2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第四节等腰三角形课前诊断测1

例 １ （２０１６ 湖北荆州，２１，８ 分） 如图，将一张直角三角形 ＡＢＣ 纸片沿斜边 ＡＢ 上的中线 ＣＤ 剪开，得到△ＡＣＤ，再将△ＡＣＤ 沿 ＤＢ 方向平移到△Ａ′Ｃ′Ｄ′的位置．若平移开始后点 Ｄ′未到达点 Ｂ 时，Ａ′Ｃ′交 ＣＤ 于点 Ｅ，Ｄ′Ｃ′交 ＣＢ 于点 Ｆ，连接 ＥＦ． 当四边形 ＥＤＤ′Ｆ 为 菱 形 时， 试 探 究 △Ａ′ ＤＥ 的 形 状， 并 判 断 △Ａ′ ＤＥ 与 △ＥＦＣ′是否全等．请说明理由．
§ ４．３ 等腰三角形与直角三角形
第四章 图形的认识 ３ ９
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９１
考点一 等腰三角形
１．等腰三角形的概念、性质与判定
解析 当四边形 ＥＤＤ′Ｆ 为菱形时，△Ａ′ＤＥ 是等腰三角 形，△Ａ′ＤＥ≌△ＥＦＣ′．
理由如下： ∵ ＣＤ 是直角三角形 ＡＢＣ 的中线， ∴ ＡＤ ＝ ＣＤ ＝ ＢＤ，∴ ∠Ａ ＝ ∠ＡＣＤ． ∵ △ＡＣＤ 沿 ＤＢ 方向平移到△Ａ′Ｃ′Ｄ′，∴ ＡＣ∥Ａ′Ｃ′， ∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ ＝ ∠Ａ，∠ＡＣＤ ＝ ∠Ａ′ＥＤ，∴ ∠Ｃ′Ａ′Ｂ ＝ ∠Ａ′ＥＤ， ∴ △Ａ′ＤＥ 是等腰三角形． ∵ 四边形 ＥＤＤ′Ｆ 为菱形，
概念 有两条边① 相等 的三角形是等腰三角形
等腰三 性质
角形
（１） 等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴． （２）性质 １：等腰三角形的两底角② 相等 （ 简写成“ 等 边对③ 等角 ”） （３） 性质 ２： 等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的 ④ 中线 、底边上的⑤ 高 源自互重合（ 简写成“ 三线合 一” ）

第四节等腰三角形姓名：________班级：________用时：______分钟11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两2弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于D，连结AD.若AD＝AC，∠B＝25°，则∠C＝( )A．70°B．60°C．50°D．40°2．(2017·四川南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A．(1，1) B．( 3，1)C．( 3，3) D．(1，3)3．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个4. (2018·四川绵阳中考)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB 的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝2，AD＝6，则两个三角形重叠部分的面积为( )A. 2 B．3－ 2C. 3－1 D．3－ 35．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF；1②∠BOC＝90°＋∠A；2③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.其中正确的结论是( )A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④6．(2018·黑龙江绥化中考)已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为__________________．7．(2018·湖南娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE＝3 cm，则BF＝______cm.8．(2018·浙江嘉兴中考)已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．9. (2018·江苏镇江中考)如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝________°.10．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为( )A．2 B．2 3C. 3 D．311．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠M KN＝44°，则∠P的度数为( )A．44°B．66°C．88°D．92°12．(2019·易错题)在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上)，这个等腰三角形的剪法有( )A．1种B．2种C．3种D．4种13．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝__________.14．(2018·辽宁葫芦岛中考)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n＋1C n的面积为__________________．(用含正整数n的代数式表示)15．(2018·浙江绍兴中考)数学课上，张老师举了下面的例题：例1. 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2. 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．16. (2018·青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针1旋转90°得到线段BD，连结CD.求证：△BCD的面积为a2；(提示：过点D作BC边上的高2DE，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图2，在一般的Rt△A BC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．17．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为________．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.D 5.A6．50°或80°7.68．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵D为AC的中点，∴AD＝DC.在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD＝DC，∵{DE＝DF，)∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．