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2020届四川省高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)

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普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.cos 2π8–sin 2π8= . 12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 。

正视图33114.已知函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f （x ）=4x ，则f （）+ f （1）= 。

15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.0.520.400.160.120.080.04 4.53.51.5组距频率（I ）求直方图中a 的值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD.E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.EDCBPA（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； (II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 19.（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n N ∈. （I ）若2322,,2a a a +成等差数列，求{n a }的通项公式；(ii)设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.20.（本小题满分13分） 已知椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线l ’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得∣PT ∣2=λ∣P A ∣·∣PB ∣，并求λ的值. 21.（本小题满分14分）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．B 二、填空题11 12．3213 14．–2 15．②③ 三、解答题16．（本小题满分12分）（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a +0.20+0.26+0.5×a +0.06+0.04+0.02=1， 解得a =0.30．（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12=36 000．（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x <3．由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73， 解得x =2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．17．（本小题满分12分） （Ⅰ）根据正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin cC=k (k >0)． 则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ． 代入cos A a +cos B b =sin Cc中，有 cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C k C，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ． （Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A =2222b c a bc +-=35．所以sin A =21cos A -=45． 由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ， 所以45sin B =45cos B +35sin B ， 故tan B =sin cos BB=4．18. （本小题满分12分）（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M （M ∈平面P AB ），点M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC ∥ED ，且BC =ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形. 从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .（说明：延长AP 至点N ，使得AP =PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点） （Ⅱ）方法一：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 从而CD ⊥PD.所以∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH. 易知PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥CE. 于是CE ⊥平面PAH. 所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE. 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=2. 在Rt △PAH 中，2， 所以sin ∠APH=AH PH=13. 方法二：P由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°.由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r =（0,0,2）设平面PCE 的法向量为n =(x,y,z)，由0,0,PE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u u u u u r u u u r n n 得20,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩ 设x=2，解得n =(2,-2,1). 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α=||||||AP AP ⋅⋅u u u u ru u u r n n13= . 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.19.（本小题满分12分）（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等差数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e = .由253e =解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->1*k q k -?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-， 故121433n nn n e e e --++鬃?>. 20.（本小题满分13分）（I）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.有方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（II ）由已知可设直线l ' 的方程为1(0)2y x m m =+≠， 有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，， 可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，， 可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅.21.（本小题满分14分）（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由'()f x =0，有x =此时，当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减； 当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增. （II ）令()g x =111ex x --，()s x =1e x x --. 则'()s x =1e 1x --. 而当1x >时，'()s x >0，所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增. 又由(1)s =0，有()s x >0， 从而当1x >时，()f x >0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<. 故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当12a <<>1. 由（I ）有(1)0f f <=,从而0g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当12a ³时，令()()()(1)h x f x g x x =-?， 当1x >时，3212222111112121()2e 0xx x x x h x ax x x x x x x x x --+-+¢=-+->-+-=>>，因此，()h x 在区间(1,)+?单调递增.又因为(1)=0h ，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =-> ，即 ()()f x g x >恒成立. 综上，1[,)2a ??。

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2020年四川省高考数学(理科)模拟试卷(5)

2020年四川省高考数学(理科)模拟试卷(5)


优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100
参考公式及数据：
??2 =
??(????-??2??)
，??=
(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)
??+
??+
??+
??．
P（ K2≥ k0） 0.05
0.01 0.005 0.001
k0
3.841 6.635 7.879 10.828
18．（ 12 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形，∠ ABC＝ 60°， PA⊥平面 ABCD ， AB＝ 2， PD 与平面 ABCD 所成的角为 45°，点 M 为 PC 的中点．
