平面向量
一：知识框架图；
二、详细知识要点讲解；
重点知识回顾
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b
等表示；③平面向量的坐标表
示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。任作一个向量a
，由平
面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直
角）坐标，记作(,)a x y =
，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特
别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。a = ),(11y x A ，),(22y x B ，则
()
1212,y y x x --=，
AB =
3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：
|
|a
4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0
与任一向量平行.
向量a
、b
、c 平行，记作a
∥b
∥c
.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6．向量的基本运算
（1） 向量的加减运算
几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2) (2) 平面向量的数量积 ： a ?b=a
b cos θ
设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a ?b=x 1x 2+y 1y 2
（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ
若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥
x 1y 2-x 2y 1=0
（4）．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ 2 =0
设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥
x 1x 2+y 1y 2=0
.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量a
加上的b
相反向量，叫做a
与b
的差。即：a
-b
= a
+ (-b
)；
差向量的意义： = a , =b , 则=a - b
③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =
，22(,)b x y = ，则a b + ),(2121y y x x ++=，a b - ),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=
。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a
方向相反；λ=0时λ
a =；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +
b )=λa +λb
8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
。
9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e 。(1)不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a
在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ
2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量。
10. 向量a 和b 的数量积：①a 2b =| a |2|b |cos θ，其中θ∈[0，π]为a 和b 的夹角。②||cos θ称为在的方向上的投影。③2的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
④若 =（1x ，1y ）, =（x 2，2y ）, 则2121y y x x b a +=?
⑤运算律：a 2 b =b 2a , (λa )2 b =a 2(λb )=λ（a 2b ）， （a +b ）2c =a 2c +b 2c 。
⑥和的夹角公式：cos θ=a b
a b ??
＝
22
22
21
2
12121y
x y x y y x x +?
++
⑦==?2a a a |a |2=x 2+y 2
，或|a
|=
2
2
y x =+⑧| a 2b |≤| a |2| b |。
11．两向量平行、垂直的充要条件 设 =（1x ，1y ）, =（2x ，2y ） ①a ⊥b ?a 2b =0 ，?⊥a b ?
=1x 2x +1y 2y =0；
②//（a ≠）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
。
0//1221=-?y x y x b a
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。
12.点P 分有向线段21P P 所成的比的λ： 21PP P λ=，P 内分线段21P P 时,
0>λ; P 外分线段21P P 时,
0<λ. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：
???
????++=++=λλλλ112121y y y x x x ()1-≠λ 、???
????
+=+=22
2
121y y y x x x 、 )3,3(321321
y y y x x x ++++
三：难点、易错点；
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解） （一）基础知识训练
1.下列命题正确的是 （ ）
)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线
2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）
)
(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +2
1
3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）
)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ
4. 若向量),1(x -=，)2,(x -=共线且方向相同，x =__________。 （二）．典例分析
例1：（1）设a 与b
为非零向量，下列命题：
①若a 与b 平行，则a 与b
向量的方向相同或相反；
②若,, AB a CD b == a 与b
共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；
③若a 与b 共线，则a b a b +=+ ；④若a 与b 反向，则a a b b
=-
其中正确命题的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（2）下列结论正确的是 （ ）
（A ）a b a b = （B ）a b a b -<- （C ）若()()0a b c c a b -=
（D ）若a 与b 都是非零向量，则a b ⊥ 的充要条件为a b a b +=-
错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A 或B 或C 。
分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。
第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a 与b
共线）的充要条件中所存在的常数λ可看作为向量b 作伸缩变换成为另一个向量a 所作的伸缩量；若a ，b
为
非零向量，则共线的a 与b 满足a 与b 同向时b a a b = ，a 与b 反向时b
a a b
=-
。
第（2）小题中，正确答案为（D ）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D
同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。 例2 设a 、b 是两个不共线向量。AB=2a +k b BC=a +b CD=a -2b A 、B 、D 共线则k=_____(k ∈R) 解：BD=BC+CD=a +b +a -2b =2a -b 2a +k b =λ(2a -b )=2λa -λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1
