梅涅劳斯定理复习过程

第一章 梅涅劳斯定理基础知识梅涅劳斯定理：证明：梅涅劳斯定理的逆定理：证明：典型例题与基本方法例1 如图，在四边形ABCD 中，ABD ∆，BCD ∆，ABC ∆的面积比是1:4:3，点N M ,分别在AC ，CD 上，满足CD CN AC AM ::=，并且N M B ,,共线.求证：M 与N 分别是AC 和CD 的中点.例2 如图，圆1O 与圆2O 和ABC ∆的三边所在的3条直线都相切，H G F E ,,,为切点，直线EG 与FH 交于点P .求证：BC PA ⊥.例3 已知ABC ∆的重心G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线交AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P .证明：MPQ ABC DD .例4 ABC ∆是一个等腰三角形，AC AB =，M 是BC 的中点；O 是AM 的延长线上的一点，使得AB OB ⊥；Q 是线段BC 上不同于B 和C 的任意一点，E 在直线AB 上，F 在直线AC 上，使得F Q E ,,同一直线上的三个不同点.求证：（Ⅰ）若EF OQ ⊥，则QF QE =；（Ⅱ）若QF QE =，则EF OQ ⊥.例5 在凸四边形ABCD 的边AB 和BC 上取点E 和F ，使线段DE 和DF 把对角线AC 三等分，已知ABCD CDF ADE S S S 41==∆∆. 求证：ABCD 是平行四边形.例6 在ABC ∆中，1AA 为BC 边上的中线交BC 于1A ，2AA 为BAC ∠的平分线交BC 于2A ，K 为1AA 上的点，使AC KA //2. 证明：KC AA ⊥2.例7 给定锐角ABC ∆，在BC 边上取点21,A A （之间与位于C A A 12），在CA 边上取点21,B B （之间与位于A B B 12），在AB 边上取点21,C C （之间与位于B C C 12），使得122112211221C CC C CC B BB B BB A AA A AA ∠=∠=∠=∠=∠=∠，直线111,CC BB AA 与可构成一个三角形，直线222,CC BB AA 与可构成另一个三角形.证明：这两个三角形的六个顶点共圆.例8 以ABC ∆的底边BC 为直径作半圆，分别与边AB ，AC 交于点D 和E ，分别过点ED ,作BC 的垂线，垂足依次为G F ,，线段DG 和EF 交于点M .求证：BC AM ⊥.例9 已知凸四边形ABCD 的一组对边BA 与CD 的延长线交于M ，且//AD BC ，过M 作截线交另一组对边所在直线于L H ,，交对角线所在直线于','L H . 求证：'1'111ML MH ML MH +=+.例10 ABC ∆的内切圆分别切三边AB CA BC ,,于点F E D ,,，点X 是ABC ∆的一个内点，XBC ∆的内切圆在点D 处与BC 边相切，并与CX ，XB 分别相切于点Z Y ,. 证明：EFZY 是圆内接四边形.例11 如图，四边形ABCD 内接于圆，其边DC AB ,的延长线交于点P ，AD 和BC 的延长线交于点Q ，过Q 作该圆的两条切线，切点分别为F E ,.求证：F E P ,,三点共线.例12 已知ABC 的内切圆分别切AB CA BC ,,于点F E D ,,，线段CF BE 、分别与该内切圆交于点Q P 、，若直线BC FE 与交于圆外一点R . 证明：R Q P 、、三点共线.练习。

梅涅劳斯定理的证明梅涅劳斯定理是描述三角形内切圆半径和三角形三边的关系的定理。

它是数学中的一个经典结果。

下面将详细阐述梅涅劳斯定理的证明过程。

我们需要明确梅涅劳斯定理的表达方式：对于任何三角形ABC，设其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，且三角形的三条边分别为a，b，c，则有如下关系：r = (s - a)tan(A/2) = (s - b)tan(B/2) = (s - c)tan(C/2)其中，s = (a + b + c)/2是三角形的半周长，A，B，C是三个内角。

现在，我们来证明这个定理。

证明步骤如下：设三角形的内切圆的圆心为O。

我们知道，三条角平分线Ox，Oy，Oz交于一点I，称为三角形的内心。

因此，我们可以将三角形ABC分成三个小三角形，即三角形OAx，OBy和OCz。

那么，根据余弦定理，我们可以得到以下几个关系：(1) OA² = IO² + IA²(2) OB² = IO² + IB²(3) OC² = IO² + IC²我们现在来计算这三个关系。

根据定义，IO就是内心到内切圆的半径，即IO=r。

那么，(1)式可以写成：OA² = r² + IA²接下来，我们来计算IA²。

由于IA是角平分线，所以IA与角C的角平分线OC构成的角为90度。

那么，IAOC构成一个直角三角形。

根据勾股定理，我们可以得到：IA² = IC² + AC²将这个结果代入(1)式，得到：OA² = r² + IC² + AC²同理，我们可以计算OB²和OC²，得到：OB² = r² + IA² + AB²OC² = r² + IB² + BC²接下来，我们来计算三角形ABC的面积S。

