梅涅劳斯定理及应用

第一章梅涅劳斯定理及应有习题A1．延长CB，FE交于H，ADB△与截线GEH，有13122AG DH BE DHGD HB EA HB⋅⋅=⋅⋅=，有43DHHB=，即74CHHD=．对ACD△及截线FGH，72141AF CH DG AFFC HD GA FC⋅⋅=⋅⋅=，求得27AFFC=．2．设CB，DE的延长线交于P，又BP BC=，32FPPB=，对AFB△与截线HEP，CGE，有31121AH FP BE AHGF PB EA HF⋅⋅=⋅⋅=，即23AHHF=；11121AG FC BE AGGF CB EA GF⋅⋅=⋅⋅=，即21AGGF=．由此求得645AH HG GF=∶∶∶∶．3．对BDP△于截线CEA，有1231612BC DA PE BCCD AP EA CD⋅⋅=⋅⋅=，知BD DC=．对CDP△与截线BFA，有22111CB DA PF PFBD AP FC FC⋅⋅=⋅⋅=，知14PFFC=．而20CF=，故15CP=．在PBC△中，由中线长公式2PD=，得7BC=，即BD．又222222697)B P P D B D+=+=，即90BPD∠=︒，27PBDS=△，4108ABC PBDS S==△△．4．直线OCB分别与DMF△和AEM△的三边延长线都相交，有1DB MO FCMB FO DC⋅⋅=，1AB EO MCEB MO AC⋅⋅=，即O F O E D B F C E B A CO M O M M B D C A B M C⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．由E F A D∥，有D B A BM B E B=，FC MCDC AC=，从而21O F O EOM⋅=，即22OF OE OM OP⋅==，有O F P O P E△∽△，故O P F O E P∠=∠．5．直线截ABC△，有22133CF AD BE BEFA DB EC EC⋅⋅=⋅⋅=，即94BEEC=，故54BCCE=．直线截DBE△，有25154EF AD BC EFFD AB CE ED⋅⋅=⋅⋅=，所以21EF FD=∶∶．6．设AC BC x==，则AB=，。

梅涅劳斯定理（入门篇）雷雨田（广西师范大学附属外国语学校高50班 541004）梅涅劳斯定理证明2：面积法AF/FB = △ADF/△BDF ①BD/DC = △BDF/△CDF ②CE/EA = △CDF/△ADF ③式① * ② * ③可得：（AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）= 1 得证。

证明3：相似法证明4：这个定理怎么记最好呢？个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易不过找了很多资料，感觉仅仅是把这个定理（或者后面附一个逆定理）陈述然后证明完了之后，就直接给例题（或者直接讲赛瓦定理），看上去不怎么舒服，所以我把其他的一些东西附在这里，以供参考。

第一角元形式的梅涅劳斯定理（就是把线段比改为正弦值比）其表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠BA'B sin 'CBB sin CB 'C sin 'ACC sin AC 'A sin 'BAA sin 证明如下：如图所示，由三角形面积公式（正弦定理）可得： AC 'A sin AC 'BAA sin AB AC 'A sin AC 'AA 'BAA sin 'AA AB S S C 'A 'BA C 'AA 'ABA ∠⋅∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆2121同理可得CB'C sin BC 'ACC sin AC B 'C 'AC ,BA 'B sin AB 'CBB sin BC A 'B 'CB ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅= 把这三个式子相乘，运用梅氏定理，就可得到这个式子怎么记最好呢？个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。

第二角元形式的梅涅劳斯定理设O 是不在三角形ABC 三边所在直线上的任意一点，其他条件不变，则表达式为：1=∠∠•∠∠•∠∠OA'B sin 'COB sin OB 'C sin 'AOC sin OC 'A sin 'BOA sin AB C A’ B’C’现证明如下： 如图，由C 'A 'BA S S OC 'A 'BOA =∆∆ 可得A'B 'BA OB OC OC 'A sin 'OA B sin ⋅=∠∠同理得到另外两个对称式，相乘，运用梅氏定理即得证这个式子就这样记吧：先记住原来的梅涅劳斯定理形式，然后在每条线段表达式中间插一个O ，然后再在前面加上∠sin （比如BA'就变成'B OA sin ∠）梅氏定理的用处这个定理是平面几何的一个重要定理（好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节，不知是惯性还是怎么地），它大概有如下用处：可以用来证明三点共线；可以用来导出线段比例式；可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍（即线段倍分）；怎么用梅氏定理知道了这个定理，还要会用才行。

