2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,参考版解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）理科数学试题解析1. 解析 由题意可得，{}12A x x =-<<，则{}13AB x x =-<<.故选A.2. 解析3222ii i i 2i i i i-=--=-+=.故选C. 3. 解析 解法一：由程序框图可知，第一次循环为：24k =；第二次循环为：34k =；第三次循环为：44k =；第四次循环为： 54k =>.此时循环结束，5π1sin62S ==.故输出S 的值为12. 解法二：k 的初始值为1，每次循环k 值加1.当4k >时跳出循环，故最终5k =. 5π1sin 62=.故输出S 的值为12. 4. 解析 由2πT ω=，可知选项A ，B ，C 的周期都是π，选项D 的周期为2π.通过化简可得，选项A ： sin 2y x =-，为奇函数； 选项B 为：cos 2y x =，为偶函数；选项C 为：π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为非奇非偶函数.故选A.5. 解析 由题意可得1a =，b =2c =.所以渐近线的方程为y =.将2x =代入渐近线方程，得y =±.则AB =.故选D.6. 解析 由题意可知，万位上只能排4,5.若万位上排4，则有342A 个；若万位上排5，则有343A 个.所以共有33442A 3A 524120+=⨯=（个）.故选B.7. 解析34AM AB AD =+，1143NM CM CN AD AB =-=-+， 所以()()114343412AM NM AB AD AB AD =+⨯-=()22116948AB AD -= ()11636916948⨯-⨯=.故选C. 8. 解析 若333ab>>，则1a b >>，所以log 3log 3a b <，故为充分条件；若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如，13a =，3b =，所以333a b>>不成立. 故选B.9. 解析 当2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--；当2m >时，822n m ---，即212m n +.262m n +，所以18mn .由2m n =且212m n +=，得3,6m n ==；当2m <时，抛物线开口向下，根据题意可得，8122n m ---，即218m n +.292m n +，所以812mn. 由2n m =且218m n +=，得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有()2182,8m n m n +=<>.所以()()1821828816mn n n =-<-⨯⨯=.所以最大值为18.故选B.10. 解析 设直线l 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得2440y ty m --=，则216160t m ∆=+>.又中点()22,2Mtm t +，则1MC l k k ⋅=-，即232m t =-.代入21616t m ∆=+，可得230t ->，即203t <<.又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得()2,4r ∈.故选D.11. 解析 由二项式的展开式的通项公式为()()515C 21rrr r T x -+=-，可知当3r =时，为含2x 的项.所以含2x 的项的系数为()3325C 2140-=-.12. 解析()6sin15sin 75sin15cos152sin 15452+=+=+=. 13. 解析 由题意可得22192e 48e bk b+⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e2bk ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以当33x =时，()333333111e e e ee 19224.2k b k b k b y +⎛⎫==⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭故选 C.14. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，()()0,,101M y y ，则11,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,,12EM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于异面直线所成的角的围为π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以cos θ==21y -()2222214181cos 1545545y y y y y θ-+⎛⎫+=⋅=- ⎪++⎝⎭令81y t +=，19t ，则281161,1814552y y t t+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦+-，所以24cos 0,25θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ的最大值为25，此时0y =. 15. 解析①.由()()1212f x f x m x x -=-得()()1122f x mx f x mx -=-.令()()2xF x f x mx mx =-=-，则()()12F x F x =，故()F x 不单调. 当0m时，()F x 为单调递增函数，不符合题意.当0m >时，()2ln 2xF x m '=-,由于2ln 2x y =是值域为()0,+∞的单调递增函数，故必存在一个0x ，使得()00F x '=.且当()00,x x ∈时，()0F x '<.当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>.即()F x 不单调.所以①正确.②.由()()1212g x g x n x x -=-得()()1122g x nx g x nx -=-.令()()()22G x g x nx x ax nx x a n x =-=+-=+-，则()()12G x G x =，即对任意的a ，()G x 不单调.取0a =，则()2G x x nx =-.此时对任意的n ，()G x 都不单调.所以不一定有0n >.②错误.③.若m n =，则()()()()12121212f x f xg x g x x x x x --=--，即()()()()1122f x g x f x g x -=-. 令()()()22x H x f x g x x ax =-=--，则()H x 不单调. 