移动副驱动的2-DOF球面并联机构运动学分析

多种方法分析二自由度球面并联机构位置正反解刘存生;韩先国【摘要】分析了球面并联机构的结构特点和应用方向,以二自由度球面并联机构为例,建立其三维模型以及运动学模型,利用螺旋理论给出自由度分析方法,并分别用欧拉角公式、螺旋理论、矢量分析法等多种理论分析二自由度球面并联机构正反解模型,为后续的动力学分析及控制系统开发提供理论基础.%This paper analyzes the structural characteristics and application of the spherical parallel mechanism. It also takes the 2-DOF spherical parallel mechanism as an example to establish the three-dimensional model and kinematic model and uses the screw theory to give out the analysis method of the degree of freedom and uses euler formula,screw theory and vector analysis to analyze the forward and inverse position model of the 2-DOF spherical parallel mechanism.The theoretical basis is provided for the dynamic analysis and development of the control system.【期刊名称】《机械制造与自动化》【年(卷),期】2018(000)001【总页数】4页(P19-21,29)【关键词】球面并联机构;位置正反解;螺旋理论;欧拉角【作者】刘存生;韩先国【作者单位】北京航空航天大学机械工程及自动化学院,北京100191;北京航空航天大学机械工程及自动化学院,北京100191【正文语种】中文【中图分类】TH1220 引言传统的串联机构是由很多关节按顺序连接而成的一个开链式结构，这种机构由于自身结构特点而存在承载能力差、刚度低以及精度不高的缺点，限制了其在某些领域的应用。