9．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF.AB＝AC，在△ABE和△ACF中，∵{B E＝CF，)∠B＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．(2)75【拔高训练】10．C11.D12.C3313．72°14.( )2n－2×2 315．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.故∠B＝50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，②当0＜x＜90时，180－x 若∠A为顶角，则∠B＝( )°；2若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.180－x 180－x当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，2 2即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．16．(1)证明：过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，∴∠BED＝∠ACB＝90°.由旋转知AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC＋∠DBE＝90°.又∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE.在△ABC和△BD E中，∠ACB＝∠BED，∵{A B＝BD，)∠A＝∠DBE，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴DE＝a＝BC，1 1∴S△BCD＝BC·DE＝a2.2 2(2)解：过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，由(1)得∠BED＝∠ACB＝90°.∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴AB＝BD，∠ABD＝90°.∴∠ABC＋∠DBE＝90°.∵∠A＋∠ABC＝90°.∴∠A＝∠DBE.在△ABC和△BDE中，∠ACB＝∠BED，∵{A B＝BD，)∠A＝∠DBE，81 1∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2.2 2(3)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，1 1∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a.2 2∴∠FAB＋∠ABF＝90°.∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD.∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD.在△AFB和△BED中，∠AFB＝∠E，∵{A B＝BD，)∠FAB＝∠EBD，1∴△AFB≌△BED，∴BF＝DE＝a.21 1 1 1∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a· a＝a2.2 2 2 41∴△BCD的面积为a2.4【培优训练】17．309。

2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】 如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．直角三角形B ．正五边形C ．正方形D ．平行四边形2．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分(单位：分)依次为21，16，17，23，20，20，23，则这组数据的平均数与中位数分别是( ) A ．20分，17分B ．20分，22分C ．20分，19分D ．20分，20分3．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知，满足不等式ax 2+bx+c ＞0的x 的取值范围是（ ）A.﹣1＜x ＜5B.x ＞5C.x ＜﹣1且x ＞5D.x ＜﹣1或x ＞54．把a 移到根号内得（ ）B. C.5．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30cm 2B ．30πcm 2C ．60πcm 2D ．120cm 26．甲，乙工程队分别承接600米，800米的道路修建工程，已知乙比甲每天多修建12米，结果甲比乙提早1天完成，问甲每天修建多少米？设甲每天修建x 米，根据题意可列出方程是（ ） A ．x 600＝80012x -﹣1 B ．x 600＝80012x -+1C ．x 600＝80012x +﹣1 D ．x 600＝80012x ++1 7．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则K 的值不可能是（ ）A ．-5B ．-2C ．3D ．58．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）9．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BD EOAD AO= B ．CO CECD CB= C ．AB COBD OD= D ．BD ODBE OE= 10．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）A.6B.5C.4D.711．下列计算中，正确的是（ ）A 2±B ．2+=C ．a 2•a 4＝a 8D ．（a 3）2＝a 612．现有一组数据：165、160、166、170、164、165，若去掉最后一个数165，下列说法正确的是（ ） A ．平均数不变，方差变大 B ．平均数不变，方差不变 C ．平均数不变，方差变小 D ．平均数变小，方差不变二、填空题13．已知 5 个数据：8，8，x ，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 __________．14．在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3）为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标______．15．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m ＝0有实数根，则实数m 满足_____．16．如果2(2+（a ，b 为有理数），那么a+b 等于_____．17．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将APE ∆沿PE 折叠得到FPE ∆，连接CE ，CF ，当ECF ∆为直角三角形时，AP 的长为_____．