梅涅劳斯定理及其应用
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明定理
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1。

定义理论：
使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。

梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在三角形的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E 三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/E A)=1，则F、D、E三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1证明四：连接BF。

（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

梅涅劳斯定理是证明的有力工具
【原创实用版】
目录
1.梅涅劳斯定理的概述
2.梅涅劳斯定理在证明中的应用
3.梅涅劳斯定理的优势和局限性
正文
梅涅劳斯定理是一种在数学中常用的定理，它的主要应用是用来证明其他更为复杂的数学命题。

梅涅劳斯定理的概述如下：在平面上，如果三点共线，那么这三个点的坐标和满足一定的关系。

这个关系就是梅涅劳斯定理。

梅涅劳斯定理在证明中的应用非常广泛。

它常常被用来证明一些复杂的几何问题，例如，证明一个四边形是平行四边形，证明一个三角形是等腰三角形等等。

梅涅劳斯定理的优势在于，它可以通过简单的坐标运算，快速地证明一些复杂的几何问题。

然而，梅涅劳斯定理也有其局限性。

它只适用于平面上的几何问题，对于空间几何问题，梅涅劳斯定理就无法适用了。

此外，梅涅劳斯定理只能解决一些基本的几何问题，对于一些复杂的数学问题，梅涅劳斯定理也无法提供帮助。

总的来说，梅涅劳斯定理是一种有力的工具，它可以帮助我们快速地证明一些复杂的几何问题。

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梅涅劳斯定理在空间的推广及应用梅涅劳斯定理是一个表明圆弧是平行、线段是放大而长度保持不变的定理，它最早由古希腊几何学家梅涅劳斯提出。

它在空间几何学中有着重要的研究价值。

一、梅涅劳斯定理的推广
梅涅劳斯定理在古希腊几何学中最初是在二维几何中被提出的，它的定义是：任意给定的一条弧，它的延长线与球面上的对称中心之间的距离及其长度仍为相同。

现在，性质相同的定理也可以推广到三维几何中去：每一条射线，它的末梢和平面上对称中心之间的距离及其长度仍为相同。

二、梅涅劳斯定理的应用
1、梅涅劳斯定理可以用来研究球面的一阶微分几何，从而推导出著名的测地罗经线定理。

2、可以用梅涅劳斯定理来解决范德蒙投影问题。

3、梅涅劳斯定理也可以用来构造流形的不变的形状衡量参数，例如幂律分类参数。

总之，梅涅劳斯定理广泛地应用于数学几何学等多个领域中，尤其在计算几何中具有重要意义。

梅涅劳斯定理向量证明一、梅涅劳斯定理简介梅涅劳斯定理是数学中的一个重要定理，用于证明向量的平行性。

该定理是由法国数学家梅涅劳斯在19世纪提出的，被广泛运用于几何学和向量分析中。

二、梅涅劳斯定理的表述梅涅劳斯定理可以表述为：如果在一个三角形的边上取三个共线的向量，那么这三个向量的长度和方向分别与三角形的另外两个边上的共线向量相等。

三、梅涅劳斯定理的证明3.1 三角形ABC的边向量假设三角形ABC的三个顶点分别为A、B、C，其边向量分别为AB、BC、CA。

我们需要证明的是，如果在边AB、BC、CA上取三个共线的向量，那么这三个向量的长度和方向分别与边BC、CA、AB上的共线向量相等。

3.2 向量的线性组合设在边AB上取向量AD，边BC上取向量BE，边CA上取向量CF。

根据向量的线性组合性质，可以得到向量AD、BE、CF可以表示为边向量AB、BC、CA的线性组合。

3.3 向量的长度和方向根据向量的线性组合性质，向量AD、BE、CF的长度和方向可以表示为边向量AB、BC、CA的长度和方向的线性组合。

由于向量AD、BE、CF共线，所以它们的长度和方向分别相等。

3.4 三角形的边向量根据三角形的定义，边向量AB、BC、CA分别与顶点C、A、B相连。

根据梅涅劳斯定理的表述，我们可以知道边向量AB、BC、CA的长度和方向分别与边BC、CA、AB上的共线向量相等。

3.5 三角形的边向量和共线向量的关系综上所述，我们可以得出结论：在三角形ABC的边上取三个共线的向量，那么这三个向量的长度和方向分别与边BC、CA、AB上的共线向量相等。