平面几何的几个重要的定理（一）梅涅劳斯定理一、基础知识梅涅劳斯定理 若直线l 不经过△ABC 的顶点，并且与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线分别交于P 、Q 、R ，则1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅= 梅涅劳斯定理的逆定理 设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们的延长线上的三点（并且P 、Q 、R 三点中，位于△ABC 边上的点的个数为0或2），若1BP CQ AR PC QA RB ⋅⋅=，则P 、Q 、R 三点共线.由和分比定理可得R R '∴与重合 ∴P 、Q 、R 三点共线二、典型例题与基本方法1. 恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1 如图，在四边形ABCD 中，△ABD 、△BCD 、△ABC 的面积之比是3∶4∶1，点M 、N 分别在AC 、CD 上，满足AM ∶AC =CN ∶CD ，且B 、M 、N 三点共线．求证：M 与N 分别是AC 和CD 的中点.A BC DM N1A B C C B A C A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：BP 1PC CQ AR PQ AB R QA R B ''⋅⋅='证：设直线与直线交于，于是由梅氏定理得：BP 1PC CQ AR AR AR QA RB R B RB '⋅⋅='又，则：＝AR AR AB AB'＝2. 梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法 例2 点P 位于△ABC 的外接圆上，111A B C 、、是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足，证明点111A B C 、、共线.三、解题思维策略分析1. 寻求线段倍分的一座桥梁例3 △ABC 是等腰三角形，AB=AC ，M 是BC 的中点；O 是AM 延长线上的一点，使得OB ⊥AB ； Q 为线段BC 上不同于B 和C 的任意一点，E 、F 分别在直线AB 、AC 上使得E 、Q 、F 是不同的和共线的．求证：（1）若OQ EF ⊥，则QE QF =；（2）若QE QF =，则OQ EF ⊥.111111*********|cos |,|cos ||cos ||cos ||cos ||cos |,,1801BA BP PBC CA CP PCB CB CP PCA AB AP PAC AC AP PAB BC PB PBA PAC PBC PAB PCB PCA PBA BA CB AC CA AB BC A B C ⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠⋅∠=⋅∠∠=∠∠=∠∠+∠=︒⋅⋅证：易得：将上面三个式子相乘，且可得＝依梅涅劳斯定理可知、、三点共线.2. 导出线段比例式的重要途径例4 直角△ABC 中，CK 是斜边上的高，CE 是∠ACK 的平分线，E 点在AK 上，D 是AC的中点，F 是DE 与CK 的交点. 求证：//BF CE .3. 论证点共线的重要方法例5 设不等腰△ABC 的内切圆在三边BC CA AB 、、上的切点分别为D E F 、、，证明：EF 与CB ，FD 与AC ，ED 与AB 的交点X Y Z 、、在同一条直线上.X Y Z ABC X Y Z ∆又、、都不在的边上，由梅氏定理的逆定理可得、、三点共线 例6 如图，△ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，点X 是△ABC 的一个内点，△XBC 的内切圆也在点D 处与BC 边相切，并与CX 、XB 分别相切于点Y 、 Z. 证明：EFZY 是圆内接四边形.11BX CE AF ABC XFE XC EA FB ∆⋅⋅=证：被直线所截，由定理可得：BX FB AE AF XC CE=又代人上式可得：＝CY DC AZ EA YA AF ZB BD同理可得：＝＝1BX CY AZ XC YA ZB⋅⋅=将上面三条式子相乘可得：。

初二奥数精讲——第15讲塞瓦定理与梅列劳斯定理定理（一）一、知识点解析1. 基本知识塞瓦（Ceva）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB 或延长线上的点，则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是塞瓦（Ceva）定理角元形式：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，令∠BAD=α1，∠CAD=α2，∠CBE=β1，∠ABE=β2，∠ACF=γ1，∠BCF=γ2，则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是梅涅劳斯（Menelaus）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则D、E、F共线的充要条件是2. 基本方法循环积：塞瓦定理与梅涅劳斯定理的证明都可采用这样一种方法：要证三个比值的积为1，可设法找到三个量（比如线段）x、y、z，使三个比值分别为x/y、y/z、z/x，则它们的积（我们称这种积为循环积）显然为1.3. 基本问题利用塞瓦定理与梅涅劳斯定理，常可解决如下一些问题：（1）证明点共线与线共点；（2）求线段长（比）；（3）已知有关线段的比，求相应的参数；（4）证明恒等式；（5）求满足某种条件的点的轨迹。

这部分主要考察学生对塞瓦定理与梅涅劳斯定理的了解及掌握。

塞瓦定理与梅涅劳斯定理是几何部分的“高阶”定理，这部分题目难度大，常与代数等知识点混合在一起考察，需要一定的空间想象能力和知识基础，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题例1证明塞瓦（Ceva）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则AD、BE、CF三线共点的充要条件是分析：可以从线段角度出发，找到三条线段x、y、z，使得从这个角度考虑，可以过E、F、M中的某个点作三角形另两条边的平行线，通过平行线的比例定理进行求解。

另一方面，我们可以考虑通过面积来考虑，注意到△ACO与△BCO 有公共边CO，从而将比值转化为面积的比值。

梅涅劳斯定理推论1. 哎呀，说起梅涅劳斯定理的推论，可别觉得是什么高不可攀的数学知识！今天我们就用最接地气的方式，把这个看似复杂的定理聊明白！2. 你们知道吗？梅涅劳斯定理就像是三角形里的"魔法切线"！它告诉我们，当一条直线横着切过三角形的三条边时，就会发生一些神奇的事情。

3. 来，我们打个超级生动的比方：想象一下，三角形就是一块大披萨，这条横着切过去的线就像是一把锋利的披萨刀。

这刀一划，就把三条边都切出了点，这些点之间还藏着特别的数学关系呢！4. 定理的推论告诉我们，如果在三角形的三边上分别取了三个点，只要这三个点满足一定的比例关系，它们就一定在同一条直线上。

就像是三个小伙伴约好了，非要排成一条直线拍照似的！5. 这个推论最厉害的地方在于，它给了我们一个判断三点共线的绝妙武器！你看啊，只要算算这些线段的比值，就能知道这三个点是不是真的乖乖排成一条直线了。

6. 有趣的是，这个推论还能反过来用。

如果我们发现三个点在一条直线上，那它们把三角形的边分成的部分肯定也符合特定的比例关系，就像是一个完美的平衡艺术！7. 在解题的时候，这个推论简直就是救命稻草！遇到那些看起来特别难的共线问题，只要想到用梅涅劳斯定理的推论，问题就会变得清晰明了，就像是迷雾中突然出现了一盏明灯！8. 我给大家举个实际的例子：假如你在三角形边上随便点了三个点，想知道它们是不是在一条直线上，不用傻傻地去拿尺子量，用这个推论算算比值就搞定啦！9. 这个推论还告诉我们一个有趣的事实：如果三个点真的共线，那么它们产生的六段线段之间会有一个神奇的乘积关系，就像是数学界的"连连看"游戏！10. 在几何题中，这个推论经常会和其他定理"联手作战"。

