曲边梯形的面积(赵秋明)

1.4.1 曲边梯形的面积与定积分【教课目的】 1.理解求曲边梯形面积的过程和步骤—切割、以直代曲、乞降、取极限；认识定积分的看法及几何意义； 2.领会化曲为直的极限思想； 3.浸透“质量互变、对峙一致”的看法 .【教课要点】定积分的看法一、课前预习：阅读教材【教课难点】以曲代直36 页—38 页，达成以下问题例 1：求曲线y x 2与直线x1, y0 所围成地区的面积.（1）切割：将区间 [0,1] 平分红 n 个小区间，第一个小区间为 [0, 1] ，第二个小区n间为[1,2]，第三个小区间为，第个 i小区间为，，第n nn 个小区间为.每个小区间的长度为x(2)以直代曲：过各分点做轴的垂线，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，则第一个小矩形的高为，第二个小矩形的高为，第三个小矩形的高为，，第 i 个小矩形的高为，，第 n 个小矩形的高为.它们的面积分别为.（ 3）近似乞降：全部个小矩形的面积的和记为 S n，则 S n =（ 4）取极限：S lim Snx 0二、课上学习：1. 定积分的概念：设函数y f ( x) 定义在区间 [ a, b] 上，用分点a x0x1 x2... x n 1x n b将区间平分红个小区间，其长度挨次为，记为这些小区间长度的，当趋近于 0 时，全部小区间的长度都. 在每个小区间上，作和式：当0时，假如和式的（即无穷趋近于常数），那么称和式为函数 f (x) 在区间 [ a,b] 上的定积分。

记为：，此中 f ( x) 称为， a 叫做， b 叫做，叫做被积式 .思虑：将教材例1，例 2 的结果用定积分怎样表示？2.定积分的几何意义说明：一般状况下，定积分的几何意义是介于x 轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．b b（ c 为常数）3.（ 1） cf ( x)dx c f ( x) dxa ab（2）设f (x), g (x)可积，则[ f ( x) g(x)]dxa。

[教学内容]普通高中课程标准实验教科书选修2--2（苏教版）第41页--42页，1.5定积分中的1.5.1曲边梯形的面积。

[教学目标]⑴通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、以曲代直、逼近、求和；⑵进一步感受有限与无限的联系和极限的思想在数学和实践中的应用；⑶通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程、变力做功，初步了解定积分产生的背景。

[情感目标]培养学生辨证地看待问题，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，加深自身素质的培养及良好习惯的养成。

[教学重点]求曲边梯形的面积。

[教学难点]深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。

[教学方法]启发引导与探求相结合，以探究为主。

[班级情况]高二生源较好的理科班。

[教学过程]一、问题引入师：1.求下图中阴影部分的面积：师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）师：对于0x =，1x =，0y =，2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。

二、学生活动与意义建构1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以OAB 的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。

（在讨论的过程中渗透分割的思想）方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。

方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。

1.5.1曲边梯形的面积一、教学目标1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．二、预习导学1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；2、匀速直线运动的时间（t ）、速度（v ）与路程（S ）的关系 ．三、问题引领，知识探究1、概念：如图，由直线x =a , x = b , x 轴，曲线y =f (x )所围成的图形称为 ．2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？例１、求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面积S ．分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。

我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．解： （1）分割把区间[0，1]等分成n 个小区间：过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作（2） 以直代曲（3）作和],n n ,n 1n [,],n i ,n 1i [,],n 2,n 1[],n 1,0[-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n1n 1i n i x =--=∆每个区间的长度为.S ,,S ,,S ,S n i 21∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅∆∆n 1)n 1i (x )n 1i (f S 2i -=∆-≈∆])1n (210[n1 n 1)n 1-i (n 1)n 1-i f( S S S S S 22223n 1i 2n 1i n1i in 21-+⋅⋅⋅+++==≈∆=∆+⋅⋅⋅+∆+∆=∑∑∑===（4）逼近分割 以曲代直 作和 逼近当分点非常多（n 非常大）时，可以认为f (x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi 对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x 来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值。

四队中学教案纸 备课
时间
教学 课题 教时 计划 1 教学 课时 1 教学
目标 1. 通过实例直观了解微积分基本定理的含义。

2. 理解以直代曲的思想
重点难
点
微分与积分
教学过程 一．情境创设
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。

二．新授
直线x =0、x =1、y =0及曲线y =x2所围成的图形（曲边三角形）面积S 是多少？
为了计算曲边三角形的面积S ，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。

分割越细，面积的近似值就越精确。

当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S 。

x y 0 x
y
0 x
O 1 x
y
o。

曲边梯形的面积(初三)
石春蕊
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2006(000)004
【摘要】扇形从直观上看类似三角形(一边为曲边), 扇形的面积公式S=1/2lr,从形式上看类似三角形的面积公式S=1/2ah．因此,我们可以把扇形看作曲边三角形,把弧长l看作底,半径r 看作底边上的高．
【总页数】1页(P9-9)
【作者】石春蕊
【作者单位】河北省唐山十一中;063000
【正文语种】中文
【中图分类】G634.63
【相关文献】
1.基于认知负荷理论的数学核心概念教学——以《曲边梯形的面积》一课为例
2.《1.5.1曲边梯形的面积》教学设计
3.《曲边梯形的面积》说课稿研究
4.巧用极限思想感悟"曲边梯形的面积"课例教学的数学美
5.依托"问题导学"落实立德树人——以《曲边梯形的面积》教学为例
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