第３６卷第３期２０２１年６月安㊀徽㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报J o u r n a l o fA n h u i P o l y t e c h n i cU n i v e r s i t y V o l ．３６．N o ．３J u n ．,２０２１文章编号:１６７２Ｇ２４７７(２０２１)０３Ｇ００１５Ｇ０６收稿日期:２０２０Ｇ１２Ｇ１８㊀作者简介:周毅钧(１９７３Ｇ),男,安徽来安人,副教授,硕导．２－U P S /R P R 并联机构运动学分析周毅钧,陈建鹏,李特奇(安徽理工大学机械工程学院,安徽淮南㊀２３２００１)摘要:为得到２－U P S /R P R 并联机构运动学特性,首先,运用螺旋定理进行分析得出动平台反螺旋系与运动螺旋系,结合修正的G r üb l e r －K u t z b a c h 公式计算机构自由度.然后,通过位置反解得出末端执行器位姿与各驱动杆位姿函数关系,并结合牛顿迭代法得出位置正解.其次,运用雅可比矩阵映射出末端执行器速度参数.最后,运用A d a m s 软件对２－U P S /R P R 并联机构的虚拟样机进行运动学仿真分析,得到动平台位移㊁角速度㊁速度㊁加速度变化曲线云图,结果表明该机构两转一移的特性可适应不同工况下复杂表面的喷涂.关㊀键㊀词:自由度;螺旋定理;位置反解;虚拟样机中图分类号:T H １１２㊀㊀㊀㊀文献标识码:A２R １T 少自由度并联机构由运动副与各个构件组成,其结构较为简单,因此具有载荷比高㊁误差小㊁精度高㊁动力充足等优点,且相对传统串联机构更有效,结构更紧凑,适用于工业生产㊁产品分拣等领域.针对２R １T 少自由度机构,赵传森[１]等提出了一种２－R P U /R P S 并联机构,并求出其工作空间与奇异位形;李清[２]等提出了一种S P R＋U P S ＋U P R 非对称并联机构,并利用三维动态法求解其工作空间;杨路[３]等提出了一种２－U P S /R R P 机构,并分析其运动学性能;王新宇[４]等提出了一种２－P S R /U P U 并联机构,并进行实例分析;张志良[５]等提出一种３－P S P 空间并联机构,并利用位置正逆解求其空间位置.研究提出的２－U P S /R P R 并联机构可以用于贴码的喷涂.传统贴码喷涂由于其结构的限制,只适用于喷涂固定表面以及位置不变的产品,而本机构具有两转动一平移３个自由度,可适用于曲面等非平面产品的光滑喷涂.１㊀机构的结构分析１．１㊀机构描述２－U P S /R P R 并联机构由定平台㊁动平台㊁虎克副㊁移动副㊁球副㊁转动副组成,定平台与动平台之间通过两条U P S 支链和一条R P R 支链连接.U P S 支链自下而上依次为虎克副(U )㊁移动副(P )㊁球副(S ).以第一条支链为例,虎克副(U )与定平台之间成一定的夹角,定平台与虎克副(U )相连,虎克副(U )上方连接一个方向向上的移动副(P ),移动副(P )上连接一个球副(S ),球副(S )与动平台相连.定平台是底边边长为２a ,顶角为９０ʎ的等腰直角三角形.动平台是底边边长为２b 的等腰直角三角形(b ＜a ),形状与定平台相似,３条支链绕动平台与定平台几何中心对称分布.并联机构的模型图如图１所示.由图１可知,并联机构共有３条支链,其中底边两条支链为相同的U P S 支链,顶边为R P R 支链,R P R 支链中两个R 副空间位置相互垂直.为了方便分析该机构的正反解,规定定平台左端顶点为A １,逆时针分布得到A ２㊁A ３;动平台左端顶点为B １,逆时针分布得到B ２㊁B ３.其中,A １㊁A ２㊁A ３分别为U １１㊁U ２１㊁R ３１的质心点;B １㊁B ２㊁B ３分别为S １３㊁S ２３㊁R ３３的质心点.以定平台底边中心为定坐标系原点建立坐标系o －x yz ,x 轴与定平台底边重合,x 轴方向指向第二条支链底端U ２１的质心处,z 轴方向与定平台方向垂直,y 轴方向由右手螺旋定则确定;以动平台底边中心为动坐标系原点建立坐标系o ᶄ－x ᶄy ᶄz ᶄ,x ᶄ轴与动平台底边重合,方向指向第二条支链顶端S ２３的质心处,z ᶄ轴方向与动平台方向垂直,y ᶄ轴与动平台高重合,方向指向动平台顶点,x ᶄ轴根据右手螺旋定则确定.２－U P S /R P R 机构简图如图２所示.１．２㊀自由度运算给定螺旋Ɣ１＝(L １,M １,N １;P １,Q １,R １)与螺旋Ɣ２＝(L ２,M ２,N ２;P ２,Q ２,R ２),则两螺旋的互易积图１㊀２－U P S /R P R 机构模型图２㊀２－U P S /R P R 机构简图表示为:Ɣ１⚫Ɣ２＝L １P ２＋M １Q ２＋N １R ２＋L ２P １＋M ２Q １＋N ２R １,(１)若两螺旋的互易积为０,则两螺旋互为反螺旋.在并联机构中,各分支运动螺旋数目与其对应的约束螺旋数目之和为６.对于２－U P S /R P R 并联机构,先求得３条支链的运动螺旋系,然后根据互易积理论可得到与其对应的约束螺旋系,接着将３条支链的约束螺旋系合并后得到动平台的约束螺旋系,最后对其求反螺旋系,从而得到动平台的运动螺旋系[６Ｇ７].第一条U P S 支链共有６个运动螺旋,组成的运动螺旋系可表示为:Ɣ１１＝(１㊀０㊀０;０㊀０㊀０)Ɣ１２＝(０㊀１㊀０;０㊀０a ２)Ɣ１３＝(０㊀０㊀０;l １２㊀m １２㊀n １２)Ɣ１４＝(１㊀０㊀０;０㊀－Z B １㊀－Y B １)Ɣ１５＝(０㊀１㊀０;Z B １㊀０㊀－X B １)Ɣ１６＝(０㊀０㊀１;－Y B １㊀X B １㊀０)ìîíïïïïïïïïïï,(２)式中,l i j ㊁m i j ㊁n i j 中的i j 表示第i 条支链的第j 个运动副;l 表示该运动副位置矢量的方向余弦;X B １㊁Y B １㊁Z B １为Ɣ１３的位置矢量.从式(２)中还可看出,U P S 支链的６个运动螺旋线性无关,因此该运动螺旋系不存在与之对应的约束螺旋系,即该支链对动平台无约束力与约束力偶.第二条支链的构型与第一条支链构型相同,且相对于机构几何中心点呈对称分布,因此第二条支链也无约束螺旋系.第三条R P R 支链在定坐标系中的运动螺旋为:Ɣ３１＝(０㊀１㊀０,０㊀０㊀０)Ɣ３２＝(０㊀０㊀０,０㊀h ３２㊀k ３２)Ɣ３３＝(１㊀０㊀０,０㊀－Z B ３㊀Y B ３)ìîíïïïï,(３)根据互易积公式,R P R 支链的约束螺旋系有３个约束螺旋:Ɣr ３１＝(１㊀０㊀０,０㊀０㊀０)Ɣr ３２＝(０㊀０㊀０,０㊀０㊀１)Ɣr ３３＝０㊀k ３２k ３２ Z B ３＋Y B ３ h ３２㊀－k ３２h ３２Z B ３＋Y B ３æèçöø÷－１,１㊀０㊀０æèçöø÷ìîíïïïïï,(４)根据３条支链的约束螺旋系得到动平台的运动螺旋系为:Ɣm １＝(１㊀０㊀０,０㊀－Z B ３㊀Y B ３)Ɣm ２＝(０㊀１㊀０,０㊀０㊀０)Ɣm ３＝k ３２h ３２Z B ３＋Y B ３æèçöø÷－１㊀０㊀０,０㊀０㊀１æèçöø÷ìîíïïïïï,(５)式中,Ɣr i j 中的r 表示反螺旋,i j 表示第i 条支链的第j 个运动副,因第一支链与第二支链对动平台不提供 ６１ 安㊀徽㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报第３６卷约束作用,所以R P R 支链的约束螺旋即为动平台的约束螺旋.从式(４)中可看出,固定坐标系下的３个约束螺旋构成的约束螺旋系无最大公因数,因此２－U P S /R P R 并联机构的３个约束螺旋不可互相表示,即约束螺旋之间线性无关.从式(５)中可看出,并联机构的运动螺旋系中存在３个运动螺旋,其中,Ɣm １表示动平台沿x 轴方向转动;Ɣm ２表示动平台沿y 轴方向转动;Ɣm ３表示动平台沿z 轴方向移动.如果机构中运动螺旋数目超过６,则超出部分为并联冗余约束,所以过去常用的G r üb l e r －K u t z b a c h (以下简称G －K )公式无法对所有机构求得正确的结果,因此对G －K 公式加以修正,修正后G －K 公式如式(６)所示.d o f ＝m (N －J －１)＋ðJi ＝１f i ＋υ－ζ,(６)式中,d o f 为机构自由度;m 为刚体自由度;N 为构件数量(定平台也看作为一个构件);J 为关节的数目;f i 为第i 个关节的自由度数;ζ为机构中全部过约束的总数;υ表示并联冗余约束;本机构属于单环机构,因此无并联冗余.对于２－U P S /R P R 并联机构,m 与λ之和为６,公共约束λ＝０,即m ＝６－λ＝６,构件数量N ＝１１,关节数目J ＝１２.其中转动副的自由度为１,移动副的自由度为１.虎克副的自由度为２,冗余自由度υ＝０,过约束自由度ζ＝０.将其代入修正的G －K 公式可得:d o f ＝６ˑ(１１－１２－１)＋(６ˑ２＋３)＋０－０＝３,由G －K 公式计算得出２－U P S /R P R 并联机构的自由度为３,与螺旋理论计算出的结果一致.２㊀机构的运动分析２．１㊀位置反解在动平台位姿确定后求其他构件运动状态为位置反解[８Ｇ９].将动平台中心点的位置设为P ,因机构只能绕x ㊁y 轴转动,沿z 轴移动,所以３个姿态角中绕z 轴转动的角度γ为０,设绕x 轴转动的角度为α,绕y 轴转动的角度为β,根据以上参数可求得支链上的３个驱动副的位移距离.O A i ㊁O ᶄB ᶄi 在定坐标系中用坐标矢量可表示为:O A １＝(－a ,０,０)T O A ２＝(a ,０,０)T O A ３＝(０,a ,０)T ìîíïïïï㊀O ᶄB ᶄ１＝(－b ,０,０)T O ᶄB ᶄ２＝(b ,０,０)T O ᶄB ᶄ３＝(０,b ,０)T ìîíïïïï,(７)将动坐标系原点O ᶄ表示为定坐标系中的坐标矢量P :P ＝(x ,y ,z )T ,(８)因机构存在绕x 轴㊁y 轴转动,绕y 轴平移的自由度,所以关于两个坐标系之间相互转化的姿态转换矩阵A B T 为:A B T ＝T x T y ＝c β０s βs αc βc α－s αc β－c αs βs αc αc βéëêêêêùûúúúú,(９)式中,s 表示s i n ;c 表示c o s .动平台在固定坐标系中的坐标矢量为O B i ,将O A i 与O B i 的矢量差长度设为l i ,可得:O B i ＝A B T O ᶄB ᶄi ＋P ,(１０)l i ＝|O B i －O A i |,(１１)代入计算得:l １＝(－b c β＋a ＋x )２＋(－b s αs β＋y )２＋(b c αs β＋z )２l ２＝(b c β－a ＋x )２＋(b s αs β＋y )２＋(－b c αs β＋z )２l ３＝x ２＋(b c α＋y －a )２＋(b s α＋z )２ìîíïïïï.(１２)２．２㊀位置正解位置正解即根据驱动值求解动平台中心点位置参数,该方法是位置反解的一种逆运用.本例为一般７１ 第３期周毅钧,等:２－U P S /R P R 并联机构运动学分析构型,采用方法为数值分析法,将位置反解方程式整理得到动平台坐标系原点位置的求解方程:f １＝(－b c β＋a ＋x )２＋(－b s αs β＋y )２＋(b c αs β＋z )２－l ２１＝０f ２＝(b c β－a ＋x )２＋(b s αs β＋y )２＋(－b c αs β＋z )２－l ２２＝０f ３＝x ２＋(b c α＋y －a )２＋(b s α＋z )２－l ２３＝０ìîíïïïï.