梅涅劳斯定理如果一条直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点， 那么1=⋅⋅EACEDC BD FB AF .等价叙述：ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上有三点F 、D 、E ，则F 、D、E 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEDC BD FB AF 。
三点所在直线称为三角形的梅氏线。
证法1：（平行线分线段成比例）证：如图，过A 作BC AG //交EF 延长线于G ，∵BC AG //，∴BD AG FB AF =，AGCDEA CE =， 又CDBD CD BD =则1=⋅⋅=⋅⋅CD BD AG CD BD AG CD BD EA CE FB AF ∴1=⋅⋅EACEDC BD FB AF 梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点F 、D 、E 分别在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足1=⋅⋅EACEDC BD FB AF ，那么F 、D 、E 三点共线。
BG利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。
梅涅劳斯定理的应用定理1：若ABC ∆的A ∠的外角平分线交边BC 延长线于P ，B ∠的平分线交边AC 于Q ，C ∠的平分线交边AB 于R ，则P 、Q 、R 三点共线。
证：由三角形内、外角平分线定理知，CA BA PC BP =，AB BC QA CQ =，CB CARB AR =， 则1=⋅⋅=⋅⋅ABBCCA BA CB CA QA CQ PC BP RB AR ， 故P 、Q 、R 三点共线。
例题赏析：已知：过ABC ∆顶点C 的直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E .求证：FBAFED AE 2=. 证明：直线CEF 截ABD ∆， 由梅涅劳斯定理，得：1=⋅⋅EADE CD BC FB AF又CD BC 2=，∴21=⋅EA DE FB AF ， 则FBAFED AE 2=BDBC。
平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1=⋅⋅=⋅⋅BAA C CBC B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RBARQA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆CE//BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC D C B A DC B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆三点共线；、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RBAR B R AR 1RB AR QA CQ 1BR AR QA CQ 1R AB PQ ''''''''''''''''''><-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP 三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RBARQA CQ =⋅⋅∆∆ C BA1A 1B 1C 三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PABcos AP BC AC PAC cos AP PCAcos CP AB CB ,PCBcos CP PBCcos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2∆三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 311111111111111111111111111111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC 1C BD B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BKKB C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK KA D A LD LD AD BLB AL A L D A AD D A //AD 1==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习∆∆共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4三点共线、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习Z Y X 2ABC Z Y X 1ZBAZYA CY XC BX BDEAZB AZ AF DC YA CY CEFBXC BX AF AE 1FBAFEA CE XC BX 1XFE ABC 2∆∆ =⋅⋅==⋅⋅共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C ,B ,A 1BA CA CB AB AC BC 1CB AB OC CC AA OA 1BA CA OB BB CC OC 1AC BC BB OB OA AA )B ,C A (OAC ),A ,C B (OBC ),C ,B A (OAB B A AB C A AC C B BC C B A 3=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅平面几何的几个重要定理――――塞瓦定理 塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N ,M ,L ,1VNUNUM WM WL VL 1UFVFWD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VBUC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∆MQRACPB；相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝于是：，由塞瓦定理有：，于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’‘M CR BQ AP R R AB R R RB ARB R AR BR AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB ARQA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCMACMABMBCMACM ABMCMP BMP ACP ABP 111=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=====∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆交于一点；：证明：三角形的中线例1交于一点；成立，即而显然有：我们只须证明，，，的中线证明：记ABC AB CBC A BA B C AC A B CB C A BA B C AC AB CBC A BA B C AC CC BB AA ABC ∆∴=⋅⋅====⋅⋅∆1,,1111111111111111111111分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2ABCP P BM AN N M BC AC L L AB C ABC ⊥∠∆，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2CB A1A 1B 1C CBA1A 1B 1CABCP P AN BM CK BLBCAC AL BLBCAC AL BLBCNB BK BKC BNL ACALAK AM AKC AML NBBKAK AM CNMC AKBKNB CN MC AM AN BM CK P AN BM CK ABCK ⊥∴∴=⋅=⋅=⇒∆≅∆=⇒∆≅∆=⋅==⋅⋅⊥点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：三线共点，依塞瓦定理、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1111FDAEDA ANAM BF BD AF CE CD AE FBAFEA CE DC BD P CF BE AD BFBDAF AN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDF ANF CDE AME BC MN BCAD ∠=∠∴=∴⋅=⋅∴=⋅⋅⋅=⋅===∴∆≅∆∆≅∆⊥1,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故三线共点；、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CR BN AM BCM ACN ABR CBM CAN BAR R N M ABC γβα=∠=∠=∠=∠=∠=∠∆,,3K LNMCBAFDAEDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3ANAM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。
梅涅劳斯定理定理叙述设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1注意：1 定理的应用有正反两个方向。
由共线推出比例式叫作逆定理。
2 三个分点可能有两个在线段上，或者三个都不在线段上。
最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。
等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”）证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，AD：DB=AA'：BB'BE：EC=BB'：CC'CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1一应用梅涅劳斯定理1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。
例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
分析：目标明确，写出比例式就行了。
例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。
分析：此题同上。
注意外角平分线分对边成的比例与夹边比例的关系，是和内角平分线类似的。
例：分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。
若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。
例：如图在三角形三边取相同比例的分点。
中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。
分析：没啥好分析的。
总结：用定理要选取三角形和截线。
目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。
2.几个不适合用梅氏定理的例子。
例：如图锐角x的两条边上取A,B两点。
甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。
保持速度不变。
证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。
分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。
但此处不可使用梅氏定理。
因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。
那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。
只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关……总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。
