FⅢ F F Ⅰ F
F 与F′大小相等，方向相反，作用线平行而不重合，构成了 与原力偶系等效的合力偶
F 1′ F1 1′
Ⅱ′ FⅡ ⅡF ′
d1 1 d1 F1
F3 3 F3
1 1
FⅢ ⅢF Ⅲ d d
Ⅰ′ FⅠ ⅠF ′
M1 FO FB FA 8kN r sin 30
§3-3 力的平移定理
d
F F F
M B Fd M B (F )
作用在刚体上点 A 的力 F，可以平行移到刚体上任一 点 B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于 原来的力F对新作用点 B 的力矩。——力的平移定理
力系的主矩与简化中心的位置有关。因为力系中各力对于不 同简化中心的力矩是不同的，因而它们的和一般说来也不相等。 表明力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
y 二、平面一般力系的简化结果分析 x
FR'
主矢
主矩
最后结果
说明
0 FR
M O 0 合力 FR FR 合力作用线过简化中心
解：取圆轮为研究对象，受力如图所示。
M 0
M1 FAr sin 0
M1 FA 8 kN r sin 30
FO FA 8kN
再取摇杆为研究对象，受力如图所示。
FA
M1 8 kN r sin 30
M 0
M 2 FA
r 0 sin
M 2 8kN m
F Ⅰ=
M1 d
d d11
FⅡ =
F F11′ ′