第 1页（共 19页）
A ．2
B．3
C． 4
D．5
??2 ??2
6．（5 分）已知点 （ 1，2）在双曲线 ??2 - ??2 = 1 的渐近线上， 则该双曲线的离心率为 （
）
3 A．
2
B ．√5
√5 C．
2
√6 D．
2
7．（ 5 分）设 x∈R，则“ x＞ 12”是“（1﹣ 2x）（ x+1）＜ 0”的（
应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（
）
50 A ． 斗粟
7
10 B ． 斗粟
7
20 C． 斗粟
7
1 【解答】 解：由题意可知 x， y， z 依次成公比为 的等比数列，
2
则 x+y+z＝4z+2z+z＝ 5，
15 D． 斗粟
7
2020学年高考数学模拟考试四川省成都七中高考数学一诊理科数学试卷(Word版含解析)

2020学年高考数学模拟考试四川省成都七中高考数学一诊理科数学试卷(Word版含解析)

2020年高考模拟试卷高考数学一诊试卷（理科）一、选择题1．复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，则Im（）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15 3．关于函数f（x）＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）是偶函数C．f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称D．f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增4．已知a＞0，b＞0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如果的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．在约束条件：下，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab 的最大值等于（）A．B．C．D．7．已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A．B．C．D．8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．3849．已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足当x≠2时，（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B．f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）10．对圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上任意一点P（x，y），|3x﹣4y﹣9|+|3x﹣4y+a|都与x，y无关，则a的取值区间为（）A．[6，+∞）B．[﹣4，6] C．（﹣4，6）D．（﹣∞，﹣4] 11．若，，满足，|，则的最大值为（）A．10 B．12 C．D．12．点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点，，动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PB1∥面DMN，则PC的长度范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题）13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为．14．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为．15．设O、F分别是抛物线y2＝2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则的最大值为．16．若实数a，b∈（0，1）且ab＝，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题）17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C ＝．（1）求角C的大小；（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求a、b的值．18．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生26 24 50女生30 20 50合计56 44 100 （Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1EB；（Ⅲ）求直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．21．已知函数f（x）＝tx+lnx（t∈R）．（1）当t＝﹣1时，证明：f（x）≤﹣1；（2）若对于定义域内任意x，f（x）≤x•e2x﹣1恒成立，求t的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系下，知圆O：ρ＝cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，则Im（）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．解：∵，又复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，∴Im（）＝﹣1．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15【分析】根据程序框图判断，程序的运行功能是求S＝﹣12+22﹣32+42，计算可得答案．解：由程序框图知，程序的运行功能是求S＝﹣12+22﹣32+42﹣…可得：当i＝5时，不满足条件i＜5，程序运行终止，输出S═﹣12+22﹣32+42＝10．故选：C．3．关于函数f（x）＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）是偶函数C．f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称D．f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增【分析】根据正切函数的性质与性质，结合绝对值的意义，对选项中的命题分析、判断即可．解：对于函数f（x）＝|tan x|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；又f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|tan x|＝f（x），所以f（x）是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f（x）的图象知，f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称，C正确；根据f（x）的图象知，f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增，D 正确．故选：A．4．已知a＞0，b＞0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a ＝，b＝，即可判断出结论．解：∵a＞0，b＞0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a＝，b＝，满足a+b≤2且ab≤1，而a≤1且b≤1不成立．故“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的充分不必要条件．故选：A．5．如果的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系，即可得到n的最小值．解：∵的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•，令＝0，可得n＝5r，r＝0，1，2，3，…，n．∵展开式中含有常数项，∴n＝5r能成立，则正整数n的最小值为5，故选：C．6．在约束条件：下，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab 的最大值等于（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z＝ax+by（a＞0，b＞0），则，平移直线，由图象可知当直线经过点A（1，2）时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z＝ax+by得a+2b＝1．则1＝a+2b≥2，则ab≤当且仅当a＝2b＝时取等号，∴ab的最大值等于，故选：D．7．已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A．B．C．D．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式和前n项和公式得，由此能求出S5．解：由已知得：，解得a1＝4，q＝，∴＝＝．故选：B．8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．384【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+＝90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+＝234种，根据分类计数原理得到共有90+234＝324个．故选：A．9．已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足当x≠2时，（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B．f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）【分析】由f（x）＝f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x＝2对称，由（x﹣2）f′（x）＞0，可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）关于直线x＝2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；f（x）的最小值为f（2）∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）＝f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（2a），∴f（2）＜f（log2a）＜f（2a），故选：D．10．对圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上任意一点P（x，y），|3x﹣4y﹣9|+|3x﹣4y+a|都与x，y无关，则a的取值区间为（）A．[6，+∞）B．[﹣4，6] C．（﹣4，6）D．