令()2ln 220x H x x a '=--=，得2ln 22xa x =-要有根.令2ln 22,xy x =-则()22ln 22x y '=-，是值域为()2,-+∞的增函数.所以存在0x ，使得()022ln 220x -=.所以2ln 22xy x =-在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增，存在最小值.因此，对于任意的a ，2ln 22xa x =-不一定有根.所以③错误.④.若m n =-，则()()()()12121212f x f xg x g x x x x x --=---，即()()()()1122f x g x f x g x +=+. 令()()()22xR x f x g x x ax =+=++,则()R x 不单调.令()2ln 220xR x x a '=++=，得2ln 22xa x =--要有根.而2ln 22x y x =--是值域为(),-∞+∞的减函数，所以2ln 22x a x =--一定会有根.所以对任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-.④正确.所以真命题为①，④. 16. 分析利用1n n n a S S -=-及题设可得n a 与1n a -的关系为()*121,nn a a n n -=>∈N ，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用1a ，21a +，3a 成等差数列，可求得12a =，从而求得通项公式；（2）由（1）得112n n a =，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前n 项和公式，可求得112n nT =-，代入111000n T -<，即可得使111000n T -<成立的n 的最小值. 解析 （1）由已知12n n S a a =-，可得()*11222,n n n n n a S S a a n n --=-=-∈N ，即()*122,nn a a n n -=∈N .则212a a =，32124a a a ==.又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即()13221a a a +=+. 所以()1114221a a a +=+，解得12a =.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故2nn a =.（2）由（1）可得112n n a =，所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<，得111121000n --<，即21000n>.因为9102512100010242=<<=，所以10n.所以使111000n T -<成立的n 的最小值为10. 17. 分析（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.“A 中学学至少有1名学生入选代表队”的对立事件为“参赛学生全从B 中学抽取”，“参赛学生全从B 中学抽取”的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选的概率为1991100100-=；（2）由于总共有3名男生，所以X 的最大取值为3，又由于要抽取4人，而女生只有3人，所以至少有1名男生，所以X 的所有可能取值为1，2，3.由古典概型的概率公式可求出其分布列，进而求得其期望.解析 （1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.()133346C C 11C 5P X ===；()223346C C 32C 5P X ===；()313346C C 13C 5P X ===所以X 的分布列为：因此，X 的期望为()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=. 18. 分析 （1）注意ABCD 是底面，将平面展开图还原可得点,,F G H 的位置；（2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明MN 平行于平面BDH 的一条直线.连接,O M ，易得MNHO 是平行四边形，从而//MN OH ，进而证得//MN 平面BDH ；（3）要作出二面角A EG M --的平面角，首先要过点M 作平面AEGC 的垂线，然后再过垂足作棱EG 的垂线，再将垂足与点M 连接，即可得二面角A EG M --的平面角. 解析 （1）点F ，G ，H 的位置如图所示.（2）设O 为BD 的中点，连接BD ，OM .因为,M N 分别是BC ，GH 的中点，所以//OM CD ，且12OM CD =， //NH CD ，且12NH CD =，所以=//OM NH ，所以MNHO 是平行四边形，从而//MN OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以//MN 平面BDH . （3）连接AC ，过M 作MP AC ⊥于点P .在正方体ABCD EFGH -中，//AC EG ，所以MP EG ⊥.过P 作PK EG ⊥于点K ，连接KM ，所以EG ⊥平面PKM ，从而KM EG ⊥. 所以PKM ∠是二面角A EG M --的平面角. 设2AD =，则1CM =，2PK =， 在Rt CMP △中，2sin 452PM CM ==.G ECEG在Rt KMP △中，KM ==所以cos PK PKM KM ∠==.即二面角A EG M --.（另外，也可利用空间坐标系求解）19. 分析 （1）首先切化弦得sin2tan 2cos 2AA A=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘2sin2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，所以只需求出sin ,sin A B 即可. 由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D A =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .解析 （1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A A A A A A A A-===. （2）由180A C ∠+∠=，得180C A ∠=-∠，180D B ∠=-∠. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D +++= ()()()()1cos 1801cos 1801cos 1cos sin sin sin 180sin 180A B A B A B A B ------+++=--22sin sin A B +.