比如和塞瓦定理搭配使用，简直就是几何问题的"黄金搭档"，威力大得惊人！11. 记住啊，运用这个推论的时候，别忘了注意正负号。

1梅涅劳斯定理模块一：梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA ⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的证明：证法一：如图，过C 作CG//DF ，∵DB FB DC FG =，EC FGAE AF=， ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF ⋅⋅=⋅⋅=．证法二：如图，过A 作AG//BD 交DF 的延长线于G ，∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如图，分别过A 、B 、C 作DE 的垂线，分别交于1H 、2H 、3H ．则有1AH //2BH //3CH ， ∴3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．模块二：梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．典题精练：1．如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．2．如图，在ABC △中，AD 、CE 交于点F ，若:4:5AE BE =，AF DF =，求:CF FE ．3．如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上，AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．4．如图，在ABC △中，5AB =，8BC =，BD BE =，2AF FC =，BF 交DE 于点P ．求:DP PE ．A F EA BD CE FAF GE B C D G A FEBCDA F1H 2H E3H BCDFDEC BA ADFPBEC2KQPHGFED CBA5．已知AD 是ABC △的高，点D 在线段BC 上，且3BD =，1CD =，作DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G ，求CG ．6．如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．7．P 是平行四边形ABCD 内任意一点，过P 作AD 的平行线，分别交AB 于E ，交CD 于F ；又过P 作AB 的平行线，分别交AD 于G ，交BC 于H ，又CE ，AH 相交于Q ．求证：D ，P ，Q 三点共线．8．如图，在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．9．如图，在ABC △中，:2:1AE EC =，:4:1BD DC =，AD 、BE 交于点F ，求:BF FE ．10．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB ．11．如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．12．如图，CD 、BE 、AF 分别为ABC △（ABC △不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB 、AC 、BC 于D 、E 、F ．证明：D 、E 、F 三点共线．AEBDC GFARBCPQA GBDCHEFAFECDEBM C A C B EADMNBEFCD ABCE F。

第一讲 几何的有名定理（1）一 梅涅劳斯定理Menelaus (公元98年左右)，希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里．设△ABC 的三边BC 、CA 、AB或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于P 、Q 、R 三点，则.1..=⋅RBAR QA CQ PC BP设P 、Q 、R 分别是△AB 的三边BC 、CA 、AB 上或它们延长线上三点，若有,1..=RBAR QA CQ PC BP 则P 、Q 、R 三点在同一直线上． 例1． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。

求证：1=+FACFEA BE 。

证 连AG,交BC 于M, DEF 截△ABM →1BE AG MD EA GM DB ⋅⋅=→2BE GM GM DBEA AG AG MD =⋅=DEF 截△AMC →1CF AG MD FA GM DC ⋅⋅=→2CF GM DC DCFA AG MD MD=⋅= 故122BE CF DB DCEA FA MD MD+=+= 评注 也可以添加辅助线证明：过A 、B 、C 之一作DF 的平行线。

D例2. 设△ABC 的∠A 的外角平分线与∠B 的延长线交于P ， B 的平分线与A 交于Q, C 的平分线和AB 交于R(图15-7).求证P 、Q 、R 三点共线.分析 要证P 、 Q 、R 三点共线，只需证明1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=，利用三角形内角及外角平分线的性质不难得到.例3. 莱莫恩(Lemoine)线如图，过△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB的延线交于P 、Q 、R ．求证P 、Q 、R 三点共线．分析 欲证P 、Q 、R 三点共线，只须证明.1..=RBAR QA CQ PC BP 证明 因AP 为圆的切线，所以△ACP ∽△ABP ，从而有⋅==CPAPAC AB AP BP AC AB , 两式相乘得⋅=22AC AB CP BP 同理可得,22AB BC QA CQ =⋅=22BC CA RB AR .1..=∴RBARQA CQ CP BP 由梅涅劳斯定理的逆定理得，P 、Q 、R 三点共线，例4．戴沙格（Desargues ）定理 设△ABC 和△A’B’C’对应顶点的连线A A’，BB’，CC’交于一点S ，这时如果对应边BC 和B’C’、CA 和C’A’、AB 和A’B’（或它们的延长线）相交，则它们的交点D 、E 、F 在同一直线上．分析 由于D 、E 、F 三点分别在△ABC 三边延长线上，要证三点共线，只须证明1.=⋅EACF DC BD FB AF 注意图中多个三角形被多条直线所截；反复利用梅涅劳斯定理，即可得证．证明 因直线FA’B’截△SAB ，由梅涅劳斯定理，有1''''=⋅⋅SB BB FB AF A A SA 同理，直线BCA 截△SAC ，有.1''''=⋅⋅EACEC C SC AA AA 直线DC’B’截△SBC ，有 .1''''=⋅⋅SC CC DC BD B B SB 三式相乘，得1..=EA CEDC BD FB AF , 由梅涅劳斯定理逆定理，D 、E 、F 三点共线.注 戴沙格定理是射影几何中的一个重要定理.例5. 牛顿（Newton ）线设四边形ABCD 的一组对边AB 和CD 的延长线交于点E ，另一组对边AD 和B 的延长线交于F ，则AC 中点L 、BD 中点M 及EF 中点N 三点共线.分析 为了证明L 、M 、N 共线，可考虑L 、M 、N 三点是否分别在一个三角形的边或延长线上．由它们分别是AC 、BD 、E 的中点，设△EBC 三边中点为P 、R 、Q ，则显然有M 在P 上，L 在R 上，N 在P 延长线上．再利用梅涅劳斯定理不难得到证明．证明 设P 、R 、Q 分别为EB 、BC 、CE 中点，因为L 、Q 、R 分别是CA 、CE,CB 的中点，所以它们在同一直线上，且有⋅=AB EALR QL 同理，M 、R 、P 三点在同一直线上，且DECDMP RM =N 、P 、Q 三点在同一直线上，且⋅=FCBFNQ PN 三式相乘得⋅⋅⋅=⋅⋅FCBFDE CD AB EA NQ PN MP RM LN QL 但因直线AD 切割△EBC 由梅涅劳斯定理，有,1.=⋅NQCD FC BF AB RA .1.=⋅∴NQPNMP RM LR QL 因L 、M 、N 三点分别在△PQ 三边或其延长线上，故由梅涅劳斯定 理逆定理，L 、M 、N 三点共线，注 直线LMN 叫做四边形ABCD 的牛顿线。

