第五章 3定积分的换元法与分部积分法

( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0​
​
+ න () d
0​
= න [(−) + ()] d
0​
​
2 න () d , (−) = (),
=
0​
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .

t x x
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.

t3 2[
3

t ]12

8 3
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2020年3月7日3时21分
13
第三节 定积分的换元法和分部积分法

本节
例2
计算 2 sin3 x cos xdx 0
知识 引入
解 令sin x t,则dt cos xdt.
本节 目的
x 0 t 0; x t 1
0
1 2
5 eudu
1
1 eu 2
5 1

1 (e5 e) 2
注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.
2020年3月7日3时21分
10
解: (2)令 2x 1 u,则dx udu 当x 0, u 1;当x 4, u 3.
4
x 2 dx
u2 1 2
0
20
由此计算
x sin x 0 1 cos2 x
dx .
证 （1）设 x t dx dt, 2
x 0 t ,
2
x t 0, 2
2020年3月7日3时21分
21
2 f (sin x)dx
0


0
2
f
sin
2
9
➢ 换元积分法
例3.求下列定积分
(1) 2 e2x1dx 0
4 x2
(2)0
dx 2x 1
1
(3)
1 x2 dx
0
解: (1)令2x 1 u,则dx 1 du
2
说明: 换积分上下限.通过u=2x+1来计算.
当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以

∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
例3.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
两端在 [a,b] 上积分
u( x) v( x)
b a
b
a
u(
x)v(
x)
dx
b
a
u(
x)v(
x)
dx
u(x)v(x)
b a
abu(x) v(x) dx
例7. 计算
1 1
解: 原式 = x arcsin x 2 2 00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
1
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元