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一类广义Liénard系统的正半轨线与特征曲线相交的条件

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鲁 ：（ 一（ ｄ ＝ ｇ）ｙ ｐ）Ｆ ｙ ｙ 一（ｑ） ￡ （． 一
ｆ ｔ ｓｃｉ ｆ ｏｉｖ ｅ ｉ ｂｓｗｔ ｈｒｃ ｒ ｔ ｕｖ ） ＝，（ ｈｏｇ ｎ ｏ ｔ ｎｐ ｎ ｌ ｏ ｔ ｎｄ ｏ ｉ ｅ ｅｔ ｎｏ ｓｉ ｓｍ ｏ ｉ ｉ ｃａ ｔ ｉ ｃｃ ｒ ｐ（， ｒｎ ｒ ｏ ｐ ｔｅ ｒｔ ｈ ａ ｅｓ ｉ ｅ ） ）ｔｒ ｈａｙｐ ｉ ｌ ｅａｅ ｂ ｉ ． ｕ ｎｏ ａ ａｅ
性 条件 ．显 然 ，Ｐ Ｙ ； Ｙ （ ） （） ，ｑ Ｙ ；１ ，系 统 （１） 时
ＰＹ （ ）＜Ｆ（ ｝ （ ） ，Ｇ ）＝ ｌｇ ｕｄ ， Ｈ Ｙ （ ）ｕ （ ）＝
ｊ ｄ （） 日， ｃ ）并 假 ： ｕ ， （ ＋（， 且 定 ， ，＝ ） ） ）
下 列条 件成 立 ： （ ｏ Ｙ （ ） （ ≠０ ，Ｐ（ ） 格 单 调 递增 ， ｔ ） Ｐ Ｙ ＞０ Ｙ ） ｔ ｙ严
２ ｏｇｕ Ｍｄｌ Ｓｈｏ ｏ Ｂ ｉ ｎＤｓｉ ，Ｇ ａｇｈｕ５０４ ．Ｌｎｇｉ ｉ ｅｃ ｏｌ ｆ ｅｙ ｉｒ ｔ ｕｎｚｏ １４５，Ｇ ｕｇｏｇ ｈｎ） ｄ ｕ ｔｃ ａｎｄｎ ，Ｃ ａ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｓ ｍｅ ｓ ｆ ｃｅ ｔ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆｔ ｅ ｇ ｎ ｒｌ ｅ ｉｎ ｒ ｙ ｔｍ ｓｒ ｃ ： ｏ ｕ ｉｉｎ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｅ ｅａ ｉ ｄ Ｌ ６ ａ ｄ ｓ ｓｅ ｃ ｉ ｈ ｚ
１ ６
第 ３ 卷 ８
Ｖ １３ ｏ．８
Ｊｕｎｌ ｆ ｏ ｈ ｅｔ ｏ ｌ ｎ ｅ ｉ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏｒａ ｏ ｒ ｗ ｓＮ ｒ ｉ ｒｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） Ｎｔ ｍａ Ｕ ｖ ｓｙ ｕｌ ｅ
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第 ３ 卷 ２０ ８ １２年第 ３ ３ 期
ｖ １３ ２ （ Ｎｏ ３ ｏ．８ ０） ２ ．
西 北 师 范 大 学 学 报 （ 自然科学 版）
Ｊｕｎｌ ｆ ｏｔ ｅｔ ｏｍ ｌ ｎ ｅｓｙ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ ｏｒａ ｏ ｒ ｗ ｓ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｔ Ｎ ｔ ａ ｉ ｃ） Ｎ ｈ ｖ ｉ ｕ Ｓｅ １ ５
一
类广 义 Ｌ６ ａｄ系统的正 半轨线 与 ｉ ｒ ｎ
特征 曲线 相交 的条件
余德 治 ，刘炳 文 ，崔俊 青
（ ．常德师范学 院 数学 系，湖南 常德 １ ４５０ ；２ １０ ０ ．广 州市 白云区龙 归 中学 ，广东 广州 ５０４ ） １４５
摘
要 ：获 得 了广 义 Ｌ￣ａ ｉ ｒ ｎ ｄ系统
Ｋｅ ｒ ｓ Ｌ ￣ ａ ｄ ｓ ｓｅ ； ｃ ａ ａ ｔｒ ｔ ｕ ｖ ； ｐ ｓｔ ｅ ｓｍｉ ｒ ｉ； ｉｔｒｅ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉｎ ｒ ｙ ｔｍ ｈ ｒ ｃｅ ｓｉ ｃ ｒ ｅ ｉ ｃ ｏ ｉ ｖ ｅ ｏ ｂ ｔ ｎ ｅｓ ｃ ｉ ｉ ｏ