分析与线段的比有关的问题，G ，则有b AE EC AF GF ===，你发现了BF AF 、AE CE 、CD BD CD BD ·AE CE ·BFAF =1事实上，这个结论是由古希腊数学家梅涅劳斯（定理）：一直线截△ABC 的边BC 、如果你觉得记忆起来比较困难的话，可以这样想：分点顶点顶点分点·分点顶点顶点分点·梅涅劳斯定理的证明方法还有很多，如面积法等。

读者可以自己常使用不同的方法证明．分析已知DB AD 、CE AC 解∵△ABC 被直线∴DB AD ·FC BF ·EA CE ∵25=DB AD ，=CE AC ∴73=EA CE ．∴17325=∙∙FC BF ，∴1514=FC BF ．例2如图24.7.3，在△EBAE ．解在Rt △AMC 中,∵CD⊥AM,AC=2CM,∴CMAC AM DM AM AD DM AD =∙∙=∵△ABM 被直线EDC 所截，∴DA MD CM BC EB AE ∙∙=1（梅涅劳斯定理），即∴2=EBAE ．分析由题设知需先求出相关三角形的面积与边的比例关系．简解由图易得BC BD S S ABC ABD =∆∆∴BC BD AD AM S ABM ∙=∆∵△ACD 被直线BME 所截，∴1=∙∙MADM BD CB EC AE （梅涅劳斯定理）∴12+=∙=k k BC BD AE EC MA DM ∴1=+=AM DM MA DM 代入①式得2+=∆k k S ABM 同理，2==∆∆k S S ACP BCN (+-=∆∆∆S S S ABM ABC MNP 运用梅涅劳斯定理的关键在于要看清哪个三角形的三边或延长线被哪条线断所截．2．已知：如图，PA求证：PQ平分∠CPD 3．如图，E、F为△ABC :．x:zy2．梅涅劳斯定理的逆定理如果点D 、E 、F 是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，并且1=∙∙FBAF EA CE DC BD ，那么点D、E、F 在一条直线上吗？分析如图24.7.5，延长FE 交BC 的延长线于点D’，则由梅涅劳斯定理可知1''=∙∙FB AF EA CE C D BD ∵1'=∙∙FB AF EA CE DC BD ∴DC BD C D BD =''∴DC BD BD C D BD BD -=-'''，即BCBD BC BD ='∴BD BD ='，即点D’与点D 重合，∴点D、E、F 在一条直线上，即点D、E、F 三点共线．于是我们有：梅涅劳斯定理的逆定理如果点D 、E 、F 是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，并且1=∙∙FBAF EA CE DC BD ，那么点D、E、F 三点共线．例4已知：如图24.7.6，△ABC 两内角∠B、∠C 的平分线分别交对边于点E、F，∠A 的外角平分线交直线BC 于点D．求证：D 、E 、F 三点共线．证明∵∠A 的外角平分线与BC 直线相交，∴AB≠AC，不妨设AB﹥AC，则D 在BC 延长线上∵∠B、∠C 的平分线分别交对边于点E、F，∠A 的外角平分线交直线BC 于点D∴ACAB CD BD =（三角形外角平分线性质定理）AB BC AE CE =，BCAC FB AF =（三角形的内角平分线定理）∴1=∙∙=∙∙BCAC AB BC AC AB FB AF EA CE DC BD ∴D、E、F 三点共线（梅涅劳斯定理的逆定理）证明在△ABC 中，直线DET 分别交BC ∴1=∙∙DBAD EA CE TC BT （梅涅劳斯定理）设CD 、BE 相交于点H ，则H 为△ABC ∵DF⊥BC，EG⊥BC，∴AH∥DF∥EG∴GH CG EA CE =，FBHF DB AD =，代入①得∴F、G、T 三点共线（梅涅劳斯定理的逆定理）．梅涅劳斯定理的逆定理是证明三点共线的有效方法，的逆定理这一种方法，还有证明角度为180反证法是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．我们证明梅涅劳斯定理的逆定理的方法就是同一法．练习24.7（2）．已知：如图，△ABC 的∠A 的外角平分线与边平分线与边AB 交于点R．求证：P 、Q 、R 三点共线．2．如图，在△ABC 13AG AB =,13BE =4．已知：如图，设X CP交BC、AC、AB于练习24.7（2）1．求证：三角形的外角平分线各与对边所在直线的交点，三点共线．．如图，不妨设'A A 的中垂线''PA 于BC '''''''CAA A AA A AC AA A ∠=∠-∠=∠''ACA ∆∽''BAA ∆，于是''''ABA ACC S BA A C S ∆∆=22''''CB BC B A AB =，22''''AC AC C B CB =，于是BA A 由梅氏逆定理，知''A 、B''、C''共线由梅涅劳斯定理有：CN BE NB E ∵N 为BC 中点，∴1CN NB=∴AD ∥BC ，∴△EBC ∽△∴BE BC EA AD =,AO AD OC BC=，③①×②×③得：CN NB 由梅涅劳斯定理的逆定理知：同理，在△ABD 中，可证综上所述：N 、O 、M 4．考虑△OAB 和点1A 、B 考虑△OBC 和点1B 、1C 、考虑△OAC 和点1A 、C 以上三式相乘得2222BC AB AC CB 又2A 、2B 、2C 都在△ABC。

梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积．当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AB、AC于D、E、F点时，则有AE×BD×CF＝EB×CD×AF塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD×CE×AF＝DC×EA×FB．例题精讲考点一：梅涅劳斯定理【例1】．如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．【变式1-2】．梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有••＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有＝．任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE＝．考点二：塞瓦定理【例2】．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．变式训练【变式2-1】．请阅读下列材料，并完成相应任务如图，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边D，E，F 于，则××＝1．任务：（1）当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；（2）若△ABC为等边三角形，AB＝12，AE＝4，点D是BC边的中点，求BF的长．【变式2-2】．请阅读下列材料，并完成相应任务塞瓦定理定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：（1）如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；（2）若△ABC为等边三角形（如图3），AB＝12，AE＝4，点D是BC边的中点，求BF 的长，并直接写出△BOF的面积．1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（）A．B．2C．D．2．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD ＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点．射线CF交AB于点E，且，则等于．4．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C 作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则AD的长是，EF的长是．6．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD、AE于H、G，则BH：HG：GM等于．7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB＝a，AD＝c，BE＝b，则BF＝．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM为BC边上的中线，CD⊥AM于点D，CD 的延长线交于点，求的值．9．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为BC上一点，AE交CD于点F，EH⊥AB于点H，若CF＝2FD，EH＝，求CE•BE的值．11．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，连接DE，2∠C+∠BDE＝180°．（1）求证：∠BDE＝2∠CAD；（2）若AC＝BD，∠AED＝∠ACB，求证BE＝2CD；（3）若AE＝kBE，BD＝mCD，则的值为．（用含m，k的式子表示）．12．如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，BE⊥AD，垂足为E，点F在AD上，∠ACF＝∠DBE．（1）求证：∠ABD＝∠CFD；（2）探究线段AF，DE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，延长BE交CF于点P，AB＝AF，求的值．13．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE＝DC，点F 是DE与AC的交点，且DF＝FE．（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）求证：BE＝EC；（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF＝FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF＝kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB＝1，∠ABC＝a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．14．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任务一：（1）请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；（2）写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E 为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．15．问题提出如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．16．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．。

第一章梅涅劳斯定理及应有习题A1．延长CB，FE交于H，ADB△与截线GEH，有13122AG DH BE DHGD HB EA HB⋅⋅=⋅⋅=，有43DHHB=，即74CHHD=．对ACD△及截线FGH，72141AF CH DG AFFC HD GA FC⋅⋅=⋅⋅=，求得27AFFC=．2．设CB，DE的延长线交于P，又BP BC=，32FPPB=，对AFB△与截线HEP，CGE，有31121AH FP BE AHGF PB EA HF⋅⋅=⋅⋅=，即23AHHF=；11121AG FC BE AGGF CB EA GF⋅⋅=⋅⋅=，即21AGGF=．由此求得645AH HG GF=∶∶∶∶．3．对BDP△于截线CEA，有1231612BC DA PE BCCD AP EA CD⋅⋅=⋅⋅=，知BD DC=．对CDP△与截线BFA，有22111CB DA PF PFBD AP FC FC⋅⋅=⋅⋅=，知14PFFC=．而20CF=，故15CP=．在PBC△中，由中线长公式2PD=，得27BC=，即BD=．又222222697)B P P D B D+=+=，即90BPD∠=︒，27PBDS=△，4108ABC PBDS S==△△．4．直线OCB分别与DMF△和AEM△的三边延长线都相交，有1DB MO FCMB FO DC⋅⋅=，1AB EO MCEB MO AC⋅⋅=，即O F O E D B F C E B A CO M O M M B D C A B M C⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．由E F A D∥，有D B A BM B E B=，FC MCDC AC=，从而21O F O EOM⋅=，即22OF OE OM OP⋅==，有O F P O P E△∽△，故O P F O E P∠=∠．5．直线截ABC△，有22133CF AD BE BEFA DB EC EC⋅⋅=⋅⋅=，即94BEEC=，故54BCCE=．直线截DBE△，有25154EF AD BC EFFD AB CE ED⋅⋅=⋅⋅=，所以21EF FD=∶∶．6．设AC BC x==，则AB=，。

梅涅劳斯定理向量证明的重新陈述标题: 梅涅劳斯定理向量证明的重新陈述摘要：梅涅劳斯定理是一个重要的向量定理，它可以在许多领域中被应用。

本文重新陈述和证明了梅涅劳斯定理，并探讨了其在几何中的应用。

我们将通过从简到繁的方式来介绍和分析这一定理，以便读者能够更深入地理解梅涅劳斯定理。

引言：梅涅劳斯定理是向量分析中的一个重要定理，它描述了一个平面内的向量和其与该平面法向量的夹角之间的关系。

该定理是由奥地利物理学家弗朗茨·梅涅劳斯在19世纪提出的，后来成为了向量分析的基本理论之一。

本文将首先简要介绍梅涅劳斯定理的基本概念，然后详细推导其证明过程。

接下来，我们将探讨梅涅劳斯定理在几何中的应用，包括面积计算和向量叉乘的关系。

最后，我们将总结梅涅劳斯定理的重要性和应用价值。

梅涅劳斯定理的陈述：梅涅劳斯定理的陈述如下：如果一个向量与平面内的两个非共线向量的叉乘等于零向量，那么这个向量与该平面法向量的夹角为直角。

这一定理可以用数学符号表示为：（A × B）·C = 0 ⇒ A · (B × C) = 0其中，A、B和C都是平面上的向量，符号"·"表示向量的点积，符号"×"表示向量的叉乘。

证明过程：证明梅涅劳斯定理可以分为以下几个步骤：步骤1：定义平面和向量A、B、C我们首先定义一个平面P，并选择该平面上的三个非共线向量A、B、C。

步骤2：计算向量的叉乘通过计算向量B和向量C的叉乘，我们可以得到一个新的向量D：D = B × C步骤3：计算向量的点积然后，我们计算向量A和向量D的点积：A · D = A · (B × C)步骤4：证明点积等于零通过利用向量叉乘的性质和向量的线性无关性质，我们可以证明：A · (B × C) = 0因此，根据梅涅劳斯定理的陈述，由于A · (B × C) = 0，我们可以得出结论：向量A与平面P的法向量的夹角为直角。