连接BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB ADA =+-，G E在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-=++，则()()2222222265343cos 2265347AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===+⨯+⨯，所以sin A ===连接AC ，同理可得()()2222222263541cos 22635419AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===+⨯+⨯， 所以sin19B===.所以tantan tan tan 2222A B C D +++=22sin sin 3A B +==. 20. 分析（1）根据椭圆的对称性，当直线l 与x 轴平行时，()2,1B -，()2,1A ，将这个点的坐标代入椭圆的方程，得22211a b+=.再根据离心率得2c a =，又，三者联立，解方程组即可得2,2a b ==，进而得椭圆的方程为22142x y +=；（2）先利用l 与x 轴平行和垂直这两种特殊情况找出点Q 的坐标为()0,2Q .接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线l ，均有QA PAQB PB=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由图可看出12PA x PBx =，为了证明QA PA QB PB =，只需证明12QA x QB x =，为此作点B 关于y轴对称的点()22,B x y '-，这样将问题转化为证,,Q A B '三点共线. 解析 （1）由已知点)在椭圆E 上.222a b c -=所以222222112a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆E 方程为22142x y +=. （2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于,C D 两点. 如果存在定点Q 满足条件，则1QC PCQD PD==，即QC QD =. 所以点Q 在y 轴上，可设点Q 的坐标为()00,y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于,M N 两点.则(M，(0,N ，由QM PM QNPN=，=01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标只可能为()0,2Q . 下面证明：对任意的直线l ，均有QA PAQB PB=. 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，,A B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=.其判别式()22168210k k ∆=++>，， 所以122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+.因此121212112x x k x x x x ++==. 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为()22,B x y '-.又11121QA y k k x x -==-，2221211QB y k k k x x x '-==-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线. 所以12QA QA x PAQB QB x PB==='. 故存在与点P 不同的定点()0,2Q ，使得QA PAQB PB=恒成立. 21. 分析（1）首先对函数()f x 求导，得()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+⎪⎝⎭，然后再求导得()222112222242x a a g x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=.利用导数的符号即得其单调性.此题分1204a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和1204a ⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况讨论；（2）要使得()0f x 在区间()1,+∞恒成立，且()0f x =在()1,+∞有唯一解，则这个解0x 应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求()f x 的极小值.由()00f x '=，解得0011ln 1x x a x ---=+，代入()f x 得()200000000011001ln 1ln 2ln 211x x x x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫----=-++-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2000011001ln 1ln 211x x x x x x --⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭.是否存在0x 使得()00f x =呢？为此，令()2111ln 1ln 2ln 211x x x x x x x x x x x ϕ------⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2111ln 1ln 211x x x xx x ------⎛⎫+ ⎪++⎝⎭. 因为()110ϕ=>，()()211e e 2e 2e 201e 1e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭，故存在()01,e x ∈，使得()00x ϕ=.接下来的问题是，此时的a 是否满足()0,1a ∈呢？令000101ln 1x x a x ---=+，()()1ln 1u x x x x =--.由()110u x x'=-知，函数()u x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()()0011101e e 2011111e 1eu u x u a x ----=<=<=<++++，即()00,1a ∈. 当0a a =时，有()00f x '=，()()000f x x ϕ==.由（1）知，函数()f x '在区间()1,+∞上单调递增.故当()01,x x ∈时，有()00f x '<，从而()()00f x f x >=；当()0,x x ∈+∞时，有()00f x '>，从而()()00f x f x >=；所以当()1,x ∈+∞时，()0f x .