考虑 广 义 Ｌ６ａｄ系统 ｉ ｒ ｎ
即为 著名 的 Ｌ６ａｄ系统 ．最 近 几 十 年 ，关 于 系 统 ｉ ｒ ｎ （１） 的定性 和稳 定 性 的研 究 已经 取得 了相 当丰 富的 结果 引．由于 大 多 数 的 已 有 结 果 都 利 用 了 系 统
收 稿 日期 ：２０ ．２１ ；修 改 稿 收 到 日期 ：２Ｏ—５１ ０ １１．１ Ｏ２０ — ５
｛ ， ） ≥０ Ｐ Ｙ ＞Ｆ（ ｝ ＝｛ Ｙ ： （ Ｙ： ，（ ） ） ，Ｄ （ ， ） ≤０ ，
ｄ ｙ
一
＝一ｇ（ ｑ ） ． ） （， ）
其 中 Ｐ Ｙ ， （，（ ） Ｆ（ ，ｇ ） Ｒ上 的连续 （ ）ｑ ） ＞０ ， ） （ 是 ） 函数 ，且满 足 系统 （１） 于初 值 问题 解 的存在 唯 一 关
（ ） １ 的正半轨线与特征曲线的相交性 ，这就使得继
续 研 究 系统 （１ 的 正半 轨线 与特 征 曲线 的相 交 性仍 ）
（１）
— Ｆ ） （ ）一 ） ，一 ，
是 一 项 有 意 义 的 工 作 ．为 了 方 便 ，我 们 记 Ｄｌ＝
基金项 目：湖南省教育厅 科研基金 资助项 目（ １４ ３ ０ Ｃ １） 作者简 介 ：余 德治 （９４ ） １６ 一 ，男 ，湖南常德人 ，讲 师 ．主要研究 方向为非线性 微分方程定性 理论及其应用
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西 北 师 范 大 学 学 报 （ 自然科学 版）
Ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｈ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｉ ｎ ｒ ｙ ｔ ｍ ｏ ｎ ｅ ｓ ｃ ｉ ｎ ｏ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆｔ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ Ｌ ６ ａ ｄ ｓ ｓｅ ｆ ｒｉ ｔ ｒ ｅ ｔ ｆ ｉ ｚ ｏ
ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｍｉｒ ｉ ｔ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔ ｕ ｖ ｏ ｉ ｖ ｅ ｏ ｂ ｔ ｗｉ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｃ ｒ ｅ ｉ ｓ ｈ ｃ
ｄｘ
＝ｐ ｙ （ ）一 Ｆ（ ， 韭 ｔ ＝一 ｇ ） ） ｄ （
）
’
过 平面上任 意一点 的正半轨 线与特征 曲线 ｐ ＝Ｆ 相 交的充分条件 ． Ｏ） （）
关 键 词 ：Ｌ￣ａ ｉ ｒ 统 ；特 征 曲 线 ；正 半 轨 线 ；相 交 ｎ ｄ系 中 图分 类 号 ：Ｏ１５ １ ７ ．２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ ．８ Ｘ（０２ ０ ・ １－３ ０ １９８ ２０ ）３０ ５０ ０
Ｙ ｅｚ ｉ， ＬＵ ｉ— ｅ Ｃ ｕ —ｉｇ Ｕ Ｄ —ｈ １ Ｂｎ ｗ ｎ ， ＵＩ ｎ ｑｎ ２ Ｊ
（ ．Ｄ ｐ ｒ ｅ ｔ ａ ｅ ａ ｃ ，Ｃ ￣ｃ ｅＴ ａ ｈ ｒ Ｕ ｖ ｒｔ ，Ｃ ａ ｇ ｅ １０ ０ １ ｅ ａ ｍ ｎ ｏ Ｍ ｔ ｍ ｔｓ ｈ ａ ｅｃ ｅｓ ｎ ｅ ｉ ｔ ｆ ｈ ｉ ｉ ｓｙ ｈ ｎ ｄ ５ ０ ，Ｈ ｎ ｎ ｈ ａ ４ ｕ ａ ，Ｃ ｉ ； ｎ