18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题19．某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A ：跑步；B ：跳绳；C ：做操；D ：游戏，全校学生都选择了一种形式参与活动，小明对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，并绘制了不完整的两幅统计图（如图）：（1）本次共调查了多少名学生？（2）跳绳B 对应扇形的圆心角为多少度？（3）学校在每班A 、B 、C 、D 四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，求每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率．20．某公司可投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为8元/件，此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝﹣x+28．（1）求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为6元/件，为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过14万件，请计算该公司第二年的利润W 2至少为多少万元．21．在□ABCD 中，经过A 、B 、C 三点的⊙O 与AD 相切于点A ，经过点C 的切线与AD 的延长线相交于点P ，连接AC ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝4，⊙O PD 的长．22．观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④…… (1)第⑤个式子____，第⑩个式子_____；(2)请用含n(n 为正整数)的式子表示上述的规律，并证明． 23．已知AB 为O 的直径，EF 切O 于点D ，过点B 作BH EF ⊥于点H ，交O 于点C ，连接BD .(Ⅰ)如图①，若BDH 65∠=︒，求ABH ∠的大小； (Ⅱ)如图②，若C 为BD 的中点，求ABH ∠的大小.24．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D 是AC 边的中点，延长BD 至点E ，使得DE ＝BD ，连结CE ．（1）求证：△ABD ≌△CED ．（2）当BC ＝5，CD ＝3时，求△BCE 的周长．25．如图，AB是半⊙O的直径，点C，D为半圆O上的点，AE||OD，过点D的⊙O的切线交AC的延长线于点E，M为弦AC中点（1）填空：四边形ODEM的形状是；（2）①若CEkCM=，则当k为多少时，四边形AODC为菱形，请说明理由；②当四边形AODC为菱形时，若四边形ODEM的面积为O的半径．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．或 1014．（2，2）．15．4m≤16．1017．1或9 418．1 4三、解答题19．(1) 本次共调查了300名学生；(2) 36︒;(3)1 6【解析】【分析】（1）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数（2）先算出B类的总数，再利用B的总数除以总的调查人数在乘以360°即可得到答案（3）利用画树状图可知一共有十二种结果，而做操”和“跳绳”的结果数为2，即可得到答案【详解】（1）120÷40%＝300（人），所以本次共调查了300名学生；（2）喜欢B类的人数为300﹣120﹣60﹣90＝30（人），所以跳绳B对应扇形的圆心角＝360°×30300＝36°；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的结果数为2，所以每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率＝21 126．【点睛】此题综合考查了扇形统计图，条形统计图，画树状图等，解题关键在于对图形性质的理解20．（1）W1＝﹣x2+36x﹣304．（2）该产品第一年的售价是18元．（3）该公司第二年的利润W2至少为92万元．【解析】【分析】(1)根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；(2)构建方程即可解决问题；(3)根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决问题.【详解】(1)W1＝(x﹣8)(﹣x+28)﹣80＝﹣x2+36x﹣304；(2)由题意：20＝﹣x2+36x﹣304．解得：x＝18，答：该产品第一年的售价是18元；(3)∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过14万件．∴14≤x≤18，W2＝(x﹣6)(﹣x+28)﹣20＝﹣x2+34x﹣188，∵抛物线的对称轴x＝17，又14≤x≤18，∴x＝14时，W2有最小值，最小值＝92(万元)，答：该公司第二年的利润W2至少为92万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题．21．（1）见解析，（2【解析】【分析】（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，由切线的性质可得∠FAP=90°，根据平行四边形的性质可得∠AEB=90°，由垂径定理点BE=CE，根据垂直平分线的性质即可得AB=AC；（2）连接FC，OC，设OE＝x，则EF x，根据AF为直径可得∠ACF=90°，利用勾股定理可得CF的长，利用勾股定理可证明OC2－OE2＝CF2－EF2，即可求出x的值，进而可得EC、BC的长，由平行线性质可得∠PAC=∠ACB，由切线长定理可得PA=PC，即可证明∠PAC=∠PCA，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，利用等量代换可得∠ABC=∠PAC，即可证明△PAC∽△ABC，根据相似三角形的性质可求出AP的长，根据PD=AP-AD即可得答案.【详解】（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，∴AF⊥AP，∴∠FAP＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠AEB＝∠FAP＝90°，∴AF⊥BC．∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，∴BE＝CE．∵AF⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC．（2）连接FC，OC．设OE＝x，则EF x．∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．∵AC＝AB＝4，AF＝∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，∴CF2．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴CE2＝OC2－OE2．∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2－EF2．∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即2－x2＝22x）2．解得x＝5．∴EC5．∴BC＝2EC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5．∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACB．∵PA，PC是⊙O的切线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．∴△PAC∽△ABC，∴APAB＝ACBC．∴AP＝ACBC·AB＝∴PD＝AP－AD．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理、平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角；圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；有两个角对应相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.22．(1)4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)(n﹣1)(n+1)+1＝n2；证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知等式中的规律即可得；(2)根据整数的平方等于前一个整数与后一个整数乘积与1的和可得，利用整理的运算法则即可验证．【详解】(1)第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102；故答案为：4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)第n个式子为(n﹣1)(n+1)+1＝n2，证明：左边＝n2﹣1+1＝n2，右边＝n 2，∴左边＝右边，即(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2的规律，并熟练加以运用．23．(Ⅰ)∠ABH=50°；(Ⅱ)60ABH ∠=︒.【解析】【分析】(Ⅰ)连接OD ，由切线性质可得OD ⊥EF ，根据锐角互余的关系可求出∠ODB 和∠DBH 的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠OBD 的度数，根据∠ABH=∠ABD+∠DBH 即可得答案；(Ⅱ) 连接OD ，OC ，由C 为BD 的中点可得DOC BOC ∠∠=，由平行线性质可得DOC OCB ∠∠=，根据等腰三角形的性质可得OCB OBC ∠∠=，即可证明△OCB 是等边三角形，即可得答案.【详解】(Ⅰ)连接OD .∵EF 切O 于点D ，∴OD EF ⊥.∵BDH 65=︒，BH EF ⊥，∴ODB DBH 25∠∠==︒.∵OB OD =，∴ABD ODB 25∠∠==︒.∴ABH ABD DBH 50∠∠∠=+=︒.(Ⅱ)连接OD ，OC .由(Ⅰ)可得OD//BH ，∴DOC OCB ∠∠=，∵C 为BD 的中点，∴DOC BOC ∠∠=.∴OCB BOC ∠∠=.∵OB OC =，∴OCB OBC ∠∠=.∴ΔOCB 为等边三角形，∴ABH 60∠=︒.【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及等边三角形的判定，圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．24．（1）见解析；（2）△BCE的周长为18．【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用勾股定理求得BD＝4，然后利用三角形的周长公式解答．【详解】（1）证明：∵AB＝BC，点D是AC边的中点，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDE＝90°．又∵DE＝BD，∴△ABD≌△CED（SAS）；（2）解：∵BD＝＝＝4，∴BE＝2BD＝8．又∵CE＝AB＝BC＝5，∴BC+CE+BE＝5+5+8＝18，即△BCE的周长为18．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角或对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形.25．（1）四边形AODC为菱形，见解析；（2）①当k为1时，四边形AODC为菱形．理由见解析；②⊙O的半径为．【解析】【分析】（1）运用切线定理、垂径定理、平行线的性质证明四个角均为90°，即可说明四边形ODEM为矩形；（2）①当k为1时，四边形AODC为菱形．连接CD，CO．由四边形AODC为菱形，可得AO＝OD＝CD＝AC，由OM垂直平分AC，得到OA＝OC，所以OA＝OC＝AC，因此△OAC为等边三角形，于是∠CAO＝60°，∠CDO ＝60°，∠ECD＝30°，所以CE＝12CD＝12AC，又CM＝12AC，因此CE＝CM，即CECM＝1，所以当k为1时，四边形AODC为菱形；②由四边形ODEM 的面积为可知OD•MO＝43，由①四边形AODC 为菱形时，∠MAO ＝60°，所以OMOA＝sin ∠MAO ＝sin60°，MO ，因此OD•MO＝OA•2OA ＝，所以OA ＝. 【详解】（1）∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∠ODE ＝90°，∵M 为弦AC 中点，∴OM ⊥AC ，∠OME ＝90°，∵AE||OD ，∴∠E ＝90°，∠MOD ＝90°，∴四边形ODEM 是矩形；（2）①当k 为1时，四边形AODC 为菱形．理由如下：连接C D ，CO ．∵四边形AODC 为菱形，∴AO ＝OD ＝CD ＝AC ，∵OM 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△OAC 为等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∠CDO ＝60°，∴∠ECD ＝30°，∴CE ＝12CD ＝12AC ， ∵CM ＝12AC ， ∴CE ＝CM ， ∴1CE CM= ， 当k 为1时，四边形AODC 为菱形；②∵四边形ODEM 的面积为，∴OD•MO＝由①四边形AODC 为菱形时，∠MAO ＝60°，∴sin sin 60OM MAO OA ︒=∠= ，MO ，OA⋅=，∴OD•MO＝2∴OA＝∴⊙O的半径为【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握矩形、菱形、三角函数、垂径定理等是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在－2，3.14，5π，这6个数中，无理数共有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30cm 2B ．