解析 （1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，所以()222112222242x a a g x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间10,2⎛- ⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在区间1122⎛-⎝⎭上单调递减. 当14a时，()g x 在区间()0,+∞上单调递增. （2）由()()22ln 210a f x x a x x ⎛⎫'=---+= ⎪⎝⎭，解得11ln 1x x a x ---=+. ()2211111ln 1ln 1ln 1ln 2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则()110ϕ=>，()()211e e 2e 2e 201e 1e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭. 故存在()01,e x ∈，使得()00x ϕ=.令000101ln 1x x a x ---=+，()()1ln 1u x x x x =--≥由()110u x x'=-知，函数()u x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()()0011101e e 2011111e 1eu u x u a x ----=<=<=<++++，即()00,1a ∈. 当0a a =时，有()00f x '=，()()000f x x ϕ==. 再由（Ⅰ）可知，()f x '在区间()1,+∞上单调递增.故当()01,x x ∈时，有()00f x '<，从而()()00f x f x '>=； 当()0,x x ∈+∞时，有()00f x '>，从而()()00f x f x >=； 所以当()1,x ∈+∞时，()0f x .综上所述，存在()0,1a ∈，使得()0f x 在区间()1,+∞恒成立，且()0f x =在()1,+∞有唯一解.。

2015年四川省高考数学（理）试卷真题答案及解析一、选择题1. 设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B ⋃= A.{|13}x x -<< B. {|11}x x -<< C. {|12}x x << D. {|23}x x << 【答案】A 【解析】{|12}A x x =-<<，且{|13}B x x =<< {|13}A B x x ∴⋃=-<<，故选A 2. 设i 是虚数单位，则复数32i i-= A.i - B. 3i - C. i D. 3i【答案】C【解析】3222i i i i i i-=--=，故选C3. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 A. 32-B.32C. 12-D. 12【答案】D【解析】进入循环，当5k =时才能输出k 的值，则51s in62S π==，故选D4. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是A. c os (2)2y x π=+ B. s in (2)2y x π=+ C. s i n 2c o s 2y x x =+ D. s i n c o s y x x =+ 【答案】A 【解析】A. c o s (2)s i n 22y x xπ=+=-可知其满足题意 B. s i n (2)c o s 22y x x π=+=可知其图像的对称中心为(,0)()42k k Z ππ+∈，最小正周期为πC. s i n 2c o s 22s i n (2)4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()28k k Z ππ-∈，最小正周期为π D. s i n c o s 2s i n ()4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()4k k Z ππ-∈小正周期为2π5. 过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则||AB = A.433B. 23C. 6D. 43 【答案】D【解析】由题可知渐近线方程为3y x =±，右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A (2,23)，B (2,23)-，所以||43A B =6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】分类讨论① 当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数，其余位置没有限制，故有133472CA =种。

=2 答案：C 2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工农医类)第I 卷参考公式:P n (k)=C ；p k (1 — p)n±(k =0,1,2,…n)一、选择题：(1) i 是虚数单位，计算i + i 2 + i 3 = (A )- 1( B ) 1(C ) -i(D ) i解析：由复数性质知：i 2=- 1 故 i + i 2+ i 3= i +( — 1)+( — i) =- 1 答案：A (2)下列四个图像所表示的函数，在点 x = 0处连续的是解析：由图象及函数连续的性质知， D 正确.答案：D (3)2log 510 + log 50 . 25=―(A ) 0( B ) 1( C ) 2解析：2log 510+ log 50. 25P(A+B) =P(A)+P(B)s 二 4 二 R 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A B)=P(A) P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么4 D 2 v R3在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式(B ) (C )(D) 4w=log 5100 + log50. 25=log 525=2答案：C(A )甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱(B )甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱80(4) 函数f(x) = x2+ mx+ 1的图像关于直线(A) m = _2 ( B) m = 2答案：A2解析：由BC = 16,得| BC| =4 AB AC I A^-A C而AB AC AM答案：C w…(6)将函数y =sin x的图像上所有的点向右平行移动'个单位长度，再把所得各点的横坐10标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是w—m(A) y =sin(2x ) (B) y = sin(2x )10 51 兀 1 兀(C) y 二sin(—x ) (D) y 二sin(—x )2 10 2 20解析：将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动一个单位长度，所得函数图象的解析10式为y= sin(x—) •10再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是1 ny"门(异-石).