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i 1 p
fi x
f1 x f2 x ... fk x fk1 x fk2 x ... f p x
ik 1
则多目标规划问题已经转化为单目标规划问题。
在乘除法中我们是把求最大的目标作为分母，把求最小的目标作为分子，如此
化为单目标问题后再求最小。
最大最小法
评价函数法的有关结论
以上我们借助于不同形式的评价函数 hFx将多目标规划问题转化为单目标规划
一般情况下，权系数i 的值由各目标函数 fi x的重要程度给出。
平方和加权法
线性加权和法
线性加权和法是—种最常用的方法，而且在理论上有重要意义，该方法是按
照 p 个目标 fi x, i 1, 2,..., p 的重要程度，分别乘以一组权系数i (i 1,2,..., p) ，然
后相加作为目标函数，再对此目标函数在多目标规划问题的约束集合 R 上求最优 解，即构造如下单目标规划问题：
p
min h
xR
Fx
i fi x λTF x
i 1
求此单目标规划问题的最优解，并把它叫做多目标规划问题在线性加权意义
下的最优解，且该问题中的λ [1,2,...,p ]T 或者2，
线性加权和法
设 p=2，则多目标规划问题具有两个目标函数 f1, f2 ，取 λ 1
2
T
2
如图所示，目标函数的等值线1 f1 2 f2 C 是一条直线。
F0
是一个几乎不可能达到
理想点。那么，理想点法就是在多目标规划的可行域 R 中找到一点x*，使其对应的F x*
与理想点 F0最为接近，即当已知理想点 F0时，在目标空间 R p 中适当引进某种度量标准
来确定F x* 和F0之间的距离，并在这个度量标准的意义下，使得多目标规划问题集合 R 上某点 x*的目标函数F x* 与理想点F0之间的“距离”尽可能小。
方式，例如更一般的将(8-7)进行推广，得到评价函数为：
1
h
F
x
p
fi x fi*
q q ,
q 1且取整数值
i1
或者是如下形式：
h
Fx
max 1i p
fi x fi*
基于加权的方法
如果 p 个非负实数 1,2,...,p 满足其和为 1，则称 λ [1,2,...,p ]T 为一组权向量，或者 将1,2,...,p 称为一组权系数。若所有权系数i 0, i 1,2,..., p ，则称这组权系数为正权，正
求 min λTF 1 f 2 f2, FFR的过程就是在 F R 中找一点，使得 λTF C 取 最小值C λTF ，从图上可以看出， F [ f1 f2 ]T 是目标函数 λTF的等值线与F R 在 左下角的切点，即 F R的有效点。对应于 F ，存在 x R使得F F x，则 x 为多目
的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下
述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500x1 400x2 600x3 f2 x 0.48x1 0.65x2 0.42x3
❖ 多目标规划问题的发展
▪ 多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一 个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的 一种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出 的，经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规 划、人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应 用。
多目标规划问题的典型实例
❖ 例3 生产计划问题
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
利润得到其总利润 f1 x 为： f1 x 500x1 400x2 600x3
根据各个产品的生产效率，可得生产 A1、A2 和 A3 的生产数量分别为： qA1 20x1, qA2 25x2 , qA3 15x3
第八章 多目标规划
概述
❖ 什么是多目标规划问题
▪ 在前面所述的最优化问题，无论是线性规划、整数规划还是非线性规划，其目 标函数都只有一个。但在实际问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个 标准，常常要考虑多个目标。例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率， 同时还要考虑产品质量，又要考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程 中的环保问题，即废渣、废水、废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既 要射程远，又要燃料省，还要重量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希 望回报高的同时又希望降低投资风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指 标最优化问题。我们把在这样的背景下建立起来的最优化称之为多目标规划问 题。
fi*
min
xR
fi
x,
i
1,2,...,
p
其中： R x | g j x 0 ( j 1,2,...,m)
一般来说，不可能所有的 x*i (i 1, 2,..., p)均相同，故其最优值 fi* (i 1, 2,..., p) 组成的
向量 F0 [ f1* f2*
f
* p
]T
并不属于多目标规划的象集，所以
标
规
划
问
题
min s.t.
fi x (i 1, 2,..., p)
的一个尽可能好的下界
g j x 0 ( j 1, 2,..., m)
f10, f20,
f
0 p
，即满足：
min
xR
fi x
fi0,
i 1,2,..., p
p
然后构造评价函数：hx hFx i
fi x fi0 2
i 1
x1 x2 x3 40 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 20x1 700 25x2 800 15x3 500 x1, x2 , x3 0
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V- min s.t.
Fx gi x 0 (i 1,2,...,m) hi x 0 (i 1,2,...,l)
fi
x
fi
x
1
fi
x
i 1, 2,..., k i k 1, k 2,..., p
(8-12)
这样就可以把多目标规划问题统一为：min Fx xR
f1 x, f2 x,..., f p x T
乘除法的原理就是构造如下目标函数：
k
min h
xR
Fx
k
fi x i 1
fi x
问题。现在我们将要讨论：上述问题的最优解在什么条件之下才是多目标规划问题的 的有效解或弱有效解。为此，给出两个定义：
函数为F x，则我们可以通过各种不同的方式构造评价函数hFx，然后求解如下问题： min hFx
s.t. x R 求解上述问题之后，可以用上述问题的最优解 x*作为多目标规划问题的最优解，正是 由于可以用不同的方法来构造评价函数，因此有各种不同的评价函数方法，下面介绍几种 常用的方法。 评价函数法中主要有：理想点法、平方和加权法、线性加权和法、乘除法、最大最小 法
其中： x x1 x2
xn T ；Fx f1 x f2 x
f p x, p 2
令 R x | gi x 0, i 1,2,...,m，则称 R 为问题的可行域，V-min Fx指的是
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数F x和约束函数 gi x 、hi x 可以
是线性函数也可以是非线性函数。
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min max
f1 x 2x1 1.5x2 f2 x x1 x2
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300 x1 60 x2 0
和弱有效解。
❖ 约束法 ❖ 评价函数法 ❖ 功效系数法
处理多目标规划的方法
❖ 原理
约束法
评价函数法
求解多目标规划问题时，还有一种常见的方法就是评价函数法，其基本思想就是将多 目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解，而且该单目标规划问题的目标函数是用 多目标问题的各个目标函数构造出来的，称为评价函数，例如若原多目标规划问题的目标
故在生产过程中产生的能耗可以表达为：
f2 x 24103 20x1 26103 25x2 28103 15x3
0.48x1 0.65x2 0.42x3 那么根据最优化问题的目标，我们需要使得才利润最多且能耗最少，即在极大化
f1 x的同时极小化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周
理想点法
而距离的度量可以利用向量的某种模 ，当我们给模 赋予不同的意义是，便可以
得到不同的理想点法。 下面我们给出最短距离理想点法，这种方法是将
如下的单目标规划问题：
取为 R p 中的
的形式，即构造
2
min h Fx Fx F0
xR
2
p fi x fi* 2
i 1
这里的评价函数hFx是F x到F0的距离。当然我们也可以采用其他评价函数的
若已知象集F R的有效点集Fe*，则多目标规划问题的有效解集 Re*可以表示为：