30πcm 2C ．60πcm 2D ．120cm 23．若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．3D ．54．在平面直角坐标系xOy 中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆一定A ．与x 轴和y 轴都相交B ．与x 轴和y 轴都相切C ．与x 轴相交、与y 轴相切D ．与x 轴相切、与y 轴相交． 5．如图，在中，，分别是上两点，，点分别是的中点，则的长为（ ）A.10B.8C.D.206．将一图形绕着点O 顺时针方向旋转70后，再绕着点O 逆时针方向旋转120，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O 什么方向旋转多少度?（ ）A ．逆时针方向，50B ．顺时针方向，50C ．顺时针方向，190D ．逆时针方向，1907．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）A ．400400(130%)x x -+＝4B ．400400(130%)x x-+＝4C ．400400(130%)x x --＝4D ．4004004(130%)x x-=- 8．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22423a a a +=C ．236(2)2a a -=-D ．422()a a a ÷-= 9．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为F ，连接DF ，则下列四个结论中，错误的是（ ）A.△AEF ～△CABB.CF=2AFC.DF=DCD.tan ∠CAD=3410．如图，正方形ABCD 的顶点A （1，1），B （3，1），规定把正方形ABCD“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD 的顶点C 的坐标为（ ）A ．（﹣2018，3）B ．（﹣2018，﹣3）C ．（﹣2016，3）D ．（﹣2016，﹣3）11．在体育模拟考中，某6人小组的1000米长跑得分（单位：分）分别为：10，9，8，10，10，9，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．9分，8分B ．9分，9.5分C ．10分，9分D ．10分，9.5分12．如图，已知BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A 、C 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．14．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°_____cos50°．15．已知x﹣y=2，则x2﹣y2﹣4y=_____．16．如图，将矩形OABC置于一平面直角坐标系中，顶点A，C分别位于x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），双曲线y＝kx（k≠0）在第一象限中的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，P为y轴正半轴上一动点，把△OAP沿直线AP翻折，使点O落在点F处，连接FE，若FE∥x轴，则点P的坐标为___．17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a∥b，点B在直线b上，∠1=138°，则∠2=______度．18．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+12PC的最小值等于_____．三、解答题19．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了名学生，在扇形统计图中“QQ”的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA的值．21．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥12，且当x＝1或x＝4时，y的值均为32．请对该函数及其图象进行如下探究：(1)解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．(2)函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象.(3)结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝34，214，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：；(用“＜”或“＝”表示)②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是，此时，x的取值范围是．22．东北大米主要种植于黑龙江省、吉林省、辽宁省的广大平原地区，种植在极其肥沃的黑土地中，吸收了足够的氮、磷、钾等多种矿物元素，阳光雨露充足，又有纯净无污染的灌溉用水，生长周期比较长，一般五个月左右．东北大米颗粒饱满，质地坚硬，色泽清白透明；饭粒油亮，香味浓郁；蒸煮后出饭率高，粘性较小，米质较脆．刘阿姨到超市购买东北大米，第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次共购买了40kg．这种东北大米的原价是多少？23．解不等式组1531xx x+≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答.(Ⅰ)解不等式①，得_________；(Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.24．解方程：213xx x+=-.25．先化简，再求值：2221(1)244x xx x x+++÷--+，其中x＝3．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．-1614．＞15．416．（0，53）或（0，15）．17．12 18．5 三、解答题19．（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1 3【解析】【分析】（1）由20÷20%可得这次统计共抽查人数，根据圆心角公式可得结果；（2）先求喜欢用短信的人数，再画图；（3）用树状图方法求概率.