一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．
试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，
∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，
∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
2．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.
特殊发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记
AC
BC
＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3
CPE 总是等边三角形 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有
EM FP
MC PB
=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．
（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC
BC
=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴
EM FP
MC PB
=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
（2）PC=PE 成立，理由如下：
如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，
∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴
DM FP
MC PB
=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；
（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵
AC k BC =，AC
BC
=tan30°，
∴k=tan30°=3
3
，
∴当k为3
3
时，△CPE总是等边三角形．
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
3．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为23，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在点T的运动过程中，
①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；
②若MT＝1
2
AD，求点M的坐标；
（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT 时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，
）（3）见解析
【解析】 【分析】
（1）把点B 的坐标代入抛物线解析式求得系数b 的值即可；
（2）①如图1，连接AD ．构造Rt △AED ，由锐角三角函数的定义知，tan ∠DAE
＝
．即∠DAE ＝60°，由圆周角定理推知∠DMT ＝2∠DAE ＝120°；
②如图2，由已知条件MT ＝
12AD ，MT ＝MD ，推知MD ＝1
2
AD ，根据△ADT 的外接圆圆心M 在AD 的中垂线上，得到：点M 是线段AD 的中点时，此时AD 为⊙M 的直径时，MD ＝
1
2
AD ．根据点A 、D 的坐标求得点M 的坐标即可； （3）如图3，作MH ⊥x 于点H ，则AH ＝HT ＝1
2
AT ．易得H （a ﹣1，0），T （2a ﹣1，0）．由限制性条件OH≤x≤OT 、动点T 在射线EB 上运动可以得到：0≤a ﹣1≤x≤2a ﹣1．
需要分类讨论：（i ）当2111(1)211
a a a -??----?，即4
13a <，根据抛物线的增减性求得y
的极值．
（ii ）当011
2111(1)211
a a a a <-??->??--<--?
，即4
3＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y 的极值．
（iii ）当a ﹣1＞1，即a ＞2时，根据抛物线的增减性求得y 的极值． 【详解】
解：（1）把点B （3，0）代入y ＝x 2+bx ﹣3，得32+3b ﹣3＝0， 解得b ＝﹣2，
则该二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）①∠DMT 的度数是定值．理由如下： 如图1，连接AD ．
∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4． ∴抛物线的对称轴是直线x ＝1． 又∵点D
的纵坐标为 ∴D （1
，
由y ＝x 2﹣2x ﹣3得到：y ＝（x ﹣3）（x+1）， ∴A （﹣1，0），B （3，0）． 在Rt △AED 中，tan ∠DAE
＝DE AE ==． ∴∠DAE ＝60°．
∴∠DMT ＝2∠DAE ＝120°．
∴在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值；
②如图2，∵MT＝1
2
AD．又MT＝MD，
∴MD＝1
2
AD．
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，
∴点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝1
2
AD．∵A（﹣1，0），D（1，
∴点M的坐标是（0
（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝1
2 AT．
又HT＝a，
∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．
∵OH≤x≤OT，又动点T在射线EB上运动，∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．
∴0≤a﹣1≤2a﹣1．
∴a≥1，
∴2a﹣1≥1．
（i）当
211
1(1)211
a
a a
-
?
?
----
?
，即1
4
a
3
时，
当x＝a﹣1时，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；当x＝1时，y最小值＝4．
（ii）当
011
211
1(1)211
a
a
a a
<-
?
?
->
?
?--<--
?