这就是梅涅劳斯定理的证明过程。

四、梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理在几何学和向量分析中有广泛的应用。

它可以用于证明向量的平行性，判断三角形的相似性，以及解决一些与向量相关的问题。

4.1 向量的平行性判断根据梅涅劳斯定理，如果在两个向量的共线的边上取两个共线的向量，那么这两个向量的长度和方向分别与另外两个边上的共线向量相等。

4.1 梅涅劳斯定理及应用梅涅劳斯定理设///C B A 、、分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点，若///C B A 、、 三点在一条直线上，则.1..//////=BC AC A B CB C A BA (4.1-1) 注若采用有向线段，上式右边为-1（下面均同）．证明 如图4-1，过A 作直线,////A C AD 交BC 的延长线于D ，则⋅==BA DABC ACD A CA A B CB ////////, 故 .1....////////////==BA DA D A CA C A BABC AC A B CB C A BA梅涅劳斯定理的逆定理设///C B A 、、分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点且其中仅一点在延长线上或三点均在延长线上，若,1..//////=BC AC A B CB C A BA (4.1-2) 则///C B A 、、三点在一条直线上．证明 不妨设仅有点/A 在BC 的延长线上，则直线//B A 与边AB 相交，设交点为1C ，由梅涅劳斯定理，得到.1..11////=BC AC A B CB C A BA 由题设，有 ,1..//////=BC AC A B CB C A BA则⋅=B C AC B C AC //11 又由合比定理，知 ,/1ABAC AB AC = 故有./1AC AC =从而1C 与/C 重合，即///.C B A 、、三点在一条直线上．梅涅劳斯定理是导出线段比例式的重要途径之一．梅涅劳斯定理的逆定理是证明三点在一条直线上的理论依据之一．例1 已知D 、F 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且AD ：DB=CF ：FA =2:3，连DF 交BC 边延长线于E 点，那么EF ：FD= ． (1990年“祖冲之”杯邀请赛题)解 填2:1．理由：如图4-2，对△DFA 与截线ECB ，由梅涅劳斯定理，有.52...EF DE BD AB CA FC EF DE = ,135=由此得,23=EF DE 从而,2=FDEF 即EF ：FD =2：1． 例2 已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点，,43,32==EC AE DC BD AD 、BE 交于F ，则FEBFFD AF .的值是( )．37.A 914.B 123.5C 1556.D（1997年太原市竞赛题）解 选C 理由：如图4-3，对△ADC 与截线BFE ，由梅涅劳斯定理，有,134.52...==FD AF EA CE BC DB FD AF 得 ⋅=815FD AF对△BEC 与截线AFD ，由梅涅劳斯定理，有,123.73...==FE BF DB CD AC EA FE BF 得 ⋅=914FE BF故⋅==1235914.815.FE BF FD AF 例3 如图4-4，在△ABC 中，,90=∠A 点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F ．若BE ：ED ＝ 2AC ：DC ，求证：∠ADB＝∠FDC，证明 取BC 中点M ，连结AM 交BD 于G ，对△BCD 与截线AEF ，由梅涅劳斯定理，有.1.=⋅⋅LBDE AD CA FC BF 而,2DCACED BE =所以,.DC AC DC FC == ⋅+=DCDCAD FC BC 2 ①同理，对△ACM 与截线DGB ，有,1..=⋅GAMGBM CB DC AD 由),90(21=∠==A BC BM AM 因得 ,22,2DCAD ADAM AG DC AD GM AG +== ⋅+=DCAD ADBC AG 2 ② 由①、②得 ⋅=DCADFC AG又∠MAC=∠ACM，则△AGD∽△CFD． 故∠ADB＝∠FDC．