【详解】解：（1）20÷20%＝100；所以这次统计共抽查了100名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数＝360°×30100＝108°； （2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人， 补充图形，如图所示：（3）画树状图为：共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3， 所以恰好选用“微信”联系的概率＝39＝13．【点睛】考核知识点：从统计图表获取信息，求概率.20．5【解析】 【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值． 【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．21．(1)2112y x x =+-；(2)①见解析；②见解析；(3)①y 2＜y 1＜y 3；②1＜k≤134，12≤x≤8． 【解析】 【分析】(1)根据题意设11k y x=，y 2＝k 2(x ﹣2)，则12(2)ky k x x =+-，即可解答（2）将表中数据代入2112y x x =+-，即可解答 （3）①由(2)中图象可得：(2，1)是图象上最低点，在该点左侧，y 随x 增大而减小；在该点右侧y 随x 增大而增大，即可解答 ②观察图象得：x≥12，图象最低点为(2，1)，再代入即可 【详解】 (1)设11k y x=，y 2＝k 2(x ﹣2)，则12(2)ky k x x =+- ，由题意得：1212323242k k k k ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得：12212k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴该函数解析式为2112y x x =+- ， 故答案为：2112y x x =+-， (2)①根据解析式，补全下表：②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出图象．(3)①由(2)中图象可得：(2，1)是图象上最低点，在该点左侧，y 随x 增大而减小；在该点右侧y 随x 增大而增大， ∴y 2＜y 1＜y 3，故答案为：y 2＜y 1＜y 3， ②观察图象得：x≥12，图象最低点为(2，1)， ∴当直线y ＝k 与该图象有两个交点时，1＜k≤134， 此时x 的范围是：12≤x≤8． 故答案为：1＜k≤134，12≤x≤8． 【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，列出方程式解题关键 22．这种大米的原价是每千克7元． 【解析】 【分析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次共购买了40kg ，列出方程即可解答 【详解】解：设这种大米的原价是每千克x 元， 根据题意，得105140400.8x x+=， 解得：x ＝7．经检验，x ＝7是原方程的解． 答：这种大米的原价是每千克7元． 【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程 23．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】 【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4， 故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1， 解得：x>12，故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x <≤， 故原不等式的解集为：142x <≤， 故答案为：142x <≤ 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 24．x ＝65. 【解析】 【分析】根据分式方程的解法求解即可. 【详解】去分母得：2x ﹣6+x 2＝x 2﹣3x ， 解得：x ＝65， 检验x ＝65是原方程的解． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，注意根的验证. 25．3 【解析】 【分析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，再代入求出即可． 【详解】2221(1)244x x x x x +++÷--+ 2222(2)21x x x x x -++-=⋅-+ 2(1)(2)21x x x x x +-=⋅-+ ＝x （x ﹣2）＝x2﹣2x，当x＝3时，原式＝32﹣2×3＝3．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．。

课时4 等腰三角形与直角三角形一、基础巩固1．(2019·山西)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，直线a ∥b ，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若∠1＝145°，则∠2的度数是(C)A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°第1题图 第2题图 2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是(C)A ．BC ＝ECB ．EC ＝BE C ．BC ＝BED ．AE ＝EC3．若等腰△ABC 的周长是50 cm ，一腰长为x cm ，底边长为y cm ，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是(C)A ．y ＝50－2x (0＜x ＜50)B ．y ＝12(50－2x )(0<x <50)C ．y ＝50－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫252<x <25 D ．y ＝12(50－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫252<x <254．(2019·成都)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC 上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为__9__.第4题图第5题图5．(2019·攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE 是AC边上的中线，且BD＝CE.求证：(1)点D在BE的垂直平分线上；(2)∠BEC＝3∠ABE.