（﹣∞，﹣4] 【分析】由题意可得|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m：3x﹣4y+a＝0与直线l：3x﹣4y﹣9＝0距离之和的5倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距离公式求解直线3x﹣4y+a＝0与圆相切时的a值，则答案可求．解：因为|3x﹣4y﹣9|+|3x﹣4y+a|＝5（+），所以|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m：3x﹣4y+a＝0与直线l：3x﹣4y﹣9＝0距离之和的5倍，∵|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线m平移时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，即此时圆在两直线内部，当直线m与圆相切时，＝1，解得a＝6或a＝﹣4（舍去），故a≥6，故选：A．11．若，，满足，|，则的最大值为（）A．10 B．12 C．D．【分析】利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可．解：，，满足，|，则＝＝2cos﹣4cos﹣2cos+4≤12，当且仅当同向，，反向，反向时，取得最大值．故选：B．12．点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AB的中点，，动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PB1∥面DMN，则PC的长度范围为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，面DMN 截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中ME∥DN，BE＝1，取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH＝2，在AA1取点G，使AG＝1，则平面DMEN∥平面B1FHG，推导出P点的轨迹是线段GH，利用向量法能求出PC的长度范围．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，面DMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中ME∥DN，BE＝1，取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH＝2，在AA1取点G，使AG＝1，则平面DMEN∥平面B1FHG，∵动点P在正方形AA1DD1（包括边界）内运动，且PB1∥面DMN，∴P点的轨迹是线段GH，G（3，0，1），H（0，0，2），C（0，3，0），＝（﹣3，0，1），＝（0，3，2），∴点C到线段GH的距离d＝||•＝＝，∴PC的长度的最小值为，GC＝，HC＝，∴PC长度的最大值为．∴PC的长度范围为[]．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1 ．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤114．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为360 ．【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d＝1 解得d＝，∴中间一组的频数为：1600×（0.02+4d）＝360．故答案为：360．15．设O、F分别是抛物线y2＝2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则的最大值为．．【分析】设M（m，n）到抛物线y2＝2x的准线x＝﹣的距离等于d，由抛物线的定义可得＝＝，令m﹣＝t，利用基本不等式可求得最大值．解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2＝2m，m＞0，设M到准线x＝﹣的距离等于d，则由抛物线的定义得＝＝，令m﹣＝t，依题意知，m＞0，若t＞0，则＝＝≤，∴t max＝，此时（）max＝＝；若﹣＜t＜0，y＝t++单调递减，故y＜﹣1，∈（﹣1，0）；综上所述，（）max＝．故答案为：．16．若实数a，b∈（0，1）且ab＝，则的最小值为4+．【分析】由题意可得b＝，代入＝＝，＝＝×，然后利用基本不等式即可求解解：由题意可得b＝，则＝＝，＝＝×，＝+2＝4．故答案为：4+三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C ＝．（1）求角C的大小；（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求a、b的值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简sin（C﹣）•cos C＝，即可求出C的值；（2）根据向量、共线，得出sin B＝2sin A，即b＝2a①；由余弦定理得出a2+b2﹣ab＝9②，①②联立解得a、b的值．解：（1）sin（C﹣）•cos C＝（sin C cos﹣cos C sin）•cos C＝sin C cos C﹣cos2C＝sin2C﹣＝sin（2C﹣）﹣＝，∴sin（2C﹣）＝1；又0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，解得C＝；（2）向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，∴2sin A﹣sin B＝0，∴sin B＝2sin A，即b＝2a①；又c＝3，C＝，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝9②；由①②联立解得a＝，b＝2．18．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生26 24 50女生30 20 50合计56 44 100 （Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635 【分析】（Ⅰ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；（Ⅲ）ξ的所有取值为1，2，3．求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）由列联表得K2＝≈0.6494＜0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．…（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为＝3人，“非古文迷”有＝2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人…（Ⅲ）因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝．…所以随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 3P于是Eξ＝1×+2×+3×＝．…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1EB；（Ⅲ）求直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，根据三角形中位线定理可以证明四边形ECOD为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD，可证CD⊥平面A1ABB1，再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明；（Ⅲ）取A1C1中点F，连接B1F，EF，易知侧面ACC1A1⊥底面A1B1C1，∠FEB1是B1E与平面AA1C1C所成角，然后构造直角三角形，在直角三角形中求其正弦值，从而求解．【解答】证明：（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1且．又E是CC1中点，所以EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC＝OD．所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB＝BC＝AC，所以CD⊥AB，所以CD⊥平面A1ABB1．由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1．所以EO⊥AB1．因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，所以AB1⊥平面A1BE．（Ⅲ）解：取A1C1中点F，连接B1F，EF．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为BB1⊥平面ABC，所以侧面ACC1A1⊥底面A1B1C1．因为底面A1B1C1是正三角形，且F是A1C1中点，所以B1F⊥A1C1，所以B1F⊥侧面ACC1A1．所以EF是B1E在平面ACC1A1上的射影．所以∠FEB1是B1E与平面AA1C1C所成角.．解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．设边长为2，可求得A（0，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），，，E（0，2，1），，．（Ⅰ）易得，，．所以，所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．（Ⅱ）易得，，，所以．所以AB1⊥A1B，AB1⊥A1E．又因为A1B∩A1E＝A1，A1B，A1E⊂平面A1BE，所以AB1⊥平面A1BE．（Ⅲ）设侧面AA1C1C的法向量为n＝（x，y，z），因为A（0，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），所以，．由得解得不妨令n＝（1，0，0），设直线B1E与平面AA1C1C所成角为α．所以．所以直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【分析】（1）由椭圆的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），列出方程组，能求出椭圆C的方程．（2）设过M的直线：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k或者x＝1，x＝1时，代入椭圆，能求出k1+k2＝2；把y＝kx﹣k代入椭圆，得（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）＝0，由此利用韦达定理能求出k1+k2＝2．解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k或者x＝1①x＝1时，代入椭圆，y＝±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1＝，k2＝，∴k1+k2＝2．