(１３)该方程为多元非齐次线性方程,常规求根公式无法求得该方程的解析解,但该方程在单根附近平方收敛,因此采用牛顿－拉夫逊迭代法对函数进行更新迭代[１０Ｇ１１],从而求得近似解,牛顿迭代公式如下:f ᶄi (T (k ))ΔT (k )＝－f i (T (k )),T (k ＋１)＝T (k )＋ΔT (k ),(１４)已知３个移动副伸缩量l １㊁l ２㊁l ３,初始向量T (０),经过不断更新迭代后得到最终向量T ,同时计算得到３条支链移动副移动的距离,该方法可求得动平台最终的位姿变化.３㊀速度雅可比矩阵分析选取并联机构３条支链的移动副作为驱动向动平台输入速度,输出速度由雅可比矩阵来映射到动平台上.将位置逆解分别对α㊁β㊁z 求一阶导数,求得的参数代入雅可比矩阵中,雅可比矩阵J 为:J ＝－b y c αs β－b z s αs βl １u l １b c αs β＋z l １b y c αs β＋b z s αs βl ２v l ２－b c αs β＋z l ２－b y s α＋b z c α＋a b s αl ３０b c α＋z l ３æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷,(１５)其中,u ＝－b ２s βc β＋a b s β＋b x s β＋b ２s ２αs βc β－b y s αc β＋b ２c ２s βc β＋b z c αc βv ＝－b ２s βc β＋a b s β－b x s β＋b ２s α２s βc β＋b y s αc β＋b ２c ２s βc β－b z c αc β{,(１６)对位置逆解方程两侧同时求导并加以整理得到:̇q ＝J υ,(１７)式中,̇q 为移动副速度向量;υ＝[̇x ㊀̇y ㊀̇x ]T .４㊀运动学仿真为了分析２－U P S /R P R 机构在输入３个驱动函数下动平台变化的规律,在３条支链上的３个移动副设置驱动函数进行驱动[１２],驱动函数如下:T r a １＝８∗s i n (０．５∗t i m e )T r a ２＝－１０∗s i n (０．５∗t i m e )T r a ３＝２０∗s i n (０．５∗t i m e )ìîíïïïï.(１８)设定仿真时间为３０s ,步数为５００,机构开始运动后得到动平台运动仿真曲线云图.位移㊁角速度㊁速度㊁加速度变化曲线图分别如图３㊁图４㊁图５㊁图６所示.由图３㊁图４可知,A d a m s 仿真云图呈周期性变化,周期为１２．５s ,动平台在x 轴方向位移变化较小,角速度变化较大;在y 轴方向位移变化较大,角速度变化较小.由图５㊁图６可知,动平台在z 轴方向速度与加速度变化高于x 轴㊁y 轴.因为z 轴为移动,另外两轴为转动,而移动副行程较长,从位置反解中也能体现出角度变化率比杆长变化率小.总体来看,动平台参数变化曲线光滑连续,中间无断点与突变,表明机构能平稳运行.综上,２－U P S /R P R 并联机构的运动性能良好.５㊀结论基于螺旋理论求得２－U P S /R P R 并联机构存在绕x 轴㊁y 轴转动与沿z 轴移动自由度,表明该机构可调节不同角度对不规则曲面产品进行喷涂.运用封闭矢量法与坐标转换法求得并联机构反解方程与正解方程,对其运用微分法求得雅可比矩阵,从而得到其运动学特性.利用A d a m s 动态仿真得出机构的运动变化曲线图,从曲线良好的运动学性能可看出该机构在进行喷涂工作时平稳流畅,具有一定的实用价值.８１ 安㊀徽㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报第３６卷图３㊀位移变化曲线图图４㊀角速度变化曲线图图５㊀速度变化曲线图图６㊀加速度变化曲线图９１ 第３期周毅钧,等:２－U P S /R P R 并联机构运动学分析０２ 安㊀徽㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报第３６卷参考文献:[１]㊀赵传森,许勇,张强强,等．基于少自由度主动支链的２R１T并联机构[J]．轻工机械,２０２０,３８(１):５７Ｇ６４．[２]㊀李清,赵立婷,李瑞琴,等．S P R＋U P S＋U P R并联机构的逆运动学和工作空间分析[J]．包装工程,２０２０,４１(２１):２１３Ｇ２１８．[３]㊀杨路,李瑞琴,刘荣帅,等．２－U P S/R R P调心式髋关节康复机构的运动学及性能分析[J]．机械设计与制造工程,２０２０,４９(５):２６Ｇ３０．[４]㊀王新宇,李虹,李亚丽,等．基于２－P S R/U P U并联机构的旋盖装置设计及性能分析[J]．包装工程,２０２０,４１(３):１８８Ｇ１９３．[５]㊀张志良,李瑞琴,郭彦军．一种２R１T空间并联机构及其位置分析[J]．机械传动,２０１４,３８(１):２３Ｇ２６．[６]㊀黄真,赵永生,赵铁石,等．高等空间机构学[M]．北京:高等教育出版社,２０１４．[７]㊀周毅钧,陈业富,苏荣海．２R P S/２S P S并联机构及运动学分析[J]．机械传动,２０２０,４４(６):１１５Ｇ１２０．[８]㊀JAC A R R E T E R O,RPP H D HO R O D E S K I R,A N A HO NM,e t a l．K i n e m a t i c a n a l y s i s a n do p t i m i z a t i o no f an e wt h r e ed e g r e eＧo fＧf r e d o ms p a t i a l p a r a l l e lm a n i pＧu l a t o r[J]．J o u r n a l o fm e c h a n i c a l d e s i g n,２０００,１２２(１):１７Ｇ２４．[９]㊀王鹏,武建德,李旭,等．３－U P R R并联机构的位置逆解即工作空间分析液[J]．煤矿机械,２０１７,３８(１２):５３Ｇ５６．[１０]李瑞琴,郭为忠．现代机构理论与应用研究进展[M]．北京:高等教育出版社,２０１４．[１１]杨廷力,刘安心,罗玉峰,等．机器人机构拓扑结构设计[M]．北京:科学出版社,２０１２．[１２]张伟,周毅钧,傅敏,等．２－S P U/２－R P S并联机构运动学分析[J]．安徽工程大学学报,２０２０,３５(２):４１Ｇ４６．K i n e m a t i cA n a l y s i s o f２－U P S/R P RP a r a l l e lM e c h a n i s mZ H O U Y i j u n,C H E NJ i a n p e n g,L IT e q i(S c h o o l o fM e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g,A n h u iU n i v e r s i t y o f S c i e n c e&T e c h n o l o g y,H u a i n a n２３２００１,C h i n a)A b s t r a c t:I no r d e r t oo b t a i n t h ek i n e m a t i c s c h a r a c t e r i s t i c s o f２－U P S/R P R p a r a l l e lm e c h a n i s m,t h e a n t iＧh e l i c a l s y s t e ma n d t h ek i n e m a t i ch e l i c a l s y s t e m o f t h ea c t u a t o r p l a t f o r m w e r e f i r s t l y a n a l y z e db y u s i n g t h eh e l i c a l t h e o r e m,a n dt h ed e g r e eo f f r e e d o m o f t h em e c h a n i s m w a s c a l c u l a t e db y u s i n g t h em o d i f i e d G r u b l e rＧK u t z b a c h f o r m u l a．T h e n,t h e p o s e f u n c t i o nr e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ee n dＧe f f e c t o r p o s ea n dt h e d r i v i n g b a r sw a s o b t a i n e d b y t h e i n v e r s e p o s i t i o n s o l u t i o n,a n d t h e f o r w a r d p o s i t i o n s o l u t i o nw a s o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h eN e w t o n i t e r a t i v em e t h o d．S e c o n d l y,t h ev e l o c i t yp a r a m e t e r so f e n dＧe f f e c t o ra r em a p p e d b y J a c o b i a nm a t r i x．F i n a l l y,t h e v i r t u a l p r o t o t y p e o f２－U P S/R P R p a r a l l e lm e c h a n i s m w a s s i m u l a t e d a n d a n a l y z e db y A D AM S s o f t w a r e,a n d t h e c u r v e s o f d i s p l a c e m e n t,a n g u l a r v e l o c i t y,v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n o f t h em o v i n gp l a t f o r m w e r eo b t a i n e d．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c so f t h em e c h a n i s m w i t h t w o r o t a t i o n s a n do n e s h i f t c a na d a p t t o t h e s p r a y i n g o f c o m p l e x s u r f a c eu n d e r d i f f e r e n tw o r k i n g c o n d iＧt i o n s．K e y w o r d s:d e g r e e o f f r e e d o m;s p i r a l t h e o r e m;t h e i n v e r s e s o l u t i o n;v i r t u a l p r o t o t y p e。