例3 梯形ABCD ，且|AB|=2|DC|,M 、N 分别为DC 、AB 中点。 AB=a AD=b 用a ，b 来标DC 、BC 、MN 。 解：DC=
21AB=2
1a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a +
21a =b - 2
1
a MN=DN-DM=
21a-b -41a = 4
1
a-b 例4 |a |=10 b =(3,-4)且a ∥b 求a
解：设a =(x,y)则 x 2+y 2
=100 （1） 由a ∥b 得 -4x-3y=0 （2） 解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8
∴ a =(6,-8)或(-6,8)
五． 归纳小结 1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间
的关系。
2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何
向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。
课堂练习
1、下列命题正确的是（ ）
A ．若0||=，则0=
B ．若||||=，则=或-=
C ．若b a ||，则||||b a =
D ．若0=a ，则0=-a
2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ，则顶点D 的坐标为（ ） A ．)2,1( B ．)2,2( C ．)1,2( D ．)2,2(--
3、设)0(||>=m m a ，与反向的单位向量是0b ，则用0b 表示为
A ．0b m =
B ．0b m -=
C ．01b m a =
D ．01
b m
a -= 4、D 、E 、F 分别为ABC ?的边BC 、CA 、AB 上的中点，且=，=，下列命题中正确命题的个数是（ ） ①
b a AD --
=21；②b a BE 21+=；③b a CF 2
1
21+-=； ④=++。
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5、化简：AD D
E AC CE --+=__________。
6、已知向量)2,1(,3==b a
，且b a ⊥，则a 的坐标_____________。 7、若()
0,2,122=?-==a b a b a
，则b a 与的夹角为______________。
8、已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a
其中
求 （1）b a b a
+?;的值； （2）a 与b 的夹角。
9、如果向量与，的夹角都是?60，而⊥，且1||||||===，求)()2(+?-的值。
10、如图，设O 为ABC ?内一点，PQ ∥BC ，且
t BC
PQ
=，=a ，=b ，=c ，试用a ，b ，c 表示,．
课堂练习答案 基础知识训练：
D ，B ，B ，D ， 5，0； 6，（
556，—553），（—556，5
5
3） 7，450
， 8，(1)a ?b=10, b a +=52 (2) θ=arccos
221
10
9,-1 10,=(1-t)+t , =(1-t)+t
《平面向量》测试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
()
命题中正确的是是两个单位向量，下列、e 已知e 1.21 1e e .A 21=? 21e e .B ⊥ 222
1e e .C =
21e //e .D
2．下列命题中：①若a 与b 互为负向量，则a ＋b ＝0；②若k 为实数，且k·a ＝0，则a ＝0或k ＝0；③若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；④若a 与b 为平行的向量，则a·b ＝|a||b|；⑤若|a|＝1，则a ＝±1．其中假命题的个数为（）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
()
的值等于CA BC 则,60C 8,b 5,a 在ΔABC中, 3.→
--→--??=== 20 .A
20 .B -
320 .C 320 .D - ４．设|a|＝1，|b|＝2，且a 、b 夹角120°，则|2a ＋b|等于 （ ）
2 .A
4 .B
21 .C
32 .D
５．已知△ABC 的顶点坐标为A （3，4），B （－2，－1），C （4，5），D 在BC 上，且ABD ABC S 3S ??=，则AD 的长为 （ ）
2 .A
22 .B
23 .C
227
.D
6．已知a ＝（2，1），b ＝（3，λ），若（2a －b ）⊥b ，则λ的值为 （ ） A ．3
B ．－1
C ．－1或3
D ．－3或1 ７．向量a ＝（1，－2），|b|＝4|a|，且a 、b 共线，则b 可能是 （ ）
A ．（4，8）
B ．（－4，8）
C ．（－4，－8）
D ．（8，4）
8．已知△ABC 中，5b ,3a ，415
S ,0b a ,b AC ,a AB ABC ===
--→
--，则a 与b 的夹角为
（ ）
A ．30°
B ．－150°
C ．150°
D ．30°或150°
()
b 则a 5,b 4,a ,32041b a 若 9.=?==-=- 310 .A 310 .B -
210 .C
10 .D 10．将函数y ＝f （x ）的图象先向右平移a 个单位，然后向下平移b 个单位（a ＞0，b ＞0）．设
点P （a ，b ）在y ＝f （x ）的图象上，那么P 点移动到点 （ ）
A ．（2a ，0）
B ．（2a ，2b ）
C ．（0，2b ）
D ．（0，0）
()
所得的比是BP 则A分,43
所成的比为AB 若点P分 11.→--→--
73
.A 37 .B
37 .C -
73 .D -
()()()
的取值范围是b
a b a 那么,2,3x b ,x,1已知a 12.2
2
+?==
(]
2,2 .A ∞
??
??
????420, .B
??
??
????-42,42 .C
[]
+∞,22 .D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．向量a ＝（2k ＋3,3k ＋2）与b ＝（3，k ）共线，则k ＝___________．
()_.
__________向量，则k的值为__且a与b为互相平行的,k,8b ,k ,29已知a 14.=???
??=
15．向量a ＝（1，1），且a 与（a ＋2b ）的方向相同，则a·b 的取值范围是________．
.___________BC ,12AC ,8AB .16取值范围用区间表示为则→
--→
--→
--==
三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）
设O 为原点，()()→
--→--→--→--→--→--⊥-==OA //BC ,OB OC ,2,1OB ,1,3OA ，试求满足→--→--→--=+OC OA OD 的→
--OD 的
坐标．
18．（本小题满分12分）
设1e 和2e 是两个单位向量，夹角是60°，试求向量21e e 2a +=和21e 2e 3b +-=的夹角． 19．（本小题满分12分）
已知→
--→--→
--==AC ,2.4BC ,6.5AC 与→--AB 的夹角为40°，求→--→---BC AC 与→
--CB 的夹角
|AC BC |→
--→---（长度保留四位有效数字，角度精确到′）．
参考答案
一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．A 11．C 12．C
()[]4,20 16. 1, 15. 6 14. 221
3
二、13.+∞-±±
()()1y 3,x OA OD OC 则,y x,OD 设:解 三、17.++=+==→
--→
--→
--→
--
():OB OC 1y ,4x OB OC BC 得由→
--→
--→
--→
--→
--⊥-+=-= ()()①012y 即x 0,1y 23x =+-=+++-
()()②073y 即x 0,4x 1y 得3,OA //BC 由 =+-=+--→
--→-- ().11,6坐标为OD 即6,y 11,解得x ②联立,由①,→
--==
2121e 2e 3b ,e e 2a : .18+-=+=解
,721
11414 e e 4e e 4a 2
12
2
2
1
2
=?
