黎曼几何没有平行线

欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。

这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。

一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。

它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。

在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。

欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。

二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。

罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。

这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。

罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。

三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。

相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。

黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。

结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。

欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。

在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。

广义相对论黎曼几何
广义相对论和黎曼几何是两个相互关联的领域。

黎曼几何是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。

在黎曼几何学中，有如下规定：在同一平面内任何两条直线都有公共点，不承认平行线的存在。

另一条公设讲，直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

在广义相对论中，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。

这种解释和黎曼几何的观念是相似的。

欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。

关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。

它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。

十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。

1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。

十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。

1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。

从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。

一、欧几里得几何的发展（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。

面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。

最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。

人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。

欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。

欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。

19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。

从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。

特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。

凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。

如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。

1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。

指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。

在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。

根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。

欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。

《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。

在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。

在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。

《数学专题讲选》期末论文07数学20075202 阮腾达黎曼几何本学期开设的数学专题选讲中，我最感兴趣的就是肖建波老师讲的黎曼曲面专题。

课后，我结合老师上课内容和查找相关资料，了解了黎曼几何的产生及其内容概要。

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。

头四条公设分别为：1.由任意一点到任意一点可作直线。

2.一条有限直线可以继续延长。

3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。

4.凡直角都相等。

第5条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。

也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？几乎从欧几里得提出第五公设(也称平行公设)以来，数学家们就感到它不像公设，是能够加以证明的．尽管人们的尝试失败了——事实证明他们也必然要失败，数学家们却由此而建立了两种全新的几何学，即非欧几何！建立非欧几何的荣誉，应该由高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基三人共同分享。

不过在介绍他们的工作之前，我们先来看在这方面曾作过努力和贡献的几位数学家。

首先要提到的是意大利耶稣会士和帕维亚大学的教授萨谢利。

他研究了一个四边形ABCD（如图1），∠A和∠B是直角，AD=BC。

他证明了∠D=∠C，那么这两个角的大小只有三种可能：钝角、直角或锐角，萨谢利称之为钝角和锐角假定和锐角假定。

他希望证明钝角和锐角假定是错误的，那么余下的直角假定就是第五公设的等价形式！萨谢利隐含的假定的矛盾性，但对于锐角假定，逻辑事实使他左右为难，最后毫无说服力地硬塞进一个“矛盾”。

黎曼几何的结论黎曼几何（Riemannian Geometry）是一门对形式化的抽象几何的研究，它被用来描述一般相对论中复杂的曲线面和曲线空间，例如欧拉心形空间和环形空间。

这种几何分析可以用来描述物理中复杂的运动，如量子场理论，普朗克动力学和弦理论，以及几何光学。

除此之外，它还被用于不变量场，也可以形式化研究几种基本的几何性质，如平滑结构、曲率和照度等。

黎曼几何的研究，可以追溯到十九世纪中叶，克劳德·黎曼及其他几何学家，使用一种测度来表示曲空间(curved space)上的物理量，这个度量被称为黎曼测度(Riemannian metric)。

黎曼测度能够描述曲空间上任意特定点处的曲率，同时可以进一步研究出曲率的地方性效应。

黎曼几何的模型使人们可以思考这样的话题：曲线和曲空间的几何结构，相对论曲空间的定义，以及它们如何受到各种外在影响的变化，如引力等。

黎曼几何的主要结论是有关引力和它对曲空间的作用的研究。

对它的探索发现，具有引力的曲空间具有不同的结构和性质。

相比于平面几何，引力曲空间具有更为复杂的几何性质，它也维护着其结构的一致性。

除此之外，黎曼几何还可以解释宇宙膨胀、时空弯曲和测量等现象，被用于解释宇宙中的某些物理过程。

黎曼几何对物体表现出的引力对它的结构和形状有很大的影响，使它成为几个主要的物理问题的重要研究课题，如相对论卫星测量学和量子力学。

它的研究也可能帮助我们认识宇宙的构成，揭示其宇宙背景中的重要性质，并估计曲空间的曲率。

有报道说这些基本结论，早在二千年前美索不达米亚阿拉伯数学家穆罕默德拉布尔就已经提出了，但因为科学技术缺乏，当时我们没有办法分析出这些实质性的结果，直到有了黎曼几何的发展，科学家们才能得以开展此研究。

黎曼几何的世界
几乎从欧几里得提出第五公设(也称平行公设)以来，数学家们就感到它不像公设，是能够加以证明的．
公元1854年，黎曼发表了一篇关于球面(或椭球)几何的论文．文中对平行公设作了以下否定性陈述：“过不在直线上的任一点，不可能引一条直线与已知直线平行．”这相当于对平行公设(①原注：平行公设的一种陈述方法是——过不在直线上的任一点，有且只有一条直线与已知直线平行． )的否证．黎曼还决定看看如果改变欧几里得其他公设的陈述会怎么样，诸如“直线可无限延伸并产生无限长度”改为“直线没有边界，但并非无限长”．也就是说，它没有端点但却具有有限的长度．
在球面几何中这种性质是存在的，因为在那上面所有的“直线”都是大圆．(②原注：一个大圆是在球面上的圆周，它的中心即为球心． )研究一个球，注意它任意两个大圆永远相交于两点，这意味着没有两条直线(大圆)是平行的．在球面几何里，我们还发现一个三角形的内角和大于180°．而一个三角形的面积随着角的和的增大而增大．
这样的世界在哪里存在？莫非它就是我们的宇宙？如果我们宇
宙的质量足够大，使得引力能让它猝然停止膨胀，并紧接着收缩变小，最终形成一个球的形状．这个球状的宇宙经历几十亿年之后，最后会缩成一个点一般大小，这个点具有无限的热量和密度．如果引力的大
小不足以使宇宙紧缩，那么大概它会达到一个平衡点，此时膨胀恰好停止．。

§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。