②y＝kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝﹣2k＝，y1y2＝k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2＝﹣，k1＝，k2＝，∴k1+k2＝＝2．21．已知函数f（x）＝tx+lnx（t∈R）．（1）当t＝﹣1时，证明：f（x）≤﹣1；（2）若对于定义域内任意x，f（x）≤x•e2x﹣1恒成立，求t的范围？【分析】（1）当t＝﹣1时，证明：f（x）≤﹣1，即是证明lnx﹣x≤﹣1，设g（x）＝lnx﹣x+1，只要证明g（x）的最大值≤0即可得证．（2）原式子恒成立即在（0，+∞）恒成立；只要求出函数y＝e2x﹣，x∈（0，+∞）的最小值即可．【解答】（1）证明：即是证明lnx﹣x≤﹣1，设g（x）＝lnx﹣x+1，；当0＜x＜1，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1，g'（x）＜0，g（x）单调递减；所以g（x）在x＝1处取到最大值，即g（x）≤g（1）＝0，所以lnx﹣x≤﹣1得证．（2）解法一：原式子恒成立即在（0，+∞）恒成立；由（1）可以得到x≥lnx+1，所以x•e2x≥ln（x•e2x）+1＝lnx+2x+1；所以所以，当且仅当x•e2x＝1时取＝，于是t的取值范围是（﹣∞，2]．解法二：设h（x）＝xe2x﹣tx﹣lnx（x＞0），原题即h（x）≥1恒成立；因为，而．所以h'（x）单调递增，又因为x→0时，h'（x）→﹣∞，当x→+∞时，h'（x）→+∞，所以h'（x）在（0，+∞）存在唯一零点，设为x0．所以．所以，且h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，于是h（x）的最小值为，原题即．即，由此式子必0＜x0＜1，，把后面的不等式两边同时取对数整理后得2x0+ln（2x0）≤ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0）．易证明函数y＝x+lnx是增函数，所以得2x0≤﹣lnx0，所以．故由，得到．于是t的取值范围是（﹣∞，2]．解法三：原式子恒成立即在（0，+∞）恒成立；设，，设Q（x）＝2x2e2x+lnx，，所以Q（x）单调递增，且，Q（1）＞0；所以Q（x）有唯一零点x0，而且，所以．两边同时取对数得2x0+ln（2x0）＝ln（﹣lnx0）+（﹣lnx0）．易证明函数y＝x+lnx是增函数，所以得2x0＝﹣lnx0，所以．所以由φ（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以，于是t的取值范围是（﹣∞，2]．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系下，知圆O：ρ＝cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O和直线l的公共点的极坐标．解：（1）圆O：ρ＝cosθ+sinθ，即ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y＝0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）零点分段求解不等式即可；（Ⅱ）由题意得到关于实数m的不等式，求解不等式即可求得最终结果．解：（Ⅰ）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，能正确分成以下三类：当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．所以原不等式的解集为．（Ⅱ）由已知函数，可得函数y＝f（x）的最小值为4，由f（x）＜|m﹣1|的解集非空得：|m﹣1|＞4．解得m＞5或m＜﹣3．。

2020年四川省乐山一中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)

2020年四川省乐山一中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)

2020年四川省乐山一中高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知实数a ，b 满足()(1)4a bi i i ++=g ，其中i 是虚数单位，若4z a bi =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合2{|540}A x x x =+-<，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =⋂ð )A ．14(,)35B ．14[,)35C ．1(1,)3-D ．1(1,]3-3．（5分）已知实数a ，b 满足11()()122a b <<，则( )A ．11a b> B ．22log log a b >C ．a b <D ．sin sin a b >4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．(222)96π++B ．(221)96π++C ．(22)96π++D ．(21)96π++5．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在(1,)+∞上单调递减的是( ) A ．()f x x =B ．1()||f x lnx = C ．1()f x x x=--D ．3()6f x x x =-6．（5分）已知正方形ABCD 内接于圆O ，点E 是AD 的中点，点F 是BC 边上靠近B 的四等分点，则往圆O 内投掷一点，该点落在CEF ∆内的概率为( )A ．12πB ．1πC ．78πD ．74π7．（5分）伟大的法国数学家笛卡儿(1596~1650)Descartes 创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若2,3AB AD ==，则(EB EF =u u u r u u u rg )A ．73B ．113C ．79D ．1198．（5分）已知函数2333()43sin cos 4sin 2222f x x x x =+-，则下列说法错误的是( )A ．函数()f x 的周期为23π B ．函数()f x 的一条对称轴为9x π=-C ．函数()f x 在10[9π-，]π-上单调递增 D ．函数()f x 的最小值为4-9．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．sin xxB ．3sin xxC ．2cos2x xD ．2cos 2xx10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为365，则判断框中可以填( )A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >11．（5分）过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与E的渐近线交于B ，C 两点，若20BC BA +=u u u r u u u r r，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．4y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±12．（5分）已知数列{}n a 满足212575*21333()()3nnn a a a n N -⋯=∈g ．令*15||()n n n n T a a a n N ++=++⋯+∈，则n T 的最小值为( ) A ．20B ．15C ．25D ．30二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.） 13．（5分）二项式6(23x x-的常数项为a ，则122720(1)a x x dx --=⎰．14．（5分）已知点(,)x y 满足34626x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+⎩„…„，则y x 的取值范围为 ． 15．（5分）已知A ，B 两点分别为椭圆22184x y +=的左焦点与上顶点，C 为椭圆上的动点，则ABC ∆面积的最大值为 ．16．（5分）已知0x R ∃∈，使得不等式00002x x x e mx e m <+-能成立，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin()2cos cos b c A a B Cπ++=+．（1）求A 的大小；（2）若6a =，33b c +=+，求ABC ∆的面积．18．（12分）在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72．（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数； （2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望．19．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，1222AA AB AC ===，90BAC ∠=︒，1120BAA ∠=︒． （1）求证：AB ⊥平面1AB C ；（2）若11B C AA =，求平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y O a b a b +=>>过点(31)2-，0(A x ，000)(0)y x y ≠，其330x y ++=的距离为2，过点A 的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M 、N ，且2AN MA =u u u r u u u r．（1）证明：||MN 为定值；（2）如图所示，若A ，C 关于原点对称，B ，D 关于原点对称，且BD NM λ=u u u r u u u u r，求四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）已知函数()f x alnx x =-，且函数()f x 在1x =处取到极值． （1）求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数2()()(01)()x m g x m f x x-=<<+，且函数()g x 有3个极值点1x ，2x ，3123()x x x x <<，证明：131()22x x ln +>-． 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4(2cos sin )ρθθ=+．现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为51(252x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程； （2）求曲线C 关于直线l 对称曲线的参数方程． [选修4-5不等式选讲]23．已知定义在R 上的函数()||f x x =． （1）求(1)(24)f x f x ++-的最小值M ； （2）若a ，0b >且2a b M +=，求22114a b +的最小值．