动态平衡问题的几种解法

动态平衡问题的几种解法

在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。

方法一：图解法（三角形法则）

原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例题1：如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，

斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处

于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡

板和斜面对球的压力大小如何变化？

解析：取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭

的三角形。挡板逆时针转动时，F

的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。由图可2

知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。

点评：三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。

方法二：解析法

原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。

例题2：如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（）

A. 绳子的拉力F不断增大

B. 绳子的拉力F不变

C. 船所受的浮力不断减小

D. 船所受的浮力不断增大

解析：小船共受四个力作用：重力G、浮力F浮、水的阻力f、绳子拉力F。引入绳与水平方向的夹角θ为参量（图3）。由于小船是匀速靠岸，故有平衡方程

由题意可知：重力G和水对小船的阻力f不变，在靠岸过程中θ不断增大，所以F 不断增大，F浮不断减小。A、C选项正确。

点评：解析法适用于在物体所受力中，有一个力大小方向都变，有一力大小变（或大小方向都变），在变化过程中，且有两个的方向始终保持垂直，其中一个力的大小方向均不变的问题，此时，利用正交分解的方法求出所要找的答案。

方法三：相似三角形

原理：对受三力作用而平衡的物体，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例题3：如图4所示，空气中有两个带电小球A和B，A被边长为L的绝缘细线悬于固定点O；B被绝缘支架固定于O点的正下方，与O点的距离

为L，与A球相距为d1。由于漏电，过一段时间后，A的带电量变

为原来的4/9，B的带电量变为原来的2/3，试求此时A、B两球间

的距离。

解析：A球受重力G、B球对它的库仑力F和悬线的拉力T作用（图5）。平衡时，此三力合力为零，则F与G的合力T”与T等值反向，作出力的三角形，则力的与几何三角形相似。设带电小球在漏电后的距离为d2，库仑力分别为F1、F2，则有

和

由库仑定律有

由以上二式得

方法四：几何极值法

原理：三角形中一条边a的大小和方向都确定，另一条

边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ确定），欲求第三

边c的最小值，则必有c垂直于b，且c=btanθ，如图6所示。

例4. 如图7所示，用等长细绳OA和OB悬挂着一个重物，

保持重物的位置不变。现使OB端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C

移动，在这过程中，OB绳中的张力T B的最小值是多少？

解析：O点在重力G、OA和OB绳的张力T A和T B的三个力

作用下处于平衡状态，G、T A、T B组成闭合三角形。G的大小、方向已知，T A方向与G 的夹角为θ，欲求T B最小值，则必需T B垂直于T A，且T B=T A tanθ=Gsinθ。

点评：几何极值法其适用条件与三角形法则相同，只不过是在三角形法则定性变化情况的基础上，几何极值法定量地求出具体极值。

随堂练习

1．如右图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙水平横杆MN上，现用水平力F拉绳上一点，使物体

处在图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线

位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平拉力F、环

与横杆的摩擦力f和环对杆的压力N的变化情况是（）

A．F逐渐增大，f保持不变，N逐渐增大

B．F逐渐增大，f逐渐增大，N保持不变

C．F逐渐减小，f逐渐增大，N逐渐减小

D．F逐渐减小，f逐渐减小，N保持不变

2．如图所示，把球夹在竖直墙和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对板的压力为N2，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是（）

A．N1、N2都增大 B. N1、N2都减小

C．N1增大、N2减小 D. N1减小、N2增大

3．如图所示，质量分别为m、M的两个物体，系在一根绕过定滑轮的轻绳两端，M放在水平地板上，m悬在空中，若将M沿水平地面向右移动少许（仍保持平衡状态），则

A．绳中张力变大 B．M对地面的压力变大

C．M所受的静摩擦力变大 D．滑轮轴所受的压力变大

4．固定在水平面上的光滑半球，半径为R，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如右图所示，现缓慢地将小球从A点拉到B点，则此过程中，小球对半球的压力大小N、细线的拉力大小T的变化情况是