２０１８年８月第４６卷第１５期机床与液压ＭＡＣＨＩＮＥＴＯＯＬ＆ＨＹＤＲＡＵＬＩＣＳＡｕｇ ２０１８Ｖｏｌ ４６Ｎｏ １５ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ ｉｓｓｎ １００１－３８８１ ２０１８ １５ ００２收稿日期：２０１７－０３－２７基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１５０３１１９）；天津市科技特派员项目（１２ＪＣＴＰＣ５６７００）作者简介：王永奉（１９８４ ），男，博士研究生，研究方向为并联机构㊁踝关节康复机器人相关领域研究㊂Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｙｆ８４１０２３＠１２６ ｃｏｍ㊂通信作者：范顺成，Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｃｈ＠ｊｓｍａｉｌ ｈｅｂａｕｔ ｅｄｕ ｃｎ㊂具有弧形移动副３⁃ＲＰＳ并联机构的运动学分析王永奉１，范顺成１，张小俊１，路光达２，杨静３（１．河北工业大学机械工程学院，天津３００４０１；２．天津职业技术师范大学自动化与电气工程学院，天津３００２２２；３．邯郸大学，河北邯郸０５６００１）摘要：提出两种具有弧型移动副的ＲＰＳ并联机构，其分支运动链均由一个转动副Ｒ，一个弧形移动副Ｐ和一个球铰Ｓ构成㊂运用螺旋理论，对这两种并联机构的自由度㊁位置反解㊁工作空间进行分析㊂第一种并联机构动平台的转动中心为弧形连杆的中心，动平台绕Ｚ轴的旋转相对其它两个方向的旋转具有解耦性；第二并联机构动平台的转动中心是各支链球铰中心与弧形连杆中心连线的交点，此交点随动平台的位姿变化而变化；此外，第二种并联机构的工作空间比第一种并联机构的工作空间小㊂这两种并联机构结构简单㊁灵活度较高，可应用于虚轴机床㊁航空模拟设备㊁医疗设备等领域㊂关键词：并联机构；螺旋理论；自由度；工作空间中图分类号：ＴＨ１１２㊀㊀文献标志码：Ａ㊀㊀文章编号：１００１－３８８１（２０１８）１５－００７－５ＫｉｎｅｍａｔｉｃｓＡｎａｌｙｓｉｓｏｆ３⁃ＲＰＳＰａｒａｌｌｅｌＭｅｃｈａｎｉｓｍｗｉｔｈＡｒｃＰｒｉｓｍａｔｉｃＰａｉｒｓＷＡＮＧＹｏｎｇｆｅｎｇ１，ＦＡＮＳｈｕｎｃｈｅｎｇ１，ＺＨＡＮＧＸｉａｏｊｕｎ１，ＬＵＧｕａｎｇｄａ２，ＹＡＮＧＪｉｎｇ２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００４０１，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００２２２，Ｃｈｉｎａ；３．ＨａｎｄａｎＣｏｌｌｅｇｅ，ＨａｎｄａｎＨｅｂｅｉ０５６００１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆ３⁃ＲＰＳｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓｗｉｔｈａｒｃｐｒｉｓｍａｔｉｃｐａｉｒｓａｒｅｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｉｔｓｌｉｍｂｋｉｎｅｍａｔｉｃｃｈａｉｎｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｐｒｉｓｍａｔｉｃｐａｉｒＰ，ａｒｅｖｏｌｕｔｅｐａｉｒＲ，ａｎｄａｓｐｈｅｒｉｃａｌｊｏｉｎｔＳ．Ｍｏｂｉｌｉｔｙ，ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓａｎｄｗｏｒｋｓｐａｃｅｏｆｔｈｅｓｅｔｗｏｔｙｐｅｓｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｖｉａｓｃｒｅｗｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅｒｏｔａｔｉｏｎａｌｃｅｎｔｅｒｏｆｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｆｏｒｍｏｆｆｉｒｓｔｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｗａｓｔｈｅｃｅｎｔｅｒｏｆａｒｃｏｆａｒｃｒｏｄｓ，ａｎｄｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｆｏｒｍｒｏｔａｔｅｓａｒｏｕｎｄｔｈｅＺ⁃ａｘｉｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｈｅｏｔｈｅｒｔｗｏｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓｗａｓｄｅｃｏｕｐｌｅｄ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ｔｈｅｒｏｔａｔｉｏｎａｌｃｅｎｔｅｒｏｆｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｆｏｒｍｗａｓａｎｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｐｏｉｎｔｏｆｔｈｒｅｅｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓ，ｗｈｉｃｈｐａｓｓｉｎｇｔｈｒｏｕｇｈｅａｃｈｃｅｎｔｅｒｏｆａｒｃｒｏｄａｎｄｔｈｅｃｅｎｔｅｒｏｆｓｐｈｅｒｉｃａｌｊｏｉｎｔ，ａｎｄｔｈｉｓｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｐｏｉｎｔｗａｓｃｈａｎｇｅｄｗｉｔｈｔｈｅｐｏｓｔｕｒｅｏｆｔｈｅｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｆｏｒｍ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅｗｏｒｋ⁃ｓｐａｃｅｏｆｓｅｃｏｎｄｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｗａｓｌｅｓｓｔｈａｎｔｈｅｗｏｒｋｓｐａｃｅｏｆｆｉｒｓｔｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｔｈｅｓｅｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓｈａｖｅｓｉｍｐｌｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｈｉｇｈｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ，ｓｏｉｔｃａｎｂｅｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｖｉｒｔｕａｌａｘｌｅｍａｃｈｉｎｅｔｏｏｌ，ｆｌｉｇｈｔｓｉｍｕｌａｔｏｒａｎｄｍｅｄｉｃａｌｅｑｕｉｐｍｅｎｔｆｉｅｌｄｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍ；Ｓｃｒｅｗｔｈｅｏｒｙ；Ｍｏｂｉｌｉｔｙ；Ｗｏｒｋｓｐａｃｅ０㊀前言并联机构（ＰａｒａｌｌｅｌＭｅｃｈａｎｉｓｍｓ，ＰＭｓ）是指固定平台和运动平台通过至少两个独立开环运动链相连，具有两个或者两个以上自由度的机构［１－２］㊂目前，三自由度并联机构是研究最多㊁应用最广的一类少自由度并联机构［３］㊂它按动平台自由度的类型可以分为４类：３转动并联机构［４］㊁２转动１移动并联机构［５］㊁１转动２移动并联机构［６］㊁３移动并联机构［７］㊂其中，球面并联机构属于３转动并联机构，其能实现绕动平台参考点运动球面的球心的任意转动㊂当机构运动时，机构动平台上所有的点都绕着该球心㊁以一个固定半径转动㊂球面并联机构相对于一般的并联机构而言，其具有工作空间大㊁灵活可靠㊁不易发生干涉等优点㊂近年来，国内外有许多学者对球面机构的理论分析㊁性能优化及实际应用做了大量研究，并在机构的构型综合㊁运动学分析㊁动力学分析等方面取得了一定的研究成果㊂随着研究的不断深入，他们也提出了许多新型的球面机构㊂如加拿大的学者ＧＯＳＳＥ⁃ＬＩＮ［８－９］提出了一种３⁃ＲＲＲ球面并联机构㊂它是由３条完全一样的ＲＲＲ支链将机构的动平台和静平台连接起来，机构各支链上的３个转动副的轴线均交于一点，该点即是机构动平台运动的球心㊂另外，黄真教授等人［１０］提出一种具有对称结构且无伴随运动的并联机构，其能够绕定㊁动平台中间对称平面内的任意一条轴或者任意一点连续转动，能有效地避免伴随运动的发生㊂李秦川等［１１］提出的一种新型３⁃ＰＣＲＮＳ球面３自由度并联机构㊂其分支运动链由一个环形导轨移动副，一个转动副和一个球铰组成，此机构具有Ｚ轴方向的转动与其他自由度解耦㊂林荣富等［１２］提出的具有弧形移动副的三自由度球面并联机构㊂该机构采用弧形移动副的形式来实现动平台绕弧形的中点做３个方向的转动㊂这些机构支链的运动副配置大多包含ＲＲ或者ＲＲＲ形式，并且运动副的轴线相交于一点，来实现动平台的３个自由度的运动㊂本文作者提出了两种具有弧形移动副的３自由度３⁃ＲＰＳ型并联机构［１３］，其分支运动链均由一个转动副Ｒ，一个弧形移动副Ｐ和一个球铰Ｓ构成㊂运用螺旋理论对其进行了自由度分析，并在此基础上求出其反解以及工作空间，为该类并联机构的进一步性能分析和实际应用提供一定的理论参考依据㊂图１㊀第一类３⁃ＲＰＳ型并联机构１　机构简介与运动学分析１ １㊀第一类３⁃ＲＰＳ型并联机构文中提出的第一种３⁃ＲＰＳ型并联机构，如图１所示；动平台与静平台之间采用３个圆周方向对称分布的运动支链组成㊂其中，每个支链由两段共弧心的弧形连杆组成，上段弧形连杆与动平台之间采用球铰的方式连接，并且上段弧形连杆还包含于下段弧形连杆的空腔内，能够沿着此空腔圆弧的切线方向作往复移动㊂３个下段弧形连杆与固定平台之间均采用转动副连接，转动副的轴线相互重合，并垂直于固定平台，指向弧形连杆的弧心㊂通过驱动下段弧形连杆绕定平台的转动角度，来实现动平台绕弧形连杆中心Ｏ１的３个转动㊂选取并联机构固定平台的中心点为分支坐标系ＯＸＹＺ的原点，分支坐标系ＯＸＹ平面平行于定平台，Ｚ轴和转动副轴线重合，Ｘ轴位于弧形连杆形成的平面内，Ｙ轴由右手法则确认，如图２所示，取其中一个运动分支进行分析，该分支的运动螺旋为：Ɣ１＝［０㊀０㊀１；０㊀０㊀０］Ɣ２＝０㊀０㊀０；ｓｉｎα１ｔａｎθ１㊀ｃｏｓα１ｔａｎθ１㊀１éëêêùûúúƔ３＝［１㊀０㊀０；０㊀ｚ１㊀－ｙ１］Ɣ４＝［０㊀１㊀０；－ｚ１㊀０㊀ｘ１］Ɣ５＝［０㊀０㊀１；ｙ１㊀－ｘ１㊀０］ìîíïïïïïïïï（１）图２㊀第一类３⁃ＲＰＳ并联机构的运动支链根据Ɣｉ Ɣｒ＝０，对式（１）求反螺旋可得支链的约束螺旋为：Ɣ１ｒ＝［ｌ１ｍ１ｎ１；－ｙ１ｘ１０］（２）ｌ１＝ｘ１ｘ２１＋ｙ２１＋（ｚ１－Ｒ）２éëêêùûúúｍ１＝ｙ１ｘ２１＋ｙ２１＋（ｚ１－Ｒ）２éëêêùûúúｎ１＝ｚ１－Ｒｘ２１＋ｙ２１＋（ｚ１－Ｒ）２éëêêùûúúƔ１ｒ表示一个沿球铰心与弧形连杆的弧心连线的力线矢㊂ｌ１，ｍ１，ｎ１为Ɣ１ｒ的方向余弦，θ１为上段弧形移动副的移动方向，球铰副的中心点坐标为Ｐ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），α１为支链１的驱动角，即转动副的输入角㊂ｔａｎθ１＝ｙ１ｚ１ｃｏｓα１éëêêùûúúｔａｎα１＝ｘ１ｙ１éëêêùûúú（３）其他两个运动支链的驱动角也可参照上式求出㊂因此，每个ＲＰＳ分支都对动平台施加１个力线矢，它们都通过彼此球铰的中心，相交于弧形连杆所构成球面的中心处，满足空间共点的几何条件，彼此线性无关，机构中不存在公共约束和虚约束，故这３个约束力线矢构成的机构约束螺旋系的标准基为：Ɣｒｍ１＝［１㊀０㊀０；０㊀０㊀０］Ɣｒｍ２＝［０㊀１㊀０；０㊀０㊀０］Ɣｒｍ３＝［０㊀０㊀１；０㊀０㊀０］ìîíïïïï（４）它们约束了动平台３个方向的移动自由度，导致动平台只能够绕三维空间内的一固定点作３个方向的转动运动㊂由式（２）可知，此并联机构动平台在发㊃８㊃机床与液压第４６卷生连续运动后，分支约束始终具有统一形式，即各力线矢通过彼此球铰的中心，相交于弧形连杆所构成球面的中心处㊂由于３个球铰副的中心不重合，导致该机构约束螺旋系的标准基始终与式（４）形式一致㊂因此，该机构不是瞬时机构［１４－１６］，并且其绕Ｚ轴旋转运动相对于其他两个方向的旋转运动具有解耦性㊂机构自由度计算的一般Ｇｒｕ㊃ｂｌｅｒ⁃Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式为：Ｍ＝ｄ（ｎ－ｇ－１）＋ðｇｉ＝１ｆｉ（５）式中：Ｍ为机构的自由度；ｄ为机构的阶，ｄ＝６－λ；λ为机构的公共约束数；ｎ为机构的杆件数；ｇ为运动副数㊂从前面的分析可知，在３⁃ＲＰＳ型３自由度并联机构中不存在公共约束，即λ＝０，由上式可得Ｍ＝６ˑ（８－９－１）＋１５＝３１ ２㊀第一类３⁃ＲＰＳ型并联机构运动分析设ƔＡ为运动平台球铰中心的位置向量，其在固定坐标系Ｏ－ＸＯＹＯＺＯ中表示为：ƔＡ＝ω１，ｉƔ１，ｉ＋ｄ２，ｉƔ２，ｉ＋ω３，ｉƔ３，ｉ＋ω４，ｉƔ４，ｉ＋ω５，ｉƔ５，ｉ㊀（ｉ＝１，２，３）（６）式中：ω１，ｉ为第ｉ条支链第１个运动副的转动角度；Ɣ１，ｉ为第ｉ条支链的第一个运动副的位置矢量；ｄ２，ｉ为第ｉ条支链的移动副的位置矢量㊂根据坐标之间的矢量关系，建立如下方程Ｏ１＝ƔＡ＋ＴｊＰᶄｉ（７）式中：Ｏ１为动平台中心相对于固定坐标的位置矢量；Ｔｊ表示球铰中心坐标系相对于固定坐标系之间的变换矩阵；Ｐᶄｉ为动平台中心相对于球铰中心坐标系的位置矢量㊂建立球铰中心动坐标系，其Ｚ轴垂直于动平台，Ｘ轴位于其中一个弧形连杆形成的平面内，由右手法则确定Ｙ轴方向㊂已知动平台的姿态角为（ϕ，φ，γ），根据式（３）和式（７），即可求出支链ｉ的驱动角㊂１ ３㊀第二类３⁃ＲＰＳ型并联机构文中提出的第二种３⁃ＲＰＳ型并联机构如图３所示；动平台与静平台之间采用３个圆周方向对称分布的运动支链组成㊂其中，每个支链由两段共弧心的弧形连杆组成，上段弧形连杆与动平台之间采用球铰的方式连接，并且上段弧形连杆还包含于下段弧形连杆的空腔内，能够沿着此空腔圆弧的切线方向作往复移动㊂下段弧形连杆与固定平台之间采用转动副连接，转动副的轴线方向垂直于固定平台，并指向弧形连杆的弧心㊂另外，３个转动副的轴线相互平行，且圆周方向均布于定平台上㊂通过驱动下段弧形连杆绕定平台的转动角度，来实现动平台绕空间内一点Ｏ１做３个方向的转动运动㊂图３㊀第二类３⁃ＲＰＳ型３自由度并联机构由于该３⁃ＲＰＳ型并联机构与第一种３⁃ＲＰＳ并联机构的结构形式类似，故其支链运动螺旋形式和如图２所示一致㊂取其中一个支链进行分析，它的支链运动螺旋系如下㊂Ɣ１＝［０㊀０㊀１；０㊀－ｒ㊀０］Ɣ２＝０㊀０㊀０；ｓｉｎα１ｔａｎθ１㊀ｃｏｓα１ｔａｎθ１ʃｒ㊀１éëêêùûúúƔ３＝［１㊀０㊀０；０㊀ｚ１㊀－ｙ１］Ɣ４＝［０㊀１㊀０；－ｚ１㊀０㊀ｘ１］Ɣ５＝［０㊀０㊀１；ｙ１㊀－ｘ１㊀０］ìîíïïïïïïïï（８）对式（８）求反螺旋可得支链１的约束螺旋为：Ɣ１ｒ＝ｘ１－ｒｙ１㊀１㊀ｃ；ｃｙ１－ｚ１㊀ｘ１－ｒｙ１ˑｚ１－ｃｘ１㊀ｒéëêêùûúú式中：ｃ＝－ｘ１－ｒｙ１ˑｓｉｎα１ｔａｎθ１＋ｃｏｓα１ｔａｎθ１ʃｒæèçöø÷æèçöø÷Ɣ１ｒ表示一个沿球铰心与弧形连杆的弧心连线方向的力线矢㊂θ１为上段弧形移动副的移动方向，球铰副的中心点坐标为Ｐ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），α１为支链１的驱动角，即转动副的输入角㊂ｒ为固定平台上的３个转动副所构成的外接圆半径㊂其中，ｔａｎα１＝ｘ１ｒʃｙ１㊂其他两个支链的运动螺旋系与上面运动支链类似，并且这两个运动支链的驱动角也可参照上式求出；另外，这３个支链一起对动平台施加３个过各自支链球铰中心点与弧形连杆弧心连心的约束线矢㊂这３个约束线矢汇交于空间内某一点，所构成的机构约束螺旋系的标准基与式（４）一致，其约束动平台的３移动自由度，所以动平台具有在空间某一点处的３个转动自由度，该点为３个约束线矢的交汇点㊂设弧形连杆的弧心坐标为（ａｉ，ｂｉ，ｃｉ），球铰副的中心点坐标为Ｐｉ＝（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ），由如下３个直线方程求得交汇点的坐标Ｏ１＝（ｘ，ｙ，ｚ），如图４所示㊂ｘ－ａｉｘｉ－ａｉ＝ｙ－ｂｉｙｉ－ｂｉ＝ｚ－ｃｉｚｉ－ｃｉ（９）㊃９㊃第１５期王永奉等：具有弧形移动副３⁃ＲＰＳ并联机构的运动学分析㊀㊀㊀图４㊀交汇点空间２㊀数值计算并联机构的工作空间是指其动平台的工作区域，它是衡量机构性能的重要指标㊂由于其结构的复杂性，导致并联机构的工作空间的解析求解成为一个非常复杂的问题，它很大程度上依靠机构位置解的结果［１７］㊂设这两种３⁃ＲＰＳ型３自由度并联机构的基本参数：弧形连杆以及半圆形连杆的半径（Ｒ＝５０ｍｍ），固定平台上的３个转动副所构成的外接圆半径（ｒ＝１０ｍｍ），球铰沿弧形长槽移动的方向（θｉ＝π／３），第一种球铰副形成的外接圆半径为Ｒｓｉｎ（π／３），第二种动平台的３个球铰中心所构成的外接圆半径ｌ＝ｒ＋Ｒｓｉｎ（π／３），动平台的姿态角为（ϕ，φ，γ），其取值范围为（－６０ʎ ６０ʎ），求解出这两种并联机构的运动学反解，如图５所示㊂设转动副的输入角αｉ的取值范围分别为（－６０ʎ ６０ʎ），（１８０ʎ ３００ʎ），（６０ʎ １８０ʎ），由于第二种机构在实际运动中的转动中心是随位姿变化，不便于计算工作空间，故取空间内一点（０，０，７５），使得动平台绕该点作３个自由度的转动㊂利用ＭＡＴＬＡＢ软件求解支链以及动平台的工作空间，如图５所示㊂由图５可知，第一种机构动平台绕Ｘ轴和绕Ｙ轴旋转，其２个驱动角是线性比例变化的，而另外１个驱动角是不变的㊂另外，其绕Ｚ轴的旋转状态下，３个驱动角也是线性比例变化的，但平台处于初始位置时，这３个驱动角存在一个突变㊂第二种机构动平台绕Ｘ轴旋转，其２个驱动角是线性比例变化的，但其绕Ｙ轴旋转，其两个驱动角变化是不一致的，原因是动平台的转动中心固定于空间内的一点，并且也存在一个驱动角是不变的㊂另外，其绕Ｚ轴和第一类机构的情况类似，也是动平台处于初始位置时，３个驱动角存在一个突变㊂由图６可知，每个单支链的工作空间呈曲面扇形状，第二种机构绕固定点转动时，它的工作空间较第一种小㊂图５㊀３⁃ＲＰＳ型并联机构的驱动输入图６㊀３⁃ＲＰＳ型并联机构工作空间３㊀结论（１）提出两种含有弧形移动副的３⁃ＲＰＳ并联机构㊂运用螺旋理论，对这３种并联机构的自由度㊁反解㊁工作空间进行分析，为机构的奇异位形㊁运动学㊁静力学和动力学等的进一步分析研究打好基础㊂（２）这两种并联机构的工作空间，不仅与动平台的外接圆半径，弧形连杆的半径，第一类与第二类球铰沿弧形长槽移动的方向等结构参数有关，还和固定平台上的３个旋转副的安装位置有密切关系，并且第二种机构的约束线矢量的交汇点空间，也与这些旋转副的安装位置有密切关系㊂此外，这两种并联机构有结构简单㊁较好的安装性能，故有望成为虚轴机㊃０１㊃机床与液压第４６卷床㊁航空模拟设备㊁医疗设备等领域的新型实用机型㊂参考文献：［１］黄真，孔令富，方跃法．并联机器人机构学理论及控制［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９９７：２９－３０．［２］ＭＥＲＬＥＴＪＰ．ＰａｒａｌｌｅｌＲｏｂｏｔｓ：ＳｅｃｏｎｄＥｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｄｏｒ⁃ｄｒｅｃｈｔ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００６：１６－４５．［３］ＴＳＡＩＬＷ．ＲｏｂｏｔＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＤｅｓｉｇｎ：ＴｈｅＭｅｃｈａｎｉｃｓｏｆＳｅｒｉａｌａｎｄＰａｒａｌｌｅｌＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＪｏｈｎＷｉ⁃ｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，１９９９：１１８－１２４．［４］ＫＯＮＧＸ，ＧＯＳＳＥＬＩＮＣＭ．ＴｙｐｅＳｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆ３⁃ＤＯＦＳｐｈｅｒ⁃ｉｃａｌＰａｒａｌｌｅｌＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓＢａｓｅｄｏｎＳｃｒｅｗＴｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ⁃ｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＤｅｓｉｇｎ，２００４，１２６（１）：１０１－１０８．［５］王飞博，吴伟峰，陈祥，等．基于运动／力传递特性的１Ｔ２Ｒ并联机构构型优选［Ｊ］．机械工程学报，２０１４，５０（２３）：２０－２８．ＷＡＮＧＦＢ，ＷＵＷＦ，ＣＨＥＮＸ，ｅｔａｌ．ＯｐｔｉｍａｌＴｙｐｅＳｅｌｅｃ⁃ｔｉｏｎｏｆ１Ｔ２ＲＰａｒａｌｌｅｌＭｅｃｈａｎｉｓｍｓＢａｓｅｄｏｎＭｏｎｔｉｏｎ／ＦｏｒｃｅＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１４，５０（２３）：２０－２８．［６］张彦斌，张树乾，吴鑫．空间２Ｔ１Ｒ型并联机器人机构的设计与运动分析［Ｊ］．机械科学与技术，２０１４，３３（４）：４８４－４８９．ＺＨＡＮＧＹＢ，ＺＨＡＮＧＳＱ，ＷＵＸ．ＤｅｓｉｇｎａｎｄＫｉｎｅｍａｔｉｃｓＡｎａｌｙｓｉｓｏｆａ２Ｔ１ＲＴｙｐｅＳｐａｔｉａｌＰａｒａｌｌｅｌＲｏｂｏｔｉｃＭｅｃｈａ⁃ｎｉｓｍｓ［Ｊ］．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｆｏｒＡｅｒｏ⁃ｓｐａｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１４，３３（４）：４８４－４８９．［７］曹浩峰，曹毅，秦友雷，等．新型完全各向同性３Ｔ并联机构及其特性分析［Ｊ］．中国机械工程，２０１６，２７（１０）：１３７７－１３８１．ＣＡＯＨＦ，ＣＡＯＹ，ＱＩＮＹＬ，ｅｔａｌ．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆａＮｏｖｅｌＦｕｌｌ⁃ｙ⁃ｉｓｏｔｒｏｐｙ３ＴＰａｒａｌｌｅｌＭｅｃｈａｎｉｓｍ［Ｊ］．ＣｈｉｎａＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１６，２７（１０）：１３７７－１３８１．［８］ＧＯＳＳＥＬＩＮＣＭ．ＯｎｔｈｅＫｉｎｅｍａｔｉｃＤｅｓｉｇｎｏｆＳｐｈｅｒｉｃａｌ３⁃ＤＯＦＰａｒａｌｌｅｌＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．ＴｈｅＩｎｔｅｒａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＲｏｂｏｔｉｃｓＲｅｓｅａｒｃｈ，１９９３，１２（４）：３９４－４０２．［９］ＧＯＳＳＥＬＩＮＣＭ，ＭＥＮＴＭ，ＳＴＰＩＥＲＲＥＥ．ＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎｄＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆａＦａｓｔ３⁃ＤＯＦＣａｍａｒａ⁃ｏｒｉｅｎｔｉｎｇＤｅｖｉｃｅ［Ｊ］．ＴｈｅＩｎｔｅｒａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＲｏｂｏｔｉｃｓＲｅｓｅａｒｃｈ，１９９７，１６（５）：６１９－６３０．［１０］黄真，陈子明，陈谊超，等．一种具有对称结构且无伴随运动的并联机构：２０１２１０４４５８３５．９［Ｐ］．２０１２－１１－０９．［１１］李秦川，武传宇，沈卫平，等．新型３－ＰＣＲＮＳ球面３自由度并联机构［Ｊ］．机械工程学报，２００６，４２（１１）：４４－４８．ＬＩＱＣ，ＷＵＣＹ，ＳＨＥＮＷＰ，ｅｔａｌ．Ｎｏｖｅｌ３⁃ＰｃＲＮＳＳｐｈｅｒ⁃ｉｃａｌ３⁃ＤＯＦＰａｒａｌｌｅｌＭｅｃｈａｎｉｓｍ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００６，４２（１１）：４４－４８．［１２］林荣富，郭为忠，高峰．具有弧形移动副的三自由度球面并联机构：２０１５１０２３０８５２．４［Ｐ］．２０１５－０５－０７．［１３］王永奉，赵国如，杨静，等．三支链三自由度并联机构：２０１６１０９０２８７４．５［Ｐ］．２０１６－１０－１７．［１４］ＰＡＬＰＡＣＥＬＬＩＭＣ，ＣＡＲＢＯＮＡＲＩＬ，ＰＡＬＭＩＥＲＩＧ．Ａｎａｌ⁃ｙｓｉｓａｎｄＤｅｓｉｇｎｏｆａＲｅｃｏｎｆｉｇｕｒａｂｌｅ３⁃ＤｏＦＰａｒａｌｌｅｌＭａ⁃ｎｉｐｕｌａｔｏｒｆｏｒＭｕｌｔｉｍｏｄａｌＴａｓｋｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ／ＡＳＭＥＴｒａｎｓａｃ⁃ｔｉｏｎｓｏｎＭｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，２０１５，２０（４）：１９７５－１９８５．［１５］ＺＨＡＮＧＦ，ＹＡＮＧＪＧ．ＴｙｐｅＳｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆＩｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓＭｏｔｉｏｎ⁃ｆｒｅｅ２Ｒ１ＴＰａｒａｌｌｅｌＭｅｃｈａｎｉｓｍｂｙＩＭＧＡＭｅｔｈｏｄ［Ｃ］／／ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＭｅｃｈａｎｉｃＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ＆ＣｏｎｔｒｏｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．２０１０：２４４０－２４４３．［１６］李仕华，李秦川，黄真．３⁃ＴＰＴ并联平台机构的瞬时运动特性［Ｊ］．机械科学与技术，２００３，２２（３）：４５６－４５８，４６４．ＬＩＳＨ，ＬＩＱＣ，ＨＵＡＮＧＺ．ＩｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓＫｉｎｅｍａｔｉｃＣｈａｒ⁃ａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆ３⁃ＴＰＴＰａｒａｌｌｅｌＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒ［Ｊ］．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００３，２２（３）：４５６－４５８，４６４．［１７］杨玉维，赵新华．３⁃ＲＲＲＴ并联机器人工作空间与灵巧度的分析［Ｊ］．机械设计，２００５，２２（２）：１１－１３．ＹＡＮＧＹＷ，ＺＨＡＯＸＨ．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｎＷｏｒｋｉｎｇＳｐａｃｅａｎｄＤｅｘｔｅｒｏｕｓｎｅｓｓｏｆ３⁃ＲＲＲＴＰａｒａｌｌｅｌＲｏｂｏｔｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｃｈｉｎｅＤｅｓｉｇｎ，２００５，２２（２）：１１－１３．（责任编辑：卢文辉）（上接第２７页）［６］刘思思，张春雷．基于ＡＮＳＹＳ的工业机器人大臂的有限元静态分析［Ｊ］．中国西部科技，２０１３，１２（９）：４５－４６，５８．ＬＩＵＳＳ，ＺＨＡＮＧＣＬ．ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＳｔａｔｉｃＡｎａｌｙｓｉｓｆｏｒＩｎ⁃ｄｕｓｔｒｉａｌＲｏｂｏｔＡｒｍＢａｓｅｄｏｎＡＮＳＹＳ［Ｊ］．ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＷｅｓｔＣｈｉｎａ，２０１３，１２（９）：４５－４６，５８．［７］马强，陈志，张小超，等．基于ＡＤＡＭＳ的果树采摘机械臂的运动仿真分析［Ｊ］．农机化研究，２０１３（５）：３７－４０，４４．ＭＡＱ，ＣＨＥＮＺ，ＺＨＡＮＧＸＣ，ｅｔａｌ．ＭｏｔｉｏｎＳｉｍｕｌａｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＨａｒｖｅｓｔｉｎｇＲｏｂｏｔＡｒｍＢａｓｅｄｏｎＡＤＡＭＳ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＭｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈ，２０１３（５）：３７－４０，４４．［８］李辉，黄文权，李开世．Ｗｏｒｋｂｅｎｃｈ实现工业机器人瞬态动力学分析应用研究［Ｊ］．组合机床与自动化加工技术，２０１５（１１）：３０－３２．ＬＩＨ，ＨＵＡＮＧＷＱ，ＬＩＫＳ．ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＳｔｕｄｙｏｆＷｏｒｋ⁃ｂｅｎｃｈｉｎＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＲｏｂｏｔｓＴｒａｎｓｉｅｎｔＤｙｎａｍｉｃＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．ＭｏｄｕｌａｒＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ＆ＡｕｔｏｍａｔｉｃＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｅｃｈ⁃ｎｉｑｕｅ，２０１５（１１）：３０－３２．［９］任爱华，龚青山，常治斌，等．弧面分度凸轮机构瞬态动力学分析［Ｊ］．机械设计与制造，２０１２（５）：２０５－２０７．ＲＥＮＡＨ，ＧＯＮＧＱＳ，ＣＨＡＮＧＺＢ，ｅｔａｌ．ＴｒａｎｓｉｅｎｔＤｙ⁃ｎａｍｉｃＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＧｌｏｂｏｉｄａｌＩｎｄｅｘｉｎｇＣａｍＭｅｃｈａｎｉｓｍ［Ｊ］．ＭａｃｈｉｎｅｒｙＤｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ，２０１２（５）：２０５－２０７．（责任编辑：卢文辉）㊃１１㊃第１５期王永奉等：具有弧形移动副３⁃ＲＰＳ并联机构的运动学分析㊀㊀㊀。