梅涅劳斯定理[梅涅劳斯定理]
证明四
梅涅劳斯定理
过三顶点作直线DEF的垂线AA'，BB'，CC'，如图：充分性证明：
△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。

梅涅劳斯定理
连接DF交CA于E'，则由充分性可得，
梅涅劳斯定理
又∵
梅涅劳斯定理
∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。

所以共线
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理
推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ= 、μ= 、ν= 。

于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=-1。

（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）
梅涅劳斯定理
此外，用该定理可使其容易理解和记忆：
第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则
梅涅劳斯定理
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

该形式的梅涅劳斯定理也很实用。

证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。

第二角元形式的梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则 (O不与点A、B、C重合)
梅涅劳斯定理。

第1讲 梅涅劳斯定理塞瓦定理知识点一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 如果一条直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC ∆的梅氏线，ABC ∆叫梅氏三角形． 证明如图1-1，若一直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点．求证： 1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=图1-1FECDBA图1-2GF E CD BA图1-3GFECDB A证法一：如图1-2，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FGAE AF=∴1AF BD CE AF FB FGFB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅= 证法二：如图1-3，过A 作//AG BD 交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DCEA AG=三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=． 梅涅劳斯定理的逆定理 若F 、D 、E 分别是ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线． 知识点二、塞瓦定理塞瓦定理 如果ABC ∆的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于D 、E 、F ，如图1-4，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC ∆的塞瓦点． 证明∵直线FPC 、EPB 分别是ABD ∆、ACD ∆的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD⋅⋅=P图1-4FECDB AF 'P图1-5FECDBAABDCEF图1-6两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅= 塞瓦定理的逆定理 如果点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． 证明⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图1-5，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：F 1BD CE A DC EA F B'⋅⋅='， 又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B'='， ∴AB ABFB F B='，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图1-6．∴BD EA DC AC =，又已知1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=，∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FBAC AF =． ∴//BE FC ，∴////AD BE FC ．【例 1】 已知ABC ∆中，AD 为中线，过C 点任作一直线交AB 于F ，交AD 于E ，如图1-7，求证：:2:AE ED AF FB =.【分析】∵直线FEC 是ABD ∆的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =， ∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AFED BF=．【例 2】 （2003年深圳市中考题）如图1-8，直线1l ∥2l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC是 （ ）A ．5：2B ．4：1C ．2：1D ．3：2图1-8l 2l 1GF EDC BA【分析】∵DG 截ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 或其延长线于F 、E 、D 三点，图1-7FECD BA∴1AF BD ECFB CD AE ⋅⋅=． ∵23AF FB =，21BC CD = ∴31BD CD =，∴23131ECAE ⨯⨯= ∴12EC AE =，即21AE EC =【例 3】 如图1-9，ABC ∆中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．【分析】∵直线AE 是BCD ∆的梅氏线， ∴1BM DA CEMD AC EB⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=，∴11BM MD = ∵直线AF 是BCD ∆的梅氏线， ∴1BN DA CFND AC FB⋅⋅=， ∴11122BN ND ⋅⋅=，41BN ND = ∴::5:3:2BM MN ND =．【例 4】 如图1-10-1，ABC ∆中，5AB =，8BC =，BD BE =，2AF FC =，BF 交DE 于P ．求:DP PE ．FPE DCBA 图1-10-1O P GFEDCBA图1-10-2【分析】过A 作AG ∥DE 交BC 于G ，交BF 于Q ，如图1-10-2． 可得：5AB BG ==，且DP AQPE QG=∵直线BF 是ACG ∆的梅氏线， ∴51182AQ GB CF AQ QG BC FA QG ⋅⋅=⋅⋅= ∴165DP AQ PE QG ==．【例 5】如图1-11，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ． 若AB a =，AD c =，BE b =，求BF 的长．N M FE CDBA图1-9图1-11OFEDCBA【分析】∵OE 截ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 或其延长线于E 、O 、F 三点．∴1CO AE BFAO BE FC⋅⋅=． 在平行四边形ABCD 中， ∵OA OC =，∴1OAOC= ∵AE AB BE a b =+=+，∴AE a bBE b+=∴BF b FC a b =+，即FC a bBF b+=∴2FC BF a b BF b ++=，即2BC a bBF b+=． ∵BC AD =，∴2c a b BF b +=，∴2bcBF a b=+．【例 6】 如图1-12，E 、F 分别为ABC ∆的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF交于P ，AP 的延长线交BC 于D ．求:AP PD 的值．【分析】∵P 为ABC ∆的塞瓦点．∴11133AF BD CE BD FB DC EA DC ⋅⋅=⋅⋅= ∴91BD DC =，∴910BD BC =． ∵EPB 为ACD ∆的梅氏线， ∴911103AP DB CE AP PD BC EA PD ⋅⋅=⋅⋅= ∴103AP PD =．【例 7】 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于E ，AD 、BC 的延长线交于H ，过E 作FG ∥AB交AD 于F ，交BC 于G ，求证：AG 、BF 、EH 三线共点．【分析】设直线HE 交AB 于Q ，由已知可得,HF HE BG EQ FA EQ GH HE ==，∴1HF BGFA GH⋅= 图1-12PFE DCA F图1-13H GED C BA图1-14-1PFED CB A由E 为HAB ∆的塞瓦点可得：1HD AQ BCDA QB CH⋅⋅= 同理可得：1HD BCDA CH⋅=，∴1AQ QB =，∴1HF AQ BG FA QB GH ⋅⋅= ∴AG 、BF 、EH 三线共点．【例 8】 已知：AD 、BE 、CF 为ABC ∆的高。

初中数学竞赛：梅涅劳斯定理经常做竞赛题的同学，看到这道题之后可能一下子就看出来了，第一小题就是梅涅劳斯定理，如果你不知道这是啥玩意儿，那么接下来就认真阅读，并且牢记第一小题这个结论；解析：（1）梅涅劳斯定理的定义，简单点说就是一个三角形被一条直线贯穿，和三边所在的直线有3个交点，那么按照每条边上的两个三角形顶点与该边上新出现的交点组成的线段的比例（一定要按顺序来，要么顺时针要么逆时针）的乘积等于1；如果不理解的话，自己百度吧。