，即
4
3
＜a≤2时，
当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝1时，y最小值＝﹣4．
（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，
当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝a﹣1时，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
4．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．
（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；
（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；
（3）当S△BCE≤9
2
时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考
数据：tan15°=23
【答案】（1）33
2
；（23秒或3秒；（3）6﹣3
【解析】
【分析】
（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由3，可得t 的值；
（2）分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据3t的值；
②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，
②当△BCE在BC的上方时，
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接AE，
由题意得：AD=t，
∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，
∴BC=2AC=6，
∴22
63
3
∵点A、E关于直线CD的对称，
∴CD垂直平分AE，
∴AD=DE，
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，
∴DE=BD，
∴AD=BD，
∴；
（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，
∵CD垂直平分AE，
∴AD=DE=t，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2t，
∴
∴
②当∠EDB=90°时，如图3，
连接CE，
∵CD垂直平分AE，
∴CE=CA=3，
∵∠CAD=∠EDB=90°，
∴AC∥ED，
∴∠CAG=∠GED，
∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，
∴△AGC≌△EGD，
∴AC=DE，
∵AC∥ED，
∴四边形CAED是平行四边形，
∴AD=CE=3，即t=3；
综上所述，△BDE为直角三角形时，t3秒；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，
此时S△BCE=1
2
AE?BH=
1
2
×3×3=
9
2
，
易得△ACG≌△HBG，
∴CG=BG，
∴∠ABC=∠BCG=30°，
∴∠ACE=60°﹣30°=30°，
∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，
∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，
tan∠ACD=tan15°=t
3
=2﹣3，
∴t=6﹣33，
由图形可知：0＜t＜6﹣33时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，
此时S△BCE=1
2
CE?DE=
1
2
×3×3=
9
2
，此时t=3，
综上所述，当S△BCE≤9
2
时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
5．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝
－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2
（2）；
（3）a=4
【解析】
【分析】
（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；
（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；
（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，
∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．
【详解】
（1）OE=5，r=2，CH=2
（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，
易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，
；
（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，
与圆交于点G，连接TG，则
，
由于，故，；
而，故
在和中，；
故△AMK∽△NMA
;
即：
故存在常数，始终满足
常数a="4"
解法二：连结BM，证明∽
得
6．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】主塔BD的高约为86.9米．
【解析】
【分析】
根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
sin BC
A
AB
=．
∴sin152sin311520.5279.04
BC AB A?
=?=?=?=．
79.047.986.9486.9
BD BC CD
=+=+=≈（米）
答：主塔BD的高约为86.9米．
【点睛】
本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.
7．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：
,，）
【答案】旗杆的高度约为.
【解析】
【分析】
在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据
tan∠ADC==即可求出AB的长度
【详解】
解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m
在Rt△ADC中，tan∠ADC==
∴tan50°= =1.19
∴AB7.6m
答：旗杆AB的高度约为7.6m.
【点睛】
此题主要考查了三角函数的应用
8．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为
60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）
【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．
【解析】
【分析】
过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．
【详解】
解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，
∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，
∴∠A＝∠C＝60°，
在△ABQ中，∵AQ＝（cm），
BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），
∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），
在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，
∴AP ＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），
答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。∴菱形ABCD的周长为200。
（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如答图1，
∵，
∴MP=AM?sin∠OAD=t。
S=DN?MP=×t×t=t2。
②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，
∵，
∴MP=（70﹣t）。
∴S△DMN=DN?MP=×t×（70﹣t）=t2+28t=（t﹣35）2+490。∴S关于t的解析式为。
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480；当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，最大值不超过480。
综上所述，S的最大值为480。
（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON。
如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，
则NF=ND?sin∠ODA=30×=24，
DF=ND?cos∠ODA=30×=18。
∴OF=12。∴。
作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，
则FG=GH。
∴S△ONF=OF?NF=S△OGF+S△OGN=OF?FG+ON?GH=（OF+ON）?FG。
∴。
∴。
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG，
∴。
∴PK=。
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是
【解析】
试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解.