2020年四川省乐山一中高考数学模拟试卷（理科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知实数a ，b 满足()(1)4a bi i i ++=g ，其中i 是虚数单位，若4z a bi =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：实数a ，b 满足()(1)4a bi i i ++=g ，其中i 是虚数单位， ()4a b a b i i ∴-++=，可得0a b -=，4a b +=，解得2a b ==．若4z a bi =+-，22i =-+，则在复平面内，复数z 所对应的点(2,2)-位于第二象限． 故选：B ．2．（5分）已知集合2{|540}A x x x =+-<，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =⋂ð )A ．14(,)35B ．14[,)35C ．1(1,)3-D ．1(1,]3-【解答】解：24{|540}(1,)5A x x x =+-<=-，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，1([,)3R B =+∞ð，则14()[,)35R A B =I ð，故选：B ．3．（5分）已知实数a ，b 满足11()()122a b <<，则( )A ．11a b> B ．22log log a b >C D ．sin sin a b >【解答】解：由指数函数的单调性可得：0a b >>，则：2211,log log a b a b<>sin a 与sin b 的大小无法确定． 故选：B ．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．(222)96π++B ．(221)96π++C ．(22)96π++D ．(21)96π++【解答】解：由三视图可知：该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．∴该几何体的表面积221212211461(21)962ππππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯=++． 故选：D ．5．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在(1,)+∞上单调递减的是( ) A ．()f x x =B ．1()||f x lnx = C ．1()f x x x=--D ．3()6f x x x =-【解答】解：对于A ，其在定义域上为增函数，不符合题意，舍去； 对于B ，其在定义域上为偶函数，不符合题意，舍去； 对于C ，其是奇函数，又在(1,)+∞上单调递减，符合题意；对于D ，f （2）4=-，f （3）33189=-=，其在(1,)+∞上不为减函数，不符合题意，舍去． 故选：C ．6．（5分）已知正方形ABCD 内接于圆O ，点E 是AD 的中点，点F 是BC 边上靠近B 的四等分点，则往圆O 内投掷一点，该点落在CEF ∆内的概率为( )A ．12πB ．1πC ．78πD ．74π【解答】解：设正方形的边长为4，则正方形的面积为4416⨯=的面积，然后根据几何概率求解公式即可．CEF ∆的面积为111163224147222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，因为圆的直径242R =即22R =，圆的面积为8π， 根据几何概率的公式可得78P π=． 故选：C ．7．（5分）伟大的法国数学家笛卡儿(1596~1650)Descartes 创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若2,3AB AD ==，则(EB EF =u u u r u u u rg )A ．73B ．113C ．79D ．119【解答】解：过B 作BM DC ⊥于M ，故2AB DM ==， 因为3BM AD ==，60BCD ∠=︒，故1CM =，则32DF =则1237()()33(1)23323EB EF EA AB ED DF EA ED AB DF =++=+=⨯⨯-+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g故选：A ．8．（5分）已知函数2333()43sin cos 4sin 2222f x x x x =+-，则下列说法错误的是( )A ．函数()f x 的周期为23πB ．函数()f x 的一条对称轴为9x π=-C ．函数()f x 在10[9π-，]π-上单调递增 D ．函数()f x 的最小值为4-【解答】解：2333()43sin cos 4sin 223sin32(1cos3)2222f x x x x x x =+-=+--3123sin32cos34(sin3cos3)4sin(3)26x x x x x π=-=-=-， 周期为23π，9x π=-时，sin(3)16x π-=-，故A ，B 成立，最小值为4-，成立，故D 成立， 10[9x π∈-，]π-时，73[62x ππ-∈-，19][462πππ-=-+，54]6ππ-+，()f x 递减， 故选：C ．9．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．sin xxB ．3sin xxC ．2cos2x xD ．2cos 2xx【解答】解：由图象可知，函数的定义域中不含0，故排除D ；若2cos2()xf x x=，则当0x →时，()f x →+∞，故排除C ； 若sin ()x f x x =，则()()32f f ππ>，不符合题意，故排除A ； 故选：B ．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为365，则判断框中可以填( )A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >【解答】解：模拟程序的运行，可得 0S =，1i =执行循环体，302.5S =，2i =，不满足判断框内的条件，执行循环体，315S =，3i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，327.5S =，4i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，5i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，352.5S =，6i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，365S =，7i =此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为365． 则判断框内的件为6i >？， 故选：C ．11．（5分）过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与E的渐近线交于B ，C 两点，若20BC BA +=u u u r u u u r r，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．4y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±【解答】解：直线:l y x a =-+与渐近线1:0l bx ay -=交于2(a B a b +，)aba b+，l 与渐近线2:0l bx ay +=交于2(a C a b -，)aba b--，(,0)A a ， Q 20BC BA +=u u u r u u u r r ，∴3AC AB =u u u r u u u r ∴223()a a a a a b a b-=--+，2b a ∴=，∴双曲线E 的渐近线方程为2y x =±．故选：D ．12．（5分）已知数列{}n a 满足212575*21333()()3nnn a a a n N -⋯=∈g ．令*15||()n n n n T a a a n N ++=++⋯+∈，则n T 的最小值为( ) A ．20B ．15C ．25D ．30【解答】解：依题意，由212575*21333()()3n n n a a a n N -⋯=∈g ，可得：212575233n n na a a --++⋯+=．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则25752n n nS -=-．当1n =时，21151751352a S -==-=g g ．当2n …时，2215755(1)75(1)[]40522n n n n n n n a S S n -----=-=---=-．1n =也满足上式，故405n a n =-，*n N ∈．很明显数列{}n a 是以35为首项，5-为公差的等差数列． 12345||n n n n n n n T a a a a a a +++++∴=+++++ 25|5|n n a a ++=+|5[405(2)]405(5)|n n =-++-+ |16530|n =-∴当5n =或6n =时，n T 取得最小值5615T T ==．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.） 13．（5分）二项式6(23x x-的常数项为a ，则122720(1)a x x dx --=⎰2π．【解答】解：6161(2)()()233k kkk k T x x-+=-=-ð36626k kkx--ð，令3602k-=，解得4k =． 52027T a ∴==． ∴22111221227111201(1)(1)|10222a x x x dx x x dx x dx ππ----⨯+-=+-=+-=+=⎰⎰⎰． 故答案为：2π． 14．（5分）已知点(,)x y 满足34626x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+⎩„…„，则y x 的取值范围为 [2-，1] ． 【解答】解：由已知得到平面区域如图：yz x=表示区域内的点与原点连接的直线斜率，由2646x y x y +=⎧⎨-=⎩解得(2,2)A ，由346x y x y -=⎧⎨-=⎩解得(1,2)B - 当与(2,2)A 连接时直线斜率最大为1，与(1,2)B -连接时直线斜率最小为2-， 所以yx的取值范围为[2-，1]； 故答案为：[2-，1]．15．（5分）已知A ，B 两点分别为椭圆22184x y +=的左焦点与上顶点，C 为椭圆上的动点，则ABC ∆面积的最大值为 2(32) ．【解答】解：由椭圆方程可得(2,0)A -，(0,2)B 所以直线AB 的方程为：20x y -+=，且：||2AB =由题意可得当过C 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时，两条平行线间的距离最大时，三角形ABC 的面积最大，设过C 点与AB 平行的切线方程l 为：0x y m -+=，直线l 与直线AB的距离为d =联立直线l 与椭圆的方程可得：22280x y x y m⎧+-=⎨=-⎩，整理可得：223280y my m -+-=，△22412(8)0m m =--=，可得212m =，解得m =± 所以当m =-时2d ==最大，这时ABC S ∆的最大值为：11||(222max AB d ==g ，故答案为：．16．（5分）已知0x R ∃∈，使得不等式00002x x x e mx e m <+-能成立，则实数m 的取值范围为 1m <或324m e > ．