要证明这个结论，我们只需要借助平行相似过A做BC的平行线，交FD的延长线于H如图，根据平行，我们可以得到△ADH∽△BDF，△AEH∽△CEF那么AD/BD=AH/BF，CE/AE=CF/AH接下来我们将两个式子相乘则AD/BD·CE/AE=CF/BF都移到一边可得AD/BD·CE/AE·BF/CF=1与结论一样了吧；后面的篇幅有点长，针对不同群体提供了2种方法，本来打算设置付费，但是为了让更多的同学参考学习，仍然免费；如果同学们觉得值得学习，请转发至朋友圈，让更多的同学关注；（2）这一小题有点复杂了，但是根据题干的提示，让利用第一小题的结论，所以相对会简单点，如果说，没有第一小题，直接这道题就是让证明这一个结论，那么抛开梅涅劳斯定理，这道题就变得非常复杂了，也就是需要从第一步开始证明；当然，经常做竞赛的同学，可能容易想到梅涅劳斯定理，可以直接用，但是如果说第二小题直接放在了中考当中，或者是某些学校的自主招生试题中，当做独立的一道题，就会有一些同学不知道梅涅劳斯定理，那么就需要从头到尾一步步来解决，如此一来，这道题就相当于一道工作量巨大的题目了；今天老师给大家提供两种方法，先用不借助梅涅劳斯定理的方法，该方法适合每位九年级同学，但是如果你的数学成绩还不足80%的得分率，恐怕掌握上有难度；第二种就用第一小题的结论来证明，也就是经常做竞赛题的同学，直接利用梅涅劳斯定理来做题；·············································先来看第一种方法，当然还是在第一小题的图形基础上，也就是AH和FH还是必须有滴，现在出现了一个重心G而结论中的BD/AD和CE/AE都好说，根据刚才的过程可知BD/AD=BF/AH，CE/AE=CF/AH那么BD/AD+CE/AE=（BF+CF)/AH现在问题就出现了，BF+CF需要等于AH才能得到结论，既然多了一个重心G，根据重心的位置可知如果连接CG并且延长，和AB边的交点为AB中点，那么我们就添加辅助线吧，顺便多延长一些，交AH于K如图，根据M是AB中点，利用全等可知AK=BC，那么接下来只要HK=2CF即可，所以到了最关键的时候，如何证明呢？观察HK和CF，符合平行相似，需要证明△HKG和△FCG的相似比为2：1所以复杂的地方就在这里了后面的内容可以等同于一道证明题了，即证明重心将中线分成的两个线段的比例，可能有同学遇到过这类题了，其实就相当于一个结论，如果不经常接触这类题，估计结论也记不住，那么接下来我们一起来解决它；接着刚才的，要证明HK=2CF，只需要连接AG并且延长与BC相交，证明这条中线被G分成的两条线段为2：1即可，如图，要证明AG=2NG，我们只能借助于重心G，重心是三角形中线的交点，所以我们还得再连接BG同时延长交AC于L观察图形，这个时候M和L都是中点，如果连接ML，则可得中位线如图，根据ML是△ABC中位线可知BC=2ML那么AN就被ML给平分了，我们标注一下这个交点吧假设ML和AN交于O，那么OA=ON，而根据ML//BC可得相似，即△MGL∽△CGB则OG：GN =ML：BC=1：2所以GN=2ON/3，OG=ON/3则AG=OA+OG=4ON/3所以AG =2GN那么现在有了2倍关系，接下来需要将2倍关系转换到HK和CF 上根据△HAG∽△FNG可得HG：FG =2：1那么放到△HKG∽△FCG中可得HK=2CF所以AH=AK+HK=BC+2CF=BF+CFso，（BF+CF)/AH=1即BD/AD+CE/AE=1··············································接下来再看第二种方法，借助梅涅劳斯定理根据第一小题的结论可知公式长什么样，当然，即使以前不知道梅涅劳斯定理的同学，在了解了第一小题之后，你也可以记住它，当做你知道这个定理，因为这毕竟就是一个公式，好记；而这一小题给出了重心G我们做出AN这条中线，就需要知道AG：GN=2：1，如果你不知道，那你肯定不是经常做竞赛题，那么你就需要借助第一种方法来得到这个比例；所以我们现在可以从图上得到两个新的三角形，△ANC和△ABN，都被DF贯穿，根据图形，△ANC被GF贯穿，根据梅涅劳斯定理可得AG/GN·NF/CF·CE/AE=1根据AG：GN=2：1可得NF/CF·CE/AE=1/2则CE/AE=CF/2NF同时在△ABN中，根据梅涅劳斯定理可得BD/AD·AG/GN·NF/BF=1根据AG：GN=2：1可得BD/AD=BF/2NF则CE/AE+BD/AD=CF/2NF+BF/2NF=（CF+BF）/2NF 我们知道NF=NC+CF2NF=2NC+2CF2NC=BC则2NF=BC+2CF=BF+CF所以CE/AE+BD/AD=1。

梅涅劳斯定理证明过程梅涅劳斯定理是数学中的一个重要定理，它在微积分领域具有广泛的应用。

本文将详细介绍梅涅劳斯定理的证明过程。

梅涅劳斯定理是关于定积分和不定积分之间的关系的定理。

它的主要内容是：如果函数F(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)上可导，则对于该函数的任意一点c∈(a, b)，都存在一个数k，使得定积分∫[a, b]f(x)dx等于不定积分F(b)-F(a)加上k乘以b-a，即∫[a, b]f(x)dx = F(b)-F(a) + k(b-a)。

为了证明梅涅劳斯定理，我们首先需要明确两个重要的定理：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一。

它的内容是：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)上可导，则在(a, b)之间至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。

