天体运动总结
1. 开普勒三定律
1.1 所有绕太阳运动的行星轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（后简化为所有轨道都是圆，太阳在圆心上），注意：第一定律只是描述了一个图像，并没有需要计算的东西，而且太阳究竟在哪个焦点上还得看第二定律
1.2 对于某一颗行星来说，它的扫面速度是恒定的。这句话也可以说成是：离太阳越近，速度越大。这是判断近日点远日点的根据。
第二定律有个计算是研究近日点远日点速度与到太阳距离关系的。
根据扫面速度相同就有这样的关系 a b v a v b =
1.3 对于所有绕太阳运动的行星来说，轨道半长轴的三次方与周期的平方的比值都一样
3
2a k T
= 简化之后为：所有绕太阳运动的行星，其轨道半径的三次方与周期的平方的比值都一样 3
2r k T
= 这里需要注意的是，这些天体所围绕的“中心天体”必须为同一个天体，这个定律可以在后面的推导中证明。
2. 万有引力
2.1 万有引力公式
只要是两个有质量的物体，两者之间必定有万有引力的作用，公式为：
122
m m F G r = 记住：G 为引力常量，是由“卡文迪许”通过“扭秤实验”得来的，其目的就是为了测出地球质量。这里要记住两个和地球有关的常数：质量6×1024kg ，半径6400km 。
m 1，m 2是这两个物体的质量
r 为两个物体质心之间的距离，对于两个质点来说就是之间的距离。而对于形状规则、质量均匀的几何体来说，质心就在几何中心。
关于万有引力公式需要说明几点：
A. 万有引力公式是本章的基础，对于一个天体来说，它的运动状态就是由万有引力定律来支配
B. 万有引力公式最常见的错误就是把公式写成12m m F G r
=，把r 的平方给丢掉这是一个致命的错误，将会直接导致后面计算错误。
C. 万有引力的方向肯定在两物体之间的连线上而指向对方
D. 甲对乙的引力和乙对甲的引力是一对作用力反作用力
2.2 万有引力的规律
2.2.1 从公式上来看，当两个物体质量一定时，万有引力随着距离的增大而减小，并且和距离的“平方”
成反比。所以一定要养成这样的意识，距离是原来n 倍，力就变为原来的n 2分之一倍，或者，力
变为原来的n 分之一倍，这样会缩短做题时间，一般做题的时候不要在
v a v b
这方面浪费时间。
2.2.2 地球对地球表面的物体都有吸引力，这个力就表现在重力上，但要清楚，重力只是万有引力的一
个分力。可以这么想：万有引力首先得提供物体由于随地球自转而所需的向心力，剩下来的那部
分就是重力。这样就需要注意，向心力指向自转轴，所以重力就不能指向地心了。又由于这个向
心力很小，所以重力很接近万有引力。当然，地球不同纬度所需向心力是不同的，赤道所需向心
力最大，两极点不需要向心力，所以赤道表面的重力加速度最小，两极点重力加速度最大。
2.2.3 一个物体受到另一个物体的吸引力和第三个物体无关，所以太空中一个物体所受吸引力应为所有
其他物体对它的吸引力的矢量和，只不过我们现在所考虑的都是吸引力最大的那个力（其他的引
力比起这个引力小的不是一点半点）。不过也有例外情况，最常见的就是在地球和月球的连线上，
肯定会有那么一个点，使得地球和月球对这一点上的物体的吸引力大小相等方向相反。
3. 天体运动
在这里我们先介绍圆轨道，而我们常见的问题也是圆形轨道。圆轨道的天体运动的特点一定要知道：
A. 角速度ω，周期T ，速度大小v ，向心加速度大小a 都是固定的
B. 万有引力完全的提供向心力2
n Mm G F r =，我们以后所有的计算都是从这个公式推导过来的，其中M 表示中心天体，m 为绕中心天体运动的行星、飞船、卫星等的质量。
下面探讨绕“同一个中心天体”运动的那些行星、卫星、飞船的各个物理量之间的关系
3.1 角速度ω和半径r 的关系
万有引力提供向心力：22n Mm G F m r r ω== 可得：ω=也就是说半径越大（离中心天体越远），角速度越小
3.2 线速度v 和半径r 的关系
万有引力提供向心力：22n Mm v G F m r r == 可得v =对于绕地球做匀速圆周运动的卫星来说，速度最快的那个轨道是沿地球表面的那颗，速度为第一宇宙速度
7.9km/s ，越往外速度越小
也就是说半径越大（离中心天体越远），线速度越小；或者说越远速度越小
3.3 周期T 和半径r 的关系
万有引力提供向心力：2
22n Mm G F m r r T π⎛⎫== ⎪⎝⎭
可得T =也就是说半径越大（离中心天体越远），周期越大；或者说越远的话，转一周用的时间越长。参阅八大行星的公转周期。
3.4 关于开普勒第三定律 上面三个公式推导过程都是用了万有引力提供向心力，从2
22Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
可知：3224r GM T π
=，只要中心天体质量M 一样，那么轨道半径的三次方和周期平方只比就是固定值，这也就是为什么第三定律在应用时必须绕同一中心天体。
其实我们可以推导出这样的定律：
对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，轨道半径的三次方与角速度的平方的乘积是固定值
23r GM ω=
对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，速度的平方与半径的比值是固定值
2
v GM r
= 实际上开普勒在研究行星运动规律的时候，周期是很好测的量，所以就研究出3
2r k T
=的规律，其实它和上面两个式子是一样的意思。而且，把上面两个式子联立的话就会出来最基本的圆周运动公式v r ω=
3.5 双星系统
双星系统的特点：万有引力提供向心力，由于两个天体受到的万有引力相等，所以向心力相等；绕连线上一点O 转动，并且角速度相同。
221122m r m r ωω= 这样就能找到质量和半径之间的关系，一般不给两个半径，只给两个天体之间的距离L ，这样就能分别求出两个半径，将结果带回到“万有引力提供向心力”这个公式里就可以求出周期，角速度，线速度等物理量。其实双星系统的问题就是由下面三个方程决定
221211222m m m r m r G
L ωω== 12r r L += 2v r T πω==
也就是说对于一个双星问题来说，只要从上述三个方程里解出所需要的未知量即可。
4 天体质量和密度
两种求法的主体思想还是找出“万有引力和所给物理量之间的关系”
4.1 卫星法
根据绕“中心天体”运动的一颗卫星、飞船、行星的“轨道参数”来求“中心天体”的质量。原则还是：万有引力提供向心力
2
22Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
得 2324r M GT π= 由公式可知，要求M ，必须知道周期和半径，而m 消掉了。所以只要知道这个卫星的周期和轨道半径即可求出中心天体的质量。注意：这个卫星的质量对于求中心天体的质量没有任何用处，而且通过卫星的轨道半径和周期也无法求出卫星的质量。
当周期和半径已知的时候，就是运行速度和角速度已知，那么其他两个公式就不写了，可以推导后手写在旁边空白处。
要求得密度的话，得知道中心天体的半径，所以求中心天体密度的时候需要知道卫星的运行参数（自己回想）和中心天体的半径 3
23
3r GT R πρ= 也就是说比求质量要多知道一个参数。如果这个卫星是在近地轨道，r R ≈时，就有23GT
πρ=，这样只需要知道近地轨道卫星的周期即可求出天体密度，但是注意：虽然能求得密度但不能求出质量，如果求质量m 1 m 2