答案：C(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两解析：函数f( x) = x2+ mx+ 1的对称轴为x= —曰疋—m= 1 =• m= —22x=1对称的充要条件是(C) m - -1(5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜，BC2=16,AB ACi IA^-A C.贝y(A)8 (B)4 (C) 2 (D ) 1w_w-=BC = 4故二2车间每天总获利最大的生产计划为（D ）甲车间加工原料 40箱，乙车间加工原料 30箱 解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱x y _ 70nt I则 <10x+6y 兰480x, y N目标函数z = 280x + 300y结合图象可得：当 x = 15, y = 55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验 . 答案：Bw … （8）已知数列的首项印=0，其前n 项的和为S n ，且S n.i =2S 「印，则lim n 二1（A ）0（ B ） —（ C ） 1 （ D ）22解析：由 & 1=2Sn ' a 1,且Sn 2-2S n 1a1 1作差得 a n +2 = 2a n +1^又 S 2 2S 1 + a 1, 即卩 a ? + a 1 2 a 1 + a^ —■ a ? 2 a 1故｛a n ｝是公比为2的等比数列S n = a 1+ 2a 1 + 22a 1 + .......................... + 2n 1a 1= (2n — 1) a 1则 lima n= lim nn；：S nn ::(2n -1)a 1答案：B2 2xy（9）椭圆二 2 =1（a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点a bP 满足线段AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是 co（A ） 0,彳（B ） 0,1（C ）J2-1,1（D ） 1,1解析：由题意，椭圆上存在点 P ,使得线段AP 的垂直平分线过点F ,2nJ 31即F 点到P 点与A 点的距离相等m2 ,2ab而 | FA| = C = 一c c| PF| € [a — c, a + c]即 ac — c ?w ac + c ?.j ac _c 2 兰 a 2 _c 2 a 2 -c 2 乞ac c 2于是b 2€ [ a — c, a + c]c—叮屏11 或--a — 2又e€ (0, 1)故e€ |-,1 | '2丿答案：D(10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且-3都不与5相邻的六位偶数的个数是(A)72 ( B)96 ( C) 108 ( D)144w …解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法_…①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3 A f A f = 24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2 = 12个算上个位偶数字的排法，共计3(24 + 12) = 108个答案：C(11)半径为R的球O的直径AB垂直于平面「，垂足为B , BCD是平面〉内边长为与球面交于点M , N,/A、f 17(A) Rarccos——25 那么R的正三角形，线段AC、M、N两点间的球面距离是厂18(B) Rarccos -25(C)AD分别解析: 由已知,1 AB = 2R, BC = R,故tan / BAC = —•一.…2cos/ BAC =连结OM，则△ OAM为等腰三角形4品4亦AM = 2AOcos / BAC = R，同理AN= R，且MN// CD w5 5而AC = . 5R, CD = R故MN : CD = AN:AC w一MN = 4R ,5连结OM、ON, 有OM = ON= R于是cos/ MON =2 2 2OM ON -MN2OM LON172517所以M 、N 两点间的球面距离是 Rarccos25答案：A1i(12)设 a >b :- c ,0 ,则 2a 2 10ac ：-25c 2 的最小值是ab a(a_b)(A )2( B )4( C ) 2,5( D ) 5解析： 2a 2 — 110ac - 25c 2ab a(a —b)=(a -5c)2 ab 丄 a(a -b) --ab a(a —b)> 0 + 2+ 2=4当且仅当a — 5c = 0, ab = 1, a( a -b) = 1时等号成立2c = 2满足条件5答案：B=(a _5c)2a 2 —ab ab 丄 --ab a(a —b)如取a =第口卷、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上1 6(13) (2-3—)6的展开式中的第四项是.Jx(14)直线x -2y 5=0与圆x 2 y 2 =8相交于A 、B 两点，则 AB 〒解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2、、2故 LABJ 二.、二二=二 2 二…2得 | AB| = 2 3 答案：2 3(15)如图，二面角〉-I - '■的大小是60°,线段AB 二：；• B 三丨,AB 与I 所成的角为30° .则AB 与平面1所成的角的正弦值是•解析：过点A 作平面B 的垂线，垂足为 C ,在B 内过C 作I 的垂线•垂足为D 连结AD ，有三垂线定理可知 AD 丄I ,故/ ADC 为二面角：• -I - 1的平面角，为60° 又由已知，/ ABD = 30° 连结CB ,则/ ABC 为AB 与平面一：所成的角..设 AD = 2，贝V AC = /3 , CD = 1ADAB =0 =4sin 30AC 3--sin / ABC =AB 4答案：空解析: T 4= C ；23160x答案:160 x 圆心到直线x -2y • 5=0的距离为4(16)设S为复数集C的非空子集.若对任意x, y S ,都有x • y,x - y,xy • S ,则称S为封闭集。