柯西中值定理是微积分中的另一个重要定理。

它的内容是：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)上可导，并且g'(x)不为零，则在(a, b)之间至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/g'(c) = [f'(c)-f'(a)]/g(c)。

接下来，我们开始证明梅涅劳斯定理。

设函数F(x)在区间[a, b]上连续，并且在(a, b)上可导。

考虑函数f(x) = F'(x)，根据柯西中值定理，存在一个点c∈(a, b)，使得[f(b)-f(a)] = [f'(c)-f'(a)](b-a)。

由于f(x) = F'(x)，我们可以将上式写成[F(b)-F(a)] = [F'(c)-F'(a)](b-a)。

根据拉格朗日中值定理，存在一个点d∈(a, b)，使得F'(c) = (F(b)-F(a))/(b-a)。

将这个结果代入前面的等式中，得到[F(b)-F(a)] = [F'(d)-F'(a)](b-a)。

梅涅劳斯定理的证明方法嘿，咱今天就来聊聊梅涅劳斯定理的证明方法！你知道吗，这就像是一场奇妙的数学探险。

梅涅劳斯定理啊，那可是几何世界里的一颗璀璨明珠。

想象一下，在一个复杂的几何图形里，线条交织，就像一个神秘的迷宫。

而梅涅劳斯定理呢，就像是给我们指出了走出迷宫的关键线索。

证明梅涅劳斯定理的方法有好几种呢。

有一种方法就像是搭积木，一步一步稳稳地构建起来。

我们先在图形上找到那些关键的点和线，然后通过巧妙的比例关系，就像拼图一样把它们拼在一起，哇，定理就神奇地出现啦！这难道不神奇吗？还有一种方法呢，就像是解开一个复杂的绳结。

我们要耐心地找到每一个线头，慢慢地梳理，一点点地解开。

在这个过程中，你会发现数学的美妙之处，就好像是找到了隐藏在图形背后的密码。

你说数学难？嘿，那只是还没找到乐趣罢了。

梅涅劳斯定理的证明过程，就是一次充满挑战和惊喜的旅程。

当你通过自己的努力，找到了那个正确的证明方法，那种成就感，简直无与伦比！比如说，我们可以在一个三角形里，找到那些特殊的线段比例，然后通过巧妙的代换和推理，梅涅劳斯定理就乖乖地现出原形啦。

这就像是一场智力的较量，我们要和定理斗智斗勇，最后取得胜利。

数学可不只是一堆枯燥的公式和定理，它里面蕴含着无尽的智慧和乐趣。

梅涅劳斯定理就是一个很好的例子。

它就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘，去发现。

你想想看，几百年前的数学家们是怎么发现这个定理的呢？他们是不是也经历了无数次的尝试和失败，最后才找到了这个美妙的证明方法？我们现在站在巨人的肩膀上，更应该好好去体会，去感受数学的魅力呀。

所以啊，别害怕梅涅劳斯定理，也别害怕数学。

勇敢地去探索，去尝试，你会发现一个全新的世界。

在这个世界里，有奇妙的图形，有深奥的定理，还有无尽的乐趣。

总之，梅涅劳斯定理的证明方法是数学世界里的一颗宝石，值得我们去好好钻研和品味。

让我们一起踏上这场数学的冒险之旅吧！。

梅涅劳斯定理上海新竹园中学 胡蕙知识目的：1、 通过对梅涅劳斯定理的证明，达到对所学平行线分线段成比例这一知识点的复习和巩固。

2、 学会利用梅涅劳斯定理解决一些数学问题。

能力目标：1、 培养学生用规范的数学语言来表达的能力。

2、 培养学生对所学知识点的灵活运用能力。

教学重点：1、 对平行线分线段成比例这一知识点的复习、巩固和运用。

2、 运用梅涅劳斯定理解决一些数学问题。

教学难点：如何引导学生会利用梅涅劳斯定理来解决问题。

教学过程：一、 梅涅劳斯定理：1、如果一条直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1=⋅⋅EACE DC BD FB AF 。

证明：过点A 作BC AG //交DF 的延长线于GBDAG FB AF = DCBD DC BD = AGDC EA CE =三式相乘得： 1=⋅⋅=⋅⋅AGDC DC BD BD AG EA CE DC BD FB AF （一题多解）二、 梅涅劳斯定理的运用例题：已知，如图ABC ∆中，AD 为中线，过C 点任作一直线交AB 于F ，交AD 于E求证：FBAF ED AE 2= 分析：FEC 是ABD ∆的梅氏线。

三、接触中考：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若1tan3BPD∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备四、小结五、作业：《复习点要》课题12。

梅涅劳斯定理（入门篇）雷雨田 （广西师范大学附属外国语学校高50班 541004）梅涅劳斯定理这个定理怎么记最好呢？个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。

第一角元形式的梅涅劳斯定理（就是把线段比改为正弦值比）其表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠BA'B sin 'CBB sin CB 'C sin 'ACC sin AC 'A sin 'BAA sin证明如下：如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得：AC 'A sin AC 'BAA sin AB AC 'A sin AC 'AA 'BAA sin 'AA AB S S C 'A 'BA C'AA 'ABA ∠⋅∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆2121同理可得CB'C sin BC 'ACC sin AC B 'C 'AC ,BA 'B sin AB 'CBB sin BC A 'B 'CB ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅= 把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到这个式子怎么记最好呢？个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。

第二角元形式的梅涅劳斯定理设O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠OA'B sin 'COB sin OB 'C sin 'AOC sin OC 'A sin 'BOA sin现证明如下：AB C A’B ’C’如图，由C'A 'BA S S OC 'A 'BOA =∆∆ 可得A'B 'BA OB OC OC 'A sin 'OA B sin ⋅=∠∠同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证这个式子就这样记吧：先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O ，然后再在前面加上∠sin （比如BA'就变成'BOA sin ∠）梅氏定理的用处这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处： 可以用来证明三点共线； 可以用来导出线段比例式；可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）；怎么用梅氏定理知道了这个定理，还要会用才行。