解：(1)连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE＋∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE.二、能力提升6．若(a －1)2＋|b －2|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为(A)A ．5B ．4C ．3D ．4或57．(2019·台湾)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＜AB .若∠1、∠2分别为∠ABC 、∠ACB 的外角，则下列角度关系正确的是(C)A ．∠1＜∠2B ．∠1＝∠2C ．∠A ＋∠2＜180°D ．∠A ＋∠1＞180°第7题图 第8题图 8．(2019·大连)如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接AD .若AB ＝2，则AD 的长为 23 .【笔记】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°， ∵CD ＝AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∵∠ACB ＝∠CAD ＋∠D ＝60°，∴∠CAD ＝∠D ＝30°，∴∠BAD ＝90°，∴AD ＝AB tan 30°＝233＝2 3. 9．如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD ＝CB ，点E 为BD 的中点，点F 为AC 的中点，连结EF 交CD 于点M ，连接AM .(1)求证：EF ＝12AC ；(2)若∠BAC ＝45°，求线段AM 、DM 、BC 之间的数量关系． 解：(1)∵CD ＝CB ，E 为BD 的中点；∴CE ⊥BD ，∴∠AEC ＝90°.又∵F 为AC 的中点，∴EF ＝12AC .(2)∵∠BAC ＝45°，∠AEC ＝90°，∴∠ACE ＝∠BAC ＝45°，∴AE ＝CE .又∵F 为AC 的中点，∴EF ⊥AC ，∴EF 为AC 的垂直平分线，∴AM ＝CM ，∴AM ＋DM ＝CM ＋DM ＝CD .又∵CD ＝CB ，∴AM ＋DM ＝BC .三、应用拓展10．(2019·甘孜州)直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ＝7，AB ＝2，若AB ，BC ，CD 可构成以BC 为腰的等腰三角形，则BC 的长为__2或2.5__.【笔记】如图∵AB ＝2，AD ＝7，∴BD ＝BC ＋CD ＝5，∵BC 作为腰的等腰三角形，∴BC ＝AB 或BC ＝CD ，∴BC ＝2或2.5.11．(2019·武汉模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，AD ＝BD ，BE ⊥AD 于点E ，则AE BC 的值为12.解图解：过A 作AN ⊥BC 于N ，则BN ＝CN ，∵AD ＝BD ，∴∠DAB ＝∠DBA ，∵BE ⊥AD ，∴∠E ＝∠ANB ＝90°，在△ABN 与△BAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠E＝∠ANB ∠BAE ＝∠ABNAB ＝BA ，∴△ABN ≌△BAE (AAS)，∴AE ＝BN ，∴AE ＝BN ＝12BC ，∴AE BC ＝12.12．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝100°，∠BOC ＝α，D 是△ABC 外一点，且△BOC ≌△ADC ，连接OD .(1)△COD 是什么三角形？说明理由；(2)当α为多少度时，△AOD 是直角三角形？(3)当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？解：(1)△COD是等边三角形，理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴CO ＝CD，∠BCO＝∠ACD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠OCD＝∠ACB＝60°；∴△COD是等边三角形；(2)∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵△AOD是直角三角形，∴∠AOD＝90°，∴∠α＝360°－110°－90°－60°＝100°；(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO.∵∠AOD＝360°－∠AOB－∠COD－α＝360°－100°－60°－α＝200°－α，∠ADO＝α－60°，∴200°－α＝α－60°，∴α＝130°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠AOD＝200°－α，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝40°，∴α－60°＝40°，∴α＝100°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵200°－α＝40°，∴α＝160°，当α＝150°时，△AOD也是直角三角形．综上所述：当α的度数为130°，100°，150°或160°时，△AOD是等腰三角形．四、权威预测13．(2019·邢台二模)我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形，(1)如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠ABC＝105°，过B作一直线交AC于D，若BD把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠BDA的度数是__130°__.(2)已知在△ABC中，AB＝AC，过顶点和顶点对边上一点的直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的最小度数为180°7.【笔记】(1)根据题意得DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝25°，∴∠BDA＝180°－25°×2＝130°.故答案为130°；(2)如图所示：AB＝AC，AD＝BD，BC＝CD，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝2∠A，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝3∠A，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3∠A，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝180°7.。