并联机器人的运动学分析一、引言机器人技术作为现代工业生产的重要组成部分，已经在汽车制造、电子设备组装、医疗器械等领域发挥着重要作用。

而在机器人技术中，并联机器人以其独特的结构和运动方式备受关注。

本文将对并联机器人的运动学进行深入分析，探讨其工作原理及应用前景。

二、并联机器人的运动学模型并联机器人由多个执行机构组成，这些执行机构通过联接杆件与运动基座相连，使机器人具有多自由度运动能力。

为了对并联机器人的运动学进行建模，我们需要确定每个执行机构的运动关系。

其中，分析最为常用的是基于四杆机构的并联机器人。

1. 四杆机构的运动学模型四杆机构是一种由两个连杆和两个摇杆组成的机构，通过这些部件的相对运动实现机构的运动。

在并联机器人中，常见的四杆机构包括平行型、等长型等。

以平行型四杆机构为例，我们可以将其简化为平面结构，并通过设定适当的坐标系进行建模。

在平行型四杆机构中，设两个连杆为L1和L2，两个摇杆为L3和L4。

定义坐标系，以机构的连杆转轴为原点，建立运动坐标系OXYZ。

假设L3的转角为θ3，L4的转角为θ4，连杆L1和L2的长度分别为L1和L2，则可以通过几何关系得到机构的运动学方程。

2. 并联机器人的运动学模型并联机器人由多个四杆机构组成，各个四杆机构之间通过杆件连接，使得整个机器人能够实现更复杂的运动。

以三自由度的并联机器人为例，每个四杆机构的连杆长度、摇杆转角都有一定的自由度限制。

通过对每个四杆机构的运动学模型进行分析，可以得到整个并联机器人的运动学方程。

三、并联机器人的动力学分析除了运动学分析，动力学分析也是对并联机器人进行研究的重要方向。

动力学分析包括对并联机器人在运动过程中的力矩、加速度等动力学参数的研究，是实现机器人精确控制和安全运行的基础。

1. 动力学模型的建立在并联机器人的动力学分析中，我们通常采用拉格朗日方法建立动力学数学模型。

通过拉格朗日方程可以建立机器人运动学和动力学之间的联系，从而实现对机器人运动过程中各个关节力矩的估算。

冗余并联机构运动学性能分析与优化陈修龙;蒋德玉;陈林林;王清【摘要】研究了一种4自由度—虎克铰—移动副—球铰/转动副—移动副—虎克铰冗余并联机构的运动学性能评价指标和优化设计,建立了该并联机构的雅可比矩阵,得到了该机构的3个不同的运动学性能评价指标,即条件数、最小奇异值和可操作性,在此基础上,定义了评价不同位形下运动学综合性能的全局灵巧度系数指标,并分别研究了不同性能评价指标在并联机构工作空间内的分布规律.最后,基于全局灵巧度指标,利用遗传算法对冗余驱动并联机构的结构参数进行了优化设计.为该冗余并联机构的结构设计奠定了理论基础.【期刊名称】《农业机械学报》【年(卷),期】2016(047)006【总页数】8页(P340-347)【关键词】冗余并联机构;雅可比矩阵;灵巧度;优化设计【作者】陈修龙;蒋德玉;陈林林;王清【作者单位】山东科技大学机械电子工程学院,青岛266590;山东科技大学机械电子工程学院,青岛266590;山东科技大学机械电子工程学院,青岛266590;山东科技大学纳米工程研究所,青岛266590【正文语种】中文【中图分类】TH113冗余并联机构是输入构件数目多于输出构件自由度数的并联机构，它相对于—般并联机构具有更高刚度、更优的力操作性能和更大的承载能力等优点，目前已成为机器人研究与应用的—个热点[1-3]。