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特征线理论及应用

特征线理论及应用

F1 A2
du
A1 u dx y A1
F1 du A2 A1du F1dx A1dy A2 dx
du dy F1dy A2 du u x A1dy A2 dx A1 A2 dx dy
dx dy
上两式表明： 即沿着特征线，
沿着特征线，分母和分子均为零。
定义
dp G c
G 1 p t c t G 1 p x c x
v 1 p v 1 p (v c) (v c)( )0 t c t x c x
则
基本方程化为以vG 为新的未知函数的偏微分方程：
( v G ) ( v G ) (v c ) 0 t x
其相容方程的解为：
2 v c J 1
结论：
沿着特征线
2 dx c J v c, v 1 dt
dx v c, dt
(黎曼不变量)
沿着特征线
2 v c J 1
(黎曼不变量)
特征线的基本性质 1）一维非定常流动中，平面x-t上任一点，都有两条不同 族的特征线，沿各特征线有各自不同的黎曼不变量； 2）特征线上参量v,c,p,…的一阶导数可以不连续，但这
基本方程与黎曼不变量 （以一维等直截面管为例） （连续方程）
基本方程
v v 0 t x x
（动量方程）
v v 1 p v 0 t x x
等熵流动中只有一个状态参量独立：
( p)
d 1 d ( ) s dp 2 dp dp c
u u A1 A2 F1 0 x y
该方程对应的系数：A1=1, A2=2x, F1=－3x2
则特征线方程为：
广义Sasa-Satsuma 呈在半直线上的初边值问题

广义Sasa-Satsuma 呈在半直线上的初边值问题

广义Sasa-Satsuma 呈在半直线上的初边值问题广义Sasa-Satsuma问题是数学中的一个经典问题，它是一个关于常微分方程的初边值问题。

该问题的特殊之处在于，它呈现在半直线上。

在数学领域，初边值问题是一类常见的数学问题，它们的解决对于深入理解数学模型和现象具有重要意义。

前人对于Sasa-Satsuma问题的研究已经相当深入，但是广义Sasa-Satsuma问题则是一个相对较新的研究领域，它考虑了更多的应用场景和数学模型，因此仍然具有很高的研究价值和挑战性。