??++=?++=∴
.721111249 e e 12e 4e 9b 2
12
2
2
1
2=?
??-+=?-+=
()(),2
7
2216 e 2e e e 6e 2e 3e e 2b a 2
2
212
12121-=++
-=+?+-+-?+=?
.217
727b a b a cos -=-
=?=θ∴故θ＝120°． ,40sin 2.4B sin 6.5,A
sin BC B
sin AC : .19?==
→
--→
--得
由正弦定理
解.875.02.440sin 6.5B sin =?
?=
.
121,B ,CB BC AC ,59B ?-?=∴→
--→--→
--即角之补角为夹角与因为,815940180C ?=?-?-?=
.453.6 81cos 2.46.522.46.5 C cos BC AC 2BC AC AB 2222=?
??-+=??-+=∴→
--
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
平面向量习题及答案 【篇一：平面向量练习题集答案】 >典例精析 题型一向量的有关概念 【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： ①|a|＝a?a； ②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba； ④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2； 其中正确的个数为( ) a.1 b.2 c.3 d.4 【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示， mn=++且mn=++， 两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确. 题型二与向量线性运算有关的问题 【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段 do
上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1 313 . 【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222 ＝2＝2(＋)＝2(a＋b). 11又＝，＝， 33 1所以＝ad＋＝b＋ 3 1115＝b(a－b)＝a， 3266111 ＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323 所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向 量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用， 在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 所以? (＋)＝?0＝0，故填0. 题型三向量共线问题 【例3】设两个非零向量a与b不共线. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 求证：a，b，d三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1 【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd ＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线. 又因为它们有公共点b， 所以a，b，d三点共线. (2)因为ka＋b和a＋kb共线， 因为a与b是不共线的两个非零向量， 【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常 只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的 运用和方程思想. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与 三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三 点共线. 【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△ oac的面积与△oab的面积之比是（ 3a. 2 c.2 2b. 31 d. 3 ）
"表示法仔臥几何型标)1 I 在几何学中的丽1 正弦、余弦定理药丽 二、详细知识要点讲解； 重点知识回顾 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ,有二个要素： ? _________________ 4 4 2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母 a 、 b 等表示；③平面向量的坐标表 、，一 、、 4 - 示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底。任作一个向量 a ，由平 -H 4 面向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、y ，使得a 二xi ? yj ，(x, y)叫做向量a 的(直 角)坐标，记作a = (x, y)，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特 别地， ‘=(1,0)，j =(0,1)，0=(0,0)。 a=Jx 2+]2 ；若 A(x 1,y 1)，B(X 2,y 2)， 则 AB =仪2 -为』2 - y 1 ， AB = (X 2=xj 2—( y zP yj 2 3. 零向量、单位向量：①长度为 的向量叫零向量，记为 0 ；②长度为 _________ 个单位长 —* 度的向量，叫单位向量?(注：就是单位向量) |a| 4. 平行向量：①方向 __________ 的向量叫平行向量；②我们规定 _______ 与任一向量平行? ,4 扌 彳十一 ，，4 扌 4 _ _ _ 十一亠耳一 「「亠冃 :知识框架图; 平面向量 趴洪线向量的充宴翔 向量的in.猱法1 1向量的怅度*夹角 “实数与向St 的积1 」两个向量平行的充套条件 向盘的数量积1―* 两个向量垂直的充要务件 卩线段的定比分点 1瞪翅证宙 向
第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)
高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。
向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ） A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是（ ） A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ） (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件；(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件；(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件；(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1，|AC u u u r |=2，若∠BAC =60°，则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ，且|AB u u u r |=|AD u u u r |，则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A 、（A B +CD ）+B C B 、（A D +MB ）+（BC +CM ） C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） 第9题图
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
平面向量高考试卷精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足， ，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（） A．B．C．D．π
7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜ ＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B．C．D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，， ，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A．B．C．D．0 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等 于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（） A．B． C．D．
§平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD； 若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线． 失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
§平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x ＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 1 λa＝(λx ，λy1)，|a|＝x21＋y21. 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠∥b?x1y2－x2y1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义
9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与 终点的大写字母表示，如：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行a ＝ ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共 线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的 平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区 别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算 （1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A ．OA O B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r C ．00AB r u u u r r D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则
平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：