2015年高考四川理科数学试题及答案解析2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）（A ）{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}A B x x ∴=-<<，故选A ． （2）【2015年四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-=（ ） （A ）i - （B ）3i - （C ）i （D ）3i 【答案】C【解析】3222ii i i 2i i i i-=--=-+=，故选C ． （3）【2015年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ） （A ）3 （B ）3（C ）12- （D ）12 【答案】D【解析】易得当1,2,3,4k =时时执行的是否，当5k =时就执行是的步骤，所以51sin 62S π==，故选D ． （4）【2015年四川，理4】下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2y x π=+ （C ）sin 2cos2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+【答案】A【解析】显然对于A ，cos(2)sin 22y x x π=+=-，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题意，故选A ． （5）【2015年四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ） （A 43 （B ）23 （C ）6（D ）43 【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3y x =±，且右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为 A (2,23)，B (2,23)-，∴||43AB =D ．（6）【2015年四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472C A =种；②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有132448C A =种，综上所述：总共有72+48=120种，故选B ．（7）【2015年四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ） （A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B 建立直角坐标系，可得到()0,6A ，()3,0M ，()4,2N ，∴()3,6AM =-，()1,2NM =--，∴3129AM NM ⋅=-+=，故选C ． （8）【2015年四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“331ab>>”是“log 3log 3ab<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知条件333ab>>可得1a b >>．当1a b >>时，33log log 0a b >>．∴3311log log a b<，即log 3log 3a b<．∴“333ab>>”是“log 3log 3ab<”的充分条件．然而取1133a b =<<=则log 30log 3ab<<，满足log 3log 3a b <，却不满足1a b >>．∴“333ab>>”是“log 3log 3a b<”的不必要条件．综上“333a b>>”是“log 3log 3a b<”的充分不必要条件，故选B ．（9）【2015年四川，理9】如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B∴sin 23r θ<2224sin 423164r r r r r r θ-==-<⇒<，因此，24r <<，故选D ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2015年四川，理11】在()521x -的展开式中，含2x 的项的系数是 ． 【答案】-40【解析】由题意可知2x 的系数为：22352(1)40C ⨯⨯-=-． （12）【2015年四川，理12】°°sin15sin 75+的值是 ． 6【解析】()36sin15sin 75sin15cos152********︒+︒=︒+︒=︒+︒=︒==．（13）【2015年四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：°C ）满足函数关系kx by e += （ 2.718e =为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在°0C 的保鲜时间是192小时，在°23C 的保鲜时间是48小时，则该食品在°33C 的保鲜时间是________小时． 【答案】24【解析】0+192k b e ⨯= ①，2248k b e ⨯+= ②，∴221142k ke e ==⇒=②①， ∴当33x =时，33k bex += ③，∴()3331248192kk x e e x ====⇒=③①．（14）【2015年四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．【答案】25【解析】以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为E A D2，则()0,0,0A ，()2,1,0F ，()1,0,0E ，()0,,2M m ，∴()2,1,0AF =，()1,,2EM m =-∴2cos 55AF EM AF EMm θ⋅==⋅+令[]2()0,2)525f m m m =∈+ 22(2)105252525()m mm m f m -⨯-+-+'=，[]0,2m ∈，()0f m '∴<max2()(0)5f m f ∴==，从而max2cos 5θ=．（15）【2015年四川，理15】已知函数()2xf x =，()2g x x ax =+(其中a R ∈)．对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x-=-，现有如下命题：(1) 对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；(2) 对于任意a 的及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； (3) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； (4) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-． 