人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
一、选择题
1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( )
A ．60海里
B ．45海里
C ．3
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75
B ．15或30
C ．75或15
D ．15或45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：322AE = ．
sin∠AOD=
3
2
，∴∠AOD=60°；
sin∠AOE=
2
2
，∴∠AOE=45°；
∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）
A．23B．3C．33D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3，
所以BD=BA=2x，即可得33）x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=
(32)
32 CD x
AC
+
==，
故选A.
4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC
V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE
∠的值是（）
A．24
7
B．
7
3
C．
7
24
D．
1
3
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，
解得x=25
4
，故CE=8-
25
4
=
7
4
，
∴tan∠CBE=
7
24 CE
CB
.
故选C.
考点：锐角三角函数.
5．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【详解】
解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BC AC
，
所以sin∠A＝0.25.
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
点睛：
本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）
A ．1
B ．12
C ．32
D ．33
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-33
【详解】
过点C 作CF ⊥BD 与点F ．
∵∠BAE ＝30°，
∴∠DBC ＝30°，
∵BC ＝2，
∴CF ＝1，BF 3 ，
易证△AEB ≌△CFD （AAS ）
∴AE ＝CF ＝1，
∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，
∴BE ＝33 AE ＝33
， ∴EF ＝BF ﹣BE 3 3233， 在Rt △CFE 中，
tan ∠DEC ＝323CF
EF ==， 故选C ．
【点睛】
此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等
7．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5
CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】D
【解析】
【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．
【详解】
解：连接BD ，如图，
AB Q 为直径，
90ADB ACB ∴∠=∠=︒，
AD CD =Q ，
DAC DCA ∴∠=∠，
而DCA ABD ∠=∠，
DAC ABD ∴∠=∠，
DE AB ∵⊥，
90ABD BDE ∴∠+∠=︒，
而90ADE BDE ∠+∠=︒，