【解答】解：不等式00002x x x e mx e m <+-，即为_000(1)(21)x m x e x ->-， 若01x =则不等式显然不成立； 当01x >时，可得000(21)1x e x m x ->-，设(21)()1x e x f x x -=-，2(23)()(1)x xe x f x x -'=-， 则()f x 在3(1,)2时递减，在3(2，)+∞递增，即有()f x 在32x =处取得最小值324e ，由题意可得324m e >，又当01x <时，可得000(21)1x e x m x -<-，设(21)()1x e x f x x -=-，2(23)()(1)x xe x f x x -'=-，则()f x 在(0,1)时递减，在(,0)-∞递增，即有()f x 在0x =处取得最大值1， 由题意可得1m <，综上可得m 的范围是1m <或324m e >，故答案为：1m<或324m e >．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在ABC∆中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()sin()2cos cosb c AaB Cπ++=+．（1）求A的大小；（2）若6a=，33b c+=+，求ABC∆的面积．【解答】解：（1）Q()sin()2cos cosb c AaB Cπ++=+．()cos cos cosb c A a B a C∴+=+，由正弦定理可得sin cos sin cos sin cos sin cosB AC A A B A C+=+，即sin()sin()B A A C-=-，所以B A A C-=-，即2B C A+=，又因为A B Cπ++=，故13Aπ=，（2）由余弦定理可得，22216()266362222b c b c bc bcbc bc+-+--+-===，232bc∴=+，11333sin(223)22ABCS bc A∆+==⨯+⨯=．18．（12分）在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72．（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望．【解答】解：（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：8686862+=． （2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数， 则ξ的可能取值为0，1，2，3，333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===，2193312108(2)220C C P C ξ===．3931284(3)220C P C ξ===，ξ∴的分布列为：ξ 0 1 2 3 P12202722010822084220数学期望127108849()01232202202202204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，1222AA AB AC ===，90BAC ∠=︒，1120BAA ∠=︒． （1）求证：AB ⊥平面1AB C ；（2）若11B C AA =，求平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）在三角形?BB A 中，1120BAA ∠=︒，得?60B BA ∠=︒， 由222?21212cos603AB =+-⨯⨯⨯︒=，所以222??BB AB AB =+，?B A AB ⊥又90BAC ∠=︒，AB AC ⊥，?AC AB A =I ， 故AB ⊥平面1AB C ；（2）根据题意，以A 为原点，以AB ，AC ，?AB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， (0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)，?(0B ，03)， 13)AB =u u u u r，1(3)BB =-u u u r ，(1,1,0)BC =-u u u r设平面11AB C 的法向量为(,,)m x y z =r， 由，111300m AB z m B C x y ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u u r r g ，得(1,1,0)m =r ， 设平面1BCB 的法向量为(,,)n m n r =r， 由1030n BC m n n BB m r ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，得3)n =r ， 由42cos ,221m n <=r r ， 故平面11AB C 与平面1BCB 42 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y O a b a b +=>>过点(31)2-，0(A x ，000)(0)y x y ≠，其330x y ++=的距离为2，过点A 的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M 、N ，且2AN MA =u u u r u u u r．（1）证明：||MN 为定值；（2）如图所示，若A ，C 关于原点对称，B ，D 关于原点对称，且BD NM λ=u u u r u u u u r，求四边形ABCD 面积的最大值．【解答】（1）证明：其上顶点(0,)b 330x y ++=的距离为2，∴322b +=，解得1b =． 又椭圆2222:1(0)x y O a b a b +=>>过点(31)2-，∴23114a +=，解得24a =．∴椭圆的标准方程为：2214x y +=．点A 在椭圆上，∴220014x y +=．设经过点A 的直线方程为：00()y y k x x -=-， 可得00(,0)y M x k-，00(0,)N y kx -． Q 2AN MA =u u u r u u u r ，002yx k∴-=，即002y k x =-．22220000009||()()934y MN x y kx x y k ∴=-+-=+为定值． （2）解：设AOD α∠=．Q BD NM λ=u u u r u u u u r，2||3OD λ∴=．由题意可得：1342322ABCD S OA OD sin OA sin OA λααλ=⨯⋅=⨯⋅四边形…． 21．（12分）已知函数()f x alnx x =-，且函数()f x 在1x =处取到极值． （1）求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数2()()(01)()x m g x m f x x-=<<+，且函数()g x 有3个极值点1x ，2x ，3123()x x x x <<，证明：131()22x x ln +>-． 【解答】解：（1）()f x alnx x =-，()1af x x'=-， Q 函数()f x 在1x =处取到极值，f ∴'（1）10a =-=，即1a =．则()f x lnx x =-，f （1）1=-，∴曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程为1y =-；（2）222()()()()(01)()x m x m x m g x m f x x lnx x x lnx---===<<++-，函数的定义域为(0,)+∞且1x ≠，22212()()()(21)()m x m lnx x m x m lnx x x g x ln x ln x----+-∴'==g ， 令()21mh x lnx x=+-， 22()x m h x x -∴'=，()h x 在(0,)2m上单调递减，在(2m ，)+∞上单调递增； h Q （1）10m =-<，h （2）4221022m mln ln e =+-=+>， ()h x ∴在(1,2)内存在零点，设0()0h x =，0x m ∴>，当()0g x '>时，即0x m <<，或0x x >，函数单调递增， 当()0g x '<时，即0m x x <<，函数单调递减，∴当x m =时，函数有极大值，∴当01m <<时，x m =是()f x 极大值点；()2mh 是()h x 的最小值； ()g x Q 有三个极值点123x x x <<，()21022m mh ln ∴=+<，得m <m ∴的取值范围为，当0m <<时，()20h m lnm =<，h （1）10m =-<，2x m ∴=；即1x ，3x 是函数()h x 的两个零点．∴1122210210m lnx x m lnx x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，消去m 得11133322x lnx x x lnx x -=-；令()2x xlnx x ϕ=-，()21x lnx ϕ'=+，()x ϕ'的零点为x =，且13x x <．()x ϕ∴在上递减，在，)+∞上递增．要证明131()22x x ln +>-，即证13x x +>，等价于证明31x x >-，即31())x x ϕϕ>． 13()()x x ϕϕ=Q ，∴即证11())x x ϕϕ>-．构造函数()())F x x x ϕϕ=--，则0F =；∴只要证明在(0上()F x 单调递减，函数()x ϕ在(0单调递减；x Qx减小，)x ϕ-增大，)x ϕ-减小，)x ϕ∴-在(0上是减函数．())x x ϕϕ∴--在(0上是减函数．∴当0a <时，13x x +>．即131()22x x ln +>-． 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4(2cos sin )ρθθ=+．现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1(2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程； （2）求曲线C 关于直线l 对称曲线的参数方程．【解答】解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，可得曲线C 的极坐标方程4(2cos sin )ρθθ=+的直角坐标方程为2284x y x y +=+， 即为22(4)(2)20x y -+-=；直线l的参数方程为1(2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），消去t ，可得240x y -+=；（2）可设曲线22:(4)(2)20C x y -+-=关于直线:240l x y -+=对称曲线为圆22()()20x a y b -+-=，由22144224022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩g g 可得46a b =-⎧⎨=⎩，则曲线C 关于直线l 对称曲线的直角坐标方程为22(4)(6)20x y ++-=，其参数方程为4(6x y θθθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩为参数）． [选修4-5不等式选讲]23．已知定义在R 上的函数()||f x x =． （1）求(1)(24)f x f x ++-的最小值M ； （2）若a ，0b >且2a b M +=，求22114a b +的最小值． 【解答】解：（1）因为()||f x x =． 所以(1)(24)|1||24|f x f x x x ++-=++-， 当1x -„时，()33f x x =-单调递减， 当12x -<<时，()5f x x =-+单调递减，当2x …时，()33f x x =-单调递增， 故当2x =时，函数取得最小值3M =； （2）若a ，0b >且23a b +=，∴2a b +…98ab „，当且仅当2a b =即32a =，34b =时取等号，则2222222222114(2)4914444()b a a b ab a b a b a b ab ab++-+===-， 令1t ab =，98t …， 而294t y t =-的开口向上，对存在29t =，在8[,)9+∞上单调递增， 结合二次函数的性质可知，当89t =，取得最小值89．。