其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】(1) (4)【解析】(1)设1x ，2x ,∵函数2xy =是增函数，∴1222x x >，120x x ->，则1212()()f x f x m x x-=-=12x 1222x x x -->0， 所以正确； (2)设12x x >，则12x x->，∴()()22121122121212g x g x x ax x ax n x x ax x x x -+--===++--不妨我们设121,2,3x xa =-=-=-，则60n =-<，矛盾，所以(2)错．(3)∵m n =，由(1)(2)可得：()()()()12121212f x f xg x g x m n x x x x--===--，化简得到，()()()()1212f x f x g x g x -=-，也即()()()()1122f xg x f x g x -=-，令()()()22xh x f x g x x ax =-=--，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ．则()2'2ln 2x h x x a=--，2()2ln 2xh x x a '=--，显然当a →-∞时，()'0h x >恒成立，即()h x 单调递增，最多与x 轴有一个交点，不满足题意，所以错误． (4)同理可得()()()()1122f xg x g x f x +=+，设()()()22x h x f x g x x ax =+=++，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ，从而()h x 不是恒为单调函数．()'2ln22x h x x a =++，()()2''2ln220xh x =+>恒成立，∴()'h x 单调递增，又∵x →-∞时，()'0h -∞<，x →+∞时，()'0h +∞>．所以()h x 为先减后增的函数，满足要求，所以正确．三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2015年四川，理16】（本小题满分12分）设数列{}na 的前n 项和12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000nT -<成立的n 的最小值． 解：（Ⅰ）当2n ≥时有，11112(2)nn n n n a S S a a a a --=-=---，则12nn aa -=(2)n ≥，12n n aa2n ， ∴数列{}na 是以1a 为首项，2为公比的等比数列．又由题意得21322a a a +=+，1112224a a a ∴⋅+=+，∴12a =，∴2nna=*()n N ∈（Ⅱ）由题意得112nna =，∴111[1()]11221()12212n nnn i i T =-===--∑，则2111-=()22nnT -=（），又1091111,210242512==，即11110241000512<<111000nT ∴-<成立时，n 的最小值为10n =．（17）【2015年四川，理17】（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设事件A 表示“A 中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：33343366199()11100100C C P A C C =-⋅=-= （Ⅱ）由题意，知1,2,3X =，3133461(1)5C C P X C ===；2233463(2)5C C P X C ===；1333461(3)5C C P X C ===因此X 的分布列为：期望为：131()1232555E X =⋅+⋅+⋅=．（18）【2015年四川，理18】（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ．（Ⅰ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；X 123P 153515（Ⅱ）证明：直线//MN 平面BDH ；（Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值．解：（Ⅰ）如下图所示： NM D HCGFAE（Ⅱ）如答图所示，连接BD ，AC 相交于点O ，连接MO∵M 、O 分别为线段BC 、BD 的中点，∴////MO CD GH 且1122MO CD GH NH === ∴四边形QMNH 为平行四边形，∴//OH MN ，又∵OH ⊂平面BDH ，∴//MN 平面BDH （Ⅲ）连接EG ，过点M 作MP AC ⊥于点P ，过点P 作PQ EG ⊥于点Q ，连接MQ ，由三垂线定理可得EG MQ ⊥，∴PQM ∠为二面角A EG M --的平面角，设正方体棱长为4a ，则4PQ BC a ==，∴2MC a =，∵45MCP ∠=︒，2MP a ，所以22tan MP a PQM PQ ∠==，所以22cos PQM ∠=，所以22cos cos A EG M MLK <-->=∠=，即二面角的余弦值为223（19）【2015年四川，理19】（本小题满分12分）如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角．（Ⅰ）证明：1cos tan 2sin A A A-=； （Ⅱ）若180oA C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tan tan tan tan 2222A B C D+++． OMDCFB A EP Q MEACDCB A DF解：（Ⅰ）证明：2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===⋅．（Ⅱ）∵180oA C +=，∴()()cos cos 180cos ,sin sin 180sin C A A C A A =︒-=-=︒-=， ∴1cos 1cos 1cos 1cos 2tan tan 22sin sin sin sin sin A C A C A A A C A A A---++=+=+=，∵180oA C +=，∴180oB D +=同理可得2tan tan 22sin B D B +=，∴11tan tan tan tan 22222sin sin A B C D A B ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭连接BD ，设BD x =，在ABD ∆和CBD ∆中分别利用余弦定理及180oA C +=可得：cos cos A C =-，即2222226534265234x x+-+-=-⋅⋅⋅⋅，解得22477x =，从而得3cos 7A =，210sin A =．同理可得，1cos 19B =，610sin B =，∴11410tantan tan tan 2()2()2222sin sin 210610A B C D A B +++=+=+=．