高中数学平面向量习题与答案

第二章 平面向量

一、选择题

１。在△AＢＣ中,ＡＢ＝AC，D,E分别就是AB,ＡC得中点，则( )。

A。与共线 ﻩ Ｂ．与共线

Ｃ。与相等 D．与相等

2。下列命题正确得就是（ )。

Ａ.向量与就是两平行向量

B.若ａ，b都就是单位向量,则ａ=ｂ

C。若=，则A,B,C,D四点构成平行四边形

D。两向量相等得充要条件就是它们得始点、终点相同

3.平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点,已知两点A(3,1）,B（-1,3）,若点C满足＝＋,其中 ，∈R，且+＝1,则点C得轨迹方程为（ ）.

A。3ｘ＋2y-11=０ ﻩ ﻩﻩB。（x－１)2+(y－１)2=5

C.2x-y＝0 ﻩ ﻩﻩ ﻩ D。ｘ+2y－5＝0

４。已知a、b就是非零向量且满足(a－２b）⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b得夹角就是( ）.

A．ﻩﻩﻩ B.ﻩﻩﻩﻩC。 ﻩﻩ Ｄ。

5。已知四边形AＢＣD就是菱形,点P在对角线AC上（不包括端点Ａ,Ｃ),则＝( ）。

A。λ(+)，λ∈(0，１) ﻩB.λ(＋）,λ∈(0,)

C．λ（－），λ∈(0,1) ﻩﻩﻩＤ.λ(－)，λ∈（0,）

6.△ABC中，Ｄ，E,F分别就是AB,BC，AC得中点,则=（ ）．

Ａ。+ ﻩﻩ B。－

C。+ ﻩﻩﻩ D。+

7。若平面向量a与b得夹角为６0°，|b|＝4,(a＋２b)·(a-３ｂ)=－72,则向量ａ得模为（ )。

A。2 ﻩﻩﻩB。4ﻩﻩﻩ C。6 ﻩ D.１2

8。点O就是三角形ABC所在平面内得一点,满足·=·=·,则点Ｏ就是△ＡBＣ得( ). (第1题) A.三个内角得角平分线得交点 ﻩﻩﻩB。三条边得垂直平分线得交点

Ｃ.三条中线得交点ﻩ ﻩﻩ Ｄ。三条高得交点

9.在四边形ABCＤ中，=a+2b,＝－4ａ－b，＝－5a－3ｂ,其中a，b不共线,则四边形AＢCD为( ).

A。平行四边形 Ｂ.矩形ﻩﻩ ﻩC．梯形 ﻩﻩ Ｄ.菱形

1０．如图，梯形ABＣD中，||＝|｜,∥∥则相等向量就是( )。

A.与 ﻩＢ．与

Ｃ.与ﻩﻩD.与

二、填空题

11。已知向量=(ｋ,1２），＝(4,5)，=(－ｋ,10),且A,Ｂ,C三点共线,则ｋ＝ ．

12。已知向量a=（ｘ+３,x２－3x－4）与相等,其中M（－1,３),N(1,3）,则x= 。

13。已知平面上三点Ａ，B,Ｃ满足|｜=3,|｜=4，||=5，则·＋·+·得值等于 。

1４.给定两个向量a＝(3，4),b＝（2,－1)，且（a+mb)⊥（ａ－b),则实数m等于 .

15．已知A,Ｂ,Ｃ三点不共线,O就是△ABC内得一点,若＋＋＝０，则O就是△ABC得 。 (第10题) 1６.设平面内有四边形ABCD与点O,=a,＝b，＝c， =d，若a＋ｃ＝ｂ＋d,则四边形ＡBCD得形状就是 。

三、解答题

17。已知点A(2,3）,B（5,４),Ｃ（7,１0），若点Ｐ满足=＋λ(λ∈R）,试求 λ为何值时，点P在第三象限内?

18．如图，已知△ABＣ,A（7，8)，B(3，5),C(4,3)，M，N，D分别就是ＡB,ＡC,ＢＣ得中点,且MＮ与AD交于F，求。

(第18题) 19。如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,ＢC得中点,求证：AF⊥DＥ（利用向量证明）。

20.已知向量ａ＝（cos θ,ｓin θ），向量b＝(，-１),则｜2a-ｂ｜得最大值。

(第19题) 参考答案

一、选择题

1．B

解析：如图,与,与不平行,与共线反向。

2。A

解析:两个单位向量可能方向不同，故Ｂ不对。若＝,可能A,Ｂ,C,D四点共线,故C不对。两向量相等得充要条件就是大小相等,方向相同,故D也不对.

3.D

解析:提示:设＝（x，y）,＝(3，1）,＝(-1,3)，=(3,)，＝(-，３）,又+=(3-,＋3)，

∴ (x，ｙ）＝（3－,＋3),∴ ,又+=1，由此得到答案为Ｄ.