2020年四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2020年四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2020年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x2-2x＜0}，则M∩N=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {-1，0，1}2.i是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知tanα=，则cos2α的值为（）A. B. C. D.4.已知向量，满足•=0，||=1，||=3，则|-|=（）A. 0B. 2C. 2D.5.已知抛物线y2=ax上的点M（1，m）到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为（）A. y2=2xB. y2=4xC. y2=3xD. y2=5x6.设随机变量X的概率分布表如表，则P（|X-2|=1）=（）X1234P mA. B. C. D.7.已知f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0D. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤08.已知函数f（x）=A sinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）=cosωx的部分图象如图所示，则（）A. A=1，ω=B. A=2，ω=C. A=1，ω=D. A=2，ω=9.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B.C. D.10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和 3.1416这两个近似数值．如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的n=24，则p的值可以是（参考数据：=1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.0654）（）A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.1411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 11πD. 5π12.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在（2x-）6的展开式中，二项式系数最大的项为______．14.若正实数a，b满足2a+b=1，则的最小值为______．15.已知函数f（x）=的定义城为R，数列{a n}（n∈N*）满足a n=f（n），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是______．16.在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a2=5，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和为S n．18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点“以及“性别”作出调查，得到的情况如在家用餐在餐馆用餐总计女性30男性40总计50100（）完成上述列联表；（2）根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别“有关；（3）若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2=n =a+b+c+d19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面BD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，求二面角C-SB-D的余弦值．20.设椭圆（a＞b＞0）的离心率为，圆O：x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断|PM|•|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21.已知函数f（x）=（1+a）x2-ln x-a+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜1，求证：当x＞0时，函数y=xf（x）的图象恒在函数y=ln x+（1+a）x3-x2的图象上方．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f（x）=|x|+|x-1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求实数m的最大值；（Ⅱ）记（Ⅰ）中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：N={x|0＜x＜2}；∴M∩N={1}．故选：B．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：z==-1-i，所以对应的点在第三象限；故选：C．首先化简复数为最简形式，然后根据复数的实部和虚部符号判断位置．本题考查了复数的运算以及其几何意义；属于基础题．3.答案：D解析：解：cos2α=cos2α-sin2α====．故选：D．利用余弦的二倍角公式可求得cos2α=cos2α-sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．4.答案：D解析：解：∵•=0，||=1，||=3，∴=．故选：D．直接利用向量的模的公式求解．本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．5.答案：B解析：解：由题得点M（1，m）到准线的距离为2，所以1-，∴a=4．所以该抛物线的标准方程为y2=4x．故选：B．根据点M（1，m）到其焦点的距离为2得到点M到准线的距离为2，解方程组即得解．本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．6.答案：C解析：解：由|X-2|=1可解得x=3或x=1，再由分布列的性质可得m=1-（++）=，∴P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）=+=故选：C．由题意可得X和的值，代入P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）计算可得．本题考查离散型随机变量及其分布列，属基础题．7.答案：B解析：解：f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），是真命题，它的否定是：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．8.答案：B解析：解：由图象可知，A=1，=1.5，∴A=2，T=6，又6=T=，∴ω=，故选：B．结合图象可知，A=1，=1.5，然后再由周期公式即可求解ω本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用,属于中档题．直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，,得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．当x=时，函数的值为0，故排除C．故选D．10.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥p，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥p，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥p，退出循环，输出n的值为24，故p=3.1，故选：C．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．12.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．将x=c代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由|F2Q|＞|F2A|，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|，结合离心率公式可得e的范围，再由e＞1，取交集即可得到所求范围．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2-a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．13.答案：-20x3解析：解：因为（2x-）6的展开式中，共有7项，所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为T4=•（2x）3•=-20x3，故答案为：-20x3．判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大，属于基础题．14.答案：解析：解：=（）（2a+b）=2++=．∵a，b是正实数，∴．即的最小值为．当且仅当，即a=b=时“=”成立．故答案为：．把看作（）•1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．15.答案：（3，+∞）解析：解：由题得，∴，解得a＞3．∴实数a的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．根据已知得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．16.答案：解析：解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cos A=∴5AB2-12AB-65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．