冗余并联机构的灵巧度是评价机构综合运动学性能和衡量机构传递精度的重要指标，也是参数优化设计的重要依据。

迄今，国内外学者在并联机构运动性能分析和优化设计方面取得了—些非常有价值的研究成果[4-16]，针对多种不同的灵巧度评价指标进行了系统的研究，提出了基于不同运动学性能指标的优化设计方法[17-19]，在—定程度上提高了并联机构的运动性能。

但以往研究主要针对非冗余并联机构，涉及冗余并联机构的极少。

本文以具有自主知识产权的空间4-UPS-RPU冗余并联机构为例，该机构动平台通过4个结构完全相同的驱动分支UPS(虎克铰-移动副-球副) 以及另—个驱动分支RPU(转动副-移动副-虎克铰)与动平台相连接；推导该机构的雅可比矩阵；分析机构的条件数、最小奇异值和可操作性等灵巧度评价指标；提出并分析全局灵巧度系数综合评价冗余并联机构在各种位形下的灵巧度；基于全局灵巧度系数实现冗余驱动并联机构结构参数的优化设计。

《两种含等效复合球副少自由度并联机构理论研究》篇一一、引言并联机构作为一种典型的机械系统，其多支链设计赋予了机构良好的灵活性及负载能力，常被广泛应用于高精度定位、精密操作和微动平台等高要求场景。

其中，少自由度并联机构，因在有限的工作空间内可提供出色的工作性能而受到广泛的关注。

特别是含有等效复合球副的少自由度并联机构，由于其独特的设计和运动特性，在机器人技术、精密制造和生物医疗等领域具有广泛的应用前景。

本文将重点研究两种含等效复合球副少自由度并联机构的理论，探讨其工作原理、性能特点和运动学建模等。

二、含等效复合球副的少自由度并联机构理论（一）等效复合球副介绍等效复合球副是少自由度并联机构中常见的一种重要元件，它能够实现两个或多个方向上的运动。

复合球副由多个关节组成，这些关节之间相互独立，但相互协调，共同完成机构的运动。

（二）两种含等效复合球副的少自由度并联机构本文将主要研究两种具有不同构型和特性的含等效复合球副的少自由度并联机构，它们在各自领域有着重要的应用价值。

其中一种是平面三自由度并联机构，主要应用于机器人操作；另一种是三维四自由度并联机构，主要用于高精度定位系统。

（三）工作原理与性能特点这两种机构的运动原理均基于复合球副的特殊设计。

在运动过程中，各支链的关节协同工作，使得机构能够完成复杂的运动任务。

其中，平面三自由度并联机构具有结构紧凑、运动灵活的特点；而三维四自由度并联机构则具有高精度、高稳定性的特点。

此外，这两种机构均具有较高的负载能力，能够满足不同场景下的应用需求。

三、运动学建模与仿真分析（一）运动学建模为了研究这两种机构的运动特性，我们建立了相应的运动学模型。

通过分析机构的几何关系和约束条件，建立了机构支链和末端的位姿方程，从而实现对机构运动的定量描述。

在此基础上，我们还利用现代计算方法对模型进行了优化和验证。

（二）仿真分析为了进一步验证模型的准确性，我们利用仿真软件对这两种机构进行了仿真分析。

2-SPR/（U+UPR）P（vA）可重构并联机构的运动学与工作空间研究马春生米文博尹晓秦马振东（中北大学机械工程学院，山西太原030051）摘要提出了一种含可重构运动副的2-SPR/（U+UPR）P（vA）冗余并联机构，可应用于并联操作平台。

首先，建立了2-SPR/（U+UPR）P（vA）并联机构的螺旋矩阵，求解机构在R相和U相下的自由度，并应用修正的Kutzbach-Grübler公式对机构的自由度进行了验证；其次，应用闭环矢量法求解机构的两组运动学逆解并验证、应用粒子群优化算法研究建立机构在R相下的正解模型并验证；最后，联合使用SolidWorks和Matlab软件求解了机构在R相下的可达工作空间和U相下的平动工作空间。

研究结果为该机构的进一步优化和实际应用提供了理论支持。

关键词可重构并联机构运动学分析粒子群优化工作空间Research of Kinematics and Workspace of2-SPR/(U+UPR)P(vA)Reconfigurable Parallel MechanismMa Chunsheng Mi Wenbo Yin Xiaoqin Ma Zhendong（School of Mechanical Engineering，North University of China，Taiyuan030051，China）Abstract A2-SPR/(U+UPR)P(vA)redundant parallel mechanism with reconfigurable kinematic pairs is proposed，which can be applied to parallel operation platform.Firstly，the spiral matrix of the2-SPR/(U+UPR)P (vA)parallel mechanism is established，the DOF of the mechanism under the R and U phases are solved，and the DOF of the mechanism are verified by using modified Kutzbach-Grübler formula.Secondly，the closed-loop vector method is used to solve the two sets of inverse kinematic solutions of the mechanism and verifica⁃tion，and the particle swarm optimization algorithm is used to study and establish the positive solution model of the mechanism under the R phase and verify.Finally，software to solve the mechanism´s reachable workspace under the R phase and the translational workspace under the U phase are solved using SolidWorks combing with Matlab.The research results provide theoretical support for the further optimization and practical applica⁃tion of the mechanism.Key words Reconfigurable parallel mechanism Kinematics analysis Particle swarm optimization Workspace0引言近几年，国内外十分重视并联机构的研究。

平面2自由度并联机器人的运动学和动力学研究林协源1刘冠峰1（1.广东工业大学广州）摘要：本文面向高速高精LED电子封装设备设计了一种高速高精2自由度平面并联机构（2-PPa并联机器人）。

该机构由一个动平台和两个对称分布的完全相同的支链组成，每个支链中都有一个移动副(驱动关节)和一个由平面平行四边形组成的特殊转动动副。

首先推导出该机器人的运动学模型包括正反解；其次结合焊线机实际工艺要求提出多项机构性能指标对该机构的几何参数进行多目标优化；然后基于Euler-Lagrange 方程建立该机器人的动力学方程，最后通过算例分析两个移动副在动平台按照一定轨迹运动时其速度、加速度和驱动力的变化规律。

这些为接下来研究该机器人的动态性能和系统解耦控制等都具有重要意义。

关键词：2自由度平面并联机器人运动学动力学Kinematic and Dynamic Analysis of a PlanarTwo-degree-freedom Parallel ManipulatorLIN Xieyuan1LIU Guanfeng1（1.Guangdong University of Technology Guangzhou ）Abstract：In this paper，a type of planar 2-DOF parallel manipulator is proposed for uses in design of high- speed and high-accuracy LED packaging machines. The manipulator consists of a moving platform and two identical subchains. Each subchain is made of a prismatic joint (actuator) and a parallelogram with four passive revolute joints. We first derive the kinematic model of the manipulator. Then, we determine the optimal geometric parameters of the manipulator by solving a multi-goal optimization problem based on performance indices. We compute the dynamic equation use Euler-Lagrange formulation and use it to analyze the relationship between velocity, acceleration and driving torque of joints. This analysis is important for further study of the dynamic performance and the decoupling control methods for the manipulator.Key words:2-DOF Planar parallel manipulator Kinematics Dynamics0 前言在电子、包装和食品等轻工业场合中，机器人只需要3到4个自由度即可满足使用要求。