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例说不定积分计算解题作者：邢春峰袁安锋綦春霞来源：《教育教学论坛》2015年第13期摘要：对几组不定积题目分进行分析、归纳，给出求某些不定积分计算的一些技巧。
关键词：不定积分；积分方法；技巧中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）13-0283-02不定积分是高等数学的重要内容，是学习定积分和多元函数积分学的基础。
不定积分的计算具有一定的灵活性，要学好这部分内容，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等的变形。
当然，有些积分题目的方法也不是一成不变的，关键还是要注意分析题目的形式，平时大胆试用各种解题方法。
下面通过几组类似积分的比较来看一看积分计算中的解题方法的灵活性和技巧性.例1 求不定积分（1） tanxdx；（2） tan2xdx；（3） tan3xdx；（4） tan4xdx。
解（1） tanxdx= dx=- d（cosx）=-ln|cosx|+C；（用凑微分法）（2） tan2xdx= （sec2x-1）dx=tanx-x+C；（三角恒等变形后积分）（3） tan3xdx= tanx（sec2x-1）dx= tanxd（tanx）- tanxdx= tan2x+ln|cosx|+C；（三角恒等变形后积分）（4） tan4xdx= tan2x（sec2x-1）dx= tan2xd（tanx）- tan2xdx= tan3x-tanx+x+C。
（三角恒等变形后积分）例2 求不定积分（1） secxdx；（2） sec2xdx；（3） sec3xdx；（4） sec4xdx。
解（1） secxdx= dx=d（secx+tanx） ln|secx+tanx|+C；（用凑微分法）（2） sec2xdx=tanx+C；（应用积分公式）（3） sec3xdx= secxd（tanx）=secxtanx- tanxd（secx）=secxtanx- secxtan2xdx=secxtanx- sec3xdx+ secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|- sec3xdx，所以 sec3xdx= secxtan+ ln|secx+tanx|+C；（用分部积分法）（4） sec4xdx= sec2xd（tanx）= （1+tan2x）d（tanx）=tanx+ tan3x+C。
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的重要概念之一，它与定积分相互对应，是求导的逆运算。
在实际中，我们经常需要对函数进行不定积分来求函数的原函数，或者求解一些与变量相关的问题。
下面，我将介绍一些常见的不定积分求解方法及技巧。
一、基本不定积分法基本不定积分法是指利用函数的基本积分公式来求解不定积分的方法。
经过多年的研究，数学家总结出了许多函数的基本积分公式，我们可以根据这些公式来求解不定积分。
一些常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C；其中n为非负整数，C为常数。
2. ∫e^x dx = e^x + C；3. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C；4. ∫cos(x) dx = sin(x) + C；5. ∫1/x dx = ln|x| + C；6. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C；等等。
利用这些基本积分公式，我们可以将一个函数进行分解，然后求解出每一部分的不定积分，再进行合并。
需要注意的是，基本不定积分法只能求解一些特定的函数，如果遇到复杂的函数，就需要使用其他的方法。
二、换元积分法换元积分法是指通过变量代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是，通过选择一个新的中间变量，使得原函数可以转变为一个更简单的形式，进而求解出不定积分。
换元积分法的关键是选择一个合适的变量代换。
常用的变量代换有以下几种：1. u = g(x)：将函数中的部分表达式用一个新的变量u 表示，使得原函数简化；2. x = g(u)：将自变量用一个新的变量u表示，使得原函数简化。
换元积分法的步骤为：1. 选取合适的变量代换，使得原函数简化；2. 将原函数和新变量u的微元表达式相应地表示出来；3. 将原函数用新变量u表示，然后对u进行求积分；4. 将u的积分结果转换回原来的自变量x。
需要注意的是，换元积分法在选择变量代换时需要灵活运用，有时需要试几次才能找到一个合适的代换，特别是当函数较为复杂时。
浅谈不定积分的计算不定积分是微积分的基本概念之一，用于求解函数的原函数，也被称为反函数或不定积分。
它在数学中有着广泛的应用，尤其在物理和工程等领域。
不定积分的计算方法可以分为直接法、间接法以及换元法等几种主要方法。
首先，直接法是指根据导数的基本公式直接计算不定积分。
例如，根据函数的求导公式，我们可以得出一些基本积分的公式，如：1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)其中C为常数。
2. ∫e^x dx = e^x + C其中C为常数。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C其中C为常数。
通过这些基本积分公式，我们可以计算出简单的不定积分。