根据，其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形，S=AB×r，r为△ABC的内切圆的半径，计算AB及r，即可得到结论．本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，a2=5，a1，a4，a13成等比数列，所以a1+d=5，a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得d2=2d，则d=0或d=2，当d=0时，a n=5；当d=2时，a1=5-d=3，a n=3+2（n-1）=2n+1；（2）由（1）知当a n=5时，S n=5n；当 an=2n+1 时，则 Sn==2n+n2．解析：（1）设等差数列{an}的公差为 d，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程得到 d 和首项的值，即得数列的通项公式；（2）利用等差数列的前 n 项和公式可得所求和．本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前 n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18.答案：解：（1）所求的 2×2 列联表如下：在家用餐在餐馆用餐总计女性103040男性402060总计5050100（2）K2==16.67＞10.828，故有 99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关． （3）由题意可知 ξ 的可能值为 0，1，2，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，∴ξ 的分布列为：ξ012P∴Eξ=0× +1× +2× =1．解析：（1）根据表格中数据的关系，完善 2×2 列联表； （2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论； （3）由题意可知 ξ 的可能值为 0，1，2，求出相应的概率值，即可得到 ξ 的分布列和数学期望． 本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法， 考查计算能力．19.答案：证明：（1）因为∠ABC=90°，BC=CD，所以∠CBD=45°，△BCD 是等腰直角三角形， 故 BD= ，因为 AB= ，∠ABD=45°， 所以△ABD∽△BCD，∠ADB=90°，即 BD⊥AD， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，交线为 AD， 所以 BD⊥平面 SAD，所以平面 SBD⊥平面 SAD． 解：（2）过点 S 作 SE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，所以 SE⊥底面 ABCD， 所以∠SDE 是底面 SD 与底面 ABCD 所成的角，即∠SDE=60°， 过点 D 在平面 SAD 内作 DF⊥AD， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，所以 DF⊥底面 ABCD，第 11 页，共 15 页如图建立空间直角坐标系 D-xyz，设 BC=CD=1，则 B（0，），C（- ， ，0），S（- ，0， ），则 =（0，）， =（- ，- ， ）， =（- ，- ，0），设 =（x，y，z）是平面 SBD 法向量，则，取 x= ，得 =（），设 =（x，y，z）是平面 SBC 的法向量，则，取 x= ，得 =（），|cos＜ ＞|= = = ， 所以二面角 C-SB-D 的余弦值为 ．解析：（1）取 AB 中点 M，连接 DM，可得 DB⊥AD 又侧面 SAD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥平面 SAD， 即可得平面 SBD⊥平面 SAD． （2）以 D 为原点，DA，DB 所在直线分别为 x，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面 SCB 的法向量 和面 SBD 的法向量．利用向量法即可求解． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c，由椭圆的离心率为 知，，∴椭圆 C 的方程可设为．易求得，∴点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆 C 的方程为；（Ⅱ）当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 ，，由（Ⅰ）知，，，则，∴OM⊥ON．当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），∴，即 m2=2（k2+1）．第 12 页，共 15 页联立直线和椭圆的方程得 x2+2（kx+m）2=6，∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0，得．∵，，∴OM⊥ON．∴=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）==，综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M，N，都有 OM⊥ON． 在 Rt△OMN 中，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|•|PN|=2 为定值．解析：（Ⅰ）根据离心率得到，代入椭圆方程，根据题意得知点在椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出 b 的值，进而得出 a 的值，从而求出椭圆 C 的方程；（Ⅱ）对圆 O 在点 P 处的切线的斜率是否存在进行分类讨论．一是斜率不存在时，可得出点 M、N 的坐标，从而求出|PM|•|PN|的值；二是斜率存在时，设该切线方程为 y=kx+m，设点 M（x1，y1），N（x2，y2），由直线 MN 与圆 O 相切得出 m 与 k 之间所满足的关系式，并将直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出，得出 OM⊥ON，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|•|PN|，于是证出结论． 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运 算一起考查，考查计算能力，属于难题．21.答案：解：（1）函数 f（x）=（1+a）x2-lnx-a+1 的定义域为：（0，+∞）且 f′（x）=2（1+a）xー =当 a≤-1 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数；当 a＞-1 时，令 f′（x）=0，解得：x=，此时 f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增（2）证明：若 a＜1，则当 x＞0，时，问题转化为不等式： xf（x）＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立， 只需要证明： x[（1+a）x-lnx-a+1]＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立，即证：lnx-x＜- -a+1 在（0，+∞）上恒成立，令 F（x）=lnx-x，g（x）=- -a+1第 13 页，共 15 页因为 F′（x）= -1= ，易得 F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴F（x）≤F（1）=-1 又因为：g′（x）=- = ，当 0＜x＜e 时，g′（x）＜0，当 x＞e 时，g′（x）＞0， 所以 g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，所以 g（x）≥g（e）=- -a+1，∵a＜1 时，所以- -a+1＞- ＞-1，即 F（x）max＜g（x）min，所以 lnx-x＜- -a+1 在（0，+∞）上恒成立∴当 x＞0 时，函数 y=xf（x）的图象恒在函数 y=lnx+（1+a）x3-x2 的图象上方． 故答案为：（1）当 a≤-1 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数；当 a＞-1 时，令 f′（x）=0，解得：x=，此时 f（x）在（0， （2）见证明．）上递减，在（，+∞）上递增，解析：（1）求出函数求 f′（x），x＞0，由此利用导数性质讨论函数 f（x）的单调性； （2）问题转化为不等式 xf（x）＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立，即证 F（x）max＜g（x） min，恒成立即可． 本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，考查两函数最值的关系，解题时要认真 审题，注意导数性质和构造法的合理运用．是难题，22.答案：解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为 ．所以：，曲线 C1 的参数方程为（θ 为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，曲线 C2 的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，第 14 页，共 15 页线 l 交曲线 C1 于 O，A 两点，则：，解得：A（2 ， ），直线和曲线 C2 于 O，B 两点则：，解得：B（4， ），所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2 ．解析：（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学 生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：（Ⅰ）由 f（x）=，得 f（x）min=1，要使 f（x）≥|m-1|恒成立， 只要 1≥|m-1|，即 0≤m≤2，实数 m 的最大值为 2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 a2+b2=2，又 a2+b2≥2ab，故 ab≤1， （a+b）2-4a2b2=a2+b2+2ab-4a2b2=2+2ab-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1）， ∵0＜ab≤1，∴（a+b）2-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1）≥0， ∴a+b≥2ab．解析：（Ⅰ）求出 f（x）的最小值，得到关于 m 的不等式，求出 m 的范围即可； （Ⅱ）求出 0＜ab≤1，根据其范围证明即可． 本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．第 15 页，共 15 页。