4.Ｂ

解析:∵（ａ－2b)⊥a,（b-２a）⊥ｂ,

∴（ａ-2ｂ）·a=a2－2a·b＝0，(ｂ-２a)·b＝b２-2a·b=0,

∴ ａ２＝b2,即｜a｜＝｜b｜.∴|a|2＝2|a|｜b|cos θ＝2｜a｜2cｏsθ.解得cos θ=。

∴ a与b得夹角就是。

5。A

解析:由平行四边形法则,＋=，又+＝,由 λ得范围与向量数乘得长度,λ∈(0,１)。

6。D

解析：如图,∵＝,

∴ =+=＋。

（第6题)

７。Ｃ

解析：由（a+2b)·（a-3b)＝－72，得a2－ａ·b-6ｂ2＝-72。

而|b|=4，a·b=|a||ｂ｜cｏｓ 6０°=2|a｜,

∴ |a|2－2|ａ｜－９6=-7２，解得|ａ|＝６。 (第1题) 8。D

解析：由 ·＝·=·，得·＝·,

即·(-）=0，

故·＝0,⊥,同理可证⊥,

∴ O就是△ABC得三条高得交点.

９。C

解析:∵=＋＋=-8a-2b＝2,∴∥且||≠||．

∴ 四边形ABＣD为梯形。

１0。D

解析:与,与,与方向都不相同,不就是相等向量.

二、填空题

11。－。

解析：A，B,C三点共线等价于，共线,

＝-=（４，5）－(k，１２)=(４-k,-7），

=-＝（－ｋ，１0）－(４，5）=（-ｋ－4，５），

又 A，B,C三点共线，

∴ ５(4-ｋ)=－7(－ｋ－4),∴ ｋ=-。

１２。－1。

解析:∵ M（-1,3)，N(1,3）,

∴ ＝(２,0)，又a＝,

∴ 解得

∴ x＝－１。

1３。－25.

解析:思路1:∵ ＝3，＝4,=5，

∴ △ＡBC为直角三角形且∠ABＣ＝90°，即⊥,∴·=0,

∴ ·＋·+·

=·＋·

＝·（+)

=－()２ ＝-

=－２5。

思路2:∵ =3，＝4，＝5,∴∠ＡBＣ=９０°,

∴ ｃos∠CAB=＝,ｃos∠ＢCＡ==。

根据数积定义,结合图(右图）知·＝0,

·＝·cos∠ACE=4×5×（－)=-16，

·＝·coｓ∠BAＤ＝3×5×(-)＝-9。

∴ ·+·+·=0―16―9=-25。

１4．。

解析：a+mb＝(3＋２ｍ,４-m）,a－b=（1,5）。

∵ (a+ｍｂ）⊥(a-b)，

∴ （a+mb)·(a-ｂ)=(3+２m）×1＋(4－m）×5=0m＝．

15。答案:重心。

解析:如图,以,为邻边作□ＡOCＦ交AC于点E，则＝+,又 ＋=－,

∴ ＝2=-.O就是△ABC得重心。

16.答案：平行四边形。

解析:∵ a＋ｃ=ｂ＋d，∴ ａ-b＝d－c,∴=.

∴ 四边形ABCＤ为平行四边形。

三、解答题

１7。λ<－1.

解析:设点P得坐标为(x,ｙ),则＝（x，y)－(２,3）=（x－2，y－3)．

+λ=（５，４)-(2,３）+λ［(7，10)－（２,3)]

＝（3，1）+λ(5,7)

=(3＋5λ,１+７λ)。

∵ =＋λ,

∴ (ｘ-２，y-3)＝（３＋５λ,1＋7λ)。

∴ 即

要使点Ｐ在第三象限内，只需 解得 λ<－1。 (第15题) D

(第13题) １8。=（，2）．

解析:∵ A(7,８）,B（3,5),C(4，3)，

=(－4，－3）,=（－3，－5）。

又 D就是BＣ得中点,

∴ =(+）＝(-４-3，－３-5)

＝（－７,－8)＝(-，－４).

又 M，N分别就是AB,AC得中点,

∴ F就是ＡＤ得中点,

∴ ＝-＝-=－(－,-4)＝（，２).

１9．证明：设＝a，＝b,则=a＋ｂ，＝b-a．

∴ ·＝(ａ＋b）·（b－a)＝ｂ2-a２＋a·ｂ。

又⊥,且=,∴ ａ2＝ｂ2,ａ·b=0。

∴ ·=０，∴⊥。

本题也可以建平面直角坐标系后进行证明。

20。分析：思路1:2a-b=(2ｃoｓ θ－,2sin θ+1)，

∴ |2a－b｜2＝(２cos θ-)2+(2siｎ θ+１）２=8＋４ｓin θ－4coｓ θ.

又4siｎ θ-4cos θ=8(ｓin θcoｓ-cos θｓiｎ）=8ｓin（θ-),最大值为8,

∴ ｜２a－b|2得最大值为16,∴|2ａ－b|得最大值为４。

思路2：将向量2a，b平移,使它们得起点与原点重合,则|2ａ-b|表示2ａ,b终点间得距离.|２a|＝2，所以2ａ得终点就是以原点为圆心,2为半径得圆上得动点P，b得终点就是该圆上得一个定点Ｑ，由圆得知识可知,｜PＱ｜得最大值为直径得长为4. (第19题)