（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
（3）如答图4所示，作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．过点N作
NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．易得△DNG∽△DAO，由EF垂直平分OD，得到OE=ED=15，EG=NH=3，再设OI=R，EI=x，根据勾股定理，在Rt△OEI和Rt△NIH中，得到关于R和x的方程组，解得R和x的值，把二者相加就是点P到OD的距离，即PE=PI＋IE=R+x，又根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件，故存在两个点P，到OD的距离也相同，从而问题解决．
试题解析：（1）如图①)在菱形ABCD中，OA=AC=40， OD=BD=30，
∵AC⊥BD，
∴AD==50，
∴菱形ABCD的周长为200；
（2）(如图②)过点M作MH⊥AD于点H．
① (如图②甲)①当0＜t≤40时，
∵sin∠OAD===，
∴MH=t，
∴S=DN·MH=t2．
②(如图②乙)当40＜t≤50时，
∴MD=80-t，
∵sin∠ADO=-，
∴MH=(70-t)，
∴S=DN·MH,
=-t2＋28t
＝-(t-35)2＋490．
∴S=，
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．当40＜t≤50时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．综上所述，S的最大值为480；
(3)存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．
(如图④)作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．
当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴NG=24，DG=18．
∵EF垂直平分OD，
∴OE=ED=15，EG=NH=3，
设OI=R，EI=x，则
在Rt△OEI中，有R2=152＋x2……①，
在Rt△NIH中，有R2=32＋(24-x)2……②，
由①,②可得：,
∴PE=PI＋IE=．
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件，∴存在两个点P，到OD的距离都是．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm． （1）AE的长为 cm； （2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离． 【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm． 【解析】 试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)
初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC ， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC ， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=12 . 故选A. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1 2 MN BC = ，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 设a ＝1 2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝ 1 2 BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝ 1 2 （BM·DM?CN·EN ）＝()()2 21tan tan 22 2x a x a tan x a ααα????-?=? ? --， ∵ 2 a tan α ?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
锐角三角函数难点解析 本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA
表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。 本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案 一、选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（） A．1 2 B． 2 C． 3 D． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=1 2 . 故选A. 2．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）
A．πB．2πC．3πD．(31)π + 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积． 【详解】 解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形． ∴正三角形的边长 3 2 sin60 == ? ． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=，∵底面积为2r ππ =， ∴全面积是3π． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（） A 5 B． 3 5 C． 2 2 D． 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题) 一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，33 米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3
则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC
知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）
锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
- 锐角三角函数难题 一、选择题（共12小题） 1．（2011?怀柔区二模）如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（） A．0.5 B．C．1D． 2．（2009?石景山区一模）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，，则BC边上的高AE的长为（） A．4.5 B．6C．8D．9 3．（2013?模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（） A． cm2B．cm2C．cm2D． cm2 4．（2010?）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（） A．B．C．D．
5．（2009?）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（） A．16 B．18 C．6D．7 6．（2010?凉山州）已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当∠B是最小的角时，n 的取值围是（） A．B．C．D． 7．（2008?资阳）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E=30°，D为AB的中点，AC=1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED，CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N．则当△DMN为等边三角形时，AM的值为（）A．B．C．D．1 8．（2010?）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（） A．7B．C．D．9 9．（2008?枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（） A．cm B．6cm C．8cm D．10cm 10．（2007?）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）
锐角三角函数的难题汇编 一、选择题 1．cos60tan45 +o o的值等于() A．3 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】 解：原式 13 1 22 =+=． 故选A． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 2．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（） A．πB．2πC．3πD．31)π 【答案】C 【解析】 【分析】 3 为2，据此即可得出表面积． 【详解】 3的正三角形． ∴正三角形的边长 3 2 ==． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=，∵底面积为2r ππ =， ∴全面积是3π．
故选：C ． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 43 【答案】C 【解析】 试题分析：如答图，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接OB ，OC ， ∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A= 1 2 ∠BOC ，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan ∠BOD=4 3 BD OD =. 故选D ． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 4．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ?沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）
锐角三角函数的难题汇编附答案 一、选择题 1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（） A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63 【答案】B 【解析】 【分析】 过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案． 【详解】 解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122， ∴BC＝AC＝122． ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin45°＝ 2 12212 ?= CM＝BM＝12， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝BM÷tan60°＝43， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43． 故选B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一
个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ） A ．3 B ．3 C ．3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE ∠= 得出答案． 【详解】 解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF=x 3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 923x 3x 33= ===+∠, 故选:A 【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）
A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再