例4 已知凸五边形ABCDE 满足,90,=∠=∠=DEA DCB DE DC 点F 是线段AB 内一点，并且AF:BF ＝ AE ：BC ．证明：∠FCE＝∠ADE，∠FEC＝∠BDC． （1997年波兰奥林匹克题） 证明 如图4-5，延长CB 、EA 交于点O ，连DO ，过A 作AG∥CE 交CO 于G ，交DO 于H ．由 ,90,=∠=∠=DEA DCB DE DC 知Rt△OCD ≌ Rt△OED.从而CE ⊥OD, AG ⊥ OD,AE = CG, GH = HA.注意到,1...==FBAFAE CB FB AF HA GH CG BC 由梅涅劳斯定理的逆定理，知C 、F 、H 三点在一条直线上．在△OHC 和△OAD 中，易知,DOA COH ∠=∠又由=OA OH ,cos cos DOCOCOH DOA =∠=∠则 △OHC ∽ △OAD,故有 .ODA OCH ∠=∠再由 ,9090ODE EOD COD OCE ∠=∠-=∠-=∠从而 .ADE ODA ODE OCH OCE FCE ∠=∠-∠=∠-∠=∠类似地，过B 作CE 的平行线交OD 于,/H 重复上述过程可证F H E 、、/在一条直线上，OBD E OH ∆∝∆/，进而可证∠FE C =∠BDC.例 5 在凸四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 上各取两点E 、G 和F 、H ，使得.41,41BD HD BF AC GC AE ====设AB 、CD 、EF 、GH 的中点分别为M 、N 、P 、Q 求证：M 、P 、Q 、N 四点共线． （第17届全俄奥林匹克题）证明 如图4-6，连MN ，分别交AC 、BD 于点S 、R ，设AC 与BD 交于点O. 直线SRM 与△OAB 相截，直线RSN 与△OCD 相截，由梅涅劳斯定理，有.1..,1..==RODR ND CN SC OS RO BR MB AM SA OS而 AM = MB, CN = ND,则,DRCSOR OS BR AS == 故 ⋅==++=BDBRAC AS BD AC DR BR CS AS BR AS ,又 ,41,,41,BD BF BF BR FR AC AE AE AS ES =-==-=于是，⋅===OROSBR AS BD AC FR ES 又EP = PF ，则.1...==⋅ESFR OR OS RO FR PF EP SE OS 、 由梅涅劳斯定理的逆定理，知S 、R 、P 共线．即M 、P 、 N 三点在一条直线上． 同理，M 、Q 、N 三点在一条直线上．所以，M 、P 、Q 、N 四点共线．习 题 4.11 在△ABC 中，D 、E 是边BC 的三等分点，点M 是AC 的中点，BM 交AD 于G ，交AE 于H ，则BG ：GH ：HM等于 ． （1990年江苏省竞赛题） 2 在△PQR 中，延长PQ 到S ，使PQ ＝QS ，点U 在边PR 上，且=PU ,32UR 连结SU ，设SU 与QR 的交点为T ，则=QRQT(1994年上海市竞赛题） 3 在△ABC 中，D 是AB 内一点，E 是AC 延长线上一点，DE 与BC 相交于F ，已知,34,25==CE AC DB AD 则=FC（1994年“祖冲之”杯邀请赛题） 4 在△ABC 中，D 、E 是BC 上的点，BD ：DE ：EC ＝3：2：1，点M 在AC 上，2:1:=MA CM ，BM 交AD:AE 于H 、G ，则BH ：HG ：GM 等于( )．A.3:2:1B.5:3:1C.25: 12:5D.51: 24: 10 （1995年黄冈地区竞赛题） 5 在正△ABC 的边BC 、CA 、AB 上分别有内分点D 、E 、F ，将边分成2：(n-2)（其中n>4），线段AD 、BE 、CF 相交所成的△PQR 的面积是△ABC 的面积的,71则n 的值是( )． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 （1995年河北省竞赛题） 6 平面上有P 、Q 两点，由点P 引出三条射线，由点Q 引出两条射线分别与前三条射线相交于A 、B 、C 、E 、F 、G(前三点在一条射线上，后三点在另一条射线上）．如果AB ＝B C ，求证：=+GP GC EP EA ⋅PFBF2 （1991年“汉江杯”竞赛题）7 令P 是△ABC 的一个内点，延长AP 、BP 、CP 与对边相交，图中a 、b 、c 、d 为各线段之长．已知a+b+c＝43，d ＝3．求abc 等于多少？ （第6届美国邀请赛题，同习题3.1第7题）答案。