广义Sasa-Satsuma问题的数学模型通常可以表示为一个偏微分方程组。

它的解空间通常会受到边界条件和初始条件的限制，因此需要在满足这些条件的情况下求解出适当的解析解或数值解。

在半直线上的情况下，问题会变得更加复杂，因为需要考虑到半直线上的特殊性质。

广义Sasa-Satsuma问题的研究无疑对于数学理论的发展和实际应用的推广都具有积极的意义。

在实际应用中，广义Sasa-Satsuma问题的研究可以帮助我们更好地理解一些复杂的物理现象，比如在光学、声学和流体力学等领域的应用。

广义Sasa-Satsuma问题也对于数学理论的深化具有重要意义。

它涉及了一系列数学工具和方法，比如偏微分方程的解析方法、边值问题的理论等等，这些都是数学领域中的重要课题。

在数学研究的过程中，我们也可以运用现代计算机技术，比如数值模拟、计算机代数系统等，来解决广义Sasa-Satsuma问题。

这些计算工具的使用可以更好地帮助我们理解问题的本质和求解过程，同时也可以拓展我们对于数学问题的认识。

广义Sasa-Satsuma问题是一个具有重要研究价值和挑战性的数学问题。

在未来的研究中，我们可以继续深入探讨它的理论基础和应用价值，希望能够取得更多的突破和进展。

通过对这一问题的研究，我们可以更好地认识数学的奥秘，同时也可以为科学技术的发展做出更大的贡献。

liénard方程极限环存在定理

liénard方程极限环存在定理

liénard方程极限环存在定理等廓尔喷方程，是在不受外界输入力的情况下，由一个二阶微分方程描述某个系统的运动状态的重要模型。

1890年，这一模型被法国数学家P. H. Liénard以求解飞轮与减速机结合系统动作状态时提出，故而以此人命名。

此模型在很多领域，如生物动力学，机械，国际经济以及系统科学等有着广泛应用。

由于这一模型的应用范围广泛，因此许多学者研究，致力于探讨其特性及行为规律。

最初，西班牙数学家Romero de la Fuente和Bogomolniy的研究表明，Liénard方程的解的存在性与主数的值有关，某个特定区域的变量大于一定值后，方程的解就不存在了。

另一位西班牙数学家Mategakis，在此基础上更进一步，指出，Liénard方程存在一个极限环，满足特定条件的变量值再在该极限环内滚动，便构成一个神奇的状态，系统就处于一个稳定状态。

他根据极限环理论，分析研究了系统变量的变化规律，并提出了关于极限环的极限定理，即存在某种数学函数的条件下，其极限环的频率会是一个常数。

Liénard方程的极限环定理，可以为各个领域提供一种新的科学探讨和分析工具。

在机械、生物及经济等领域，可以运用此理论实现系统性研究，以便达到更快更有效的运行状态。

而在流形动力学、家喻户晓的滑轮机构、卡尔曼滤波器、奖励机制及复杂离散时间系统的研究中，其应用也相当普遍，以帮助人们了解系统的机构特征、行为模式以及预测性能。

因此，Liénard方程的极限环存在定理，不仅提高了系统的计算能力，更在复杂系统当中构建了一个新的科学框架，使得有效的理解、控制和仿真受到了非常大的帮助。

因此，Liénard方程极限环存在定理，在科学研究，实践应用中具有极为重要的作用，对于系统行为分析和把握运行特征有着深远意义。

非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)省名师优质课

非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)省名师优质课

xn - yn x0 - y0 exp(n )
x0 - y0
经过n次迭代
xn - yn x0 - y0 expn
在一维映射中 只有一种值，而在多维相空间情况下一般就有
多种 i ，而且沿相空间旳不同方向，其 i (i=1,2,…)值一般也不
同。
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数应用
设 0 为多维相空间中两点旳初始距离，经 n 次迭代后两点旳距
研究表白，系统只要有一种正值旳李雅普诺夫指数就可出现 混沌运动。所以在鉴别一种非线性系统是否存在混沌运动时， 只需要检验它旳最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。
1.李雅普诺夫指数
吸引子与李雅普诺夫指数
我们可按 旳i 符号对吸引子旳性质进行分类，对于三维空间，
有下列几种吸引子类型：
1、三个指数 、1 2和 均3为负值，相点收缩到一点，即系统
离为：
(t) 0eit
式中指数 i 值可正可负。 i 表 0达沿该方向扩展， 表i 达 沿0 该
方向收缩。在经过一段时间(多次迭代)后来，两个不同李雅普
诺夫指数值将使相空间中原来旳圆演变为椭圆。
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数应用
稳定体系旳相轨线趋向于某个平衡点，假如出现越来越远 离平衡点旳情况，则体系是不稳定旳。正旳李雅普诺夫指数预 示着系统旳不稳定性。
第二章 分岔与奇怪吸引子
第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程
1.流体中旳不稳定性 2.洛伦兹方程解旳分岔
1.流体中旳不稳定性
1923年, 法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一种著名旳对流试验.
在一水平容器中放一薄层液 体，从底部渐渐均匀地加热， 开始液体没有任何宏观旳运动。 当上下温差到达一定旳程度， 液体中忽然出现规则旳六边形 对流图案。照片中每个小六角 形中心较暗处液块向上浮，边 沿较暗处液块向下沉。