其次，间接法是指通过利用导数与积分之间的关系来计算不定积分。
其中最常见的方法之一是凑微分法，即通过改变被积函数的形式使其变为其中一常见函数的微分形式，从而可以直接求出不定积分。
例如：1. ∫(2x+1)^5 dx可以通过令u=2x+1，然后计算其微分du=2dx，将原积分转化为∫u^5 (du/2)最后计算得出∫(2x+1)^5 dx = (u^6)/12 + C = (2x+1)^6/12 + C2. ∫(1+sin(2x)) dx可以计算得出∫sin(2x) dx = -1/2 cos(2x) + C最后得到∫(1+sin(2x)) dx = x - 1/2 cos(2x) + C这些间接法可以在一些特殊的情况下简化计算不定积分的过程。
最后，换元法是指通过引入新的自变量来进行积分计算。
例如：1. ∫sin^2(x) dx可以通过令u=sin(x)，然后计算其微分du=cos(x) dx将原积分转化为∫u^2 du = u^3/3 + C = sin^3(x)/3 + C2. ∫(1+x^2)^3 x dx可以通过令u=1+x^2，然后计算其微分du=2xdx将原积分转化为(1/2)∫u^3 du = (1/2)(u^4/4) + C =(1/8)(1+x^2)^4 + C换元法可以将复杂的积分转化为更简单的形式，从而简化计算的过程。
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
不定积分计算方法在微积分中，不定积分是确定函数的原函数的过程。
计算不定积分的方法有很多种，本文将介绍不定积分的基本方法，包括换元法、分部积分法、三角函数的不定积分、分式的不定积分、有理函数的不定积分等。
1.换元法：换元法是计算不定积分最常用的方法之一、其基本思想是通过变量的代换将原函数转化成一个更容易积分的形式。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的替换变量，使得在新的变量下，被积函数的形式变得更简单。
常用的替换变量有三角函数、指数函数、分式等。
(2)计算出变量的微分，即被积函数的微分形式。
如果被积函数是一个复合函数的形式，则应使用链式法则计算微分。
(3)将变量的微分代入被积函数中，得到新的被积函数。
(4)对新的被积函数进行积分计算，得到最终的结果。
(5)将变量的原函数代回原来的变量，得到最终的原函数。
2.分部积分法：分部积分法是一种通过对乘积函数进行积分的方法，可以将一个积分转化成另一个积分。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的函数进行分解，使得被积函数可以表示为两个函数的乘积。
(2)对乘积函数应用分部积分法，得到一个新的积分表达式。
(3)在新的积分表达式中，选择一个适当的函数进行分解，并再次应用分部积分法。
(4)反复应用分部积分法，直到得到一个可以直接计算的积分表达式。
(5)对得到的积分表达式进行计算，得到最终的结果。
3.三角函数的不定积分：(1)三角函数的基本积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C(2)三角函数的积分公式：∫sin^n(x)cos^m(x)dx =(-1)^(m/2) * n! * (m/2)! / (n+m+1)! * sin^(n+1)(x) *cos^(m+1)(x) + C∫tan^n(x)sec^m(x)dx =(m-1)/(m) * ∫tan^(n-2)(x)sec^(m-2)(x)dx - ∫tan^n(x)sec^(m-2)(x)dx这些公式可以用来计算包含三角函数的不定积分，通过逐步应用公式，最终得到结果。
secx的不定积分公式推导过程1.首先，我们知道secx可以用1/cosx来表示。
(Firstly, we know that secx can be represented as 1/cosx.)2.然后，我们可以将secx的不定积分表示为∫secx dx。
(Then, we can represent the indefinite integral of secxas ∫secx dx.)3.接下来，我们可以将secx写成1/cosx，并进行变量替换。
(Next, we can write secx as 1/cosx and make a substitution.)4.通过让u=cosx，我们可以得到du=-sinx dx。
(By letting u=cosx, we can obtain du=-sinx dx.)5.然后，我们可以将原不定积分转化为∫(1/u)du。
(Then, we can transform the original integral into∫(1/u)du.)6.通过进行不定积分，我们可以得到ln|u|+C。
(By carrying out the indefinite integral, we can obtain ln|u|+C.)7.最后，我们可以将u替换成cosx，得到不定积分的最终结果为ln|cosx|+C。
(Finally, we can substitute u back with cosx, and obtain the final result of the indefinite integral as ln|cosx|+C.)8.因此，我们得到了secx的不定积分公式推导过程。
(Therefore, we have obtained the process of deriving the indefinite integral formula of secx.)9.当cosx大于0时，ln|cosx|+C即为secx的不定积分。