（20）【2015年四川，理20】（本小题满分13分）如图，椭圆2222:1x yE a b+=的离心率是2，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22． （Ⅰ）球椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题知椭圆过点()2,1．因此可得：222222211c e a a b a b c⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=+⎩，解得：2a =，2b c ==．∴椭圆E 的方程为：22142x y +=．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q ．当直线l 平行于x 轴时，则1QA PA QB PB==，,A B 两点关于y 轴对称， ∴Q 点在y 轴上．不妨设()0,Q a ，当直线l 垂直于x 轴时，()(2,0,2A B -， 212212QA PA a QB PB a --===++解得2a =或1a =（舍去，否则Q 点就是P 点），∴P 点的坐标为()0,2．下面我们证明对于一般的直线:1l y kx =+，()0,2Q 也满足题意．∵QA PA QB PB =，∴由角平分线定理可知，y 轴为AQB ∠的角平分线．所以QAQBk k =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，则111y kx =+，221y kx =+，联立：22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 可得，()2212420k x kx ++-=， 由韦达定理可得，122412k x xk +=-+，122212x xk -=+， ∴11111211QAy kx kk x x x --===-，22222211QBy kx kk x x x --===-，两式相加得，121212112+2220QA QB x xk k k k k k x x x x ⎛⎫++=-=-=-= ⎪⎝⎭，即QAQBkk =-，从而，假设成立，即存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立． （21）【2015年四川，理21】（本题满分14分）已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >．（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； （Ⅱ）证明：存在()0,1a ∈，使得()0f x ≥在区间()1,+∞内恒成立，且()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解．解：（Ⅰ）∵()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，∴求导可得，()2'2ln 222af x x x a x=---+-，即()()22ln 2220,0ag x x x a a x x==---+->>∴()()()222222'20,0x x a ag x a x x x x -+-=++=>>，对于多项式2x x a -+，（1）当140a ∆=-≤，即14a ≥时，2xx a -+≥恒成立．此时，()'0g x ≥恒成立，所以()g x 恒单调递增．（2）当104a <<时，一元二次方程20x x a -+=有两个实数根，设为12,x x ．那么求根可得：111410,2a x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，21141,12a x+-⎛⎫=⎪⎝⎭①令()'0g x >，即()200x x a x -+<>，解得：10x x <<，2x x >．所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞，时单调递增．②令()'0g x <，即()200x x a x -+<>，解得：12x x x <<，所以()g x 在()12,x x ，时单调递减．综上所述：当14a ≥时，()g x 在()0,+∞上单调递增． 当104a <<时，()g x 在114114),()a a--+-+∞上单调递增，114114)a a --+-上单调递减．（Ⅱ）∵()0,1a ∈，∴由（Ⅰ）可知()()'f x g x =在()1,+∞内单调递增．又1x +→时，()()1lim ''1222240x f x f a a a +→==--+-=-<，当x →+∞时，显然()()lim ''0x f x f →+∞=+∞>．而()'f x 在()1,+∞是单调递增的，因此在()1,+∞内必定存在唯一的0x 使得()0002'2ln 2220af x x x a x=---+-= ……………．． ① ∴当01x x <<时，()'0f x <，当0x x >时，()'0f x >，∴()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴()()0min f x f x =．由已知条件()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解，∴必有()()0min0f x f x ==．即()()22000002ln 220f x x a x x ax a a =-++--+= ………………………． ②由①式得到00ln 2a x x a x =+-+带入②式化简得：()()2232000025220a x x a x x +---=，即()()20220x x a x a -+-=，注意这里的a 比较容易解出，因此我们可以用0x 表示a ，解得： 02xa =，2002a x x =- (1)当01(,1)22x a =∈时，带入①式可得，22ln 230a a --=…………………．． ③即讨③是否有解．令()22ln 23h a a a =--，()()212'20a h a aa-=-=< ∴()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．又∵()11302h a h ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，∴③式无解．(2)当22a x x =-时，∵01a <<，∴012x <<，把2002a x x =-带入①式可得，20022ln 60x x --= ………………．．④即讨论④是否有解．又设2000()22ln 6h x x x =--，()()200002212'4x h x x x x -=-=，∵()01,2x ∈，∴()0'0h x >恒成立，∴0()h x 在()1,2上单调递增．∴()(1)4h x h >=-，()()222ln 20h x h <=->． ∴()h x 与x 轴有交点，从而20022ln 60x x --=在()1,2上有解． 从而命题得证！。